天津市耀华中学2026-2027学年高三上学期暑期学情反馈数学试卷

天津市耀华中学2027届高三暑期学情反馈 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），两部分共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．将答案涂在答题卡上． 1．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ） A．9 B．21 C．45 D．93 5．已知，是空间两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题错误的为（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．下列说法中错误的是（ ） A．若，则 B．越接近0，线性相关性越弱 C．越接近1，线性相关性越强 D．若，，则 7．已知函数（，），其图象相邻两个对称中心之间的距离为，且直线是其一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增 C．点是函数图象的一个对称中心 D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象 8．已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 9．已知，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上． 10．是虚数单位，复数 ▲ ． 11．已知的展开式中常数项为20，则实数的值为 ▲ ． 12．为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试．若第一次抽取到有效馆藏图书，则第二次也抽取到有效馆藏图书的概率为 ▲ ．记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为，则的数学期望 ▲ ． 13．已知（，），则的最小值是 ▲ ． 14．已知是内的一点，且，（），，，三点共线，则 ▲ ，若，，且向量在向量上的投影向量为，则 ▲ ． 15．已知函数若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围为 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题．共75分．将解题过程及答案填写在答题卡上． 16．（本题满分14分）在中，角，，的对边分别为，，，已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 17．（本题满分15分）如图，且，，且，且，平面，，为棱的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本题满分15分）设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，左右顶点分别为，，已知椭圆过点，且长轴长为6． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）点是椭圆上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且满足，若，求直线的方程． 19．（本小题满分15分） 设数列是等差数列，是等比数列．已知，，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设（），求数列的前项和； （Ⅲ）设（），数列的前项积为，证明：． 20．（本题满分16分）已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在处切线的方程； （Ⅱ）当时，试判断在上零点的个数，并说明理由； （III）当时，恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $天津市耀华中学2026-2027学年高三上学期暑期学情反馈数学试卷答案 一、单选题 1 v 3 4 了 6 7 8 9 D C A C B D C B D 二、填空题 10 11 12 13 14 15 1+3i 1 34 5:3 4-5 7:3 (-{[9 三、解答题 16.解：凸：sinA=V5sinB 由正弦定理， a=v5b' :3a=V5(b+c” ∴.c=2b COsC-d+b--56+b-4b2_V5. 2ab 25b25 m:C∈(0，n,sinC=V1-cos'c=25 5 sinAsinc,得inA=a~sinc_ a c 5b.25 2621 5 ()sinG=25·cosc-5: 5 5 第1页，共1页 则sin2c-2 sinCesC-号ows2C-2cosc-1-是 m2c+=m2ca子+os2cin子-受是号-号 17.解：(I证明：因为DG⊥平面ABCD,AD⊥CD, 所以以D为原点，DA,DC,DG所在直线分别为x,y,Z轴，建立空间直角坐标系： 2 M D >V 分 则A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),D(0,0,0),G(0,0,2),E(1,0,2),F(2,0,2),M(0,1,2), BF=(0,-1,2CE=(1,-2,2),CM=(0,-1,2 设平面CEM的法向量m=(x,y,z), 【0g CE·m=x-2y+2z=0 则6 CM·m=-y+2z=0 令z=1,则y=2,x=2, 所以m=(2,2,1) 所以BF·m=0: 第2页，共1页 所以BF⊥m' 所以BF/I平面CEM. 四BE=(-1,-1,2), 设直线BE与平面CEM所成角为6， 过 则sin9=-lcos,m≥1=-BE·m1=l BE m -1P2229 (-1,-1,2（2,2,1 所以直线BE与平面CEM所成角的正弦值为。。 (BE=(-1,-1,2),BM=(-2,0,2, 设平面BEM的法向量n=(a,b,c: 【好好 BE·n=-a-b+2c=0 则这8 BM·n=-2a+2c=0 令a=1,则b=1,c=1, 所以i=(1,1,1), 0O 所以cos<i,n>=mn= （2,2,1(1,1,1 =5V3 mn 22+22+12V12+12+19, 5v3 所以平面BEM与平面CEM夹角的余弦值为g, 4+25=1 18.解：（1)由题意得： a 9b2 ，解之得a2=9 2a=6 b2=5' a2=b2+c2 第3页，共1页 所以椭圆的标准方程方程为。+兰三1：」 21:号+兰=1.图.陵u少mN0,yg M 由题意知直线A1M的斜率不等于0，设直线A1M的方程为：x=my-3m≠0， 令：x=my-3=0,得：yw=m 3 父+号=1.得：5m+91y-30ny=0 由95 x=my-3 由根与系数关系得：yMy=-30m 5m2+9 30m 所以得：yM 5m2+9 由题意得：OF1=2,A1A=6 AANA 又因为：SAOMF,2S orw ×2w 由 SAN A2 A,A网 1 x6yxl yM5 3 yN m 7 易知yM,yN同号，则： ya 30m5' 5m+9 得：m=±1， 故直线A1M方程为y=x+3或y=-x-3 第4页，共1页 19.【详解】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为9， 因为b,=2a1=2,b=a,+2,b,=2a,+2所以，29=1+d+2。→d=1 → 2q2=2(1+2d)+2q=2 所以a,=1+(n-1)×1=n,b,=2×2”-1=2” (2)n为奇数时，c,=302+2-3n+8 1 1 a,a42b1nn+2)-2n-2n+2-2 1 1 An=C1+C3+C5++C2n-1=1- 1-2n+1-212n+14 n为偶数时，c,=a2n1b,=(2n-1:2" Bn=C2+c4+C6+…+C2n=3×22+7×24+…+(4n-1)×22n =3×4+7×42+11×43+…+(4n-1)×40 4Bn=3×42+7×43+………………+4n-1）×4n+1, -3Bn=12+442+43+………+4-(4n-1)×4*1 =12+4×16-4×4-(4n-1)×41 1-4 =12-16-4-(4n-1×4 =-28+7-4n×41 33 所以B-28+12n-7×4-1 99 所5=A+R-智+2g242n （2n+1):4" -g-d,d--号m2n*1, (3d,b,2 2*12n 2n*1 第5页，共1页 当n=1,2时，dn+1-dn>0: 当n≥3时，dn+1-dn<0即d1<d2<d3>d4>d5> d,d=1,d-8d=1d= 所以P,=P,P,-P,-0当n25,d1.P< 防r,君 20.解：(1)a=1时，fx)=e-1+x2-3x+1f'(x)=e-1+2x-3'f'(1)=1+2-3=0' 所以曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为k=0, 又f1)=1+1-3+1=0,所以切线方程为y=0: (2)因为f1)=e-a-2a+1'f(x=e-a+2x-3a则f1)=e-a-a 当a>1时，f'(x=e+2a>0'f(x)在(1，+o)上单调递增， 因为f'(1)=e-a<e-1-1=0'f'(a)=1+2a2-3a=(2a-1(a-1)>0' 所以存在唯一的x∈(1，a,使得f'(xo)=0, 当x∈(1，x)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(x,+o)时，f'(x)>0,fx)单调递增： 叉因为f(1)=ea-2a+1<e1-2+1=0所以f(x)<f(1)<0 又因为f(3)=e3a+1>0所以a>1时，fx)在[1，+0上有且只有1个零点： (3)回当a>1时，f1)=e-a-2a+1<e°-2+1=0与当x≥0时：fx)20矛盾，所以a>1时不满足题意： ②当a≤1时，f{0)=e+1>0'f(x=e+2ax-3af(x=e-+2a'f"(0)=e+2a 第6页，共1页 设g(x)=e+2x'x≤1则g(x)=-e+2令g(x=0得x=-ln2 所以x∈(-ln2,1)时，g'(x)>0,gx)单调递增：x∈(-o,-ln2)时，g'(x<0,g(x)单调递减： 所以gx)≥g(-n2)=2-2ln2>0,所以f'(x)>0恒成立，所以f'(x)在[0，+oo)上单调递增： (i)若f'(0)=e-3a≥0则f'(x)≥f(0)≥0所以f(x)在[0，+o)上单调递增： 所以f(x)≥f(0)>0恒成立，满足题意. (i若f(0)=e-3a<0则a>0且0<a≤1 因为f(1)=e-a-a≥0且f'(x)在[0，+o)上单调递增，所以存在唯一的x1∈(0,1]，使得f:(x)=0 当x∈(0，x)时，f'(x)<0,f(x)单调递减：当x∈(x1,+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 其中x1∈(0,1]且e+2aX1-3a=0 f(x)zf(x:)=e*-0+ax-3ax +1=3a-2ax:+axj-3qx:+1=axj-5ax+3a+1=a(xi-5x+3)+1' 因为x,∈(0,1]所以x-5x+3e[-1,3 又因为a∈(0,1小所以aX-5x,+3≥-1所以f(x)≥0恒成立，满足题意： 由①②可知，当a≤1时，满足题意. 综上，a的取值范围是(-∞，1]. 第7页，共1页