专题07 分式（期中真题汇编，山东专用）八年级数学上学期

专题07 分式 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 整数指数幂 考点06 分式方程 考点01 从分数到分式 1．C 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．【答案】4 【分析】 由表格中的数据，结合分式值无意义及分式值为0的条件可求解，值，即可求解分式，利用时，，计算可求解． 【详解】 解：由表格可知：当时，且当时，， 解得，， 分式为， 当时，， 解得， 经检验，是分式的解， 故答案为：4． 【点睛】 本题主要考查分式的值，分式有意义的条件及分式的值为零的条件，解分式方程，求解，值是解题的关键． 9．【答案】 【分析】 根据分式的值为0，可得分式的分子等于0，分母不等于0，由此可解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0时，分子等于0，分母不等于0． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】 解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．【答案】2 【分析】 本题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为零的条件：分式分子的值为零，分母的值不为零；根据条件可直接得到答案． 【详解】 解：根据题意可知：且， 解得， 故答案为：2 12．【答案】 【分析】 此题主要考查了分式有意义的条件，直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案． 【详解】 ∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】 解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 14．【答案】（1）不能     （2）此时倒出的总水量为      （3）      【分析】 本题主要考查数字的变化规律，列代数式以及求代数式的值，分式的加减运算． （1）对分析中的结果进行分析即可； （2）把代入分析中的结果进行计算即可； （3）把代入后进行计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ 这水不可以倒完． 故答案为：不能； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴此时倒出水的总量为． (3) 小问详解： 解：由题可知：． ． 15．【答案】（1）① ③ ④     （2）     （3），      【分析】 本题考查分式的化简求值及分式的意义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对新定义的理解． （1）分别对各式化简，即可得出答案． （2）结合完全平方公式化简即可得出答案． （3）将原式化简，可得，进而可得，的值． (1) 小问详解： 解：， 故①是“和谐分式”； ， 是整式，不是分式， 故②不是“和谐分式”； ， 故③是“和谐分式”； ， 故④是“和谐分式”． 故答案为：① ③ ④． (2) 小问详解： ． 故答案为：． (3) 小问详解： ， ， ，． 16．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； (3) 小问详解： 解：∵ ∴ ， ∴． 考点02 分式的基本性质 1．C 2．C 3．C 4．B 5．D 6．C 7．C 8．C 9．A 10．D 11．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，根据已知比例，直接组合得出，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 12．【答案】3 【分析】 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：因为， 所以， 故答案为：3． 13．【答案】3 【分析】本题只要看各选项能不能再进行约分，不能继续约分的即为最简分式． 【详解】解：分式，，再不能约分化简，为最简分式． 分式：=，不符合题意. 【点睛】判断一个分式是最简分式，主要看分式的分子分母是不是有公因式． 考点03 分式的乘法与除法 1．D 考点04 分式的加法与减法 1．B 2．C 3．【答案】 【分析】 本题考查分式的化简求值，将已知去分母转化为，再代入进行约分即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．【答案】，当时，原式 【分析】 本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】 解：原式 ， ， 只能取， 当时，原式． 5．【答案】；当时，原式= 【分析】 本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，先计算括号内分式的加减运算，再计算除法运算，结合分式有意义的条件，再把代入求值即可； 【详解】 解： ； ∵且， 当时，原式； 6．【答案】，1． 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号里面的，再计算括号外面的除法，最后把代入化简后的分式中计算即可． 【详解】 解： 当时，原式． 7．【答案】9 【分析】 该题考查了分式的混合运算，代数式求值，首先利用分式乘方和乘除法法则简化已知方程，得到，然后通过平方运算求的值． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：9． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先计算括号内减法，再计算乘法． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 9．【答案】，-1． 【分析】 先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可． 【详解】 解： = = = = = = 在、、0、1、2中只有当x=-2时，原分式有意义，即x只能取-2 当x=-2时，． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x的值是解答本题的关键． 10．【答案】 【分析】 本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整理得，再整体代入计算即可求出值． 【详解】 解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 11．【答案】 【分析】 本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】 解：， ，即， ， 故答案为：． 12．【答案】， 【分析】 本题主要考查分式的化简求值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的运算及一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后得出不等式组的整数解，进而代值求解即可． 【详解】 解： ； 解不等式组 得：， ∴不等式组的整数解有， 由分式有意义可知：， ∴当时，原式． 13．【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了分式的加减、分式的化简与求值、分式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式加减的运算法则计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件，选择一个合适的整数代入求值即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ， 由题意得，， 当时，原式． 14．【答案】 【分析】 本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到 ，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】 解： ， ， ，解得 ， ． 15．【答案】（1）两次加油的总量是：升，平均价是元/升． （2）解：当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱．当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱 理由：设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价是（元/升）， ∵， ∴当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱； 当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱． 【分析】 （1）根据题意找出对应量，列式即可； （2）设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价是（元/升），根据题意列出式子，讨论即可． 【详解】 （1）妈妈两次加油的总量是：升； 妈妈两次加油的平均价是（元/升）． （2）略 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了分式求值、等式的基本性质等知识点，掌握分式求值的方法是解题的关键． 由方程可知，将方程两边除以，得到，即可求解的值． 【详解】 解：∵， ∴， 将方程两边同时除以，得：， 移项得：． 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了分式的四则运算，数字类的规律探索，根据题意结合分式的计算法则计算出的值，可得这一列数每3个数字为一个循环，结果依次为，，，据此求出2025除以3的商和余数即可得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，这一列数每3个数字为一个循环，结果依次为，，， ∵ ， ∴是第675个循环组的最后一个，即与相等， 即， 故答案为：． 18．【答案】（1）② ③     （2）     （3）      【分析】 本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义逐个分析即可得解； （2）根据题意结合“和谐分式”的定义计算即可得解； （3）先化简，再结合分式有意义的条件即可得解． (1) 小问详解： 解：，， 故属于“和谐分式”的是② ③ ； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 19．【答案】 【分析】 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将所求分式通分后，利用完全平方公式将分子转化为已知条件的形式，代入数值计算． 【详解】 解：∵ ， 又∵，， ∴ 原式， 故答案为：． 20．【答案】（1）x     （2）化简结果是：，求值结果是：      【分析】 本题考查了分式的加减，分式的化简求值，算术平方根、绝对值、负整数指数幂，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． （1）根据相反数的性质，将异分母的分式变成同分母的分式，计算即可，注意约分； （2）先将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，最后代入计算即可求出值． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ， 当时， 原式． 21．【答案】（1）；（2），当时，原式 【分析】 本题考查了分式的混合运算和化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据分式的除法运算法则求解即可； （2）根据分式运算法则先化简，然后根据分式有意义的条件求出，，然后根据且x为整数得到，然后代入求解即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解： ， ∵，，， ∴，， ，且x为整数， 当时，原式． 22．【答案】（1）     （2） 解：成立，推理过程如下： 设， 则，， ∴，， ∴；     （3）9      【分析】 本题考查了分式的化简与求值，理解题意是解题的关键． （1）由题意得，再代入要求的代数式即可求值； （2）设，则，，分别计算和的值，再比较二者的大小即可得出结论； （3）设，则，整理得，由得，则有，因式分解得，再结合求出的值，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，即， ∴ ． 23．【答案】7 【分析】 先将已知条件进行化简，然后将所求的分式进行变形，代入已知关系即可求解． 【详解】 解：① 由已知条件得出与的关系： ∵,通分可得， ∴． ② 将所求式子化简求值： 把代入，将分子和分母分别整理： 分子变为：． 分母变为：． 将代入整理后的分子和分母： 分子变为：． 分母变为：． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，解题关键是根据已知条件得出与的关系，再利用整体代入思想化简求值． 24．【答案】（1）      （2）      （3）       【分析】 本题考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）仿照材料二，设，则，代入所求式子即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分，利用完全平方公式性质求解即可； （3）取倒数得：，拆项得，从而得，代入已知可得结论． (1) 小问详解： 解：设，则， ； (2) 小问详解： ， ； (3) 小问详解：        ， 将其代入中得： ， ， ， ． 考点05 整数指数幂 1．【答案】 【分析】 分别计算乘方运算，零次幂，算术平方根，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】 解：原式 【点睛】 本题考查的是零次幂的含义，求解一个数的算术平方根，负整数指数幂的含义，掌握以上基础运算是解题的关键. 2．【答案】.25 【分析】 本题考查算术平方根，负整数指数幂的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算算术平方根和负整数指数幂，进而求得结果． 【详解】 解：． 故答案为：． 考点06 分式方程 1．A 2．D 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．A 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．A 15．C 16．A 17．C 18．【答案】1 【分析】 本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键．将原方程去分母后并整理，然后将增根代入该方程中解得a的值即可． 【详解】 解：原方程去分母得：， 原方程有增根， ， ， ， 解得：， 故答案为：1． 19．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （2）两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． (1) 小问详解： 解： 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； (2) 小问详解： 解： 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根， ∴原方程无解． 20．【答案】 【分析】 本题考查了列分式方程，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，进行列方程，即可作答． 【详解】 解：由题可知昌九高速铁路的设计速度为x千米/时， 则昌九城际铁路的设计速度为千米/时， 根据题意可列方程为 即 故答案为： 21．【答案】（1）这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元     （2）13500      【分析】 本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元），根据题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答． (1) 小问详解： 解：设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元； (2) 小问详解： 解：由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元）， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴a的值为13500． 22．【答案】（1）甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元     （2）至少购进甲品牌的童装32套      【分析】 （1）设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（）元，根据“用2000元购进甲种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍”列出方程，解方程即可； （2）设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装套，根据“两种童装全部售出后要使总利润不少于1230元”可列出不等式，再解不等式即可． (1) 小问详解： 解：设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（）元，根据题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元； (2) 小问详解： 设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装套，根据题意得， ， 解得， 答：至少购进甲品牌的童装32套． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目中的等量关系和不等关系是解题的关键． 23．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意需要检验． （1）先把分式方程化为整式方程，解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，解得，最后验根，即可作答． (1) 小问详解： 解： ， 经检验：当时，则， 故是原分式方程的解； (2) 小问详解： 解： ， 经检验：当时，则， 故是原分式方程的增根， ∴此方程无解． 24．【答案】（1）甲队每天施工千米，乙队每天施工千米     （2）千米      【分析】 本题考查了是分式方程的应用，一元一次方程的应用，依据题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米，根据“甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的”列方程求解即可． （2）设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米，根据“两个工程队施工的总费用为万元”列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米．根据题意得： ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ． 答：甲队每天施工千米，乙队每天施工千米． (2) 小问详解： 解：设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米， 由题意得：， 解得， 答：甲工程队需要施工千米． 25．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键． （1）方程两边都乘，将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． （2）方程两边都乘，将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． (1) 小问详解： 解：方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 原方程的解为． (2) 小问详解： 解：方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 不是原方程的解， 原方程无解． 26．【答案】或0 【分析】 本题主要考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况，一是化为整式方程，该整式方程无解，二是方程有增根，据此分两种情况求解即可． 【详解】 解：将方程化成整式方程为：， 即， 增根为：， ∴， ∴． 当时，方程无解， 故答案为：或0 27．【答案】乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天； 10万元． 【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，则甲队的工效为，乙队的工效为，由已知得：甲队工作了30天，乙队工作了10天完成，列方程得：，解出即可，要检验； （2）根据（1）中所求得出甲、乙合作需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案． 【详解】设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天， 依题意得：， 解得， 检验，当时，， 所以原方程的解为． 所以天． 答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天； 设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天， 则有， 解得． 需要施工的费用：万元． ， 工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，属于工程问题，明确三个量：工作总量、工作效率、工作时间，一般情况下，根据已知设出工作时间，根据题意表示出工效，找等量关系列分式方程，本题表示等量关系的语言叙述为：“甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成”． 28．【答案】（1）无解；（2）， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，解分式方程． （1）方程两边都乘以，变形为一元一次方程，再解这个整式方程，然后验根，即可得出原方程的解； （2）先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可． 【详解】 （1）解：， 去分母， 解得， 经检验是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： ， ∵，且且， ∴整数， 当时，原式． 29．【答案】30元 【详解】试题分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是： ，第二批进的数量是： ，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程． 解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则 2× = ， 解得 x=30 经检验，x=30是原方程的根． 答：第一批盒装花每盒的进价是30元． 考点：分式方程的应用． 30．【答案】a≤-1且a≠-2 【详解】 去分母可得：a+2=-x+1， 解得：x=a+1， 根据解为非正数可得：x≤0，且x≠-1， 即a+1≤0，且a+1≠-1， 解得：a≤-1且a≠-2． 故答案为：a≤-1且a≠-2． 31．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点． （1）方程两边乘以去分母，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可解答； （2）方程两边乘以去分母，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可解答． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 当时，， 所以原分式方程无解． 32．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 检验：把代入得， 是原方程的解； (2) 小问详解： 解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 检验：把代入得， 是原方程的增根， ∴原方程无解． 33．【答案】1或 【详解】 解：去分母得：x-3a=2a（x-3）， 整理得：（1-2a）x=-3a， 当1-2a=0时，方程无解，故a=； 当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解， 则a=1， ∴关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 34．【答案】（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒 【分析】 （1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元，根据“4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可； （2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答． 【详解】 解：（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元． 根据题意，得 ． 解得． 经检验：是原方程的根． ∴（元）． ∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元． （2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒． 打折前A种茶叶的利润为． B种茶叶的利润为． 打折后A种茶叶的利润为． B种茶叶的利润为0． 由题意得：． 解方程，得：． ∴（盒）． ∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒． 【点睛】 本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验． 35．【答案】 【分析】 本题考查了分式方程的增根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先通过去分母将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义，将增根代入整式方程求解． 【详解】 解：， ， ∴， ∵方程有增根， ∴， 解得：． 故答案为：． 36．【答案】（1）每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元     （2）最多可购买50件甲种商品      【分析】 （1）设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购买件甲种商品，则购买件乙种商品，根据题意，列出一元一次不等式，解不等式即可求解． (1) 小问详解： 设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：每件甲种商品的价格为元，每件乙种商品的价格为元． (2) 小问详解： 设购买件甲种商品，则购买件乙种商品， 依题意得：， 解得：， ∴m的最大值为50． 答：最多可购买50件甲种商品． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． 37．【答案】（1）     （2）无解      【分析】 （）根据解分式方程的步骤解答即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； (2) 小问详解： 解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解 38．【答案】 【分析】 根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可． 【详解】 解：关于的分式方程， 去分母可化为， 又因为关于的分式方程有增根， 所以是方程的根， 所以， 故答案为：． 【点睛】 本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键． 39．【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】 解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列分式方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册． 根据题意可列分式方程：． 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． 40．【答案】（1）原方程无解     （2）      【分析】 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．需要注意分式方程需要检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． (1) 小问详解： 解： ， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解； (2) 小问详解： 解： ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 41．【答案】（1）无解     （2）      【分析】 此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键： （1）去分母解整式方程，然后检验即可； （2）去分母解整式方程，然后检验即可； (1) 小问详解： 解方程：． 解：去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． (2) 小问详解： ． 解：去分母得：， 移项并合并同类项得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 42．【答案】1 【分析】 本题考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得，则，由此即可得． 【详解】 解：， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：1． 43．【答案】 【分析】 本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】 解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式 6大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 整数指数幂 考点06 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26学年八上·山东烟台·期中）下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】 解：，，是分式， 故选C． 【点睛】 本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式． 2．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）要使分式有意义，则的取值应满足（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 要使分式有意义，分母不等于零即可． 【详解】 解：∵分式有意义 ∴ 即 故选：Ｂ 【点睛】 本题考查分式有意义的条件，根据条件列出不等式是解题的关键． 3．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了分式的有意义的条件，根据分式有意义的条件为分母不等于0得出，即可得解． 【详解】 解：∵要使分式有意义， ∴， 解得：， 故选：B． 4．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）分式的值为0，则的值是（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 0或1 【答案】A 【分析】 根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】 解：∵分式的值为0， ∴ ， 解得， 故选A． 【点睛】 本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 5．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）在分式的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子叫做分式． 根据分式定义，逐一判断所给式子是否为分式． 【详解】 解：，其中是含有字母的整式，且，符合分式定义，所以是分式； ，因为是一个常数（圆周率），不是字母，所以是整式，不是分式； ，是含有字母的整式，且，符合分式定义，所以是分式； ，是含有字母的整式，且，符合分式定义，所以是分式； ，它是整式与的和，属于整式的加减运算，是整式，不是分式． 综上，、、是分式，共3个， 故选：B． 6．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）在，，，，，中，分式的个数为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），逐一判断各表达式是否为分式． 【详解】 解：分式需满足分母中含有字母， 分析各表达式： ：分母为常数，不是分式； ：分母x为字母，是分式； ；分母3为常数，不是分式； ：无分母，不是分式； ：分母y为字母，是分式； ：分母含字母，是分式， 故选：B． 7．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（       ） 的取值 3 0 分式的值 无意义 0 1 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查分式的值，解分式方程，根据分式无意义的条件，分母为0，分式的值为0的条件，分式的分子为0，分母不为0，分别求出的值，再把和代入分式，求出分式的值，进行判断即可． 【详解】 解：∵时，分式无意义， ∴， ∴， ∵时，分式的值为0， ∴， ∴， ∴分式为， ∴当时，分式的值为，即当分式的值为1时，，即； 当时，分式的值为，即：， 综上，只有选项C错误，符合题意； 故选C． 8．（25-26学年八上·山东烟台·期中）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息： x的取值 q 分式的值 无意义 0 3 则q的值是 　　　　　． 【答案】4 【分析】 由表格中的数据，结合分式值无意义及分式值为0的条件可求解，值，即可求解分式，利用时，，计算可求解． 【详解】 解：由表格可知：当时，且当时，， 解得，， 分式为， 当时，， 解得， 经检验，是分式的解， 故答案为：4． 【点睛】 本题主要考查分式的值，分式有意义的条件及分式的值为零的条件，解分式方程，求解，值是解题的关键． 9．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）若分式的值为0，则x的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分式的值为0，可得分式的分子等于0，分母不等于0，由此可解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0时，分子等于0，分母不等于0． 10．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）若分式的值为0，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】 解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）若分式的值为零，则　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为零的条件：分式分子的值为零，分母的值不为零；根据条件可直接得到答案． 【详解】 解：根据题意可知：且， 解得， 故答案为：2 12．（25-26学年八上·山东东营·期中）若分式有意义，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了分式有意义的条件，直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案． 【详解】 ∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）若分式的值为0，则实数x的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】 解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 14．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 （1）容器中的水          （填“能”或“不能”）倒完； （2）若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； （3）当，时，求的值． 【答案】（1）不能     （2）此时倒出的总水量为      （3）      【分析】 本题主要考查数字的变化规律，列代数式以及求代数式的值，分式的加减运算． （1）对分析中的结果进行分析即可； （2）把代入分析中的结果进行计算即可； （3）把代入后进行计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ 这水不可以倒完． 故答案为：不能； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴此时倒出水的总量为． (3) 小问详解： 解：由题可知：． ． 15．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是          （填序号）． ①；②；③；④； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为          ． （3）拓展：若，求A、B的值． 【答案】（1）① ③ ④     （2）     （3），      【分析】 本题考查分式的化简求值及分式的意义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对新定义的理解． （1）分别对各式化简，即可得出答案． （2）结合完全平方公式化简即可得出答案． （3）将原式化简，可得，进而可得，的值． (1) 小问详解： 解：， 故①是“和谐分式”； ， 是整式，不是分式， 故②不是“和谐分式”； ， 故③是“和谐分式”； ， 故④是“和谐分式”． 故答案为：① ③ ④． (2) 小问详解： ． 故答案为：． (3) 小问详解： ， ， ，． 16．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，求分式的值； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，求分式的值． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； (3) 小问详解： 解：∵ ∴ ， ∴． 考点02 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】 解：、，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形正确； ．当时，无意义，该选项从左到右的变形不正确； 故选：． 2．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）下列分式中，最简分式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用最简分式定义进行分析即可； 【详解】 解：、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； B、该分式的分子、分母中含有公因数，不是最简分式，故此选项不符合题意； C、该分式是最简分式，故此选项符合题意； D、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式，解题关键掌握最简分式的定义． 3．（25-26学年八上·山东东营·期中）分式与分式的最简公分母是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母即可． 【详解】 解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C． 4．（25-26学年八上·山东东营·期中）若将分式中的、都扩大10倍，则该分式的值（     ） A. 不变 B. 扩大到原来的10倍 C. 扩大到原来的100倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【分析】分别将、都扩大10倍，计算一下，然后与原分式进行比较即可得出结论． 【详解】将分式中的、都扩大10倍为 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）下列各式的变形，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了分式的性质：判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）下列分式是最简分式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】 A. ，该分式不是最简分式，不符合题意； B. ，该分式不是最简分式，不符合题意； C. ，该分式是最简分式，符合题意； D. ，该分式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 7．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）甲乙两数（均不为零）满足：甲乙，则甲与乙的最简整数比是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查比例的基本性质以及化简比，掌握根据比例基本性质的逆运用写出比例式是解题的关键． 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，据此求解即可． 【详解】 解：因为甲乙， 所以甲：乙． 故选C． 8．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）若把分式 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（　　） A. 扩大10倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【分析】 根据分式的基本性质解答即可． 【详解】 解：把分式中的x和y都扩大10倍后可得： ， ∴缩小为原来的 ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 9．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）下列各式中，成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分式的基本性质进行判断． 【详解】 解：A、分式的分子、分母同时乘以3，分式的值不变，则成立； B、分式的分子、分母同时减2，分式的值发生改变，故不成立； C、分式的分子、分母同时平方，分式是值有可能改变，则不一定成立； D、分式的分子加2、分母乘以2，分式是值发生改变，则不成立； 故选：A． 【点睛】 本题考查分式的基本性质，分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以一个不等于0的分数（或分式），分式的值不变．灵活运用性质是解题的关键． 10．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】 根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键. 11．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）已知，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，根据已知比例，直接组合得出，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：因为， 所以， 故答案为：3． 13．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）在分式，，，中，最简分式有　　　　　　　　个. 【答案】3 【分析】本题只要看各选项能不能再进行约分，不能继续约分的即为最简分式． 【详解】解：分式，，再不能约分化简，为最简分式． 分式：=，不符合题意. 【点睛】判断一个分式是最简分式，主要看分式的分子分母是不是有公因式． 考点03 分式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：        接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 【答案】D 【分析】 根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】 ∵ = = = = =， ∴出现错误是在乙和丁， 故选D． 【点睛】 本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键． 考点04 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键．设四个长方形的面积均为S，，则，得出，，求出，，根据求出结果即可． 【详解】 解：设四个长方形的面积均为S，，则， ∴，， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 2．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）某人从A地到B地的速度为v1，从B地返回A地的速度为v2，若v1≠v2，则此人从A地到B地往返一次的平均速度是（　　） A.  B.  C.  D. 以上都不对 【答案】C 【分析】 设A地到B地的路程为S，根据平均速度等于总路程除以总时间，即可求解． 【详解】 解：设A地到B地的路程为S，根据题意得： 平均速度是． 故选：C 【点睛】 本题主要考查了分式混合运算的应用，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 3．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如果，那么　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查分式的化简求值，将已知去分母转化为，再代入进行约分即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】 本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】 解：原式 ， ， 只能取， 当时，原式． 5．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）先化简，再求值：，从、、中选一个合适的带入求值． 【答案】；当时，原式= 【分析】 本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，先计算括号内分式的加减运算，再计算除法运算，结合分式有意义的条件，再把代入求值即可； 【详解】 解： ； ∵且， 当时，原式； 6．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1． 【分析】 本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号里面的，再计算括号外面的除法，最后把代入化简后的分式中计算即可． 【详解】 解： 当时，原式． 7．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）已知，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 该题考查了分式的混合运算，代数式求值，首先利用分式乘方和乘除法法则简化已知方程，得到，然后通过平方运算求的值． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：9． 8．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先计算括号内减法，再计算乘法． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 9．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，-1． 【分析】 先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可． 【详解】 解： = = = = = = 在、、0、1、2中只有当x=-2时，原分式有意义，即x只能取-2 当x=-2时，． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x的值是解答本题的关键． 10．（25-26学年八上·山东烟台·期中）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】 本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整理得，再整体代入计算即可求出值． 【详解】 解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 11．（25-26学年八上·山东烟台·期中）定义新运算：，若，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】 解：， ，即， ， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·山东烟台·期中）先化简，再求值：，其中x是不等式组 的整数解． 【答案】， 【分析】 本题主要考查分式的化简求值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的运算及一元一次不等式组的解法是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后得出不等式组的整数解，进而代值求解即可． 【详解】 解： ； 解不等式组 得：， ∴不等式组的整数解有， 由分式有意义可知：， ∴当时，原式． 13．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）（1）计算：； （2）先化简，再从中选择一个合适的整数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了分式的加减、分式的化简与求值、分式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式加减的运算法则计算即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件，选择一个合适的整数代入求值即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ， 由题意得，， 当时，原式． 14．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）已知，，为常数，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到 ，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】 解： ， ， ，解得 ， ． 15．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师博，给我加200元油．”（油箱未加满）．而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升． （1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．（用含x．y的代数式表示） （2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】（1）两次加油的总量是：升，平均价是元/升． （2）解：当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱．当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱 理由：设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价是（元/升）， ∵， ∴当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱； 当时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱． 【分析】 （1）根据题意找出对应量，列式即可； （2）设爸爸每次加满油箱的油是a升，则爸爸两次加油的平均价是（元/升），根据题意列出式子，讨论即可． 【详解】 （1）妈妈两次加油的总量是：升； 妈妈两次加油的平均价是（元/升）． （2）略 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，理解题意是解题关键． 16．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了分式求值、等式的基本性质等知识点，掌握分式求值的方法是解题的关键． 由方程可知，将方程两边除以，得到，即可求解的值． 【详解】 解：∵， ∴， 将方程两边同时除以，得：， 移项得：． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）已知，那么的值为　　　　　　．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】 本题主要考查了分式的四则运算，数字类的规律探索，根据题意结合分式的计算法则计算出的值，可得这一列数每3个数字为一个循环，结果依次为，，，据此求出2025除以3的商和余数即可得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，这一列数每3个数字为一个循环，结果依次为，，， ∵ ， ∴是第675个循环组的最后一个，即与相等， 即， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）② ③     （2）     （3）      【分析】 本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义逐个分析即可得解； （2）根据题意结合“和谐分式”的定义计算即可得解； （3）先化简，再结合分式有意义的条件即可得解． (1) 小问详解： 解：，， 故属于“和谐分式”的是② ③ ； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解： ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 19．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）若，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将所求分式通分后，利用完全平方公式将分子转化为已知条件的形式，代入数值计算． 【详解】 解：∵ ， 又∵，， ∴ 原式， 故答案为：． 20．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）计算 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）x     （2）化简结果是：，求值结果是：      【分析】 本题考查了分式的加减，分式的化简求值，算术平方根、绝对值、负整数指数幂，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． （1）根据相反数的性质，将异分母的分式变成同分母的分式，计算即可，注意约分； （2）先将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，最后代入计算即可求出值． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ， 当时， 原式． 21．（25-26学年八上·山东东营·期中）（1）化简： （2）先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【分析】 本题考查了分式的混合运算和化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据分式的除法运算法则求解即可； （2）根据分式运算法则先化简，然后根据分式有意义的条件求出，，然后根据且x为整数得到，然后代入求解即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解： ， ∵，，， ∴，， ，且x为整数， 当时，原式． 22．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）下面是小亮和小莹在解答题目：“已知，求的值”时的对话． 小亮说：用n来表示m，代入要求的代数式可以求出它的值． 小莹说：把转化为，然后设，…… 请你结合上面的信息，完成下面的题目． （1）已知，则______． （2）如果，那么成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由． （3）设互不相等的非零实数a，b，c，满足，求的值． 【答案】（1）     （2） 解：成立，推理过程如下： 设， 则，， ∴，， ∴；     （3）9      【分析】 本题考查了分式的化简与求值，理解题意是解题的关键． （1）由题意得，再代入要求的代数式即可求值； （2）设，则，，分别计算和的值，再比较二者的大小即可得出结论； （3）设，则，整理得，由得，则有，因式分解得，再结合求出的值，即可解答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，即， ∴ ． 23．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）若，则的值是　　　　　　． 【答案】7 【分析】 先将已知条件进行化简，然后将所求的分式进行变形，代入已知关系即可求解． 【详解】 解：① 由已知条件得出与的关系： ∵,通分可得， ∴． ② 将所求式子化简求值： 把代入，将分子和分母分别整理： 分子变为：． 分母变为：． 将代入整理后的分子和分母： 分子变为：． 分母变为：． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，解题关键是根据已知条件得出与的关系，再利用整体代入思想化简求值． 24．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． （3）若，且，求的值． 【答案】（1）      （2）      （3）       【分析】 本题考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）仿照材料二，设，则，代入所求式子即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分，利用完全平方公式性质求解即可； （3）取倒数得：，拆项得，从而得，代入已知可得结论． (1) 小问详解： 解：设，则， ； (2) 小问详解： ， ； (3) 小问详解：        ， 将其代入中得： ， ， ， ． 考点05 整数指数幂 1．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）计算： 【答案】 【分析】 分别计算乘方运算，零次幂，算术平方根，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】 解：原式 【点睛】 本题考查的是零次幂的含义，求解一个数的算术平方根，负整数指数幂的含义，掌握以上基础运算是解题的关键. 2．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）计算：　　　　　　　　． 【答案】.25 【分析】 本题考查算术平方根，负整数指数幂的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算算术平方根和负整数指数幂，进而求得结果． 【详解】 解：． 故答案为：． 考点06 分式方程 1．（25-26学年八上·山东烟台·期中）某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费72元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．晓华根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义为（       ） A. 每行驶1千米纯用电的费用 B. 每行驶1千米纯燃油的费用 C. 每1元电费可行驶的路程 D. 每1元邮费可行驶的路程 【答案】A 【分析】 根据方程中的两个分母x与，结合语句“已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元”即可判断x表示每行驶1千米纯用电的费用． 【详解】 根据方程中的两个分母x与，结合语句“已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元”，即可判断x表示每行驶1千米纯用电的费用． 故选：A 【点睛】 本题考查用方程解决实际问题，正确理解题意是解题的关键． 2．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网米，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查根据实际问题列分式方程，根据工作时间等于工作总量除以工作效率，以及比原计划提前15天完成任务，列出分式方程即可． 【详解】 解：设原计划每天改造管网米，由题意，得： ； 故选D． 3．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题． 【详解】 解：设实际每天铺xm管道，则原计划每天铺m管道， 根据题意，得， 故选：B． 【点睛】 本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 4．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）某收割队承接了60公顷水稻的收割任务，为了让大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为公顷，则下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查分式方程解应用题．根据题意先用含的代数式表示出实际工作效率，再根据题意列出方程即可． 【详解】 解：设原计划每天收割的面积为公顷， ∵实际工作效率比原来提高了， ∴实际工作效率为， ∴可列方程为：， 故选：D． 5．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）将分式方程去分母后得到的整式方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】 解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 6．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查列分式方程．根据题干可得，等量关系式为：普通客机所用的时间-所用时间，据此列出方程即可． 【详解】 解：根据题意，得． 故选：D． 7．（25-26学年八上·山东烟台·期中）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即, ∴，且 ∴且， 故选：C． 8．（25-26学年八上·山东烟台·期中）关于的方程无解，则的值为（       ） A. 1或 B. 1 C.  D. 不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解的性质．先去分母把分式方程化为整式方程，然后分两种情况讨论，当时，当时，即可求解． 【详解】 解：， 等式两边同时乘以：， ∴， ∴， 当时， 方程无解，此时 当时， ∵方程无解， ∴ 解得： ∴的值为：或． 故选：A． 9．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）若，则的值为（　　） A. 3 B.  C. 3或 D. 或2 【答案】A 【分析】 先将等式变形为，再由十字相乘法解一元二次方程可得． 【详解】 解∶， 解得或， 故选：A． 【点睛】 本题考查因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，十字相乘法解一元二次方程，整体的数学思想是解题的关键． 10．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查列分式方程，设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则燃油汽车平均每公里的加油费是元，根据“若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍”可列出分式方程，理解题意并找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则燃油汽车平均每公里的加油费是元， 依题意，得：． 故选：B． 11．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（       ）． A. 2 B. 1 C. 3 D.  【答案】D 【分析】 本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可． 【详解】 解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选D． 12．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】 解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，则去年的销售价格为万元/辆， 根据题意，得：， 故选：． 13．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）分式方程的解为正数，则的取值范围（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】B 【分析】 本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】 解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 14．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）若，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有a的取值之和为（     ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【分析】 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是熟练解分式方程． 先解分式方程，得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的值，然后求和． 【详解】 解：方程 ， 原方程可以化为， 方程两边同乘，得： ， 化简得： ， ， ， 为正整数且 ， 为正整数，且， 设，则，其中为正整数，且 又， ， 解得：， （ 为正整数）， （）， 对应值： 当，； 当，； 当，， 所以，所有值为 ， 其和为 ， 故选：A． 15．（25-26学年八上·山东东营·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据总长度表示出罗布的长度，再根据总收入得到两种布的单价，最后根据“绫布和罗布各出售尺共收入文”的等量关系列方程即可． 【详解】 解：设绫布有尺，则罗布有 尺， 绫布和罗布分别全部出售后均能收入文， 绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文， 又绫布和罗布各出售尺共收入文， 可列方程． 16．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）若关于的方程无解，则的值为（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了分式方程的无解问题，注意方程无解的情况有两种：一是化简后得到矛盾等式；二是解出的根为增根（使分母为零）．将分式方程先化简，得到，分和 两种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：移项得：，即， 情况一：当 时，方程变为 ， 分子为，分母不为零时值不可能为零， 方程无解； 情况二：当 时， 方程两边同乘以 得，， 整理得， ， 若此解为增根，则增根为， 令，即，解得； 综上，方程无解时 或 ． 17．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了分式的化简及解分式方程，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而求出，列出分式方程解出得出答案． 【详解】 解：， ， ， ， ， 三个数一个循环， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：C． 18．（25-26学年八上·山东烟台·期中）已知有增根，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键．将原方程去分母后并整理，然后将增根代入该方程中解得a的值即可． 【详解】 解：原方程去分母得：， 原方程有增根， ， ， ， 解得：， 故答案为：1． 19．（25-26学年八上·山东烟台·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （2）两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． (1) 小问详解： 解： 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； (2) 小问详解： 解： 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根， ∴原方程无解． 20．（25-26学年八上·山东烟台·期中）昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，若全程运行时间缩短9分钟(不考虑停靠站点)，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，则可列方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列分式方程，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，进行列方程，即可作答． 【详解】 解：由题可知昌九高速铁路的设计速度为x千米/时， 则昌九城际铁路的设计速度为千米/时， 根据题意可列方程为 即 故答案为： 21．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． （1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． （2）电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 【答案】（1）这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元     （2）13500      【分析】 本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元），根据题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答． (1) 小问详解： 解：设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元； (2) 小问详解： 解：由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元）， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴a的值为13500． 22．（25-26学年八上·山东烟台·期中）某服装店老板到厂家选购甲、乙两种品牌的童装准备进行销售．每套甲品牌的童装比乙品牌的童装进价多25元，用2000元购进甲种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍． （1）求甲、乙两种品牌的童装每套进价分别是多少元？ （2）若甲品牌童装每套的售价为130元，乙品牌童装每套售价为95元，服装店老板去进货时决定购进甲品牌的童装数量是乙品牌童装数量的2倍还多4套，两种童装全部售出后要使总利润不少于1230元，至少购进甲品牌的童装多少套？ 【答案】（1）甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元     （2）至少购进甲品牌的童装32套      【分析】 （1）设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（）元，根据“用2000元购进甲种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍”列出方程，解方程即可； （2）设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装套，根据“两种童装全部售出后要使总利润不少于1230元”可列出不等式，再解不等式即可． (1) 小问详解： 解：设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（）元，根据题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元； (2) 小问详解： 设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装套，根据题意得， ， 解得， 答：至少购进甲品牌的童装32套． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目中的等量关系和不等关系是解题的关键． 23．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意需要检验． （1）先把分式方程化为整式方程，解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，解得，最后验根，即可作答． (1) 小问详解： 解： ， 经检验：当时，则， 故是原分式方程的解； (2) 小问详解： 解： ， 经检验：当时，则， 故是原分式方程的增根， ∴此方程无解． 24．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． （1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ （2）若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 【答案】（1）甲队每天施工千米，乙队每天施工千米     （2）千米      【分析】 本题考查了是分式方程的应用，一元一次方程的应用，依据题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米，根据“甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的”列方程求解即可． （2）设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米，根据“两个工程队施工的总费用为万元”列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米．根据题意得： ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ． 答：甲队每天施工千米，乙队每天施工千米． (2) 小问详解： 解：设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米， 由题意得：， 解得， 答：甲工程队需要施工千米． 25．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键． （1）方程两边都乘，将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． （2）方程两边都乘，将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． (1) 小问详解： 解：方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 原方程的解为． (2) 小问详解： 解：方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 不是原方程的解， 原方程无解． 26．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）若关于x的方程无解，则m的值为　　　　　 ． 【答案】或0 【分析】 本题主要考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况，一是化为整式方程，该整式方程无解，二是方程有增根，据此分两种情况求解即可． 【详解】 解：将方程化成整式方程为：， 即， 增根为：， ∴， ∴． 当时，方程无解， 故答案为：或0 27．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成． 求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？ 【答案】乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天； 10万元． 【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，则甲队的工效为，乙队的工效为，由已知得：甲队工作了30天，乙队工作了10天完成，列方程得：，解出即可，要检验； （2）根据（1）中所求得出甲、乙合作需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案． 【详解】设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天， 依题意得：， 解得， 检验，当时，， 所以原方程的解为． 所以天． 答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天； 设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天， 则有， 解得． 需要施工的费用：万元． ， 工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，属于工程问题，明确三个量：工作总量、工作效率、工作时间，一般情况下，根据已知设出工作时间，根据题意表示出工效，找等量关系列分式方程，本题表示等量关系的语言叙述为：“甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成”． 28．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）（1）解方程：； （2）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】（1）无解；（2）， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，解分式方程． （1）方程两边都乘以，变形为一元一次方程，再解这个整式方程，然后验根，即可得出原方程的解； （2）先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可． 【详解】 （1）解：， 去分母， 解得， 经检验是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： ， ∵，且且， ∴整数， 当时，原式． 29．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？ 【答案】30元 【详解】试题分析：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是： ，第二批进的数量是： ，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程． 解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则 2× = ， 解得 x=30 经检验，x=30是原方程的根． 答：第一批盒装花每盒的进价是30元． 考点：分式方程的应用． 30．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是 　　　　　　． 【答案】a≤-1且a≠-2 【详解】 去分母可得：a+2=-x+1， 解得：x=a+1， 根据解为非正数可得：x≤0，且x≠-1， 即a+1≤0，且a+1≠-1， 解得：a≤-1且a≠-2． 故答案为：a≤-1且a≠-2． 31．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）解分式方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点． （1）方程两边乘以去分母，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可解答； （2）方程两边乘以去分母，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可解答． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 当时，， 所以原分式方程无解． 32．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 检验：把代入得， 是原方程的解； (2) 小问详解： 解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 检验：把代入得， 是原方程的增根， ∴原方程无解． 33．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为　　　　　． 【答案】1或 【详解】 解：去分母得：x-3a=2a（x-3）， 整理得：（1-2a）x=-3a， 当1-2a=0时，方程无解，故a=； 当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解， 则a=1， ∴关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或． 故答案为：1或． 34．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？ 【答案】（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒 【分析】 （1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元，根据“4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可； （2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答． 【详解】 解：（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元． 根据题意，得 ． 解得． 经检验：是原方程的根． ∴（元）． ∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元． （2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒． 打折前A种茶叶的利润为． B种茶叶的利润为． 打折后A种茶叶的利润为． B种茶叶的利润为0． 由题意得：． 解方程，得：． ∴（盒）． ∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒． 【点睛】 本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验． 35．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）若关于的分式方程有增根，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了分式方程的增根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先通过去分母将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义，将增根代入整式方程求解． 【详解】 解：， ， ∴， ∵方程有增根， ∴， 解得：． 故答案为：． 36．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？ （2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？ 【答案】（1）每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元     （2）最多可购买50件甲种商品      【分析】 （1）设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购买件甲种商品，则购买件乙种商品，根据题意，列出一元一次不等式，解不等式即可求解． (1) 小问详解： 设每件乙种商品的价格为元，每件甲种商品的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：每件甲种商品的价格为元，每件乙种商品的价格为元． (2) 小问详解： 设购买件甲种商品，则购买件乙种商品， 依题意得：， 解得：， ∴m的最大值为50． 答：最多可购买50件甲种商品． 【点睛】 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． 37．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）解分式方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）无解      【分析】 （）根据解分式方程的步骤解答即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； (2) 小问详解： 解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解 38．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）若关于x的分式方程有增根，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据增根的概念，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可． 【详解】 解：关于的分式方程， 去分母可化为， 又因为关于的分式方程有增根， 所以是方程的根， 所以， 故答案为：． 【点睛】 本题考查分式方程的增根，理解增根的概念和产生过程是正确解答的关键． 39．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】见解析 【分析】 本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】 解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列分式方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册． 根据题意可列分式方程：． 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． 40．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1）原方程无解     （2）      【分析】 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．需要注意分式方程需要检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． (1) 小问详解： 解： ， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解； (2) 小问详解： 解： ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 41．（25-26学年八上·山东东营·期中）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）无解     （2）      【分析】 此题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键： （1）去分母解整式方程，然后检验即可； （2）去分母解整式方程，然后检验即可； (1) 小问详解： 解方程：． 解：去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． (2) 小问详解： ． 解：去分母得：， 移项并合并同类项得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 42．（25-26学年八上·山东东营·期中）已知关于x的方程有增根，那么　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得，则，由此即可得． 【详解】 解：， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵关于的方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：1． 43．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】 解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式 6大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的乘法与除法 考点04 分式的加法与减法 考点05 整数指数幂 考点06 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26学年八上·山东烟台·期中）下列各式：，，，5，，，，分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）要使分式有意义，则的取值应满足（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）分式的值为0，则的值是（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 0或1 5．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）在分式的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）在，，，，，中，分式的个数为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（       ） 的取值 3 0 分式的值 无意义 0 1 A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·山东烟台·期中）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息： x的取值 q 分式的值 无意义 0 3 则q的值是 　　　　　． 9．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）若分式的值为0，则x的值为　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）若分式的值为0，则的值为　　　　　． 11．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）若分式的值为零，则　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·山东东营·期中）若分式有意义，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）若分式的值为0，则实数x的值为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）【发现问题】一个容器中装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出水，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，，第次倒出的水量是的． 【提出问题】按照这种倒水的方法，容器中的水能倒完吗？ 【分析问题】容易列出倒次水倒出的总水量为． 根据分式的减法法则，． 反过来，有． 所以，倒次水倒出的总水量为． 【解决问题】 （1）容器中的水          （填“能”或“不能”）倒完； （2）若目前共倒了次水，求此时倒出的总水量； （3）当，时，求的值． 15．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如：，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是          （填序号）． ①；②；③；④； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为          ． （3）拓展：若，求A、B的值． 16．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，求分式的值； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，求分式的值． 考点02 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）下列分式中，最简分式是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山东东营·期中）分式与分式的最简公分母是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山东东营·期中）若将分式中的、都扩大10倍，则该分式的值（     ） A. 不变 B. 扩大到原来的10倍 C. 扩大到原来的100倍 D. 缩小到原来的 5．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）下列各式的变形，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）下列分式是最简分式的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）甲乙两数（均不为零）满足：甲乙，则甲与乙的最简整数比是（       ）． A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）若把分式 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（　　） A. 扩大10倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 9．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）下列各式中，成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）已知，，则　　　　　　． 12．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）在分式，，，中，最简分式有　　　　　　　　个. 考点03 分式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：        接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁 考点04 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）某人从A地到B地的速度为v1，从B地返回A地的速度为v2，若v1≠v2，则此人从A地到B地往返一次的平均速度是（　　） A.  B.  C.  D. 以上都不对 3．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如果，那么　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 5．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）先化简，再求值：，从、、中选一个合适的带入求值． 6．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）先化简，再求值：，其中． 7．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）已知，则的值为　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）计算： （1）； （2）． 9．（25-26学年八上·山东滨州经济技术开发区·期中）先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 10．（25-26学年八上·山东烟台·期中）已知：，求代数式的值． 11．（25-26学年八上·山东烟台·期中）定义新运算：，若，则的值是　　　　　　． 12．（25-26学年八上·山东烟台·期中）先化简，再求值：，其中x是不等式组 的整数解． 13．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）（1）计算：； （2）先化简，再从中选择一个合适的整数代入求值． 14．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）已知，，为常数，求的值． 15．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师博，给我加200元油．”（油箱未加满）．而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升． （1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．（用含x．y的代数式表示） （2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 16．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）已知，那么的值为　　　　　　．（用含x的代数式表示） 18．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）先化简，若该式的值为整数，求x的整数值． 19．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）若，则的值为　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）计算 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 21．（25-26学年八上·山东东营·期中）（1）化简： （2）先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 22．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）下面是小亮和小莹在解答题目：“已知，求的值”时的对话． 小亮说：用n来表示m，代入要求的代数式可以求出它的值． 小莹说：把转化为，然后设，…… 请你结合上面的信息，完成下面的题目． （1）已知，则______． （2）如果，那么成立吗？若成立，请写出推理过程；若不成立，请说明理由． （3）设互不相等的非零实数a，b，c，满足，求的值． 23．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）若，则的值是　　　　　　． 24．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． （3）若，且，求的值． 考点05 整数指数幂 1．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）计算： 2．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）计算：　　　　　　　　． 考点06 分式方程 1．（25-26学年八上·山东烟台·期中）某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路线返程时用纯燃油行驶，花燃油费72元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．晓华根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义为（       ） A. 每行驶1千米纯用电的费用 B. 每行驶1千米纯燃油的费用 C. 每1元电费可行驶的路程 D. 每1元邮费可行驶的路程 2．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）某市为解决雨季时城市内涝的难题，计划改造一段长5400米的老街道地下管网．施工过程中，实际施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前15天完成任务，求实际施工时每天改造管网的长度．设原计划每天改造管网米，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）在“建设美丽阜新”的行动中，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工时对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务．设实际每天铺xm管道，根据题意，所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）某收割队承接了60公顷水稻的收割任务，为了让大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为公顷，则下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）将分式方程去分母后得到的整式方程为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为，的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约，航行时间节约了约．设客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·山东烟台·期中）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  8．（25-26学年八上·山东烟台·期中）关于的方程无解，则的值为（       ） A. 1或 B. 1 C.  D. 不能确定 9．（25-26学年八上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）若，则的值为（　　） A. 3 B.  C. 3或 D. 或2 10．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是元，则下列正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（       ）． A. 2 B. 1 C. 3 D.  12．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）分式方程的解为正数，则的取值范围（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 14．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）若，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有a的取值之和为（     ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 15．（25-26学年八上·山东东营·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）若关于的方程无解，则的值为（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  17．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）已知（且），，，…，，若的值等于7，则x的值为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·山东烟台·期中）已知有增根，则　　　　　　． 19．（25-26学年八上·山东烟台·期中）解方程： （1） （2） 20．（25-26学年八上·山东烟台·期中）昌九高速铁路正线全长约138千米，比昌九城际铁路正线全长多3千米，昌九高速铁路的设计速度比昌九城际铁路每小时快100千米，若全程运行时间缩短9分钟(不考虑停靠站点)，设昌九高速铁路的设计速度为x千米/时，则可列方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． （1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． （2）电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 22．（25-26学年八上·山东烟台·期中）某服装店老板到厂家选购甲、乙两种品牌的童装准备进行销售．每套甲品牌的童装比乙品牌的童装进价多25元，用2000元购进甲种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍． （1）求甲、乙两种品牌的童装每套进价分别是多少元？ （2）若甲品牌童装每套的售价为130元，乙品牌童装每套售价为95元，服装店老板去进货时决定购进甲品牌的童装数量是乙品牌童装数量的2倍还多4套，两种童装全部售出后要使总利润不少于1230元，至少购进甲品牌的童装多少套？ 23．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）解方程： （1）； （2）． 24．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． （1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ （2）若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 25．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）解下列方程： （1）． （2）． 26．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）若关于x的方程无解，则m的值为　　　　　 ． 27．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成． 求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？ 28．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）（1）解方程：； （2）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 29．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？ 30．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是 　　　　　　． 31．（25-26学年八上·山东淄博博山区第一中学·期中）解分式方程 （1） （2） 32．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）解分式方程： （1）； （2）． 33．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为　　　　　． 34．（25-26学年八上·山东淄博高新区·期中）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． （1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？ 35．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）若关于的分式方程有增根，则的值为　　　　　． 36．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？ （2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？ 37．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）解分式方程 （1） （2） 38．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）若关于x的分式方程有增根，则　　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）【调查活动】小超同学为了完成老师布置的社会活动作业：《岳阳市初中生阅读水平的现状》，随机走访了岳阳市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】小超把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小超同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”中任选一个，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 40．（25-26学年八上·山东济宁高新区·期中）解方程 （1） （2） 41．（25-26学年八上·山东东营·期中）解方程： （1）． （2）． 42．（25-26学年八上·山东东营·期中）已知关于x的方程有增根，那么　　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $