专题02 全等三角形（期中真题汇编，山东专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】 解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 2．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A. 1 B.  C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得，，，求出，再由计算即可得解，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）如图，已知四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度沿运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为　　　　　　时，能够使与全等． 【答案】2或 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是分情况讨论与全等的情况，根据全等三角形的对应边相等列方程求解． 先求出的长度，再分两种情况讨论与全等：当时；当，时．分别根据路程、速度、时间的关系求出时间，进而求出点的运动速度． 【详解】 解：点为的中点，， ． 设运动时间为秒，点的速度为，则． 情况一：当时 此时． 由可得：， 解方程：． 则， 点的运动速度为； 情况二：当时 此时． 由可得：， 解方程：． 则， 点的运动速度为． 综上，点的运动速度为2或． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）综合实践课上，小莹先画出了，然后用尺规按如下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E、F； ②以点F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； ③作射线． 她通过判定得到，其中判定的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查尺规作图，全等三角形的判定方法，根据作图步骤得到，结合，得到即可． 【详解】 解：由作图可知：， 又∵， ∴ ∴判定的依据是． 故选：A． 2．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【详解】 要使△ABP与△ABC全等， 必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离， 即3个单位长度， 所以点P的位置可以是P1，P3，P4三个， 故选C． 3．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，已知，，要得到，还应给出的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】 解：A、添加，此时不是对应边，无法得到，故本选项不符合题意； B、添加，满足角角角，无法得到，故本选项不符合题意； C、添加，满足角角边，可得到得到，故本选项符合题意； D、添加，可得到，则，满足角角角，无法得到，故本选项不符合题意； 故选：C 4．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】 解：∵，， A、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； B、添加，则，利用能判定，故该选项不符合题意； C、添加，利用能判定，故该选项不符合题意； D、添加，利用不能判定，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 根据题中的图形，可以得到 ，，，再根据全等三角形的判定方法，求解即可． 【详解】 解：由作图可知， ，，， 则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 6．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】 解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 7．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，☆为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，○为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求作的角． 下列说法不正确的是（　　） A. ☆表示任意长 B. n与☆的长相等 C. ○与☆的长度相等 D. ○与的长度相等 【答案】C 【分析】 本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作图方法即可得解，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解此题的关键． 【详解】 解：由作一个角等于已知角的作图方法可知， ☆表示任意长，与☆的长相等，○与的长度相等， 所以A，B，D选项正确，C选项不正确． 故选：C． 8．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据证明，得到，即可解答． 【详解】 解：在和中 ∴， ∴． 故选：D． 9．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，．    求作：，使． 下面是作图示范：       正确作图顺序为（       ） A. ①②③④ B. ①③②④ C. ①③④② D. ①②④③ 【答案】B 【分析】 根据基本作图，先作射线并在射线上截取,再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】 ∵根据基本作图，先作射线并在射线上截取,再作，接着在上截取，最后连接， 则即为所求． 故选B． 【点睛】 本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 10．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，若，则添加不能使的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．已知条件中已经有一边一角，需要证明全等，可以添加角，也可以添加边．若添加边，只能添加，若添加角，另外两组角随便添加即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， A、根据，，不能推出，故本选项符合题意； B、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； C、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； D、∵，，， ∴符合定理，即能推出，故本选项不符合题意； 故选：A． 11．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图所示，，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动，且．若点，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，过点P作 轴于E，作轴于F，根据点P的坐标可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形性质得出，，然后求出，再写出点B的坐标即可． 【详解】 解：过点P作轴于E，作轴于F，如图：     ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 故选：D． 12．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，在中，，．点D、E、C在同一条直线上，，，其中，，则的长度为（       ） A. 14 B. 20 C. 28 D. 34 【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的应用，根据证明，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，，， ∴， 在与中， ． ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 13．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）如图，在和中，，，添加下列哪一个条件无法证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断即可得解，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：、∵， ∴， ∴，则添加不能证明，故该选项符合题意； 、∵， ∴， 在和中， ， ∴，故该选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，故该选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，故该选项不符合题意； 故选：． 14．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，在中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为24，则与的面积之差是（     ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【分析】 本题主要考查的是三角形外角性质、全等三角形的判定（）与性质、三角形面积的比例关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先利用三角形外角性质和角的和差关系推出、，结合，通过证明，得到两者面积相等；再根据及的面积，求出和，进而得出与的面积之差． 【详解】 ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 与的面积之差， ，的面积为， ， ． ， 故选：B． 15．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的个数是（       ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和以及角平分线的定义，证明三角形全等是解题的关键． 根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断① ；推出，根据证明即可，即可判断② ；证明，得， ，根据外角的性质可判断③ ；通过等量代换可判断④ ． 【详解】 解：在中，， ， 分别平分， ， ， ∴，故结论① 正确； ， 又∵， ， ， ， 在和中， ， ∴，故结论② 正确； ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴，故结论③ 正确； 又∵， ∴， 即，故结论④ 正确， ∴正确的个数是4个． 故选：D． 16．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，四边形中，连接，．点E在上，连接，，交于点F，恰好平分，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 解：∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平分，得又因为，，证明即可作答． （2）由得，又因为，，证明，得再运用勾股定理列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在中，， 解得（负值已舍去）． 17．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，且D，C，E在同一直线上，求证：． 【答案】证明：，， ，                                       ，， ， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定，余角的性质，根据余角的性质得出是解题的关键．先根据余角的性质得出，然后根据证明即可． 【详解】 略． 18．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是　　　　　　　　．（填“甲”“乙”“丙”） 【答案】乙 【分析】 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】 解：甲图形中只有一个内角和一条对边对应相等，无法证明全等； 乙图形可以根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，证明乙图形和全等； 丙图形中只有两个内角对应相等，无法证明全等． 故答案为：乙． 19．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的理由是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定，由作图痕迹可知，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】 解：从作图可知，， ， 的理由是， 故答案为：． 20．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，已知，添加一个条件　　　　　　　　　　，使得． 【答案】或或 【分析】 本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 结合题中，，根据两个三角形全等的判定定理添加条件即可得到答案． 【详解】 解：，， 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：或或． 21．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1： ① 如图1，即为所求； ②； 任务2：①90； ②． 【分析】 本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】 解：任务一： ① 略 ② 依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 22．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为　　　　　　时，和可能全等． 【答案】或 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】 解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 23．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在四边形中，对角线，交于点O，，E是上一点，且，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 24．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，，以点为直角顶点，为腰作等腰直角．则点的坐标为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，当点在轴上方时，过点作轴于，可证，即可得，，进而可得；同理点在轴下方时，可得，据此即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：如图，当点在轴上方时，过点作轴于，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当点在轴下方时，同理可得； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或 25．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）学习完利用三角形全等测距离后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且；测得，；在的延长线上取点，使得；测得的长度为米． 请你根据以上方案求出、两点间的距离． 【答案】米 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法．证明，得出，根据，求出米． 【详解】 解：，， ， ∵ ， 在与中 ， ， ， 又， 米． 26．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，为的平分线上一点，于点，，则，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 作于点，根据角平分线的性质可得，再由可得，即可证明得到，即可证明，求解即可． 【详解】 作于点，    ∵为的平分线上一点，于点， ∴，， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在和中，，是的中点，，垂足为，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ． 在和中， ， ．     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先证，进而证明，可得； （2）由，得．再结合E是的中点，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由，得． E为的中点， ∴． ， ， ． 28．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，                                                             在和中， ， ∴．      【分析】 本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴； (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（______）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵ ， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）已知，对顶角相等，（2）（3）7 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，垂直平分线的性质和判定，三角形的中线，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出，结合得垂直平分，可得，即可得解． 【详解】 （1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵ （对顶角相等）， ∴（）． 故答案为：已知，对顶角相等，． （2）解：， ， ，即， ， ； （3）解：延长交的延长线于点F，如图： ， ， 是的中线， ， ， ， ， ， 垂直平分， ． 30．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键． （1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论． (1) 小问详解： 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 31．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发，以秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动　　　　　　　　　　　　　　秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等． 【答案】0，2，6，8 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：① 当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ② 当E在上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ③ 当E在线段上，时，，这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④ 当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 综上所述，当点E运动0，2，6，8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等 故答案为：0，2，6，8． 32．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】（1）；理由见解析     （2）小丽距地面的高为      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 33．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 【答案】证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【分析】 利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】 略 34．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】 解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 35．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）【思维导图】 丞丞同学通过全等三角形的学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图． 【初步应用】 （1）如图①，在中，是的中点，连接，过点作于点，若的面积是，求的长． 【推导明理】 （2）如图②，是的中线，若．求的取值范围． 丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长至点，使得，连接，从而得到，进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出的取值范围；在辅助线的做法上，霖霖同学经过思考，先过点作，交的延长线于点，从而得到，进而解决问题． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【拓展运用】 （3）如图③，在中，，分别是上一点，连接，是的中点，连接，若，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴（） ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）由中点得，进而得的面积，再根据面积公式构造方程即可得解； （2）延长至点，使得，连接，证明，得，再利用三角形的三边关系即可得解； （3）延长到，使得，连接，证明（）得，，再证明，得，从而得． 【详解】 （1）解：∵是的中点， ∴， ∵的面积是 ∴的面积， ∵，， ∴即， ∴； （2）解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，中点定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 36．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）已知，其中． （1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； （2）改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】（1） ① 证明：如图① ，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ② 证明：∴， ∴；     （2） 解：如图② ，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即．      【分析】 本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 略 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质，作角平分线；根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：过点E作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 过D作DG⊥AC于点G，根据角平分线的性质以及割补法可列出等式，进而可求出BF的值． 【详解】 解：如图，过D作DG⊥AC于点G， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴DG=DE=2， ∵， ∴， ∴， 解得BF=5， 故选：C． 【点睛】 本题考查角平分线的性质，割补法求面积，能够熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 3．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（       ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查角平分线的性质，作，垂足为，根据角平分线的性质，得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】 解：作，垂足为， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．（25-26学年八上·山东威海·期中）已知，如图，于点于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 5．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是　　　　　　． 【答案】5 【分析】 此题考查了作图基本作图，角平分线的性质，作于，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】 解：作于， ∵， ∴， 由作图步骤可得为的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：5． 6．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且的周长为18，则的面积为　　　　　　． 【答案】27 【分析】 作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积． 【详解】 如图，作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OD=OE=OF=3， ∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB =AB•OD+AC•OE+BC•OF=OD（AB+BC+AC）=×3×18=27， 故答案为27． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键． 7．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：于点， ， 又平分，， ， 在和中 ， ， ；     （2）4      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键． （1）利用角平分线的性质可得，再利用证明，即可证明； （2）利用证明，可得，设，则，，即可建立方程求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ， ， 由（1）可知， 设， ，， ，， ， 解得：， 即． 8．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）已知，为射线上一点，，． （1）证明：平分； （2）若与交，，证明：． 【答案】（1） 证明：过点作于点，于点， ． ，， ， ． ，， 平分；     （2） 证明：在上截取，连接． 由（1）得平分， ． ， ， ． ， ． ，， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质． （1）过点作于点，于点，证明推出，利用角平分线的判定定理即可证明平分； （2）在上截取，连接．证明推出，再证明，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A. 1 B.  C. 2 D. 4 3．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）如图，已知四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度沿运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为　　　　　　时，能够使与全等． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）综合实践课上，小莹先画出了，然后用尺规按如下步骤作图： ①以点O为圆心，任意长为半径画，分别交于点E、F； ②以点F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； ③作射线． 她通过判定得到，其中判定的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，已知，，要得到，还应给出的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在和中，点B、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，☆为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，○为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求作的角． 下列说法不正确的是（　　） A. ☆表示任意长 B. n与☆的长相等 C. ○与☆的长度相等 D. ○与的长度相等 8．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，．    求作：，使． 下面是作图示范：       正确作图顺序为（       ） A. ①②③④ B. ①③②④ C. ①③④② D. ①②④③ 10．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，若，则添加不能使的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图所示，，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动，且．若点，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，在中，，．点D、E、C在同一条直线上，，，其中，，则的长度为（       ） A. 14 B. 20 C. 28 D. 34 13．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）如图，在和中，，，添加下列哪一个条件无法证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，在中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为24，则与的面积之差是（     ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 15．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的个数是（       ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，四边形中，连接，．点E在上，连接，，交于点F，恰好平分，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 17．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，且D，C，E在同一直线上，求证：． 18．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是　　　　　　　　．（填“甲”“乙”“丙”） 19．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的理由是　　　　　　． 20．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，已知，添加一个条件　　　　　　　　　　，使得． 21．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 22．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，在四边形中，，，，动点P从点B沿边向点C运动，速度为，同时点Q从点C沿射线方向运动．当点Q运动速度为　　　　　　时，和可能全等． 23．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在四边形中，对角线，交于点O，，E是上一点，且，．求证：． 24．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，，以点为直角顶点，为腰作等腰直角．则点的坐标为　　　　　　． 25．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）学习完利用三角形全等测距离后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且；测得，；在的延长线上取点，使得；测得的长度为米． 请你根据以上方案求出、两点间的距离． 26．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，为的平分线上一点，于点，，则，则　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在和中，，是的中点，，垂足为，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 28．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，，点D在边上， 和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 29．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（______）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵ ， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 30．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 31．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发，以秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动　　　　　　　　　　　　　　秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等． 32．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 33．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 34．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是　　　　　　． 35．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）【思维导图】 丞丞同学通过全等三角形的学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图． 【初步应用】 （1）如图①，在中，是的中点，连接，过点作于点，若的面积是，求的长． 【推导明理】 （2）如图②，是的中线，若．求的取值范围． 丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长至点，使得，连接，从而得到，进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出的取值范围；在辅助线的做法上，霖霖同学经过思考，先过点作，交的延长线于点，从而得到，进而解决问题． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【拓展运用】 （3）如图③，在中，，分别是上一点，连接，是的中点，连接，若，求证：． 36．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）已知，其中． （1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； （2）改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（       ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 4．（25-26学年八上·山东威海·期中）已知，如图，于点于点． （1）求证：； （2）求证：． 5．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，，则的面积是　　　　　　． 6．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且的周长为18，则的面积为　　　　　　． 7．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，在中，平分，，于点，点在上，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 8．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）已知，为射线上一点，，． （1）证明：平分； （2）若与交，，证明：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．C 2．C 3．【答案】2或 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是分情况讨论与全等的情况，根据全等三角形的对应边相等列方程求解． 先求出的长度，再分两种情况讨论与全等：当时；当，时．分别根据路程、速度、时间的关系求出时间，进而求出点的运动速度． 【详解】 解：点为的中点，， ． 设运动时间为秒，点的速度为，则． 情况一：当时 此时． 由可得：， 解方程：． 则， 点的运动速度为； 情况二：当时 此时． 由可得：， 解方程：． 则， 点的运动速度为． 综上，点的运动速度为2或． 考点02 三角形全等的判定 1．A 2．C 3．C 4．D 5．C 6．D 7．C 8．D 9．B 10．A 11．D 12．D 13．A 14．B 15．D 16．【答案】（1） 解：∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合平分，得又因为，，证明即可作答． （2）由得，又因为，，证明，得再运用勾股定理列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在中，， 解得（负值已舍去）． 17．【答案】证明：，， ，                                       ，， ， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定，余角的性质，根据余角的性质得出是解题的关键．先根据余角的性质得出，然后根据证明即可． 【详解】 略． 18．【答案】乙 【分析】 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】 解：甲图形中只有一个内角和一条对边对应相等，无法证明全等； 乙图形可以根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，证明乙图形和全等； 丙图形中只有两个内角对应相等，无法证明全等． 故答案为：乙． 19．【答案】 【分析】 本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定，由作图痕迹可知，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】 解：从作图可知，， ， 的理由是， 故答案为：． 20．【答案】或或 【分析】 本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 结合题中，，根据两个三角形全等的判定定理添加条件即可得到答案． 【详解】 解：，， 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：或或． 21．【答案】任务1： ① 如图1，即为所求； ②； 任务2：①90； ②． 【分析】 本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】 解：任务一： ① 略 ② 依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 22．【答案】或 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据题意，分类讨论：当，，时；当，，时；根据全等三角形的性质，行程问题的数量关系即可求解． 【详解】 解：分以下两种情况讨论： 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 如图所示， 当，，时，， ， 点运动的时间为秒， 点运动的速度为； 综上所述，点运动速度为或． 故答案为：或． 23．【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】 略 24．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，当点在轴上方时，过点作轴于，可证，即可得，，进而可得；同理点在轴下方时，可得，据此即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：如图，当点在轴上方时，过点作轴于，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当点在轴下方时，同理可得； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或 25．【答案】米 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 ，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法．证明，得出，根据，求出米． 【详解】 解：，， ， ∵ ， 在与中 ， ， ， 又， 米． 26．【答案】 【分析】 作于点，根据角平分线的性质可得，再由可得，即可证明得到，即可证明，求解即可． 【详解】 作于点，    ∵为的平分线上一点，于点， ∴，， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．【答案】（1） 证明：， ， ． 在和中， ， ．     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先证，进而证明，可得； （2）由，得．再结合E是的中点，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由，得． E为的中点， ∴． ， ， ． 28．【答案】（1）     （2） 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，                                                             在和中， ， ∴．      【分析】 本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴； (2) 小问详解： 略 29．【答案】（1）已知，对顶角相等，（2）（3）7 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，垂直平分线的性质和判定，三角形的中线，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出，结合得垂直平分，可得，即可得解． 【详解】 （1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵ （对顶角相等）， ∴（）． 故答案为：已知，对顶角相等，． （2）解：， ， ，即， ， ； （3）解：延长交的延长线于点F，如图： ， ， 是的中线， ， ， ， ， ， 垂直平分， ． 30．【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键． （1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论． (1) 小问详解： 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 31．【答案】0，2，6，8 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：① 当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ② 当E在上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为（秒）； ③ 当E在线段上，时，，这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④ 当E在上，时，， ， 点E的运动时间为（秒）， 综上所述，当点E运动0，2，6，8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等 故答案为：0，2，6，8． 32．【答案】（1）；理由见解析     （2）小丽距地面的高为      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 33．【答案】证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【分析】 利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】 略 34．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】 解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 35．【答案】（1）； （2）； （3）证明：延长到，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴（） ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）由中点得，进而得的面积，再根据面积公式构造方程即可得解； （2）延长至点，使得，连接，证明，得，再利用三角形的三边关系即可得解； （3）延长到，使得，连接，证明（）得，，再证明，得，从而得． 【详解】 （1）解：∵是的中点， ∴， ∵的面积是 ∴的面积， ∵，， ∴即， ∴； （2）解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，中点定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 36．【答案】（1） ① 证明：如图① ，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ② 证明：∴， ∴；     （2） 解：如图② ，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即．      【分析】 本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 略 考点03 角的平分线 1．A 2．C 3．D 4．【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）可知：， ∴， ∵，， ∴．      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 5．【答案】5 【分析】 此题考查了作图基本作图，角平分线的性质，作于，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】 解：作于， ∵， ∴， 由作图步骤可得为的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：5． 6．【答案】27 【分析】 作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积． 【详解】 如图，作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D、E、F， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴OD=OE=OF=3， ∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB =AB•OD+AC•OE+BC•OF=OD（AB+BC+AC）=×3×18=27， 故答案为27． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键． 7．【答案】（1） 证明：于点， ， 又平分，， ， 在和中 ， ， ；     （2）4      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键． （1）利用角平分线的性质可得，再利用证明，即可证明； （2）利用证明，可得，设，则，，即可建立方程求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在和中， ， ， ， 由（1）可知， 设， ，， ，， ， 解得：， 即． 8．【答案】（1） 证明：过点作于点，于点， ． ，， ， ． ，， 平分；     （2） 证明：在上截取，连接． 由（1）得平分， ． ， ， ． ， ． ，， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质． （1）过点作于点，于点，证明推出，利用角平分线的判定定理即可证明平分； （2）在上截取，连接．证明推出，再证明，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $