专题03 轴对称（期中真题汇编，山东专用）八年级数学上学期

专题03 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．D 2．C 3．D 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 9．B 10．【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】 解：∵在长方形纸片中，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，折叠的性质，先根据平行线的性质得出，再根据折叠的性质即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质：， 故答案为：． 考点02 线段的垂直平分线 1．D 2．A 3．B 4．A 5．B 6．【答案】作图如下，点P为所求作． 【分析】 先画角的平分线，再画出线段AB的垂直平分线，两线的交点就是P． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了以下知识点：1．线段垂直平分线的性质；2．角平分线的性质． 7．【答案】20 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，垂直平分，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】 解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 8．【答案】（1）18；（2）40°． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=70°，根据等腰三角形的性质计算． 【详解】（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴PA=PB，QA=QC， ∵△APQ的周长为18， ∴AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=18， ∴BC=18； （2）∵∠BAC=110°， ∴∠B+∠C=70°， ∵PA=PB，QA=QC， ∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C， ∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°， ∴∠PAQ=110°-70°=40°． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9．【答案】（1）的长是，的度数是     （2）的长是      【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用线段垂直平分线的性质和数形结合的思想解答． （1）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和可以解答本题； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长及（1）中的长可以解答本题． (1) 小问详解： 解：∵在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． ∴，，，， ∴，，， ∴，， 即的长是，的度数是； (2) 小问详解： 解：如图， 由题意可得，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ， ∴， ∴， 即的长是． 10．【答案】（1）垂直平分线，角平分线；（2）25° 【分析】 （1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案； （2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】 解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， 故答案为：垂直平分线，角平分线； （2）∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵射线是的平分线， ∴． 【点睛】 本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键． 11．【答案】（1）见解析     （2）9      【分析】 （1）根据证明，得出，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴ ． 12．【答案】8 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质及中线性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先由三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形得出，再由三角形面积计算得出长，最后由线段垂直平分线的性质得，即可求出． 【详解】 解：∵垂直平分于点，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵垂直平分于点 ∴． 故答案为：8． 考点03 画轴对称的图形 1．A 2．B 3．C 4．【答案】 【分析】 本题考查了坐标和轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解． 根据坐标和轴对称的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解：∵点关于轴的对称点， ∴点的横坐标不变，为．纵坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系； 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求得，的值，再求代数式的值即可． 【详解】 解：依题意，， 解得：， 则， 故答案为． 6．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化−对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数即可得到结论． 【详解】 解：以队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，则飞机C的坐标为． 故答案为：． 7．【答案】（1） 如图，即为所作：      （2）3     （3） 如图，点P即为所求： 【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）由割补法求解； （3）由点C与点F关于直线对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为 (3) 小问详解： 略 8．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2），     （3）或或      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵与关于y轴对称，，， ∴，． (3) 小问详解： 解：如图所示，点即为所求． 9．【答案】（1） 解：由题意，画图如下：      （2），，     （3）9      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键： （1）根据轴对称的性质画出即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）借助网格求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图可知： ；；； 故答案为： ，，． (3) 小问详解： ． 故答案为：9． 10．【答案】（1） 解：如图所示，关于y轴对称的图形为，    根据点在坐标系中的位置可得：，；     （2） 解：如图所示，为平移后的图形，，，；     （3） 解：是，如图所示，连接，，找到中点D、E，连接可得对称轴为直线；     （4）2      【分析】 （1）根据轴对称的图形作法，先找到对称点，然后依次连接，对称点坐标根据轴对称的性质求出即可； （2）根据平移图形的作法：先找出平移后的点，然后依次连接作图即可； （3）连接对应点，然后找出其中点，连线即为对称轴； （4）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：的面积． 【点睛】 题目主要考查坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴． 11．【答案】（1） 如图所示．      （2） ． 证明：如图，连接，，， 由对称可得，，， ， ．      【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称的性质，掌握作对称点的方法是解题的关键． （1）利用作对称点的作图方法作出，即可． （2）根据轴对称的性质得出，，即可得出，与之间的数量关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】（1） 如图； 即为所求；     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了作轴对称图形，用网格求三角形面积，轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的作图方法，以及网格面积的求解． （1）先画出点关于轴的对称轴，再依次连接即可； （2）用整体减部分法求解即可； （3）设，则，求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵各顶点的坐标分别为 ； (3) 小问详解： ∵轴上一点，使得的面积为10 ∴设 ∴ ∴ 则 解得或， ∴或. 13．【答案】（1） 如图，即为所求， ；     （2）     （3） 如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变换等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （2）直接利用割补法求得面积即可； （3）连接，交轴于点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 解：理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 14．【答案】6cm 【分析】 设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，故可求解． 【详解】 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， ∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB， ∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD． ∴△PMN的周长的最小值＝PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN≥CD＝6cm． 故OP=CD=6 cm 故答案为：6cm． 【点睛】 此题主要考查轴对称−−最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 15．【答案】（1） 点B、点C在平面直角坐标系位置如图： ；     （2）9     （3）      【分析】 本题考查了平面直角坐标系点的坐标特点，关于x轴对称坐标特点，网格问题求三角形面积等知识﹒ （1）根据题意得到点B坐标为，点C坐标为，坐标系描点即可求解； （2）根据三角形面积公式即可求解； （3）设点D坐标为，根据，得到，即可求解﹒ (1) 小问详解： 解：∵点B在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， ∴点B坐标为， ∵点C与点B关于x轴对称； ∴点C坐标为； (2) 小问详解： 解：﹒ 故答案为：9 (3) 小问详解： 解：∵点D为x轴负半轴上点， ∴设点D坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴点D坐标为﹒ 故答案为： 16．【答案】（1），；     （2）；     （3） 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的求解问题，以及求最短距离的问题． 分别作出点、关于直线的对称点、，根据网格可知点的坐标是，点的坐标是； 由可知当直线是第一、三象限的角平分线，关于直线对称的两个点的坐标，只需将该点横纵坐标互换即可得到对称点； 根据将军饮马问题，求点到两点之间距离之和最小，点关于直线的对称点，连接，交直线于点，当点、、三点共线时，的值最小. (1) 小问详解： 解：如下图所示，分别作出点、关于直线的对称点、， 根据网格可知点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由可知，坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由对称可知， ， 当点、、三点共线时，的值最小. 17．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求，      （3）      【分析】 本题考查平面直角坐标系点的坐标、轴对称变换、轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）在坐标系中确定点A、B、C的位置，再顺次连接即可； （2）在平面直角坐标系中，分别确定点A、B、C关于y轴对称的对称点、、，再顺次连接，即可求得点的坐标； （3）如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则，根据轴对称的性质可得点A、P、三点共线时，的周长最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： 如图，点即为所求，点坐标为， 作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∵点B、关于x轴对称， ∴， ∴， ∴点A、P、三点共线时，的周长最小， 故答案为：． 18．【答案】0 【分析】 根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】 解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 19．【答案】问题情境： 变式探究： 理由如下： ∵， ∴， ∴. 拓展应用：①， 证明：， ， ， ， ② 【分析】 问题情境：证明 即可解答； 变式探究：利用等量代换即可求解； 拓展应用：①用等量代换即可求解；②如图5，在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接、，先证明 ，得到，在求出，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，在中求出即可． 【详解】 问题情境： 解：，理由如下： ∵ ， ， ， ， ∵， ， ∴． 故答案为. 变式探究：略 拓展应用： ① 略 ②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接、， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴E点在射线上运动， ∵G点与N的关于对称， ∴， ∴， ∴当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∵点G是的中点，， ∴， ∴， 在中,， ∴的最小值为． 故答案为． 【点睛】 本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称求最短距离的方法等知识点，掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 考点04 等腰三角形 1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．B 10．【答案】（1）证明：∵平分交于点E，于点D， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至点， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）科考船从码头C行至A处所用的时间为0.6小时 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得出结论； （2）延长至点，同（1）法可得，推出，再证明，得到，即可得出结论； （3）延长交于点，同（1）法可得，得到，，根据三角形的外角的性质，结合已知条件推出，进而得到，进而求出的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可． 【详解】 证明：（1）略 （2）略 （3）延长交于点， 由（1）同理可证：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴科考船从码头C行至A处所用的时间为（小时）； 答：科考船从码头C行至A处所用的时间为0.6小时． 11．【答案】3 【分析】 本题考查的是轴对称最短路线问题．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】 解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，，是边上的中点， ， ， 故的最小值是：3， 故答案为：3． 12．【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）根据角平分线定义得到，根据等边对等角以及三角形内角和得到，结合已知可求出，利用即可求出结果； （2）过点作于点M，于点N，求出，根据，求出的长，根据角平分线性质即可求出最后结果． (1) 小问详解： 解：平分， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点M，于点N， ，， ，即， ， ， ， ， ，，平分， ， 点E到边的距离为4． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键． 13．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形内角和定理的应用，图形的变化规律；依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等,表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， 同理， ，…按此规律 ， 故答案为：． 14．【答案】（1） 证明：如图1中， ∵， ， ∵， ∴， ．     （2） ，理由：如图 2中，在上取一点，使得，连接． 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵． ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ．      【分析】 本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）只要证明即可解决问题； （2）如图2中，在上取一点，使得，连接．先证明，，然后问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由直角三角形的性质可得，，进而由角平分线的定义得，即得，，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．【答案】（1） 小明在第② 步出现错误， 正确过程如下： ，， ，， ，， ， ， 在和中， ， ；     （2） 证明：，， ， ， ， ， ， 。      【分析】 （1）根据全等三角形的判定和性质判断解答即可； （2）根据等腰三角形的判定，三角形的内角和定理解答即可。 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键。 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】11 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短．连接，，由题意易得，，，则有，要使的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，进而问题可求解． 【详解】 解：连接，，如图所示：     ∵，点D是的中点，， ∴，， ∵面积是18， ∴， ∴， ∵点A与点C关于直线EF对称， ∴， ∴， 要使的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，即， ∴的周长最小值为． 故答案为：11． 考点05 等边三角形 1．A 2．D 3．【答案】（1） 证明：∵A，D两点关于射线对称，B，C在上， ∴， 在和中 ， ∴， ∴；     （2）P与B重合时，周长最小，最小值为36．      【分析】 （1）根据证明，即可得出结论； （2）根据两点之间线段最短，得出当P，A，E三点共线时，最小，最小值为，再证明为等边三角形，即可求解 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 由于点D，E均为定点，故的长不变． ∴当最小时，的周长最短． ∵A，D两点关于射线对称， ∴． ∴． ∵两点之间线段最短， ∴当P，A，E三点共线时，最小，即P与B重合时最小，最小值为． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵的最小值为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 4．【答案】11 【分析】 本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识． 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】 解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为11． 故答案为： 5．【答案】（1） 解：，理由如下： ，， ， ， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ， ， ∴；     （2）的长     （3）      【分析】 本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，等边三角形性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）易证，且可证明，由题意得，则，即可得出； （2）由可知，即可求出； （3）延长至，使，连接，可证明为等边三角形，故与重合，由等腰三角形三线合一可求与的夹角． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 答：的长为； (3) 小问详解： 解：延长至，使，连接， 由题意知， 则， ， ， ， ∴为等边三角形，故与重合， ． 6．【答案】（1） 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，，得出，即可证明； （2）根据是等边三角形得，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是等边三角形， ， ， ， ． 7．【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形性质，在上截取，连接，，证明是等边三角形，则，，由是等边三角形，故有，，证明，根据性质可得，，通过角度和差可得，所以，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：在上截取，连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．【答案】2 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质．根据等边三角形的性质列出方程求出的值． 【详解】 解：根据题意可得，，， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：2． 10．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质可知，因为，根据三角形外角的性质可知，根据等角对等边可得，根据等边三角形的性质可知中、，根据含的直角三角形的性质可知，由规律可得：． 【详解】 解：是等边三角形， ， 是的外角， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（     ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 【答案】D 【分析】 本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26学年八上·山东威海·期中）下列运动图标中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形，根据一个平面图形，沿着某条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 3．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可． 【详解】 解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：D． 4．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）下列手机软件图标中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 5．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义，依次判断每个选项中的图形是否能沿某条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合． 【详解】 A、该图形能找到一条直线，沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D、该图形找不到一条直线，使得沿此直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 6．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 7．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了轴对称图形的识别，，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】 解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 8．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎成功举办，中国代表团以40枚金牌的好成绩锁定金牌榜第一，下列体育图标中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 9．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称的性质和三角形的面积，熟练掌握并运用轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质证明，再根据三角形面积计算即可． 【详解】 解：如图， ，点与点关于对称，点与点关于对称， ，，， ， ， 即， ． 故选B． 10．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】 解：∵在长方形纸片中，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为：． 11．（25-26学年八上·山东威海·期中）在中，将沿边折叠，点C落在点处，，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，折叠的性质，先根据平行线的性质得出，再根据折叠的性质即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠的性质：， 故答案为：． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在中，的垂直平分线交于，交于，连结，若，且的周长为30，则的长是（　　） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，先由的周长求出，再根据垂直平分线的性质即可解答． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴． 故选：D． 2．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（     ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条中线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三个内角的角平分线的交点 【答案】A 【分析】 本题考查了垂直平分线的判定，根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答． 【详解】 解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点（到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 故选：A 3．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）下列说法错误的是（       ） A. 任何命题都有逆命题 B. 任何定理都有逆定理 C. 真命题的逆命题不一定是真命题 D. 互逆定理中的两个命题都是真命题 【答案】B 【分析】 本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识．根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，正确，故本选项不符合题意； D、互逆定理中的两个命题都是真命题，正确，本选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，四边形的四条边长均为2，，，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点E，连接，则的长为（       ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】A 【分析】 此题考查了尺规作垂直平分线以及中垂线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图，连接，由作图可知，垂直平分线段，求出，由勾股定理可求解． 【详解】 解：如图，连接． 由作图可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在中，垂直平分，连接，的周长为20，的周长比四边形的周长多10，则线段的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用的周长为20得到，接着利用得到，所以，然后解方程即可． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴，， ∵的周长为20， ∴， ∴， ∵的周长比四边形的周长多10， ∴， 即， ∴， ∴， 解得． 故选：B． 6．（25-26学年八上·山东威海·期中）数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 【答案】作图如下，点P为所求作． 【分析】 先画角的平分线，再画出线段AB的垂直平分线，两线的交点就是P． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了以下知识点：1．线段垂直平分线的性质；2．角平分线的性质． 7．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为　　　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，由作图方法可知，垂直平分，则，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案． 【详解】 解：由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：20． 8．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ． （1）若△APQ的周长为18，求BC的长； （2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数． 【答案】（1）18；（2）40°． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=70°，根据等腰三角形的性质计算． 【详解】（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴PA=PB，QA=QC， ∵△APQ的周长为18， ∴AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=18， ∴BC=18； （2）∵∠BAC=110°， ∴∠B+∠C=70°， ∵PA=PB，QA=QC， ∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C， ∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°， ∴∠PAQ=110°-70°=40°． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． （1）求的长及的度数； （2）分别连接，若的周长为，求的长． 【答案】（1）的长是，的度数是     （2）的长是      【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用线段垂直平分线的性质和数形结合的思想解答． （1）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和可以解答本题； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长及（1）中的长可以解答本题． (1) 小问详解： 解：∵在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． ∴，，，， ∴，，， ∴，， 即的长是，的度数是； (2) 小问详解： 解：如图， 由题意可得，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ， ∴， ∴， 即的长是． 10．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________； （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）垂直平分线，角平分线；（2）25° 【分析】 （1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案； （2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，，再根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】 解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， 故答案为：垂直平分线，角平分线； （2）∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵射线是的平分线， ∴． 【点睛】 本题考查了垂直平分线、角平分线的作法以及它们的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握垂直平分线、角平分线的性质是解决本题的关键． 11．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析     （2）9      【分析】 （1）根据证明，得出，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵是的角平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴ ． 12．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）如图，在中，垂直平分于点，于点．若，．则的长度为　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质及中线性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先由三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形得出，再由三角形面积计算得出长，最后由线段垂直平分线的性质得，即可求出． 【详解】 解：∵垂直平分于点，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵垂直平分于点 ∴． 故答案为：8． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有四个格点，，，，建立直角坐标系，使点点关于轴对称，且点与点的横坐标互为相反数，则点的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据点关于轴对称，可确定轴的位置，根据点与点的横坐标互为相反数，可确定轴的位置，即可求解，本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是：根据已知条件确定轴、轴的位置． 【详解】 解：点点关于轴对称，点与点的横坐标互为相反数， 确定坐标系，如图： 由图可知，点坐标为：， 故选：． 2．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）将平面直角坐标系内某图形上各个点的纵坐标都乘以，横坐标不变，所得图形与原图形的关系是（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于x轴对称 C. 沿x轴向左平移1个单位长度 D. 沿y轴向下平移1个单位长度 【答案】B 【分析】 本题主要考查了图形的对称性特点，根据题意易得两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，则两点关于x轴对称； 【详解】 ∵某个图形各个点的横坐标不变，纵坐标都乘以后， ∴对应各点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴对应点关于x轴对称， ∴所得图形与原图形关于x轴对称． 故选B 3．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】 解：根据图形可得，该图形的对称轴为轴， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为 故选：C． 4．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）点关于轴的对称点的坐标为 　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标和轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解． 根据坐标和轴对称的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解：∵点关于轴的对称点， ∴点的横坐标不变，为．纵坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 5．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）已知点和和关于轴对称，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系； 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求得，的值，再求代数式的值即可． 【详解】 解：依题意，， 解得：， 则， 故答案为． 6．（25-26学年八上·山东青岛·期中）某战斗机空中展示的队形是轴对称图形，以飞机D，E所在的直线为x轴，以队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，则飞机C的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形变化−对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数即可得到结论． 【详解】 解：以队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，则飞机C的坐标为． 故答案为：． 7．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）求的面积； （3）在直线上找一点P，使的长最短． 【答案】（1） 如图，即为所作：      （2）3     （3） 如图，点P即为所求： 【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）由割补法求解； （3）由点C与点F关于直线对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为 (3) 小问详解： 略 8．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． （1）作关于y轴对称的图形； （2）写出顶点坐标； （3）如果与全等，则请直接写出点D坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2），     （3）或或      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵与关于y轴对称，，， ∴，． (3) 小问详解： 解：如图所示，点即为所求． 9．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点 A 坐标为，顶点 B，C 均在小正方形的网格点上． （1）作，使和关于 y 轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标：        ；        ；        ； （3）直接写出的面积：        ． 【答案】（1） 解：由题意，画图如下：      （2），，     （3）9      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键： （1）根据轴对称的性质画出即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）借助网格求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图可知： ；；； 故答案为： ，，． (3) 小问详解： ． 故答案为：9． 10．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．    （1）作出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标； （3）观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图中画出这条直线； （4）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示，关于y轴对称的图形为，    根据点在坐标系中的位置可得：，；     （2） 解：如图所示，为平移后的图形，，，；     （3） 解：是，如图所示，连接，，找到中点D、E，连接可得对称轴为直线；     （4）2      【分析】 （1）根据轴对称的图形作法，先找到对称点，然后依次连接，对称点坐标根据轴对称的性质求出即可； （2）根据平移图形的作法：先找出平移后的点，然后依次连接作图即可； （3）连接对应点，然后找出其中点，连线即为对称轴； （4）利用割补法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：的面积． 【点睛】 题目主要考查坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴． 11．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，为内一点． （1）在图中分别作出点关于射线，的对称点，（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 如图所示．      （2） ． 证明：如图，连接，，， 由对称可得，，， ， ．      【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称的性质，掌握作对称点的方法是解题的关键． （1）利用作对称点的作图方法作出，即可． （2）根据轴对称的性质得出，，即可得出，与之间的数量关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）求的面积． （3）轴上一点，使得的面积为10，求点的坐标． 【答案】（1） 如图； 即为所求；     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了作轴对称图形，用网格求三角形面积，轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的作图方法，以及网格面积的求解． （1）先画出点关于轴的对称轴，再依次连接即可； （2）用整体减部分法求解即可； （3）设，则，求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵各顶点的坐标分别为 ； (3) 小问详解： ∵轴上一点，使得的面积为10 ∴设 ∴ ∴ 则 解得或， ∴或. 13．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． （1）画出关于轴对称的． （2）求的面积． （3）在轴上作出点，使的周长最小． 【答案】（1） 如图，即为所求， ；     （2）     （3） 如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变换等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （2）直接利用割补法求得面积即可； （3）连接，交轴于点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 解：理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 14．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是　　　　　　　　． 【答案】6cm 【分析】 设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，故可求解． 【详解】 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN． ∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， ∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA； ∵点P关于OB的对称点为D， ∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB， ∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD． ∴△PMN的周长的最小值＝PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN≥CD＝6cm． 故OP=CD=6 cm 故答案为：6cm． 【点睛】 此题主要考查轴对称−−最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 15．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，点C与点B关于x轴对称； （1）请在图中标出点B、点C的位置； （2）的面积为___________； （3）在x轴负半轴上有点D，使，则点D的坐标为___________． 【答案】（1） 点B、点C在平面直角坐标系位置如图： ；     （2）9     （3）      【分析】 本题考查了平面直角坐标系点的坐标特点，关于x轴对称坐标特点，网格问题求三角形面积等知识﹒ （1）根据题意得到点B坐标为，点C坐标为，坐标系描点即可求解； （2）根据三角形面积公式即可求解； （3）设点D坐标为，根据，得到，即可求解﹒ (1) 小问详解： 解：∵点B在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， ∴点B坐标为， ∵点C与点B关于x轴对称； ∴点C坐标为； (2) 小问详解： 解：﹒ 故答案为：9 (3) 小问详解： 解：∵点D为x轴负半轴上点， ∴设点D坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴点D坐标为﹒ 故答案为： 16．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． （1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请直接写出、关于直线的对称点、的坐标：______、______； （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______； （3）已知两点、，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1），；     （2）；     （3） 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的求解问题，以及求最短距离的问题． 分别作出点、关于直线的对称点、，根据网格可知点的坐标是，点的坐标是； 由可知当直线是第一、三象限的角平分线，关于直线对称的两个点的坐标，只需将该点横纵坐标互换即可得到对称点； 根据将军饮马问题，求点到两点之间距离之和最小，点关于直线的对称点，连接，交直线于点，当点、、三点共线时，的值最小. (1) 小问详解： 解：如下图所示，分别作出点、关于直线的对称点、， 根据网格可知点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由可知，坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由对称可知， ， 当点、、三点共线时，的值最小. 17．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，，． （1）画出，标出A，B，C三点； （2）画出关于轴对称的图形，其中的坐标为______； （3）点为轴上一动点，且使得的周长最小，直接写出点的坐标：______． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求，      （3）      【分析】 本题考查平面直角坐标系点的坐标、轴对称变换、轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）在坐标系中确定点A、B、C的位置，再顺次连接即可； （2）在平面直角坐标系中，分别确定点A、B、C关于y轴对称的对称点、、，再顺次连接，即可求得点的坐标； （3）如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则，根据轴对称的性质可得点A、P、三点共线时，的周长最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： 如图，点即为所求，点坐标为， 作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∵点B、关于x轴对称， ∴， ∴， ∴点A、P、三点共线时，的周长最小， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）已知与点关于x轴对称，则　　　　　　． 【答案】0 【分析】 根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】 解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 19．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）【问题情境】如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为___________． 【变式探究】如图2，在中，点D、E、F分别在边上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中一组，并说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，点D、F分别是边 上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接． ①试判断线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，点G是的中点，，连接，则的最小值为___________． 【答案】问题情境： 变式探究： 理由如下： ∵， ∴， ∴. 拓展应用：①， 证明：， ， ， ， ② 【分析】 问题情境：证明 即可解答； 变式探究：利用等量代换即可求解； 拓展应用：①用等量代换即可求解；②如图5，在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接、，先证明 ，得到，在求出，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，在中求出即可． 【详解】 问题情境： 解：，理由如下： ∵ ， ， ， ， ∵， ， ∴． 故答案为. 变式探究：略 拓展应用： ① 略 ②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接、， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴E点在射线上运动， ∵G点与N的关于对称， ∴， ∴， ∴当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∵点G是的中点，， ∴， ∴， 在中,， ∴的最小值为． 故答案为． 【点睛】 本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称求最短距离的方法等知识点，掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则△AMN的周长为（） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【分析】 先根据BO平分∠CBA可得∠MBO＝∠OBC，由MNBC可得∠MOB＝∠OBC，进一步得到∠MBO＝∠MOB，即MO＝MB，同理NO＝NC；最后根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】 解：∵BO平分∠CBA， ∴∠MBO＝∠OBC， ∵MNBC， ∴∠MOB＝∠OBC， ∴∠MBO＝∠MOB， ∴MO＝MB， 同理：NO＝NC， ∵AB＝6，AC＝8， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝14． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点，说明MO＝MB，NO＝NC是解答本题的关键． 2．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（     ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【详解】 解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． 3．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，三角形纸片，其中，，点为中点，的垂直平分线与的角平分线相交于点．将纸片沿（点在上，点在上）折叠，点恰好与点重合，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定及性质，关键是角的转换．通过全等及折叠可得到，，进而得到，即可求解． 【详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故选：D． 4．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60度，则该三角形的底角是（       ）度 A. 120 B. 30 C. 15或75 D. 30或120 【答案】C 【分析】 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角，夹角位置可能在三角形内部，也可能在三角形外部，分情况讨论，计算选出正确答案． 【详解】 解：当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角在三角形内部，如图： ∵，， ∴， ∴； 当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角在三角形外部，如图： ∵，， ∴, ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形性质、三角形内角和定理及三角形外角定理，进行分类讨论是解题关键． 5．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，中，，，于点，，的长度是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，，代值计算即可． 【详解】 解：，， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，在中，，，点，分别在边，上，若沿直线折叠，点恰好与点重合，且，则的长为（     ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 10 【答案】B 【分析】 本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质．由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，由折叠可得，，求出，再由含角的直角三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】 解：， ， ， 由折叠可得：，， ， ， ， ， 故选：B． 7．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是(     ) A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，解答的关键是证明三角形全等； 根据，得出即即可判断① 正确；结合与均为等腰直角三角形，可证明即可得出根据即可判断出故② 正确；根据是线段的中点，`得出，即可判断③ 正确；三角形三边关系可得即可判断出④ 错误； 【详解】 解：与均为等腰直角三角形，， 故① 正确； 在与中 故② 正确； 点是线段的中点， 故③ 正确； 故④ 错误； 故选：B． 8．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的面积是（   ） A. 60 B. 40 C. 30 D. 20 【答案】B 【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形．过点C分别作，交的延长线于点F，作于点G，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质及角的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据平行线间的距离处处相等求出，再根据的面积求解即可． 【详解】 解：如图，过点C分别作，交的延长线于点F，作于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 9．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，已知在中，，，．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为（       ） A.  B. 或 C. 或 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．根据题意可得：，，， 从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后分两种情况：当时；当时；从而利用全等三角形的对应边相等列方程求解即可得解． 【详解】 解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， 分两种情况： 当时， ，， 即，，解得，； 当时， ，， 即，，解得，； 综上所述：的值为或． 故选：B． 10．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）【基础再现】 （1）如图1，在中，平分交于点E，于点D，延长交于点F． 求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，，平分交于点E，交延长线于点D． 求证：． 【实际应用】 （3）如图3，海岸边上一观测点B与码头C相距海里近海域内一灯塔D与观测点B相距海里，且．某科考船从码头C出发，沿方向（）以10海里/小时的速度行驶到点A处时，测得，求科考船从码头C行至A处所用的时间． 【答案】（1）证明：∵平分交于点E，于点D， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至点， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）科考船从码头C行至A处所用的时间为0.6小时 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得出结论； （2）延长至点，同（1）法可得，推出，再证明，得到，即可得出结论； （3）延长交于点，同（1）法可得，得到，，根据三角形的外角的性质，结合已知条件推出，进而得到，进而求出的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可． 【详解】 证明：（1）略 （2）略 （3）延长交于点， 由（1）同理可证：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴科考船从码头C行至A处所用的时间为（小时）； 答：科考船从码头C行至A处所用的时间为0.6小时． 11．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查的是轴对称最短路线问题．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】 解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，，是边上的中点， ， ， 故的最小值是：3， 故答案为：3． 12．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在中，于平分． （1）若，且，求的度数； （2）若，的面积为2，，求点E到边的距离． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 （1）根据角平分线定义得到，根据等边对等角以及三角形内角和得到，结合已知可求出，利用即可求出结果； （2）过点作于点M，于点N，求出，根据，求出的长，根据角平分线性质即可求出最后结果． (1) 小问详解： 解：平分， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点M，于点N， ，， ，即， ， ， ， ， ，，平分， ， 点E到边的距离为4． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键． 13．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在射线，上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，…按此规律作下去，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形内角和定理的应用，图形的变化规律；依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等,表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， 同理， ，…按此规律 ， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，中，，点分别在上，，点为的延长线与的延长线的交点． （1）求证：； （2）判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1中， ∵， ， ∵， ∴， ．     （2） ，理由：如图 2中，在上取一点，使得，连接． 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵． ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ．      【分析】 本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）只要证明即可解决问题； （2）如图2中，在上取一点，使得，连接．先证明，，然后问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在中，，，平分，若，则的长度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由直角三角形的性质可得，，进而由角平分线的定义得，即得，，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如下图左侧是八上课本第84页习题4，右侧是小明的做圈过程． 八上课本第84页习题4：如图，在中，点，在边上，，，求证：． 证明：，………第①步在和中，，………第②步………第③步 （1）老师批改时，告知小明在第________步中有错，请你写出正确的证明过程； （2）若，，求证：． 【答案】（1） 小明在第② 步出现错误， 正确过程如下： ，， ，， ，， ， ， 在和中， ， ；     （2） 证明：，， ， ， ， ， ， 。      【分析】 （1）根据全等三角形的判定和性质判断解答即可； （2）根据等腰三角形的判定，三角形的内角和定理解答即可。 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键。 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，的面积是18，，，点与点关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短．连接，，由题意易得，，，则有，要使的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，进而问题可求解． 【详解】 解：连接，，如图所示：     ∵，点D是的中点，， ∴，， ∵面积是18， ∴， ∴， ∵点A与点C关于直线EF对称， ∴， ∴， 要使的周长为最小值，只需A、M、D三点共线，即， ∴的周长最小值为． 故答案为：11． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【分析】 此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】 解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 2．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】 解：如图，连接，过点作于E，于F， 则，  由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即． 故选：D． 3．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，，点C为射线上一定点，E为线段延长线上一定点，且，点A关于射线对称点为D，连接． （1）证明：； （2）若P为直线上一个动点，求周长最小时，P所在的位置，并求出周长的最小值． 【答案】（1） 证明：∵A，D两点关于射线对称，B，C在上， ∴， 在和中 ， ∴， ∴；     （2）P与B重合时，周长最小，最小值为36．      【分析】 （1）根据证明，即可得出结论； （2）根据两点之间线段最短，得出当P，A，E三点共线时，最小，最小值为，再证明为等边三角形，即可求解 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 由于点D，E均为定点，故的长不变． ∴当最小时，的周长最短． ∵A，D两点关于射线对称， ∴． ∴． ∵两点之间线段最短， ∴当P，A，E三点共线时，最小，即P与B重合时最小，最小值为． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴为等腰三角形． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵的最小值为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 4．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，等边中，平分，点P、Q分别为上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识． 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】 解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为11． 故答案为： 5．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，且测得到点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并证明； （2）求两次摆动中点和的高度差的长． （3）若测得细绳为，刚好小球摆动到时，为等边三角形．求与的夹角． 【答案】（1） 解：，理由如下： ，， ， ， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ， ， ∴；     （2）的长     （3）      【分析】 本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，等边三角形性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）易证，且可证明，由题意得，则，即可得出； （2）由可知，即可求出； （3）延长至，使，连接，可证明为等边三角形，故与重合，由等腰三角形三线合一可求与的夹角． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 答：的长为； (3) 小问详解： 解：延长至，使，连接， 由题意知， 则， ， ， ， ∴为等边三角形，故与重合， ． 6．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，和均为等边三角形，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，，得出，即可证明； （2）根据是等边三角形得，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是等边三角形， ， ， ， ． 7．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，中，，，，在外侧作等边，过点D作于E，则的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形性质，在上截取，连接，，证明是等边三角形，则，，由是等边三角形，故有，，证明，根据性质可得，，通过角度和差可得，所以，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：在上截取，连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点运动；动点同时从点出发以的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，设运动时间为秒（）．当为等边三角形时，为　　　　　　　　秒． 【答案】2 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质．根据等边三角形的性质列出方程求出的值． 【详解】 解：根据题意可得，，， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：2． 10．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形.若，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质可知，因为，根据三角形外角的性质可知，根据等角对等边可得，根据等边三角形的性质可知中、，根据含的直角三角形的性质可知，由规律可得：． 【详解】 解：是等边三角形， ， 是的外角， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（     ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 2．（25-26学年八上·山东威海·期中）下列运动图标中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）下列手机软件图标中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）剪纸是我国最为流行的传统民间艺术形式之一，特别是在春节期间，常用剪纸来装饰门窗和房间，以增加喜庆的气氛．下面四个剪纸图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎成功举办，中国代表团以40枚金牌的好成绩锁定金牌榜第一，下列体育图标中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 无法确定 10．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为　　　　　　． 11．（25-26学年八上·山东威海·期中）在中，将沿边折叠，点C落在点处，，若，则　　　　　　． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·山东威海·期中）如图，在中，的垂直平分线交于，交于，连结，若，且的周长为30，则的长是（　　） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 2．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（     ） A. 三角形三条边的垂直平分线的交点 B. 三角形三条中线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三个内角的角平分线的交点 3．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）下列说法错误的是（       ） A. 任何命题都有逆命题 B. 任何定理都有逆定理 C. 真命题的逆命题不一定是真命题 D. 互逆定理中的两个命题都是真命题 4．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，四边形的四条边长均为2，，，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点E，连接，则的长为（       ） A.  B.  C.  D. 4 5．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在中，垂直平分，连接，的周长为20，的周长比四边形的周长多10，则线段的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6．（25-26学年八上·山东威海·期中）数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 7．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ． （1）若△APQ的周长为18，求BC的长； （2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数． 9．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． （1）求的长及的度数； （2）分别连接，若的周长为，求的长． 10．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________； （2）在（1）所作的图中，求的度数． 11．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，，求的面积． 12．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）如图，在中，垂直平分于点，于点．若，．则的长度为　　　　　． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·山东济南高新区·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有四个格点，，，，建立直角坐标系，使点点关于轴对称，且点与点的横坐标互为相反数，则点的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）将平面直角坐标系内某图形上各个点的纵坐标都乘以，横坐标不变，所得图形与原图形的关系是（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于x轴对称 C. 沿x轴向左平移1个单位长度 D. 沿y轴向下平移1个单位长度 3．（25-26学年八上·山东济南稼轩学校·期中）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）点关于轴的对称点的坐标为 　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）已知点和和关于轴对称，则的值为　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·山东青岛·期中）某战斗机空中展示的队形是轴对称图形，以飞机D，E所在的直线为x轴，以队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，则飞机C的坐标为　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·山东聊城聊城东昌中学·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的； （2）求的面积； （3）在直线上找一点P，使的长最短． 8．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． （1）作关于y轴对称的图形； （2）写出顶点坐标； （3）如果与全等，则请直接写出点D坐标． 9．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点 A 坐标为，顶点 B，C 均在小正方形的网格点上． （1）作，使和关于 y 轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标：        ；        ；        ； （3）直接写出的面积：        ． 10．（25-26学年八上·山东淄博博山区第六中学·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．    （1）作出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标； （2）将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标； （3）观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图中画出这条直线； （4）求的面积． 11．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，为内一点． （1）在图中分别作出点关于射线，的对称点，（保留作图痕迹，不写作法）． （2）连接，，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 12．（25-26学年八上·山东青岛第二十六中学·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）求的面积． （3）轴上一点，使得的面积为10，求点的坐标． 13．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． （1）画出关于轴对称的． （2）求的面积． （3）在轴上作出点，使的周长最小． 14．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·山东青岛北区·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第三象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，点C与点B关于x轴对称； （1）请在图中标出点B、点C的位置； （2）的面积为___________； （3）在x轴负半轴上有点D，使，则点D的坐标为___________． 16．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线． （1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请直接写出、关于直线的对称点、的坐标：______、______； （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为______； （3）已知两点、，试在直线上确定一点，使点到、两点的距离之和最小．（不写作法，保留作图痕迹） 17．（25-26学年八上·山东枣庄·期中）在平面直角坐标系中，各个顶点的坐标分别是，，． （1）画出，标出A，B，C三点； （2）画出关于轴对称的图形，其中的坐标为______； （3）点为轴上一动点，且使得的周长最小，直接写出点的坐标：______． 18．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）已知与点关于x轴对称，则　　　　　　． 19．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）【问题情境】如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为___________． 【变式探究】如图2，在中，点D、E、F分别在边上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中一组，并说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，点D、F分别是边 上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接． ①试判断线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，点G是的中点，，连接，则的最小值为___________． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则△AMN的周长为（） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 2．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（     ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 3．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，三角形纸片，其中，，点为中点，的垂直平分线与的角平分线相交于点．将纸片沿（点在上，点在上）折叠，点恰好与点重合，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60度，则该三角形的底角是（       ）度 A. 120 B. 30 C. 15或75 D. 30或120 5．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，中，，，于点，，的长度是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 6．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，在中，，，点，分别在边，上，若沿直线折叠，点恰好与点重合，且，则的长为（     ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 10 7．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是(     ) A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 8．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的面积是（   ） A. 60 B. 40 C. 30 D. 20 9．（25-26学年八上·山东聊城茌平区实验中学·期中）如图，已知在中，，，．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒，若以点，，为顶点的三角形和以点，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，则的值为（       ） A.  B. 或 C. 或 D.  10．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）【基础再现】 （1）如图1，在中，平分交于点E，于点D，延长交于点F． 求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，，平分交于点E，交延长线于点D． 求证：． 【实际应用】 （3）如图3，海岸边上一观测点B与码头C相距海里近海域内一灯塔D与观测点B相距海里，且．某科考船从码头C出发，沿方向（）以10海里/小时的速度行驶到点A处时，测得，求科考船从码头C行至A处所用的时间． 11．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是　　　　　． 12．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在中，于平分． （1）若，且，求的度数； （2）若，的面积为2，，求点E到边的距离． 13．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，在射线，上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，…按此规律作下去，若，则　　　　　　． 14．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，中，，点分别在上，，点为的延长线与的延长线的交点． （1）求证：； （2）判断和的数量关系，并说明理由． 15．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，在中，，，平分，若，则的长度为　　　　　　． 16．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如下图左侧是八上课本第84页习题4，右侧是小明的做圈过程． 八上课本第84页习题4：如图，在中，点，在边上，，，求证：． 证明：，………第①步在和中，，………第②步………第③步 （1）老师批改时，告知小明在第________步中有错，请你写出正确的证明过程； （2）若，，求证：． 17．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，的面积是18，，，点与点关于直线对称，若为的中点，点为上一动点，则周长的最小值为　　　　　． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 2．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·山东日照东港区新营中学·期中）如图，，点C为射线上一定点，E为线段延长线上一定点，且，点A关于射线对称点为D，连接． （1）证明：； （2）若P为直线上一个动点，求周长最小时，P所在的位置，并求出周长的最小值． 4．（25-26学年八上·山东潍坊·期中）如图，等边中，平分，点P、Q分别为上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为　　　　　　． 5．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，且测得到点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并证明； （2）求两次摆动中点和的高度差的长． （3）若测得细绳为，刚好小球摆动到时，为等边三角形．求与的夹角． 6．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，和均为等边三角形，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 7．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 8．（25-26学年八上·山东德州天衢新区·期中）如图，中，，，，在外侧作等边，过点D作于E，则的长为　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·山东日照东港区日照港中学·期中）如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点运动；动点同时从点出发以的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，设运动时间为秒（）．当为等边三角形时，为　　　　　　　　秒． 10．（25-26学年八上·山东德州德城区·期中）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形.若，则的长为　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $