27.3 实际问题与反比例函数 课时作业 2026-2027学年人教版数学 九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级下册27.3实际问题与反比例函数同步练，分层清晰，从基础应用到综合探究，覆盖反比例函数建模及跨学科应用，培养模型意识与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点直接应用|含矩形面积、行程问题等简单模型题，如矩形面积与长宽关系| |能力提升|分段函数与不等式应用|涉及药物消毒分段函数分析，如含药量与时间关系| |拓展探究|几何与经济问题综合|含矩形花圃设计、贺卡销售利润等开放题| |综合训练|跨学科情境整合|结合物理压强、电学问题，如可调台灯功率与电阻关系|

人教版数学九年级下册　　27.3 实际问题与反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 人教版 · 九年级下册 · 第二十七章 反比例函数 · 课时作业 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．能从实际问题中找出两个变量之间的反比例关系，建立反比例函数模型。 2．能利用反比例函数的解析式、图象和性质解决几何、行程、工程、物理等方面的实际问题。 3．会读分段函数（一次函数与反比例函数组合）的图象，并解决相关问题。 4．体会函数、方程、不等式之间的联系，提高用数学模型解决实际问题的能力。 二、知识梳理 知识点1　用反比例函数解决实际问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，找出两个变量，分析它们的乘积是否为定值； （2）建模：设出变量，列出反比例函数解析式（或由图象上一点的坐标用待定系数法求解析式）； （3）求解：利用解析式或函数的性质求出所需的量； （4）检验：检验结果是否符合实际意义，并写出自变量的取值范围。 【易错提醒】实际问题中，自变量和函数值一般都是正数，所以反比例函数的图象往往只有第一象限内的一支。 知识点2　常见的反比例函数模型 问题类型 基本关系 反比例函数模型 几何问题 矩形面积 S=ab，柱体体积 V=Sh S 一定时 行程问题 路程=速度×时间 路程 s 一定时 工程问题 工作总量=工作效率×时间 总量一定时效率与时间成反比例 压强问题 压力 F 一定时 p 与 S 成反比例 杠杆问题 阻力×阻力臂=动力×动力臂 动力 电学问题 U=IR， U 一定时 ， 知识点3　杠杆原理 阻力×阻力臂=动力×动力臂。当阻力和阻力臂一定时，动力 F 与动力臂 l 成反比例，动力臂越长，所用的动力越小，也就是越省力。 杠杆示意图 知识点4　利用函数的增减性解决“至少”“至多”问题 在第一象限内，若 k>0，则反比例函数的值 y 随 x 的增大而减小。 例如对于 （x>0），“y 不超过 3”即 ≤3，解得 x≥4。这类问题可以先求出等号成立时 x 的值，再结合增减性确定取值范围。 知识点5　分段函数问题 有些实际问题中，两个变量在不同阶段满足不同的函数关系，例如药物释放、饮水机加热与冷却、大棚温度控制等，图象由线段和双曲线的一部分组成。 解题时要分段求解析式，注意各段的自变量取值范围，分界点的坐标同时满足两段的解析式。 三、典例精析 例1　某地要修建一个容积为 8000 m³ 的长方体蓄水池。 （1）蓄水池的底面积 S（单位：m²）与其深度 d（单位：m）之间有怎样的函数关系？ （2）如果把蓄水池的深度设计为 5 m，那么底面积应是多少？ （3）由于地下岩石层的限制，蓄水池的深度最多只能为 4 m，那么底面积至少为多少？ 解　（1）由 Sd=8000，得 （d>0）。 （2）当 d=5 时，=1600，即底面积应为 1600 m²。 （3）当 d=4 时，=2000。因为 S 随 d 的减小而增大，d≤4，所以 S≥2000，即底面积至少为 2000 m²。 例2　小强用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为 1200 N，阻力臂为 0.5 m。 （1）动力 F（单位：N）与动力臂 l（单位：m）之间有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ （2）若想使动力 F 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 解　（1）由 Fl=1200×0.5，得 。当 l=1.5 时，=400，即至少需要 400 N 的力。 （2）F≤×400=200。当 F=200 时，=3。F 随 l 的增大而减小，所以 l≥3。 3-1.5=1.5，即动力臂至少要加长 1.5 m。 例3　蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）之间的函数关系如图所示。 （1）求 I 关于 R 的函数解析式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过 10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 解　（1）设 ，由图象经过点 A(4，9)，得 U=4×9=36，所以 （R>0）。 （2）当 I=10 时，R=3.6。I 随 R 的增大而减小，所以 I≤10 时，R≥3.6，即可变电阻应不小于 3.6 Ω。 例4　为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒。药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（单位：mg）与时间 x（单位：min）成正比例；药物燃烧后，y 与 x 成反比例，如图所示。已知药物 8 min 燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6 mg。 （1）分别求出药物燃烧时和燃烧后 y 关于 x 的函数解析式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 mg 时学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟，学生才能进入教室？ 解　（1）燃烧时，设 ，由 A(8，6) 得 ，所以 （0≤x≤8）； 燃烧后，设 ，由 A(8，6) 得 =48，所以 （x>8）。 （2）当 y=1.6 时，，x=30。燃烧后 y 随 x 的增大而减小，所以至少需要经过 30 min 学生才能进入教室。 易错辨析 辨析　在例 1 中，有同学画出 的完整双曲线（两支），对吗？ 剖析　不对。在实际问题中，深度 d>0，底面积 S>0，所以函数图象只是双曲线在第一象限内的一支。解决实际问题时，一定要注意自变量的取值范围。 四、课时作业 （一）基础巩固 一、选择题 1．当路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 之间的函数关系的图象大致是（　　） A．A B．B C．C D．D 2．一个矩形的面积为 24 cm²，它的长为 y cm，宽为 x cm，则 y 与 x 之间的函数解析式为（　　） A．（x>0） B．y=24x（x>0） C．（x>0） D．y=24-x（0<x<24） 3．压力 F=600 N 一定时，物体所受的压强 p（单位：Pa）与受力面积 S（单位：m²）满足 ，当 S=0.2 m² 时，压强 p 为（　　） A．120 Pa B．300 Pa C．3000 Pa D．6000 Pa 4．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 p（单位：kPa）是气体体积 V（单位：m³）的反比例函数，其图象如图所示。当气球内的气压大于 144 kPa 时，气球将爆炸。为了安全起见，气球的体积应（　　） A．不小于 m³ B．小于 m³ C．不小于 m³ D．小于 m³ 5．当电压一定时，用电器的功率 P（单位：W）与电阻 R（单位：Ω）成反比例。已知当 R=110 Ω 时，P=440 W，则当 R=220 Ω 时，P 的值为（　　） A．110 W B．220 W C．440 W D．880 W 6．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间 t（单位：h）与行驶速度 v（单位：km/h）之间的函数关系如图所示。若要在 3 h 内（含 3 h）通过这段公路，则汽车的速度至少为（　　） A．120 km/h B．140 km/h C．160 km/h D．180 km/h 7．某工程队要修一条长 1200 m 的公路，每天修 x m，y 天完成。若每天修 80 m，则完成任务需要（　　） A．12 天 B．15 天 C．18 天 D．20 天 8．利用杠杆撬动重物，若阻力和阻力臂不变，则下列说法中正确的是（　　） A．动力 F 与动力臂 l 成正比例 B．动力 F 随动力臂 l 的增大而减小 C．动力 F 随动力臂 l 的增大而增大 D．动力 F 与动力臂 l 无关 二、填空题 9．某村有耕地 360 公顷，则人均耕地面积 y（单位：公顷）与人口数 x 之间的函数解析式为______。 10．体积为 100 cm³ 的圆柱，底面积 S（单位：cm²）与高 h（单位：cm）之间的函数解析式为______。 11．在例 3 中，当电阻 R=6 Ω 时，电流 I=______A；当电流 I=4 A 时，电阻 R=______Ω。 12．一定质量的二氧化碳，其体积 V（单位：m³）是密度 ρ（单位：kg/m³）的反比例函数。当 V=5 m³ 时，ρ=1.98 kg/m³，则 ρ 与 V 之间的函数解析式为______，当 V=9 m³ 时，ρ=______kg/m³。 13．用面积为 0.25 m² 的正方形瓷砖铺设面积为 60 m² 的地面，需要______块；如果每块瓷砖的面积为 a m²，所需块数为 n，那么 n 与 a 之间的函数解析式为______。 14．在例 4 中，药物燃烧后，当 x=12 时，每立方米空气中的含药量为______mg。 三、解答题 15．某学校食堂现有煤 120 t，每天用煤 x t，可以用 y 天。 （1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）如果每天用煤 2.5 t，这些煤可以用多少天？ （3）如果改进技术后每天少用煤 0.5 t，这些煤能比原来多用多少天？ 16．在选择题第 4 题中： （1）求 p 关于 V 的函数解析式；（2）当气球的体积为 1.2 m³ 时，气压是多少？ （3）请说明“为了安全起见，气球的体积应不小于 m³”的理由。 17．在例 3 中，若某用电器的可变电阻 R 的取值范围是 6≤R≤12，求电流 I 的变化范围。 18．用撬棍撬石头，已知阻力为 1500 N，阻力臂为 0.4 m。 （1）写出动力 F（单位：N）与动力臂 l（单位：m）之间的函数解析式； （2）当动力臂为 1.2 m 时，需要多大的动力？ （3）若小明最多只能用 250 N 的力，那么他所用撬棍的动力臂至少多长？ （二）能力提升 19．在例 4 中，研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 mg，且持续时间不低于 10 min 时，才能有效杀灭空气中的病菌。那么此次消毒是否有效？请说明理由。 20．某种饮水机可以将水加热到 100 ℃，接通电源后，水温从 20 ℃开始每分钟上升 10 ℃，加热到 100 ℃时停止加热，水温开始下降，此时水温 y（单位：℃）与开机后的时间 x（单位：min）成反比例；当水温降至 20 ℃时，饮水机又自动开始加热，重复上述过程，如图所示。 （1）分别写出加热和降温过程中 y 关于 x 的函数解析式，并求点 B 的横坐标； （2）在第一个加热、降温过程中，水温不低于 50 ℃的时间有多长？ （3）某天早上 8:00 开机（水温 20 ℃），那么 8:30 时饮水机内水的温度约是多少？（结果精确到 0.1 ℃） 21．在选择题第 6 题中： （1）求 v 关于 t 的函数解析式； （2）若这段公路限速 100 km/h，那么汽车通过这段公路至少需要多长时间？ （3）若要求汽车在 4 h 到 5 h 之间（含 4 h 和 5 h）通过这段公路，求速度 v 的取值范围。 22．某运输公司要把 3000 t 货物运到灾区。 （1）如果每天运 x t，所需天数为 y，写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）实际运输时，每天比原计划多运 50 t，结果提前 5 天完成任务，原计划每天运多少吨？ （三）拓展探究 23．学校要在一面墙（墙长 5 m）边围一个面积为 12 m² 的矩形花圃，花圃的一边靠墙，另外三边用篱笆围成。设花圃垂直于墙的一边长为 y m，平行于墙的一边长为 x m。 （1）写出 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （2）若篱笆的总长为 11 m，求花圃的长和宽。 24．某商店出售一批进价为 2 元的贺卡，在销售中发现，贺卡的日销售单价 x（单位：元）与日销售量 y（单位：张）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 （1）猜想并确定 y 关于 x 的函数解析式； （2）设每天销售这种贺卡的利润为 W 元，写出 W 关于 x 的函数解析式；若物价部门规定这种贺卡的销售单价不能超过 10 元，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若要每天获得 40 元的利润，销售单价应定为多少元？ （四）综合训练 25．某蔬菜大棚在一天中的温度 y（单位：℃）与时间 x（单位：h）之间的关系如图所示，其中线段 AB 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 BC 表示恒温系统关闭阶段。 （1）求 k 的值（BC 满足 ）； （2）恒温系统在这一天中保持大棚内温度为 20 ℃的时间有多少小时？ （3）当 x=16 时，大棚内的温度约为多少？ （4）若大棚内的温度低于 10 ℃，蔬菜会受到伤害。在这一天（24 h）内，蔬菜是否会受到伤害？ 26．一块长方体砖的长、宽、高分别为 20 cm，10 cm，5 cm，重 20 N。把它以不同的面平放在水平桌面上，砖对桌面的压强 p（单位：Pa）与受力面积 S（单位：m²）满足 。 （1）写出 p 关于 S 的函数解析式； （2）分别求出砖的三个不同的面朝下时，砖对桌面的压强； （3）要使砖对桌面的压强最大，应怎样放置？ 27．某可调台灯的电压 U=220 V 保持不变，其功率 P（单位：W）与电阻 R（单位：Ω）满足 。已知台灯电阻 R 的调节范围是 110≤R≤1210。 （1）写出 P 关于 R 的函数解析式； （2）求台灯功率的变化范围； （3）当台灯的功率为 100 W 时，电阻是多少？ 【课堂小结】　建立反比例函数模型的关键是找出______________________________________________ 解决“至少”“至多”问题时，常利用反比例函数的____________________________________________ 五、答案及解析 （一）基础巩固 1．B 解析：vt=s，（t>0），s 是定值，图象是双曲线在第一象限内的一支。 2．A 解析：xy=24，所以 （x>0）。 3．C 解析：=3000（Pa）。 4．A 解析：设 ，由 A(0.8，120) 得 k=96，。当 p=144 时，=。p 随 V 的增大而减小，要使 p≤144，则 V≥。 5．B 解析：PR=110×440=48400，当 R=220 时，=220（W）。 6．C 解析：由 P(4，120) 得路程 s=4×120=480 km，。当 t=3 时，v=160；t≤3 时，v≥160。 7．B 解析：，当 x=80 时，y=15。 8．B 解析：Fl=阻力×阻力臂=定值，，所以 F 随 l 的增大而减小。 9．（x>0） 10．（h>0） 11．6；9 解析：=6；=9。 12．（V>0）；1.1 解析：k=5×1.98=9.9，当 V=9 时，=1.1。 13．240；（a>0） 解析：60÷0.25=240（块）。 14．4 解析：=4。 15．解：（1）xy=120，（x>0）。 （2）当 x=2.5 时，=48，可以用 48 天。 （3）每天用煤 2.5-0.5=2（t），=60，60-48=12，能比原来多用 12 天。 16．解：（1）由 A(0.8，120)，得 k=0.8×120=96，所以 （V>0）。 （2）当 V=1.2 时，=80（kPa）。 （3）当 p=144 时，V=。因为 k>0，在第一象限内 p 随 V 的增大而减小，所以当 V≥ 时，p≤144，气球不会爆炸。 17．解：当 R=6 时，I=6；当 R=12 时，I=3。I 随 R 的增大而减小，所以 3≤I≤6，即电流的变化范围是 3 A 到 6 A。 18．解：（1）Fl=1500×0.4=600，所以 （l>0）。 （2）当 l=1.2 时，=500（N）。 （3）当 F=250 时，=2.4。F 随 l 的增大而减小，F≤250 时 l≥2.4，所以动力臂至少为 2.4 m。 （二）能力提升 19．解：有效。理由如下： 在 中，令 y=3，得 x=4；在 中，令 y=3，得 x=16。 所以当 4≤x≤16 时，含药量不低于 3 mg，持续时间为 16-4=12（min）。12>10，所以此次消毒有效。 20．解：（1）加热过程：y=10x+20（0≤x≤8）。当 y=100 时，x=8，所以 A(8，100)。 降温过程：设 ，由 A(8，100) 得 k=800，所以 （8≤x≤40）。 当 y=20 时，=40，所以点 B 的横坐标为 40。 （2）加热时，10x+20≥50，得 x≥3；降温时，≥50，得 x≤16。所以 3≤x≤16，水温不低于 50 ℃的时间为 16-3=13（min）。 （3）8:00 到 8:30 经过 30 min，在第一个降温过程中（8≤30≤40），≈26.7，所以水温约为 26.7 ℃。 21．解：（1）（t>0）。 （2）当 v=100 时，t=4.8。v 随 t 的增大而减小，v≤100 时，t≥4.8，所以至少需要 4.8 h。 （3）当 t=4 时，v=120；当 t=5 时，v=96。所以 96≤v≤120。 22．解：（1）（x>0）。 （2）由题意得 =5。 方程两边同乘 x(x+50)，得 3000(x+50)-3000x=5x(x+50)，整理得 ， 解得 ，。经检验，它们都是原方程的解，但 x=-200 不符合实际意义，舍去。 答：原计划每天运 150 t。 （三）拓展探究 23．解：（1）xy=12，所以 ，墙长 5 m，所以 0<x≤5。 （2）由题意得 x+2y=11，即 =11，整理得 ，解得 ，。 因为 x≤5，所以 x=3，此时 y=4。所以花圃平行于墙的一边长为 3 m，垂直于墙的一边长为 4 m。 24．解：（1）由表可知 3×20=4×15=5×12=6×10=60，所以 （x>0）。 （2）W=(x-2)y=(x-2)·=60-。 因为 随 x 的增大而减小，所以 W 随 x 的增大而增大。又 x≤10，所以当 x=10 时，W 最大，W=60-12=48。 即销售单价定为 10 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 48 元。 （3）由 =40，得 =20，x=6。所以销售单价应定为 6 元。 （四）综合训练 25．解：（1）点 B(12，20) 在双曲线上，所以 k=12×20=240。 （2）恒温系统保持 20 ℃的时间为 12-2=10（h）。 （3）当 x=16 时，=15，即温度约为 15 ℃。 （4）当 x=24 时，=10。在 12≤x≤24 时，y 随 x 的增大而减小，最低温度为 10 ℃；前 12 h 内温度不低于 10 ℃。所以这一天内温度都不低于 10 ℃，蔬菜不会受到伤害。 26．解：（1）F=20 N，所以 （S>0）。 （2）三个面的面积分别为：20×10=200 cm²=0.02 m²；20×5=100 cm²=0.01 m²；10×5=50 cm²=0.005 m²。 对应的压强分别为 =1000 Pa，=2000 Pa，=4000 Pa。 （3）p 随 S 的减小而增大，所以面积最小（10 cm×5 cm）的面朝下放置时，压强最大，为 4000 Pa。 27．解：（1）=48400，所以 （110≤R≤1210）。 （2）当 R=110 时，P=440；当 R=1210 时，P=40。P 随 R 的增大而减小，所以 40≤P≤440，即功率的变化范围是 40 W 到 440 W。 （3）当 P=100 时，=484（Ω）。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $