天津市耀华中学2026-2027学年高三上学期暑期学情反馈数学试卷

天津市耀华中学2027届高三暑期学情反馈 数学学科试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.己知集合U={x∈Nx≤3}，A={1,3),B={xx2+x-6=0,则(CUA)UB=() A.{-2,0,2,3} B.{-3,2} C.{-3,2,4} D.{-3,0,2} 2.设xeR,则“x2-2x<0”是“|x-1<1”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f)=2)m,则y=f)的部分图象的大致形状是(). 2x+1 4已知数列[a}为等比数列，Sn为数列an的前n项和，a,=Sn+号则S4的值为() A.9 B.21 C.45 D.93 5.己知m,n是空间两条不同的直线，，B为两个不同的平面，则下列命题错误的为() A.若m⊥B,mcx,则a1B B.若m//a,m//B,则a//B C.若m1a,n⊥a,则m//m D.若m//m,m1a,则n1a 6.下列说法中错误的是() A.若X~N(4,o2),则P(X≥u-O)=P(X≤u+O) B.rl越接近O,线性相关性越弱 C.1r越接近1，线性相关性越强 D.若X~N(3,22),Y~N(4,22),则P(X<3)<P(Y<4) 第1页，共4页 7.已知函数f()=sin(ux+p)(@>0,p<),其图象相邻两个对称中心之间的距离为经，且直线x=-2是其一条 对称轴，则下列结论正确的是() A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f()在区间[-石，]上单调递增 C.点(-程，0)是函数f)图象的一个对称中心 D.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得 到一个奇函数的图象 &.已知函数f()为R上的偶函数，且当x<0时，f(x)=lg(1-为-e*,若a=f(2,b=f(3,c=f(5,则a,b,c 的大小关系为() A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a 9已知F,分别为双曲线c:爷-发-1(a>0,b>0)的左、右焦点，过r,向双曲线的一条新近线引垂线，垂足为点 P,PQ-PF,且0Q1P℉1(0为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为() A.y=±2V2x B.y=±V5x C.y=±√3x D.y=V2x 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.是虚数单位，复数什= 11.已知(x+”)的展开式中常数项为20，则实数m的值为 12.为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入A1智能图书盘点机器人.现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测 试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机 器人应正确排除的无效图书两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐 本开展测试若第一次抽取到有效馆藏图书，则第二次也抽取到有效馆藏图书的概率为一，记抽取的2本图书中， 有效馆藏图书的数量为X,则X的数学期望E()=一· 13.己知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 14.已知M是△ABC内的一点，且AM=M元+MC,AN=AC(1∈R),B,M,N三点共线，则入=一，若AB= 3,|AG=6,且向量AB在向量AC上的投影向量为AC,则AM,BC=一· 15已知函数{2，X0>0若函数g因=f网--k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围 为一· 第2页，共4页 三、解答题：本题共5小题，共75分。 16.(本小题14分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3a=√5(b+c),simA=V5simB. (I)求cosC的值： (I)求sinA的值； ⑩求sin(2C+)的值. 17.(本小题15分) 如图，AB//CD且CD=2AB,AD⊥CD,EG//AD且AD=2EG,FG//CD且FG=CD,DG⊥平面ABCD,AD= CD=DG=2,M为棱FG的中点. (I)求证：BF//平面CEM: (IⅡ)求直线BE与平面CEM所成角的正弦值； ⑩求平面BEM与平面CEM夹角的余弦值. B 18.(本小题15分) 设椭圆c号+岁-1a>b>0的左、右焦点分别为5，F,左右顶点分别为A,4,已知椭圆c过点（么写）.且长销长 为6. (1)求椭圆C的标准方程： (2)点M是椭圆C上一点(M不与项点重合)，直线A1M交y轴于点，且满足IA,M<A1M,若S6MR,=员5AMa,求 直线A1M的方程. 第3页，共4页 19.(本小题15分) 设数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列.已知b1=2a1=2,b2=a2+2,b3=2a3+2. (1)求{a}和{bn}的通项公式： (3a+2+2 (2)设cn= an+2bn+1n为奇数 m∈N*),求数列{c,m}的前2n项和S2n: a2n-1b,n为偶数 ③)设d.-是0n∈)，数列d,的前n项积为P,证明：P.≤6 bn 20.(本小题16分) 已知函数f(x)=ex-a+ax2-3ax+1,a∈R. (1)当a=1时，求曲线y=fx)在x=1处切线的方程； (2)当a>1时，试判断f(x)在[1，+o)上零点的个数，并说明理由； (3)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 第4页，共4页天津市耀华中学2026-2027学年高三上学期暑期学情反馈数学试卷答案 一、单选题 2 3 4 5 6 7 8 9 D C A C B D C B D 二、填空题 10 11 12 13 14 15 1+3i 1 34 4 1 5;3 7；3 (-{u[ 三、解答题 16.解：（凸sinA=5sinB' 由正弦定理， a=v5b' .3a=V5(b+c∥ ∴.c=2b cosC=a+b-5b+b-4b2_/5 2ab 2V5b25 ):C∈(0，)，sinC=V1-cosc=2v5 5 a=c simA=sinCsinA-a'sinc 6 5=1 2b 严sinc=25, 5 cosC=5: 第1页，共1页 则sin2C=2 GC=号，cos2C=2cos'G-1=-3 sn2c+)=n2cas+cas2cin骨-号×号}×2-g 4525210 17.解：(I)证明：因为DG⊥平面ABCD,AD⊥CD, 所以以D为原点，DA,DC,DG所在直线分别为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系： 2 D >V B 则A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),D0,0,0),G(0,0,2),E(1,0,2),F(2,0,2),M(0,1,2), BF=(0,-1,2)CE=(1,-2,2),CM=(0,-1,2): 设平面CEM的法向量m=(x,y,z), 16G CE·m=x-2y+2z=0 则8 CM·m=-y+2z=0 令z=1,则y=2,x=2, 所以m=(2,2,1 所以BF·m=0, 第2页，共1页 所以BF⊥m: 所以BF/I平面CEM. (四)BE=(-1,-1,2, 设直线BE与平面CEM所成角为0， sin0=lcos: （-1,-1,2(2,2,1) -1P+(-1P+2.V2+222水6 BEm 9, 6 所以直线BE与平面CEM所成角的正弦值为9 (BE=(-1,-1,2),BM=(-2,0,2, 设平面BEM的法向量n=(a,b,c, 【8好 BE·n=-a-b+2c=0 则 g过 BM·n=-2a+2c=0 令a=1,则b=1,c=1, 所以n=(1,1,1), 所以cos<i,n>=mn (2,2,1)(1,1,1)5V3 1ml1nV2+22+12.V12+1+1=9, 了 5V3 所以平面BEM与平面CEM夹角的余弦值为g, 18.解：(1)由题意得： 总总 ，解之得a=9 2a=6 b2=5' a2=b2+c2 第3页，共1页 所以椭圆的标准方程方程为)十左人， (2)由(1)知： +号1.如国夜MwwN0, 由题意知直线A1M的斜率不等于0，设直线A1M的方程为：x=my-3m≠0， 令：X=my-3=0,得：yw=3 m +号=1.得：5m+91y2-30my=0 由 95 x=my-3 由根与系数关系得：yMyw=-30m 5m2+9 30m 所以得：yM= 5m2+9 由题意得： 0F1=2,A1A2=6 又因为：SAOMF)1SA4NA 由 SOMFL= lorlyl S&ANA2 A:Alys *6 yul5' 3 m 7 易知yM,yw同号，则： 30m 5 5m2+9 得：m=±1， 故直线A1M方程为y=x+3或y=-x-3 第4页，共1页 19.【详解】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 因为b,=2a4=2,b=a,+2,b,=2a,+2所以29=1+d+2→d=1 2q2=2(1+2d)+29=21 所以a,=1+(n-1)×1=n,b,=2×2”-1=2: -1 1 2n为奇数时，c=3012b2=nn+22*n21（n+2-27 An=C1+C3+C5+…+C2n-1=1 1 (2n+1-22-1- 1 (2n+14" n为偶数时，c=a2n1b,=(2n-1小2 Bn=C2+C4+C6+.+C2n=3×22+7×24+…+(4n-1)×22n =3×4+7×42+11×43+…+(4n-1)×4 4B=3×42+7×43+…………+(4n-1)×40*1, -3Bn=12+442+43+………+4-(4n-1)×4+1 =12+4×16,4°×4-(4n-1)×41 1-4 =12-16-4-4n-1×4 防uB,器+12g2 ×4n+1 所5.A+8号2g242n (2n+1)4" 3d.d-dInI2nt1 20+12” 2n+1 当n=1,2时，dn+1-dn>0; 当n≥3时，dn+1-dn<0即d1<d2<d3>d4>d5>… 第5页，共1页 dd-1d号d-1d 所以P,=RR=P: ,当n≥5时，dn<1,Pn+1<Pn, 所u,8 20.解：(1)a=1时，fx=e-1+x-3x+1'f(x)=e-1+2x-3'f"(1)=1+2-3=0' 所以曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为k=0, 又f(1)=1+1-3+1=0,所以切线方程为y=0: (2)因为f1)=e-a-2a+1'f'(x)=e+2ax-3a则fr(1)=e-a 当a>1时，f(x)=e-0+2a>0'fx在(1，+o0上单调递增， 因为f'(1)=e-a-a<e-1-1=0'f'(a=1+2a2-3a=(2a-1(a-1)>0' 所以存在唯一的x,∈(1，a,使得f'(xo)=0, 当x∈(1，)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(xo,+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 叉因为f1)=e-a-2a+1<e-1-2+1=0:所以f(x)<f1)<0 又因为f3)=e3-0+1>0所以a>1时，f(x)在[1，+∞)上有且只有1个零点： (3)①当a>1时，f1)=e·-2a+1<e-2+1=0'与当x20时·fx)20矛盾，所以a>1时不满足题意： ②当a≤1时，f0)=e+1>0'f'(x)=e-0+2ax-3a'f'"(x=e-+2a'f'"(0j=e+2a 设gx=e+2xx≤1则g(x=-e+2令g(x=0得x=-1n2 所以x∈(-ln2,1)时，g'(x)>0,gx)单调递增：x∈(-∞，-ln2)时，g'(x<0,gx)单调递减： 第6页，共1页 所以gx)≥g(-ln2)=2-2ln2>0,所以f'(x)>0恒成立，所以f'(x在[0，+∞)上单调递增： (i)若f'(0)=e0-3a≥0则f'(x)≥f"(0)≥0：所以f(x在[0，+o0上单调递增： 所以f(x)≥f(0)>0恒成立，满足题意. (i若f(0)=e0-3a<0则a>0且0<a≤1' 因为f1)=e-a-a≥0且f(x)在[0，+0)上单调递增，所以存在唯一的x,∈(0,1川使得f(x)=0 当x∈(0，x1)时，f'(x)<0,fx)单调递减：当x∈(x1,+∞)时，f'(x)>0,fx)单调递增： 其中x1∈(0,1]且ea+2aX1-3a=0: iDf(x)zf(x)-e-0+axj-3ax+1-3a-2ax:+ax-3ax+1=axi-5ax:+3a+1-a(xi-5xj+3)+1' 因为x1∈(0,1]所以x-5x+3∈[-1,3 又因为a∈(0,1小所以a(X-5x,+3)≥-1心所以f(x)≥0恒成立，满足题意： 由①②可知，当a≤1时，满足题意. 综上，a的取值范围是(-o,1]. 第7页，共1页