专题08 勾股定理（期中真题汇编，山东专用）八年级数学上学期

专题08 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（     ） A. 4米 B. 8米 C. 9米 D. 7米 【答案】D 【分析】 本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】 解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 2．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，根据图中信息，先运算得出，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】 解：观察图中的数据，得出 在中，, 故选：B 3．（25-26学年八上·山东青岛·期中）如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理，无理数的估算，勾股定理求出的长，夹逼法估算出范围即可． 【详解】 解：由勾股定理，得， ∵， ∴； 故选C． 4．（25-26学年八上·山东青岛·期中）如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（       ） A. 厘米 B. 120厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】D 【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示，将正方体展开，则，， ∴由勾股定理得， ∴需要爬行的最短路程是厘米， 故选：D． 5．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）如图，在中，，分别以这个三角形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为（       ） A. 6 B.  C. 12 D. 13 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】 解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 故选：B． 6．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】 解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 7．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为（     ） A.  B. 13 C. 5 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理求出，即可得出结果. 【详解】 解：由题意，可知：； 故阴影部分的面积为13；   故选： B． 8．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A. 6 B. 5 C.  D. 7 【答案】C 【分析】 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．由矩形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，得到，进而得到，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：四边形是矩形， ，，，， ， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ， ， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 故选：C． 9．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键，由已知条件可证，得到，利用折叠知，设，则，在中，利用勾股定理即可求得的值，再利用面积公式即可得解． 【详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由翻折得，，， ∴， 又∵ ∴ ∴，， 设，则 在中，，， ∴， ∴重叠部分的面积为， 故选∶． 10．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，完全平方公式，由图可得，，即可判断；进而由完全平方公式可得，即可判断；正确识图是解题的关键． 【详解】 解：由图形可得，，，故正确； ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，故错误； 故选：． 11．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（       ） A. ①段 B. ②段 C. ③段 D. ④段 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理，无理数的估算．利用勾股定理求解的长度，再利用无理数的估算即可判断． 【详解】 解：， ∵， ∴， 故线段的长度在数轴上对应的点应落在标注的④段， 故选：D． 12．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为（     ） A. 32 B. 42 C. 32或42 D. 以上都不对 【答案】C 【详解】 解：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12， ∴AD=， BD=， 如图1，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14， 此时，△ABC的周长=14+13+15=42， 如图2，CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4， 此时，△ABC的周长=4+13+15=32， 综上所述，△ABC的周长为32或42． 故选C． 13．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）如图，数轴上点表示的数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量风筝的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题 测量风筝的高度 成员 组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx 工具 皮尺，计算器等 测量示意图 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值 测量项目 数值 点B到的距离 12米 风筝线的长度 20米 的长度 1.7米 （1）求风筝的垂直高度； （2）如图2，如果想让风筝沿方向下降11米至点F，求应该往回收多少米风筝牵引线． 【答案】（1）米     （2）7米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用： （1）由勾股定理得米，再根据即可求解； （2）由勾股定理得米，进而可求解； 熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由勾股定理得，（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． (2) 小问详解： 如图，由勾股定理得， （米）， （米）， ∴他应该往回收线7米． 15．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴和勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧的半径，再求出点到表示数1的点的距离，然后结合点在数轴上的位置即可得出答案． 【详解】 解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1， ∴阴影正方形的边长即圆弧半径为， ∴点到表示数1的点的距离是， ∴点表示的数是， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交于点E，交于点F，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键；由折叠可知：，则有，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】 解：由折叠可知：， ∵点D为的中点，， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：，即， 故答案为． 17．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）如图，已知一长方体的长、宽、高分别为，如果用一条细线从点开始经过4个侧面绕一圈到达点，那么所用细线最短需要　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面展开——最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决． 要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出结果． 【详解】 解：将长方体展开，连接， ∵，， 根据两点之间线段最短， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】 解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则　　　　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】 ∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】 本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 20．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形；     （2）3      【分析】 本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键． （1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）由勾股定理求得，设，则，在中，，代入数据解答即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为3． 21．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，交于E，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】 解：∵菱形， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 22．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线l对称的图形为，其中是A的对称点． （1）请作出对称轴直线l及关于直线l对称的（要求B与相对应，C与相对应）． （2）如果每一个小正方形的边长为1，则的面积为_________． （3）在直线l上找到并画出点P，使得最小，此时的最小值为_________． 【答案】（1） 如图，对称轴直线l及即为所求；      （2）4     （3）      【分析】 本题考查了轴对称图形的作图、三角形面积计算与最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质与最短路径的原理． （1）根据对称点的连线被对称轴垂直平分作出对称轴和对称图形； （2）利用割补法计算三角形面积； （3）利用轴对称性质找最短路径，再用勾股定理计算长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 故答案为：4； (3) 小问详解： 解：如图，连接，交直线l于点P，则点P即为所求， 根据轴对称性质，与关于直线对称，连接交直线于点， 此时最小． 由勾股定理，的长度为 故答案为：． 23．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】29 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键； 由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决． 【详解】 解：如图在中，由勾股定理得 ∵ ∴ ∴这根藤条有29尺． 故答案为：29． 24．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）；（2） 【分析】 本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】 解：（1）略 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 25．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在中，，AD平分，，，则　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了角平分线的性质，勾股定理，正确的运算是解题的关键． 过点作于点，利用勾股定理求出，再结合角平分线的性质得出，再根据求解即可． 【详解】 解：如图，过点作于点， ，，， ， 平分， ， ， 即， 解得， 故答案为：3． 26．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，是等腰直角三角形，，D是的中点，，点E，F在，上． （1）求证：． （2）连结，则之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， 是等腰直角三角形，， ， ， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ．     （2） 解：， 理由：， ， ， ， ， ．      【分析】 此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． （1）连接，，由，得，由D是的中点，得，则，所以，可证明，得； （2）由全等三角形的性质得，则，因为，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 27．（25-26学年八上·山东威海·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1） 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ，，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响；     （2）海港受台风影响的时间会持续h      【分析】 本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 28．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆形，一只蚂蚁从点A爬过管道到达点C，需要走的最短路程是　　　　　　分米（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用－最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】 解：把圆柱侧面展开，如图， 则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 29．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点（顶点在格点上）顶点A、C的坐标分别是，． （1）请在图中的网格内建立平面直角坐标系； （2）请画出关于y轴对称的； （3）在图中的x轴上找一个点P，满足点P到点与点C距离之和最小，请标出点P，并直接写出最小值为______； （4）直接写出中边上的高为______． 【答案】（1） 所作平面直角坐标系如图所示：      （2）所作如图所示；，     （3） ，所作点P如图所示，     （4）      【分析】 本题主要考查图形与坐标—轴对称及勾股定理，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键； （1）根据点A、C的坐标分别是，可建立坐标系； （2）先得出点A、B、C关于y轴对称的点，然后问题可求解； （3）作点关于x轴的对称点D，连接，与x轴的交点即为所求的点P，进而问题可求解； （4）先根据割补法得出的面积，然后根据勾股定理可得的长，进而根据三角形面积公式可进行求解． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知最小值即为； 故答案为； (4) 小问详解： 解：由图可知：，， ∴边上的高为； 故答案为． 30．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）（多选）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8厘米，BC=6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）求出发2秒后，PQ的长； （2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间． 【答案】（1）厘米；（2）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形． 【分析】 （1）运动2秒后，根据P、Q运动速度可知道运动的路程BQ和AP长，在Rt△QBP中，利用勾股定理即可求出PQ． （2）已知点Q在CA边上运动时，若△BCQ成为等腰三角形，可分三种情况讨论，即CQ=BQ，CQ=BC，BC=BQ，得出点Q运动的路程，已知速度即可求出运动时间，在直角三角形中可利用勾股定理求解． 【详解】 （1）BQ=2×2=4cm， BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm． ∵∠B=90°， PQ=(cm)； 故答案为：厘米 （2）分三种情况： ① 当CQ=BQ时，如图1所示： 则∠C=∠CBQ． ∵∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°， ∵∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ ∴BQ=AQ， ∴BQ是Rt△ABC斜边上的中线 ∵AC= ∴CQ=AQ=5， ∴BC+CQ=11， ∴t=11÷2=5.5秒． ② 当CQ=BC时，如图2所示： 则BC+CQ=12 ∴t=12÷2=6秒． ③ 当BC=BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE(cm) ∴CE=cm， ∴CQ=2CE=7.2cm， ∴BC+CQ=13.2cm， ∴t=13.2÷2=6.6秒． 综上所述，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 【点睛】 本题考查了三角形上的动点问题，根据等腰三角形的性质，分情况讨论，可利用勾股定理解直角三角形． 31．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查了平面展开-最短路径问题，要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】 解：将长方体展开，连接A、P，如图，当点M、N在线段上时，根据“两点之间线段最短”，得最短路径为线段的长， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，且， ∴，， ∴， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：5． 32．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，在中，，于．已知，，则的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由，于，根据三角形面积公式得出，求出，由于，得到，继而即可求解． 【详解】 ∵，于， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 故答案为： 【点睛】 本题考查勾股定理，三角形面积公式，完全平方公式，三角形的周长公式，解题的关键是熟记直角三角形的性质． 33．（25-26学年八上·山东青岛·期中）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为　　　　　　　　　　尺． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】 解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为尺， 故答案为：． 34．（25-26学年八上·山东青岛·期中）在中，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示线段和的长； （2）当时，求的长； （3）当为等腰直角三角形时，求的值． 【答案】（1），     （2）cm     （3）      【分析】 本题考查勾股定理，等腰三角形的定义，正确的列出代数式，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）利用勾股定理进行求解即可； （3）根据等腰三角形的定义，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意，， ∴； (2) 小问详解： 当时，，， ∵， ∴cm； (3) 小问详解： 由题意，当为等腰直角三角形时，， ∴， 解得． 35．（25-26学年八上·山东青岛·期中）图①是一个由27个同样大小的小正方体组成的大正方体，它的体积为． （1）这个大正方体的棱长是________m； （2）图①中正方形的面积是________； （3）建立如图②所示的平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，在轴上截取，则点的坐标为________． 【答案】（1）3     （2）5     （3）或      【分析】 本题考查立方根的实际应用，勾股定理与网格问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出立方根即可； （2）勾股定理进行求解即可； （3）勾股定理求出的长，进而求出点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：由题意，这个大正方体的棱长是； 故答案为：3； (2) 小问详解： 由题意，小正方形的边长为， 由勾股定理，得； 故正方形的面积是； 故答案为：5； (3) 小问详解： 由图可知：， 由勾股定理，得：， ∴， ∴或． 36．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为，，斜边为的全等直角三角形拼成的大正方形，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”，也被称为“算两次”． 【方法理解】如图2，在边长为1的小方格中，、、、均为格点(网格线的交点)，则正方形的面积___________． 【方法运用】如图3，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，，连接，延长，，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【方法迁移】 如图4，在中，是边上的高，，，，求线段的长度是多少？ 【答案】【方法理解】 【方法运用】解：根据题意得：， ， 由题意得，正方形的面积和四边形的面积相等， 则， 即； 【方法迁移]】 【分析】 本题考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【方法理解】观察图形发现，将大正方形面积减去四个直角三角形的面积为正方形的面积，据此列式计算即可； 【方法运用】观察图形，根据正方形的面积公式得到正方形的面积，四边形的面积等于和的面积之和，列出表达式，再根据正方形的面积和四边形的面积相等，列式证明即可； 【方法迁移】假设，在和中，由勾股定理分别表示出，解出，进而求解线段的长度即可． 【详解】 【方法理解】 解：根据题意得： 故答案为：； 【方法运用】略 【方法迁移】 解：根据题意得，在中，，，， 设， 则， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 则， 解得， 因此， 即， 答：线段的长度是． 37．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）在如图所示的方格(每个小正方形的边长为1)中，的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为． （1）在方格图中建立坐标系，并标出原点； （2）的面积是________； （3）试确定y轴上一点P，使得的和最小，求出的最小值，并画出点P，保留作图痕迹． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）3.5     （3）最小值为， 如图： 【分析】 （1）根据A、C两点的坐标建立坐标系即可得到答案； （2）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案； （3）如图所示，作点A关于y轴的对称点D，连接交y轴于P，点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：如图所示，作点A关于y轴的对称点D，连接交y轴于P，点P即为所求； ∵点A与点D关于y轴对称， ∴， ∴， ∴当B、D、P三点共线时有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴最小值为． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，勾股定理，三角形面积，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 38．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）【操作】如图①，矩形纸片中，，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为．猜想之间的位置关系为________； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为(在上，在上)，使顶点落在矩形内，点的对应点为，的延长线交边于点，再将纸片的另一部分翻折，使点的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当，，，时，直接写出的长． 【答案】操作：； 探究：① 证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】 操作：由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明； 探究：① 由矩形的性质可得，，则，由折叠可知，，于是得，可得，即可证明；② 过点作于点，则，，，易得，于是可得，由即可求解； 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 操作：证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴, 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：① 略 ② 解：过点作于点，如图，则， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 39．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如图，在矩形中，，，为中点，为上动点且，连接、，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先利用轴对称的性质说明，，再利用矩形的性质得出，，，从而可得，再利用勾股定理求得，再说明当、、在同一直线上时，有最小值，从而可得的最小值为． 【详解】 解：作点关于的对称点，连接，， 则，， ∵四边形是矩形，， ，，， ，， 在的延长线上， ， ， ，为中点， ， ， 。 当、、在同一直线上时，有最小值，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，矩形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 40．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． （1）求A、B两点的坐标； （2）在射线上是否存在点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）或或     （3）      【分析】 本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，熟练运用坐标运算、分类讨论思想和相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的被开方数非负性求出，的值，进而确定A、B两点的坐标； （2）设出点D的坐标，根据等腰三角形的三种分类（、、），结合两点间距离公式求解； （3）先求出直线的解析式，设出点M的坐标，通过证明三角形全等得到线段关系，再结合三角形面积公式列出方程求解． (1) 小问详解： 解：∵a、b满足， ∴ ， ∴，， ∴，； (2) 小问详解： 解：存在点D，使为等腰三角形． ∵，， ∴在中，由勾股定理可得， ∵在射线上存在点D，使为等腰三角形， ① 若， ∴， ∵此时点D在轴负半轴， ∴； ② 若，则点D与点重合， ∴； ③ 若，则， ∴； 综上所述，或或． (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： 过点作轴，交轴于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵点、关于轴对称， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 41．（25-26学年八上·山东青岛·期中）【知识背景】 在实数范围内，我们学过有理数和无理数．通过运算我们发现：任意一个有理数与一个无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；0与无理数的积为0． 由以上信息可知： 如果，其中m，n为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： 【基础应用】 已知，且，其中m，n为有理数，则的值为________，的值为________； 【进阶拓展】 已知a，b，c均为有理数，且，求与的等量关系； 【实际应用】 制作一个直角三角形木架，其中一条直角边的长度为分米，另一条直角边的长度为分米，斜边长度为分米，其中a，b，c均为有理数，求的值． 【答案】[基础应用] ，；[进阶拓展]；[实际应用]2 【分析】 本题考查了无理数，勾股定理的应用以及二次根式的混合运算，理解题意是解答的关键． [基础应用]根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； [进阶拓展]先整理成，其中a，b，c均为有理数，再按题干提供的方法求解； [实际应用]利用勾股定理得到得，然后按题干提供的方法求解． 【详解】 解：[基础应用] ∵，且，其中m，n为有理数， ∴，则， ∴，， ∴，， 故答案为：，3； [进阶拓展] 由得， ∴， ∴，， ∴，即； [实际应用] 由勾股定理得， 整理，得， ∴，解得． 42．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）【问题探究】 ①如图1，在中，，，，P是AC边上一点，连接，则的最小值为___________． ②如图2，在中，，，，求边的长度． 【问题解决】 如图3，在中，，，，D是边的中点，若P是边上一点，则的最小值是___________． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短等知识﹒ （1）① 作于E，根据勾股定理求出，利用面积法即可求出，结合垂线段最短即可求解； ② 根据勾股定理和即可求出； （2）作，于E，于F交于T．求出，，﹒证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，即可得到当点在同一直线上，且时，值最小，为长﹒证明为等腰直角三角形，得到，，进而得到，求出，即可求出，，得到，问题得解﹒ 【详解】 解：（1）① 如图1，作于E． 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知当与重合时，的值最小，最小值为﹒ 故答案为：； ② 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴﹒ 故答案为：； （2）如图3，作，于E，于F交于T． ∵中，，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴﹒ ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一直线上，且时，值最小， 即最小值为长﹒ ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴﹒ 故答案为： 43．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，边与轴交于点G，点在边上.将沿折叠，点落在点处.若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】 【分析】 本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设， ∴，，， 即， ∴，同理可得， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为． 44．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： （1）当垂直平分时，求的值； （2）当为何值时，点在的平分线上？ （3）当点为的中点时，求的值； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）存在，或或      【分析】 （1）先利用勾股定理求出直角三角形边长，再根据垂直平分线定义建立方程求解运动时间； （2）根据角平分线性质，通过全等三角形得到线段相等关系，进而建立关于的方程求解； （3）利用平移性质得到平行线，结合中点与垂直平分线的关系，推导出线段相等，再利用等腰三角形性质建立方程求解； （4）对为等腰三角形的三种情况（、、）分别讨论，结合几何性质和线段长度关系，求出对应的值． (1) 小问详解： 解：在中，， 运动秒后，，，， 垂直平分时，， 即， 解得：； (2) 小问详解： 解：如图，连接， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：如图，连接， 由平移的性质可得， ，即， ， 点为的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； (4) 小问详解： 解：当时，过点作于点， 在图① 中，， ， ， 由平移的性质得， ， 在和中， ， ， 点和点重合， ，， ， ； 当时，； 当时，则点在的垂直平分线上， 同理可得，， ， 综上所述，的值为或或9． 【点睛】 本题考查了角平分线性质、垂直平分线性质、等腰三角形分类讨论以及动点运动过程中的几何图形变化，熟练运用相关几何定理和分类讨论思想是解答本题的关键． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用勾股定理逆定理和三角形内角和判断即可． 【详解】 解：A、∵∠A=∠B-∠C， ∴∠B=∠A+∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°， 解得∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； B、∵a：b：c=5：12：13， 设a=5x，b=12x，c=13x， ∴a2+b2=169x2=c2， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5， ∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=75°， ∴△ABC是锐角三角形，所以此选项符合题意； D、∵a2=（b+c）（b-c）， ∴a2=b2-c2， ∴a2+c2=b2， ∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 2．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（       ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形． A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵小淇同学握住第7个结， ∴小惠和小淇之间有6个单位长度， ∵6，8，10是一组勾股数，且， ∴小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形， 故选：C． 3．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）五根木棒（单位：cm）的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（       ） A. 5，9，12 B. 5，12，15 C. 9，12，15 D. 12，15，17 【答案】C 【分析】 本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行排除选项． 【详解】 解：A、，故不能构成直角三角形； B、，故不能构成直角三角形； C、，故能构成直角三角形； D、，故不能构成直角三角形； 故选：C． 4．（25-26学年八上·山东青岛·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（        ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【分析】 根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形． 【详解】 解A、，不符合三角形三边关系，不能构成三角形， 故A不符合题意； B、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、，可以构成三角形，又，满足勾股定理的逆定理，可以构成直角三角形，故C符合题意； D、，可以构成三角形，但，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 5．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】A、C两项根据勾股定理的逆定理进行判断，B项根据三角形内角和定理进行判断，D项根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状. 【详解】解：A项，因为，符合勾股定理的逆定理，正确； B项，因为，，所以，所以△ABC为直角三角形，正确； C项，因为，所以设a=3x，b=4x，c=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，所以△ABC为直角三角形，正确； D项，因为，可设，所以，解得，，故此三角形是锐角三角形，错误； 故选D. 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和并结合方程思想是解题的关键. 6．（25-26学年八上·山东威海·期中）在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（       ） A.  B.  C. ，， D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握“当三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形”是解题的关键．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐选项判断即可． 【详解】 A．设，，， ，， ， 是直角三角形，故选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， 是直角三角形，故选项B不符合题意； C．，，，， 不是直角三角形，故选项C符合题意； D．，， ， 是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中点，，，能与点，构成一个直角三角形的是（       ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键． 证明直角三角形，即可得到答案． 【详解】 解：连接， ∵， ， ∴直角三角形， ∴点符合题意， 故选：D． 8．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（       ） A. a：b：c＝3：4：4 B. a＝1，b＝，c＝ C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a2：b2：c2＝3：4：5 【答案】B 【分析】 根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角等于逐项判断即可． 【详解】 ，设，，，此时，故不能构成直角三角形，故不符合题意； ，，故能构成直角三角形，故符合题意 ，且，设，，，则有，所以，则，故不能构成直角三角形，故不符合题意； ，设，，，则，即，故不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：B 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，和三角形的内角和等知识，能熟记勾股定理的逆定理内容和三角形内角和等于是解题关键． 9．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知a，b，c为的三边，且满足，则是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【分析】 本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理的逆定理．将等式化为，根据等式成立的条件进而判定三角形的形状即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴为等腰三角形或直角三角形， 故选：B． 10．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下： ①沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使； ②在的一侧选点D，使，； ③测得． 请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 由勾股定理的逆定理得出直角三角形，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴为直角三角形，， 由勾股定理得，， ∴A、B之间的距离为． 11．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合标准 在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∴该车符合标准． 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理得：，由，可得，则是直角三角形，，即，然后作答即可． 【详解】 略 12．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）如图是某工厂的平面图，经测量，，．求该厂区的总面积． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∵，, ∴, ∴, 该厂区的总面积． . 13．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣1，1），（0，﹣2），请你根据所学的知识． （1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1； （3）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积． 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示，△A1B1C1即为所求； （3）直角三角形，2． 【分析】 （1）根据点A和点C的坐标即可作出坐标系； （2）分别作出三角形的三顶点关于y轴的对称点，顺次连接可得； （3）根据勾股定理的逆定理可得． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）∵正方形小方格边长为1， ∴AB==，BC==2，AC==， ∴AB2+BC2=AC2， ∴网格中的△ABC是直角三角形． △ABC的面积为××2=2． 【点睛】 本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 14．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【答案】（1） 解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知， ，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴．     （2）线段的长度为．      【分析】 本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 15．（25-26学年八上·山东威海·期中）定义：在中，若，，，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）已知的三边长分别为4，5，6，则            “类勾股三角形”．（填“是”或“不是”） （2）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，，，请求的度数． （3）如图2所示，在中，，且，求证：为“类勾股三角形”． 【答案】（1）是     （2）     （3） 证明：如图，在线段上取一点D，使，连接，过点C作交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， ∴是“类勾股三角形”．      【分析】 本题考查了新定义的理解与应用，等腰三角形的性质，勾股定理及三角形外角的性质． （1）根据“类勾股三角形”的定义判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． (1) 小问详解： 解：是， 理由：∵的三边长分别是4，5，6， ∴，，， ∵， ∴是“类勾股三角形”． 故答案为：是． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∵是类勾股三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．B 8．C 9．B 10．C 11．D 12．C 13．【答案】 【分析】 此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故答案为：． 14．【答案】（1）米     （2）7米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用： （1）由勾股定理得米，再根据即可求解； （2）由勾股定理得米，进而可求解； 熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由勾股定理得，（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． (2) 小问详解： 如图，由勾股定理得， （米）， （米）， ∴他应该往回收线7米． 15．【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴和勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧的半径，再求出点到表示数1的点的距离，然后结合点在数轴上的位置即可得出答案． 【详解】 解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1， ∴阴影正方形的边长即圆弧半径为， ∴点到表示数1的点的距离是， ∴点表示的数是， 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键；由折叠可知：，则有，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】 解：由折叠可知：， ∵点D为的中点，， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：，即， 故答案为． 17．【答案】 【分析】 本题考查了平面展开——最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决． 要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”结合勾股定理得出结果． 【详解】 解：将长方体展开，连接， ∵，， 根据两点之间线段最短， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】 解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 19．【答案】20 【分析】 由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】 ∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】 本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 20．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形；     （2）3      【分析】 本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用性质进行推理是本题的关键． （1）由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）由勾股定理求得，设，则，在中，，代入数据解答即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为3． 21．【答案】 【分析】 本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】 解：∵菱形， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 22．【答案】（1） 如图，对称轴直线l及即为所求；      （2）4     （3）      【分析】 本题考查了轴对称图形的作图、三角形面积计算与最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称的性质与最短路径的原理． （1）根据对称点的连线被对称轴垂直平分作出对称轴和对称图形； （2）利用割补法计算三角形面积； （3）利用轴对称性质找最短路径，再用勾股定理计算长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 故答案为：4； (3) 小问详解： 解：如图，连接，交直线l于点P，则点P即为所求， 根据轴对称性质，与关于直线对称，连接交直线于点， 此时最小． 由勾股定理，的长度为 故答案为：． 23．【答案】29 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，能够把实际问题抽象成数学问题是解题的关键； 由于树可以近似看作圆柱，藤条绕树缠绕，我们可以按如图所示的方法，转化为平面图形利用勾股定理来解决． 【详解】 解：如图在中，由勾股定理得 ∵ ∴ ∴这根藤条有29尺． 故答案为：29． 24．【答案】（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）；（2） 【分析】 本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】 解：（1）略 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 25．【答案】3 【分析】 本题考查了角平分线的性质，勾股定理，正确的运算是解题的关键． 过点作于点，利用勾股定理求出，再结合角平分线的性质得出，再根据求解即可． 【详解】 解：如图，过点作于点， ，，， ， 平分， ， ， 即， 解得， 故答案为：3． 26．【答案】（1） 证明：如图，连接，， 是等腰直角三角形，， ， ， 是的中点， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ．     （2） 解：， 理由：， ， ， ， ， ．      【分析】 此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． （1）连接，，由，得，由D是的中点，得，则，所以，可证明，得； （2）由全等三角形的性质得，则，因为，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 27．【答案】（1） 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ，，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响；     （2）海港受台风影响的时间会持续h      【分析】 本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 28．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用－最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】 解：把圆柱侧面展开，如图， 则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 29．【答案】（1） 所作平面直角坐标系如图所示：      （2）所作如图所示；，     （3） ，所作点P如图所示，     （4）      【分析】 本题主要考查图形与坐标—轴对称及勾股定理，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键； （1）根据点A、C的坐标分别是，可建立坐标系； （2）先得出点A、B、C关于y轴对称的点，然后问题可求解； （3）作点关于x轴的对称点D，连接，与x轴的交点即为所求的点P，进而问题可求解； （4）先根据割补法得出的面积，然后根据勾股定理可得的长，进而根据三角形面积公式可进行求解． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知最小值即为； 故答案为； (4) 小问详解： 解：由图可知：，， ∴边上的高为； 故答案为． 30．【答案】（1）厘米；（2）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形． 【分析】 （1）运动2秒后，根据P、Q运动速度可知道运动的路程BQ和AP长，在Rt△QBP中，利用勾股定理即可求出PQ． （2）已知点Q在CA边上运动时，若△BCQ成为等腰三角形，可分三种情况讨论，即CQ=BQ，CQ=BC，BC=BQ，得出点Q运动的路程，已知速度即可求出运动时间，在直角三角形中可利用勾股定理求解． 【详解】 （1）BQ=2×2=4cm， BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm． ∵∠B=90°， PQ=(cm)； 故答案为：厘米 （2）分三种情况： ① 当CQ=BQ时，如图1所示： 则∠C=∠CBQ． ∵∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°， ∵∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ ∴BQ=AQ， ∴BQ是Rt△ABC斜边上的中线 ∵AC= ∴CQ=AQ=5， ∴BC+CQ=11， ∴t=11÷2=5.5秒． ② 当CQ=BC时，如图2所示： 则BC+CQ=12 ∴t=12÷2=6秒． ③ 当BC=BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE(cm) ∴CE=cm， ∴CQ=2CE=7.2cm， ∴BC+CQ=13.2cm， ∴t=13.2÷2=6.6秒． 综上所述，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形． 【点睛】 本题考查了三角形上的动点问题，根据等腰三角形的性质，分情况讨论，可利用勾股定理解直角三角形． 31．【答案】5 【分析】 本题考查了平面展开-最短路径问题，要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】 解：将长方体展开，连接A、P，如图，当点M、N在线段上时，根据“两点之间线段最短”，得最短路径为线段的长， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，且， ∴，， ∴， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：5． 32．【答案】 【分析】 由，于，根据三角形面积公式得出，求出，由于，得到，继而即可求解． 【详解】 ∵，于， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 故答案为： 【点睛】 本题考查勾股定理，三角形面积公式，完全平方公式，三角形的周长公式，解题的关键是熟记直角三角形的性质． 33．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】 解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为尺， 故答案为：． 34．【答案】（1），     （2）cm     （3）      【分析】 本题考查勾股定理，等腰三角形的定义，正确的列出代数式，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）利用勾股定理进行求解即可； （3）根据等腰三角形的定义，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意，， ∴； (2) 小问详解： 当时，，， ∵， ∴cm； (3) 小问详解： 由题意，当为等腰直角三角形时，， ∴， 解得． 35．【答案】（1）3     （2）5     （3）或      【分析】 本题考查立方根的实际应用，勾股定理与网格问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出立方根即可； （2）勾股定理进行求解即可； （3）勾股定理求出的长，进而求出点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：由题意，这个大正方体的棱长是； 故答案为：3； (2) 小问详解： 由题意，小正方形的边长为， 由勾股定理，得； 故正方形的面积是； 故答案为：5； (3) 小问详解： 由图可知：， 由勾股定理，得：， ∴， ∴或． 36．【答案】【方法理解】 【方法运用】解：根据题意得：， ， 由题意得，正方形的面积和四边形的面积相等， 则， 即； 【方法迁移]】 【分析】 本题考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【方法理解】观察图形发现，将大正方形面积减去四个直角三角形的面积为正方形的面积，据此列式计算即可； 【方法运用】观察图形，根据正方形的面积公式得到正方形的面积，四边形的面积等于和的面积之和，列出表达式，再根据正方形的面积和四边形的面积相等，列式证明即可； 【方法迁移】假设，在和中，由勾股定理分别表示出，解出，进而求解线段的长度即可． 【详解】 【方法理解】 解：根据题意得： 故答案为：； 【方法运用】略 【方法迁移】 解：根据题意得，在中，，，， 设， 则， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 则， 解得， 因此， 即， 答：线段的长度是． 37．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）3.5     （3）最小值为， 如图： 【分析】 （1）根据A、C两点的坐标建立坐标系即可得到答案； （2）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积即可得到答案； （3）如图所示，作点A关于y轴的对称点D，连接交y轴于P，点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：如图所示，作点A关于y轴的对称点D，连接交y轴于P，点P即为所求； ∵点A与点D关于y轴对称， ∴， ∴， ∴当B、D、P三点共线时有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴最小值为． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，勾股定理，三角形面积，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 38．【答案】操作：； 探究：① 证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 【分析】 操作：由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明； 探究：① 由矩形的性质可得，，则，由折叠可知，，于是得，可得，即可证明；② 过点作于点，则，，，易得，于是可得，由即可求解； 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 操作：证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴, 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：① 略 ② 解：过点作于点，如图，则， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 39．【答案】 【分析】 先利用轴对称的性质说明，，再利用矩形的性质得出，，，从而可得，再利用勾股定理求得，再说明当、、在同一直线上时，有最小值，从而可得的最小值为． 【详解】 解：作点关于的对称点，连接，， 则，， ∵四边形是矩形，， ，，， ，， 在的延长线上， ， ， ，为中点， ， ， 。 当、、在同一直线上时，有最小值，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，矩形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 40．【答案】（1），     （2）或或     （3）      【分析】 本题考查了平面直角坐标系、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积的计算，熟练运用坐标运算、分类讨论思想和相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）利用二次根式的被开方数非负性求出，的值，进而确定A、B两点的坐标； （2）设出点D的坐标，根据等腰三角形的三种分类（、、），结合两点间距离公式求解； （3）先求出直线的解析式，设出点M的坐标，通过证明三角形全等得到线段关系，再结合三角形面积公式列出方程求解． (1) 小问详解： 解：∵a、b满足， ∴ ， ∴，， ∴，； (2) 小问详解： 解：存在点D，使为等腰三角形． ∵，， ∴在中，由勾股定理可得， ∵在射线上存在点D，使为等腰三角形， ① 若， ∴， ∵此时点D在轴负半轴， ∴； ② 若，则点D与点重合， ∴； ③ 若，则， ∴； 综上所述，或或． (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： 过点作轴，交轴于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵点、关于轴对称， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 41．【答案】[基础应用] ，；[进阶拓展]；[实际应用]2 【分析】 本题考查了无理数，勾股定理的应用以及二次根式的混合运算，理解题意是解答的关键． [基础应用]根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； [进阶拓展]先整理成，其中a，b，c均为有理数，再按题干提供的方法求解； [实际应用]利用勾股定理得到得，然后按题干提供的方法求解． 【详解】 解：[基础应用] ∵，且，其中m，n为有理数， ∴，则， ∴，， ∴，， 故答案为：，3； [进阶拓展] 由得， ∴， ∴，， ∴，即； [实际应用] 由勾股定理得， 整理，得， ∴，解得． 42．【答案】（1）①；②；（2） 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短等知识﹒ （1）① 作于E，根据勾股定理求出，利用面积法即可求出，结合垂线段最短即可求解； ② 根据勾股定理和即可求出； （2）作，于E，于F交于T．求出，，﹒证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，即可得到当点在同一直线上，且时，值最小，为长﹒证明为等腰直角三角形，得到，，进而得到，求出，即可求出，，得到，问题得解﹒ 【详解】 解：（1）① 如图1，作于E． 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知当与重合时，的值最小，最小值为﹒ 故答案为：； ② 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴﹒ 故答案为：； （2）如图3，作，于E，于F交于T． ∵中，，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴﹒ ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一直线上，且时，值最小， 即最小值为长﹒ ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴﹒ 故答案为： 43．【答案】 【分析】 本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设， ∴，，， 即， ∴，同理可得， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为． 44．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）存在，或或      【分析】 （1）先利用勾股定理求出直角三角形边长，再根据垂直平分线定义建立方程求解运动时间； （2）根据角平分线性质，通过全等三角形得到线段相等关系，进而建立关于的方程求解； （3）利用平移性质得到平行线，结合中点与垂直平分线的关系，推导出线段相等，再利用等腰三角形性质建立方程求解； （4）对为等腰三角形的三种情况（、、）分别讨论，结合几何性质和线段长度关系，求出对应的值． (1) 小问详解： 解：在中，， 运动秒后，，，， 垂直平分时，， 即， 解得：； (2) 小问详解： 解：如图，连接， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：如图，连接， 由平移的性质可得， ，即， ， 点为的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； (4) 小问详解： 解：当时，过点作于点， 在图① 中，， ， ， 由平移的性质得， ， 在和中， ， ， 点和点重合， ，， ， ； 当时，； 当时，则点在的垂直平分线上， 同理可得，， ， 综上所述，的值为或或9． 【点睛】 本题考查了角平分线性质、垂直平分线性质、等腰三角形分类讨论以及动点运动过程中的几何图形变化，熟练运用相关几何定理和分类讨论思想是解答本题的关键． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．C 2．C 3．C 4．C 5．D 6．C 7．D 8．B 9．B 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握以上两个定理． 由勾股定理的逆定理得出直角三角形，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴为直角三角形，， 由勾股定理得，， ∴A、B之间的距离为． 11．【答案】符合标准 在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∴该车符合标准． 【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理得：，由，可得，则是直角三角形，，即，然后作答即可． 【详解】 略 12．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∵，, ∴, ∴, 该厂区的总面积． . 13．【答案】（1）如图所示： （2）如图所示，△A1B1C1即为所求； （3）直角三角形，2． 【分析】 （1）根据点A和点C的坐标即可作出坐标系； （2）分别作出三角形的三顶点关于y轴的对称点，顺次连接可得； （3）根据勾股定理的逆定理可得． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）∵正方形小方格边长为1， ∴AB==，BC==2，AC==， ∴AB2+BC2=AC2， ∴网格中的△ABC是直角三角形． △ABC的面积为××2=2． 【点睛】 本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 14．【答案】（1） 解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知， ，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴．     （2）线段的长度为．      【分析】 本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 15．【答案】（1）是     （2）     （3） 证明：如图，在线段上取一点D，使，连接，过点C作交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， ∴是“类勾股三角形”．      【分析】 本题考查了新定义的理解与应用，等腰三角形的性质，勾股定理及三角形外角的性质． （1）根据“类勾股三角形”的定义判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． (1) 小问详解： 解：是， 理由：∵的三边长分别是4，5，6， ∴，，， ∵， ∴是“类勾股三角形”． 故答案为：是． (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∵是类勾股三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（     ） A. 4米 B. 8米 C. 9米 D. 7米 2．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山东青岛·期中）如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山东青岛·期中）如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（       ） A. 厘米 B. 120厘米 C. 厘米 D. 厘米 5．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）如图，在中，，分别以这个三角形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为（       ） A. 6 B.  C. 12 D. 13 6．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为（     ） A.  B. 13 C. 5 D.  8．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A. 6 B. 5 C.  D. 7 9．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（            ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（       ） A. ①段 B. ②段 C. ③段 D. ④段 12．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为（     ） A. 32 B. 42 C. 32或42 D. 以上都不对 13．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）如图，数轴上点表示的数为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量风筝的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题 测量风筝的高度 成员 组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx 工具 皮尺，计算器等 测量示意图 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值 测量项目 数值 点B到的距离 12米 风筝线的长度 20米 的长度 1.7米 （1）求风筝的垂直高度； （2）如图2，如果想让风筝沿方向下降11米至点F，求应该往回收多少米风筝牵引线． 15．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为　　　　　　． 16．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交于点E，交于点F，则的长为　　　　　　． 17．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）如图，已知一长方体的长、宽、高分别为，如果用一条细线从点开始经过4个侧面绕一圈到达点，那么所用细线最短需要　　　　　　． 18．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为　　　　　　． 19．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长． 21．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，且，交于E，则　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）关于直线l对称的图形为，其中是A的对称点． （1）请作出对称轴直线l及关于直线l对称的（要求B与相对应，C与相对应）． （2）如果每一个小正方形的边长为1，则的面积为_________． （3）在直线l上找到并画出点P，使得最小，此时的最小值为_________． 23．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）我们古代数学中有这样一道数学题：有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺），则这根藤条长　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 25．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在中，，AD平分，，，则　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，是等腰直角三角形，，D是的中点，，点E，F在，上． （1）求证：． （2）连结，则之间有什么数量关系？请说明理由． 27．（25-26学年八上·山东威海·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 28．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆形，一只蚂蚁从点A爬过管道到达点C，需要走的最短路程是　　　　　　分米（结果化为最简二次根式）． 29．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1．格点（顶点在格点上）顶点A、C的坐标分别是，． （1）请在图中的网格内建立平面直角坐标系； （2）请画出关于y轴对称的； （3）在图中的x轴上找一个点P，满足点P到点与点C距离之和最小，请标出点P，并直接写出最小值为______； （4）直接写出中边上的高为______． 30．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）（多选）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8厘米，BC=6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）求出发2秒后，PQ的长； （2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间． 31．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　　　　　　． 32．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，在中，，于．已知，，则的周长为　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·山东青岛·期中）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为　　　　　　　　　　尺． 34．（25-26学年八上·山东青岛·期中）在中，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示线段和的长； （2）当时，求的长； （3）当为等腰直角三角形时，求的值． 35．（25-26学年八上·山东青岛·期中）图①是一个由27个同样大小的小正方体组成的大正方体，它的体积为． （1）这个大正方体的棱长是________m； （2）图①中正方形的面积是________； （3）建立如图②所示的平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为，在轴上截取，则点的坐标为________． 36．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个直角边分别为，，斜边为的全等直角三角形拼成的大正方形，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”，也被称为“算两次”． 【方法理解】如图2，在边长为1的小方格中，、、、均为格点(网格线的交点)，则正方形的面积___________． 【方法运用】如图3，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，，连接，延长，，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【方法迁移】 如图4，在中，是边上的高，，，，求线段的长度是多少？ 37．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）在如图所示的方格(每个小正方形的边长为1)中，的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为． （1）在方格图中建立坐标系，并标出原点； （2）的面积是________； （3）试确定y轴上一点P，使得的和最小，求出的最小值，并画出点P，保留作图痕迹． 38．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）【操作】如图①，矩形纸片中，，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为．猜想之间的位置关系为________； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为(在上，在上)，使顶点落在矩形内，点的对应点为，的延长线交边于点，再将纸片的另一部分翻折，使点的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当，，，时，直接写出的长． 39．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如图，在矩形中，，，为中点，为上动点且，连接、，则的最小值为　　　　　　　　　　． 40．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． （1）求A、B两点的坐标； （2）在射线上是否存在点D，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 41．（25-26学年八上·山东青岛·期中）【知识背景】 在实数范围内，我们学过有理数和无理数．通过运算我们发现：任意一个有理数与一个无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；0与无理数的积为0． 由以上信息可知： 如果，其中m，n为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： 【基础应用】 已知，且，其中m，n为有理数，则的值为________，的值为________； 【进阶拓展】 已知a，b，c均为有理数，且，求与的等量关系； 【实际应用】 制作一个直角三角形木架，其中一条直角边的长度为分米，另一条直角边的长度为分米，斜边长度为分米，其中a，b，c均为有理数，求的值． 42．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）【问题探究】 ①如图1，在中，，，，P是AC边上一点，连接，则的最小值为___________． ②如图2，在中，，，，求边的长度． 【问题解决】 如图3，在中，，，，D是边的中点，若P是边上一点，则的最小值是___________． 43．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，边与轴交于点G，点在边上.将沿折叠，点落在点处.若点的坐标为，求点的坐标． 44．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： （1）当垂直平分时，求的值； （2）当为何值时，点在的平分线上？ （3）当点为的中点时，求的值； （4）连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（       ）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形． A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 3．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）五根木棒（单位：cm）的长度分别为5，9，12，15，17，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（       ） A. 5，9，12 B. 5，12，15 C. 9，12，15 D. 12，15，17 4．（25-26学年八上·山东青岛·期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（        ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 5．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山东威海·期中）在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（       ） A.  B.  C. ，， D.  7．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中点，，，能与点，构成一个直角三角形的是（       ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（       ） A. a：b：c＝3：4：4 B. a＝1，b＝，c＝ C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a2：b2：c2＝3：4：5 9．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知a，b，c为的三边，且满足，则是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 10．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A、B之间的距离，他们的操作过程如下： ①沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使； ②在的一侧选点D，使，； ③测得． 请根据他们的操作过程，求出池塘两端A、B之间的距离． 11．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 12．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）如图是某工厂的平面图，经测量，，．求该厂区的总面积． 13．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣1，1），（0，﹣2），请你根据所学的知识． （1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1； （3）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积． 14．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 15．（25-26学年八上·山东威海·期中）定义：在中，若，，，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）已知的三边长分别为4，5，6，则            “类勾股三角形”．（填“是”或“不是”） （2）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，，，请求的度数． （3）如图2所示，在中，，且，求证：为“类勾股三角形”． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $