专题05 实数（期中真题汇编，山东专用）八年级数学上学期

专题05 实数 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 平方根 1．B 2．B 3．【答案】±2 【详解】 解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 4．【答案】 【分析】 本题考查了算术平方根的应用．根据总面积和地板砖数量，先求出每块地板砖的面积，再根据正方形面积公式求边长，即可作答． 【详解】 办公室总面积为，使用块相同的正方形地板砖， 则每块地板砖的面积为， ∴每块地板砖的边长 故答案为： 5．【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题主要考查平方根、算术平方根及立方根，熟练掌握平方根、算术平方根及立方根是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）把a、b、c的值代入代数式，进而根据立方根可进行求解． (1) 小问详解： 解：由的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，可知： ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴的立方根为． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根，熟练掌握此定义是解题的关键．直接利用平方根的定义求解即可． 【详解】 解：一个数的平方根是， 这个数是， 故答案为：． 7．【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，无理数的估算． （1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值； （2）把a、b、c的值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根； (1) 小问详解： 解：∵的立方根是， ∴， 解得，， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的整数部分为6， 即， 因此，，，； (2) 小问详解： 解：当，，时， ， ∴． 8．【答案】 【分析】 先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】 解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 9．【答案】 【分析】 此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】 解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 考点02 立方根 1．C 2．【答案】（1）或     （2）      【分析】 本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）先变形为，再根据立方根的定义，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 解得：或； (2) 小问详解： 解： ∴， 解得：． 3．【答案】立方根为 【分析】 利用平方根求出a和b的值，确定出a+2b的值，即可确定出立方根． 【详解】 解：由题意得2a-1=9，3a+b-1=16， 解得：a=5，b=2， 则a+2b=9， 则9的立方根为． 【点睛】 此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 考点03 实数及其简单运算 1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A 9．C 10．D 11．【答案】1 【分析】 本题主要考查算术平方根及实数的运算，熟练掌握算术平方根及实数的运算是解题的关键；先确定的小数部分和的整数部分，再代入表达式计算即可． 【详解】 解：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分， ∵，即， ∴的整数部分， 则； 故答案为1． 12．【答案】44.72 【分析】 本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；通过观察，2000可以分解为，然后根据题意可进行求解． 【详解】 解：由可知：； 故答案为44.72． 13．【答案】 【分析】 本题考查比较实数的大小关系，通过比较两个数的平方值来判断大小关系即可． 【详解】 解：∵，， 又∵，， ∴ ， 故． 故答案为： 14．【答案】 【分析】 本题考查实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较．根据，则，得到，即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．【答案】（1）分米     （2） 解：能，理由如下： 设长方形的长为分米，宽为分米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为分米，宽为分米， 长方形的周长为， ， ， 围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长．      【分析】 本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． (1) 小问详解： 解： “混天绫”围成一个面积为 平方分米的正方形， 正方形的边长为分米， “混天绫”的总长度分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是分米． (2) 小问详解： 略 16．【答案】（1）5，     （2）     （3）      【分析】 此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． （1）首先估算出，据此问题即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． (1) 小问详解： 解：， 的整数部分是5；小数部分为， 故答案为：5；； (2) 小问详解： 解：， ； (3) 小问详解： 解： ， ， ． 17．【答案】（1）0.036，2.236     （2） 解：补充图形如图所示： 由图形可得：． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得（保留到0.001），即；     （3） 解：所作图形如图所示： 【分析】 本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意先补充图形，然后可得方程，进而根据题意的解题过程可进行求解； （3）根据题意可进行作图． (1) 小问详解： 解：由题意得：，； 故答案为0.036，2.236； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 即． 的整数部分为7． 的小数部分为：， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵面积为76的正方形的边长是，且， 即：， ∴设，其中． 画出边长为的正方形，如图：        根据图中面积，得．        当较小时，忽略，得． 解得． ． 19．【答案】（1）①；②     （2） 解：设，a与b是互质的两个整数，且，则， ∴， ∵a，b是整数且不为0， ∴是10的倍数， ∵a为整数， ∴a为10的倍数． 设（n是整数,）， ∴， ∴， ∵b为整数， ∴b也是10的倍数，这与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数．      【分析】 本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． (1) 小问详解： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以是2的倍数， 因为a是整数， 所以a是2的倍数． 设（n是整数，且）， 则， 所以． 所以b也是2的倍数，这与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． (2) 小问详解： 略 考点04 二次根式及其性质 1．D 2．【答案】 【分析】 根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】 解：在实数范围内有意义， 解得． 3．【答案】 【详解】 解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】 本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 4．【答案】2 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件及算术平方根的计算，解题的关键是根据二次根式的被开方数非负求出的值． 先根据二次根式有意义的条件（被开方数）列出关于的不等式组，求出的值，再代入求出的值，进而计算的算术平方根． 【详解】 解：要使二次根式和有意义，需满足： 解得：， 将代入，得：， ， 4的算术平方根是， 的算术平方根为2． 故答案为：2． 5．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据为12，即可得到一个无理数的值． 【详解】 解：∵， ∴时的结果为正整数， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了二次根式，注意是解题的关键． 6．【答案】 【分析】 根据新定义运算进行运算，即可求得． 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键． 考点05 二次根式的乘法与除法 1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 6．B 7．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算减法即可； （2）先化简二次根式，再计算乘法即可； （3）先化简二次根式，再计算除法，最后计算加法即可； （4）先根据完全平方公式计算，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： 考点06 二次根式的加法与减法 1．D 2．C 3．【答案】（1）13     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握二次根式、绝对值、负整数指数幂、零次幂的运算规则． （1）依次计算二次根式的平方、绝对值、负整数指数握、二次根式化简后合并； （2）先化简二次根式、去绝对值、计算根式除法与零次幂，再合并同类二次根式． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 4．【答案】 【分析】 根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先分别进行分母有理化、立方根运算、化简绝对值、零指数幂，然后合并计算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 6．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算的应用，结合图形求出阴影部分的长和宽是解题的关键．根据题中条件分别计算阴影部分的长和宽，再根据面积公式计算即可． 【详解】 解：正方形和正方形的面积分别为27和18， ， 由题意得： 正方形和正方形重叠部分为正方形，面积为3， 则重叠部分边长为， 则正方形的边长为， 剩余部分（阴影部分）的面积等于正方形的面积减去两个小正方形的面积，再加上重叠部分的面积， 剩余部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 7．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式进行化简，然后根据二次根式减法运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 9．【答案】（1）     （2）     （3）44     （4）22      【分析】 本题主要考查分母有理化及二次根式的运算，熟练掌握分母有理化及二次根式的运算是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解； （3）由结论（2）可代入进行求解； （4）根据分母有理化可对式子进行化简，然后再进行二次根式的运算即可． (1) 小问详解： 解：； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：原式 ； 故答案为：； (4) 小问详解： 解：原式 ． 10．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查立方根，零次幂及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据立方根，零次幂可进行求解； （2）根据二次根式的性质及加减运算可进行求解； （3）根据二次根式的混合运算可进行求解； （4）根据乘法公式及二次根式的混合运算可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式； (3) 小问详解： 解：原式； (4) 小问详解： 解：原式． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把括号内每一个二次根式化成最简二次根式，再合并，然后利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 12．【答案】（1）     （2）     （3）2024      【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化． （1）分母有理化即可； （2）分母有理化即可； （3）利用（2）中的规律将原式变形为，再进一步计算即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 13．【答案】 【分析】 根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可． 【详解】 的倒数是 故答案为． 【点睛】 此题考查的目的是使学生理解倒数的意义，掌握求一个无理数的倒数的方法． 14．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减即可； （2）首先根据完全平方公式和多项式乘以多项式法则运算，再计算二次根式的加减即可； （3）首先化简括号内二次根式，然后合并，然后计算除法即可； （4）首先根据平方差公式化简，化简绝对值和立方根，然后合并即可． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： ． 15．【答案】（1），     （2）①；②     （3），      【分析】 （）根据小芳同学的计算方法解答即可； （）① 先对进行分母有理化得，即得，进而得到，再代入代数式计算即可求解；② 先化简方程，再解方程求出的值即可； （）根据阅读材料的方法解答即可； 本题考查了二次根式的化简及求值，解一元一次方程，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② ∵， ∴， ∴， ∴， 即； (3) 小问详解： 解：，， ∵， ∴； ， ∵， ∴， 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实数 6大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 平方根 1．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）81的平方根是（       ） A.  B.  C. 3 D. 9 2．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）9的平方根是（       ） A. 3 B. ±3 C.  D. － 3．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）的平方根是　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）铺装一间面积为的办公室地面，恰好用完大小相同的75块正方形地板砖，则每块地板砖的边长是　　　　　　m． 5．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求： （1）a、b、c的值； （2）的立方根． 6．（25-26学年八上·山东青岛·期中）若一个数的平方根为，则这个数是　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 8．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）填空：的平方根是　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为　　　　　　　　． 考点02 立方根 1．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ） A. 4的算术平方根 B. 4的立方根 C. 8的算术平方根 D. 8的立方根 2．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）解方程： （1）； （2）． 3．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的立方根． 考点03 实数及其简单运算 1．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（     ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）下列实数：，，（每相邻两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）下列各数是无理数的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（       ） A.  B.  C. 1 D.  7．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（     ） A. 或 B. 或 C.  D.  8．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 9．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）下列实数中，是无理数的是(     ) A.  B. 0. 35 C.  D.  10．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．思考并回答：如果的小数部分为，的整数部分为，求　　　　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）若，，，则　　　　　　（结果保留两位小数）． 13．（25-26学年八上·山东青岛·期中）我国东汉时期数学家张衡首先推导出圆周率的近似值为，到南北朝时期，数学家祖冲之又给出圆周率分数形式的近似值为，试判断这两个数的大小关系：　　　　　　　　．（填“”或“”） 14．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　1(填“”“”或“”)． 15．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． （1）围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ （2）围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 16．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： ； 例如：比较与2的大小． ∵又∵则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________； （2）比较与的大小． （3）已知，试用“比差法”比较与的大小． 17．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）某数学兴趣小组准备探究无理数． （1）到底有多大？下面是探索的近似值的过程，请补充完整： 如图甲所示，我们知道面积是5的正方形边长是，且． 设．由图形可得： 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得______（保留到0.001），即______． （2）数学兴趣小组依据上面的方法接着探究的近似值，如图乙所示，面积是10的正方形边长是，且．设，……请把图乙和剩余的过程补充完整（结果保留到0.001） （3）怎样画出和，请你一起参与探索画的过程．兴趣小组的做法是：设新正方形的边长为x（）．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把5个边长为1的正方形，如图①所示进行分割，然后在图②中用实线画出拼接成的新正方形．如图③所示，现有10个边长为1的正方形，请参考上面的做法，把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图③中画出分割线，并在图④中用实线画出拼接成的新正方形，直接画出图形即可． 18．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）材料一：我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． ∵， ∴，即． ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 材料二：下面是小李同学探索的近似值的过程： ∵面积为107的正方形的边长是，且， ∴设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得． 当较小时，省略，得，得到， 即． 任务： （1）利用材料一中的方法，的小数部分是______． （2）仿照材料二的方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 19．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）【阅读理解】 定义：如果两个整数的最大公因数为1，那么这两个整数互质，有理数均可以表示为两个互质整数的商的形式(整数可以看作分母为1的有理数)；反之为无理数．例如不能表示为两个互质的整数的商，是无理数． 【探究问题】 假设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即___________①． 因为b是整数且不为0， 所以是2的倍数， 因为a是整数， 所以a是2的倍数． 设(n是整数,且)， 则． 所以___________②． 所以b也是2的倍数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使上述过程完整； （2）仿照上述【探究问题】过程，说明是无理数． 考点04 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）下列实数是无理数的是（     ） A.  B.  C. 0 D.  2．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　　　． 4．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）已知，则的算术平方根为　　　　　　． 5．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是　　　　　　　　　　．（写出一个符合条件的即可） 6．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么　　　　　　　　　　　　． 考点05 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）下列式子正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）计算结果的平方根为（     ） A. 2 B.  C.  D. 4 4．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）下列二次根式化简正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·山东青岛·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 考点06 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）计算： （1） （2） 4．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）计算： （1）； （2）． 6．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）李老师在正方形中放入面积分别为27和18的正方形和正方形，重叠部分的面积为3，则剩余部分（阴影部分）的面积为　　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）计算： （1）； （2） （3） 8．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）计算： （1） （2） 9．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）__________________． （2）（为正整数）=_________________． （3）化简：________________． （4）化简下列式子的值： 10．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）计算 （1） （2） （3） （4） 11．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）计算： （1） （2） 12．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： （1）计算：______________； （2）计算：______________； （3）计算：． 13．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）的倒数是　　　　　　． 14．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于，，即：，， 所以：， 应用：__________，__________． （2）阅读：； 应用：①若，求的值； ②解方程． （3）阅读：已知，，试比较，的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且，都是正数，故． 应用：比较大小：__________，__________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实数 6大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 平方根 1．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）81的平方根是（       ） A.  B.  C. 3 D. 9 【答案】B 【分析】 此题考查了平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数．81是正数，其平方根为． 【详解】 ∵，且， ∴ 81的平方根是． 故选：B． 2．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）9的平方根是（       ） A. 3 B. ±3 C.  D. － 【答案】B 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】±±3． 故选B． 【点睛】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个． 3．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）的平方根是　　　　　　　． 【答案】±2 【详解】 解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 4．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）铺装一间面积为的办公室地面，恰好用完大小相同的75块正方形地板砖，则每块地板砖的边长是　　　　　　m． 【答案】 【分析】 本题考查了算术平方根的应用．根据总面积和地板砖数量，先求出每块地板砖的面积，再根据正方形面积公式求边长，即可作答． 【详解】 办公室总面积为，使用块相同的正方形地板砖， 则每块地板砖的面积为， ∴每块地板砖的边长 故答案为： 5．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求： （1）a、b、c的值； （2）的立方根． 【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题主要考查平方根、算术平方根及立方根，熟练掌握平方根、算术平方根及立方根是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）把a、b、c的值代入代数式，进而根据立方根可进行求解． (1) 小问详解： 解：由的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，可知： ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴的立方根为． 6．（25-26学年八上·山东青岛·期中）若一个数的平方根为，则这个数是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平方根的定义，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根，熟练掌握此定义是解题的关键．直接利用平方根的定义求解即可． 【详解】 解：一个数的平方根是， 这个数是， 故答案为：． 7．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，无理数的估算． （1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值； （2）把a、b、c的值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根； (1) 小问详解： 解：∵的立方根是， ∴， 解得，， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的整数部分为6， 即， 因此，，，； (2) 小问详解： 解：当，，时， ， ∴． 8．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）填空：的平方根是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】 解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 9．（25-26学年八上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】 解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 考点02 立方根 1．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ） A. 4的算术平方根 B. 4的立方根 C. 8的算术平方根 D. 8的立方根 【答案】C 【详解】解：由题意可知4的算术平方根是2，4的立方根是 <2, 8的算术平方根是， 2<<3，8的立方根是2， 故根据数轴可知, 故选C 2．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或     （2）      【分析】 本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）先变形为，再根据立方根的定义，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 解得：或； (2) 小问详解： 解： ∴， 解得：． 3．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的立方根． 【答案】立方根为 【分析】 利用平方根求出a和b的值，确定出a+2b的值，即可确定出立方根． 【详解】 解：由题意得2a-1=9，3a+b-1=16， 解得：a=5，b=2， 则a+2b=9， 则9的立方根为． 【点睛】 此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 考点03 实数及其简单运算 1．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（     ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】 本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】 解：， 无理数有，， （两个1之间依次多一个6），共3个． 故选：C 2．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）下列各数中，是无理数的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】 解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 3．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）下列实数：，，（每相邻两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 根据整数和分数统称有理数，无限不循环小数是无理数判断即可． 【详解】 ，，（每相邻两个1之间依次增加一个0），是无理数，，是有理数， 故选D． 【点睛】 本题考查了无理数的认识，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 4．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了实数的运算，算术平方根以及立方根；根据实数的性质以及实数的加减，算术平方根，立方根进行计算即可求解． 【详解】 解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）下列各数是无理数的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查无理数的概念，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比，据此进行逐项判断即可． 【详解】 解：A、是分数，是有理数； B、，6不是完全平方数，为无理数； C、是有限小数，是有理数； D、是分数，是有理数； 故选：B． 6．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】D 【分析】 根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简． 【详解】 解：由图知：1＜a＜2， ∴a−1＞0，a−2＜0， 原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3． 故选D． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键． 7．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（     ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】 解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 8．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键． 根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答． 【详解】 解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 9．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）下列实数中，是无理数的是(     ) A.  B. 0. 35 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】 解：A、不是无理数，故本选项错误； B、不是无理数，故本选项错误； C、是无理数，故本选项正确； D、=-3，不是无理数，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】 本题考查了对无理数定义的应用，能理解无理数的定义是解题的关键． 10．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查实数与数轴，根据题意得，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】 解：∵正方形的面积为7， ∴， ∴， ∵点E在点A的左侧，点A在数轴上表示的数为1， ∴点E所表示的数为， 故选：D． 11．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．思考并回答：如果的小数部分为，的整数部分为，求　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查算术平方根及实数的运算，熟练掌握算术平方根及实数的运算是解题的关键；先确定的小数部分和的整数部分，再代入表达式计算即可． 【详解】 解：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分， ∵，即， ∴的整数部分， 则； 故答案为1． 12．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）若，，，则　　　　　　（结果保留两位小数）． 【答案】44.72 【分析】 本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；通过观察，2000可以分解为，然后根据题意可进行求解． 【详解】 解：由可知：； 故答案为44.72． 13．（25-26学年八上·山东青岛·期中）我国东汉时期数学家张衡首先推导出圆周率的近似值为，到南北朝时期，数学家祖冲之又给出圆周率分数形式的近似值为，试判断这两个数的大小关系：　　　　　　　　．（填“”或“”） 【答案】 【分析】 本题考查比较实数的大小关系，通过比较两个数的平方值来判断大小关系即可． 【详解】 解：∵，， 又∵，， ∴ ， 故． 故答案为： 14．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　1(填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】 本题考查实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较．根据，则，得到，即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）“混天绫”是哪吒的法宝之一，它是一条七尺二寸（约2.33米）的红绫，能随主人心意改变长度．哪吒在镇压妖兽时，伸长“混天绫”围成一圈形成一个面积为400平方分米的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，需将“封妖阵”调整为面积为285平方分米的长方形，且长与宽之比为． （1）围成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是多少分米？ （2）围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”是否需要继续伸长？请通过计算说明理由． 【答案】（1）分米     （2） 解：能，理由如下： 设长方形的长为分米，宽为分米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为分米，宽为分米， 长方形的周长为， ， ， 围成新的“封妖阵”时哪吒的“混天绫”不需要继续伸长．      【分析】 本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． (1) 小问详解： 解： “混天绫”围成一个面积为 平方分米的正方形， 正方形的边长为分米， “混天绫”的总长度分米． 答：成正方形“封妖阵”时“混天绫”的长度是分米． (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： ； 例如：比较与2的大小． ∵又∵则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________； （2）比较与的大小． （3）已知，试用“比差法”比较与的大小． 【答案】（1）5，     （2）     （3）      【分析】 此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． （1）首先估算出，据此问题即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． (1) 小问详解： 解：， 的整数部分是5；小数部分为， 故答案为：5；； (2) 小问详解： 解：， ； (3) 小问详解： 解： ， ， ． 17．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）某数学兴趣小组准备探究无理数． （1）到底有多大？下面是探索的近似值的过程，请补充完整： 如图甲所示，我们知道面积是5的正方形边长是，且． 设．由图形可得： 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得______（保留到0.001），即______． （2）数学兴趣小组依据上面的方法接着探究的近似值，如图乙所示，面积是10的正方形边长是，且．设，……请把图乙和剩余的过程补充完整（结果保留到0.001） （3）怎样画出和，请你一起参与探索画的过程．兴趣小组的做法是：设新正方形的边长为x（）．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把5个边长为1的正方形，如图①所示进行分割，然后在图②中用实线画出拼接成的新正方形．如图③所示，现有10个边长为1的正方形，请参考上面的做法，把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图③中画出分割线，并在图④中用实线画出拼接成的新正方形，直接画出图形即可． 【答案】（1）0.036，2.236     （2） 解：补充图形如图所示： 由图形可得：． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得（保留到0.001），即；     （3） 解：所作图形如图所示： 【分析】 本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意先补充图形，然后可得方程，进而根据题意的解题过程可进行求解； （3）根据题意可进行作图． (1) 小问详解： 解：由题意得：，； 故答案为0.036，2.236； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）材料一：我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． ∵， ∴，即． ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 材料二：下面是小李同学探索的近似值的过程： ∵面积为107的正方形的边长是，且， ∴设，其中． 画出边长为的正方形，如图： 根据图中面积，得． 当较小时，省略，得，得到， 即． 任务： （1）利用材料一中的方法，的小数部分是______． （2）仿照材料二的方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 即． 的整数部分为7． 的小数部分为：， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵面积为76的正方形的边长是，且， 即：， ∴设，其中． 画出边长为的正方形，如图：        根据图中面积，得．        当较小时，忽略，得． 解得． ． 19．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）【阅读理解】 定义：如果两个整数的最大公因数为1，那么这两个整数互质，有理数均可以表示为两个互质整数的商的形式(整数可以看作分母为1的有理数)；反之为无理数．例如不能表示为两个互质的整数的商，是无理数． 【探究问题】 假设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即___________①． 因为b是整数且不为0， 所以是2的倍数， 因为a是整数， 所以a是2的倍数． 设(n是整数,且)， 则． 所以___________②． 所以b也是2的倍数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 （1）写出①，②表示的代数式，使上述过程完整； （2）仿照上述【探究问题】过程，说明是无理数． 【答案】（1）①；②     （2） 解：设，a与b是互质的两个整数，且，则， ∴， ∵a，b是整数且不为0， ∴是10的倍数， ∵a为整数， ∴a为10的倍数． 设（n是整数,）， ∴， ∴， ∵b为整数， ∴b也是10的倍数，这与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数．      【分析】 本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． (1) 小问详解： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以是2的倍数， 因为a是整数， 所以a是2的倍数． 设（n是整数，且）， 则， 所以． 所以b也是2的倍数，这与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． (2) 小问详解： 略 考点04 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）下列实数是无理数的是（     ） A.  B.  C. 0 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握无理数的定义和常见类型是解题的关键：① 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数；② 常见类型：常遇到的无理数有三类，一是开方开不尽的数，二是无限不循环小数，三是含的数． 按照无理数的定义和常见类型逐个判断即可． 【详解】 解：，， 是有限小数，，是整数，是开方开不尽的数， 上述各数中是无理数的是， 故选：． 2．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】 解：在实数范围内有意义， 解得． 3．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　　　． 【答案】 【详解】 解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】 本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 4．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）已知，则的算术平方根为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件及算术平方根的计算，解题的关键是根据二次根式的被开方数非负求出的值． 先根据二次根式有意义的条件（被开方数）列出关于的不等式组，求出的值，再代入求出的值，进而计算的算术平方根． 【详解】 解：要使二次根式和有意义，需满足： 解得：， 将代入，得：， ， 4的算术平方根是， 的算术平方根为2． 故答案为：2． 5．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是　　　　　　　　　　．（写出一个符合条件的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据为12，即可得到一个无理数的值． 【详解】 解：∵， ∴时的结果为正整数， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了二次根式，注意是解题的关键． 6．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种运算※如下：，例如．那么　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据新定义运算进行运算，即可求得． 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了新定义运算，二次根式的性质，理解题意，正确进行运算是解决本题的关键． 考点05 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）下列式子正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次根式的加法运算，乘除运算和二次根式的性质分别计算即可判断． 【详解】 解：A．，故错误，不符合题意． B．，故正确，符合题意； C．，故错误，不符合题意． D．，故错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次根式的加法运算，乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相应的运算法则是解决问题的关键． 2．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式需满足的两个条件：被开方数不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母． 根据最简二次根式的定义，逐一分析每个选项是否满足“被开方数无开得尽方的因数．无分母”这两个条件，从而确定最简二次根式． 【详解】 解：A．，不是最简二次根式； B．，不是最简二次根式； D．，不是最简二次根式； C．，被开方数5为质数，无平方因数，且无分母，故为最简二次根式． 故选：C． 3．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）计算结果的平方根为（     ） A. 2 B.  C.  D. 4 【答案】C 【分析】 该题考查了二次根式的乘法，先利用平方差公式计算原表达式的值，再求该值的平方根． 【详解】 解：∵， ∴ 原表达式结果的平方根为． 故选：C． 4．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）下列二次根式化简正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的化简． 根据二次根式的性质，对各选项进行化简判断即可． 【详解】 解：A．，原化简不正确，不符合题意； B．， 原化简不正确，不符合题意； C．，原化简正确，符合题意； D． ，原化简不正确，不符合题意． 故选：C． 5．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据平方根，二次根式的乘除法，减法进行计算即可求解． 【详解】 A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；        D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 6．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，乘法和除法法则逐项计算即可判断，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】 解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 7．（25-26学年八上·山东青岛·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算减法即可； （2）先化简二次根式，再计算乘法即可； （3）先化简二次根式，再计算除法，最后计算加法即可； （4）先根据完全平方公式计算，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： 考点06 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）下列各式计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】 解：A．不是同类二次根式，不能进行加减计算，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确； 故选：D 2．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可． 【详解】 A．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B．，与不是同类二次根式； C．，与被开方数相同，故是同类二次根式； D．与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键． 3．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）13     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握二次根式、绝对值、负整数指数幂、零次幂的运算规则． （1）依次计算二次根式的平方、绝对值、负整数指数握、二次根式化简后合并； （2）先化简二次根式、去绝对值、计算根式除法与零次幂，再合并同类二次根式． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 4．（25-26学年八上·山东东营实验中学·期中）如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可． 【详解】 解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键． 5．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先分别进行分母有理化、立方根运算、化简绝对值、零指数幂，然后合并计算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 6．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）李老师在正方形中放入面积分别为27和18的正方形和正方形，重叠部分的面积为3，则剩余部分（阴影部分）的面积为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算的应用，结合图形求出阴影部分的长和宽是解题的关键．根据题中条件分别计算阴影部分的长和宽，再根据面积公式计算即可． 【详解】 解：正方形和正方形的面积分别为27和18， ， 由题意得： 正方形和正方形重叠部分为正方形，面积为3， 则重叠部分边长为， 则正方形的边长为， 剩余部分（阴影部分）的面积等于正方形的面积减去两个小正方形的面积，再加上重叠部分的面积， 剩余部分（阴影部分）的面积为， 故答案为：． 7．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）计算： （1）； （2） （3） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式进行化简，然后根据二次根式减法运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 8．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 9．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）__________________． （2）（为正整数）=_________________． （3）化简：________________． （4）化简下列式子的值： 【答案】（1）     （2）     （3）44     （4）22      【分析】 本题主要考查分母有理化及二次根式的运算，熟练掌握分母有理化及二次根式的运算是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解； （3）由结论（2）可代入进行求解； （4）根据分母有理化可对式子进行化简，然后再进行二次根式的运算即可． (1) 小问详解： 解：； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：原式 ； 故答案为：； (4) 小问详解： 解：原式 ． 10．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查立方根，零次幂及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据立方根，零次幂可进行求解； （2）根据二次根式的性质及加减运算可进行求解； （3）根据二次根式的混合运算可进行求解； （4）根据乘法公式及二次根式的混合运算可进行求解． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 解：原式； (3) 小问详解： 解：原式； (4) 小问详解： 解：原式． 11．（25-26学年八上·山东青岛第三十九中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把括号内每一个二次根式化成最简二次根式，再合并，然后利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 12．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： （1）计算：______________； （2）计算：______________； （3）计算：． 【答案】（1）     （2）     （3）2024      【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化． （1）分母有理化即可； （2）分母有理化即可； （3）利用（2）中的规律将原式变形为，再进一步计算即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 13．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）的倒数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可． 【详解】 的倒数是 故答案为． 【点睛】 此题考查的目的是使学生理解倒数的意义，掌握求一个无理数的倒数的方法． 14．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减即可； （2）首先根据完全平方公式和多项式乘以多项式法则运算，再计算二次根式的加减即可； （3）首先化简括号内二次根式，然后合并，然后计算除法即可； （4）首先根据平方差公式化简，化简绝对值和立方根，然后合并即可． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ； (4) 小问详解： ． 15．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于，，即：，， 所以：， 应用：__________，__________． （2）阅读：； 应用：①若，求的值； ②解方程． （3）阅读：已知，，试比较，的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且，都是正数，故． 应用：比较大小：__________，__________． 【答案】（1），     （2）①；②     （3），      【分析】 （）根据小芳同学的计算方法解答即可； （）① 先对进行分母有理化得，即得，进而得到，再代入代数式计算即可求解；② 先化简方程，再解方程求出的值即可； （）根据阅读材料的方法解答即可； 本题考查了二次根式的化简及求值，解一元一次方程，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： 解：， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② ∵， ∴， ∴， ∴， 即； (3) 小问详解： 解：，， ∵， ∴； ， ∵， ∴， 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $