第5章 函数概念与性质（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学函数概念与性质单元复习讲义，通过十大压轴题型系统构建知识体系，以题型框架图呈现定义域、单调性、奇偶性等核心要点，用对比表格梳理各性质内在联系，突出函数性质综合应用等重难点分布。 讲义亮点在于“举一反三”的分层练习设计，如题型4“利用函数的单调性解不等式”通过具体问题引导学生构建函数与不等式的逻辑联系，培养数学思维。每个题型包含选择、填空、解答题，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化探究，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习提升。

第5章 函数概念与性质全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 由函数的定义域或值域求参数 1．（25-26高一上·北京·期中）函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则__________． 5．（25-26高一上·重庆南岸·阶段检测）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 题型2 求函数的解析式 1．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为___________. 5．（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 题型3 比较函数值的大小关系 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为___________. 题型4 利用函数的单调性解不等式 1．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知是定义在上的函数，满足，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为____________. 5．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 题型5 函数不等式恒（能）成立问题 1．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，若，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________. 5．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为． (1)请用单调性定义证明：为单调递减函数； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型6 函数奇偶性的应用 1．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，那么时，（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B．3 C． D． 4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则____________. 5．（25-26高一上·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并加以证明； (3)解不等式 题型7 函数的对称性、周期性问题 1．（25-26高一上·四川成都·期末）已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 2．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数为奇函数，定义域为，为偶函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义域为的函数的图象关于点中心对称，若为偶函数且，则（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，，则____________. 5．（25-26高一上·福建南平·阶段检测）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若存在对称中心，求的值 (2)由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； (3)已知函数，写出图象的对称中心，并求 的值. 题型8 抽象函数的性质综合 1．（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 2．（2026·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 3．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知函数的定义域为，且，则下列说法错误的是（   ） A．为周期函数 B．为偶函数 C． D． 4．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为____________. 5．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 题型9 函数性质的综合应用 1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A．1 B． C． D．0 2．（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中不正确的有（    ） A．函数的周期是 B．直线是函数的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 4．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 5．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型10 函数新定义 1．（25-26高一上·陕西渭南·期末）若函数与同时满足以下条件：①与具有相同的定义域与单调区间；②且.则称是的“二倍函数”，已知函数，是函数，的“二倍函数”，则（   ） A．5 B．4 C．2 D．1 2．（25-26高一上·福建龙岩·期中）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西桂林·期中）若函数满足是奇函数，则我们称是“基移奇函数”，点为“基移奇函数”的“基点”．已知函数是“基移奇函数”，则的“基点”坐标为___________． 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 5．（25-26高一上·湖北·阶段检测）函数的定义域为，若区间，函数在上的值域是，则称为函数的“跟随区间”，特别地，当时，称是函数的“保值区间”. (1)求函数 的“跟随区间”； (2)证明：函数不存在“保值区间”； (3)定义域为的函数满足：①为奇函数；②当时， 若函数在上存在“保值区间”，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数概念与性质全章十大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 由函数的定义域或值域求参数 1．（25-26高一上·北京·期中）函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得关于的不等式的解集为，根据和进行分类，结合函数的图象分别求解再求并集即可. 【解答过程】由题意，可知关于的不等式的解集为， 当时，不等式为，解集不是，不合题意； 当时，需使，解得. 综上，可得实数的取值范围为. 故选：A. 2．（25-26高一上·福建福州·期中）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】讨论二次项系数，要使值域为，可得，解不等式组即可求解. 【解答过程】当时，，则恒成立，显然不符合题意； 要使函数的值域为， 需使，解得. 故的取值范围是. 故选：D. 3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将函数的定义域转化为恒成立即可． 【解答过程】因为函数的定义域为R，所以在R上恒成立， 所以在R上恒成立. 当时，符合题意； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是； 故选：D. 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）若函数的定义域是，值域是，则__________． 【答案】或 【解题思路】由题意在定义域上单调，结合一次函数性质列方程求参数，即可得结果. 【解答过程】由题设，则在定义域上单调， 所以或，可得或， 所以 或. 故答案为：或. 5．（25-26高一上·重庆南岸·阶段检测）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合判别式运算求解； （2）由题意可知：的值域包含，分和两种情况，结合二次函数运算求解. 【解答过程】（1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时，，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，可得， 所以的值域为，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：实数的取值范围是． 题型2 求函数的解析式 1．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法，令，，代入化简即可求解． 【解答过程】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 故选：B. 2．（25-26高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【解答过程】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 3．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【解答过程】由，以替代，可得， 联立，消去，得. 故选：A. 4．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为___________. 【答案】 【解题思路】应用方程组法计算求解解析式. 【解答过程】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为：. 5．（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【解题思路】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【解答过程】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 题型3 比较函数值的大小关系 1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据单调性比较即可. 【解答过程】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【解答过程】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 3．（25-26高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，可得函数是周期为的函数，化简可得，，，根据函数单调性即可比较大小. 【解答过程】由题意，，则， 又，所以，变形可得， 用替换其中的，可得，所以， 所以函数的周期为， 所以，， ，又，所以， 又函数在内单调递增，所以， 即. 故选：A. 4．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，得到函数在上单调递增，再由的图象关于对称，求得，，结合，即可求解. 【解答过程】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为___________. 【答案】（或） 【解题思路】由函数单调递减的性质即可求解. 【解答过程】因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数， 所以，所以. 故答案为：(或). 题型4 利用函数的单调性解不等式 1．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【解答过程】由 ，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为 或 或， 即或. 故选：C. 2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知是定义在上的函数，满足，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，探求函数的性质，再分段求解不等式. 【解答过程】由，得， 当时，，， 又在上单调递减，而在上单调递减，因此函数在上单调递增， 不等式化为或， 即或，解得或， 所以所求不等式的解集为. 故选：B. 3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）定义在上的函数，满足对任意，且，都有．知，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据不等式的结构构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】由题意，不妨设， 则由，可得， 则，所以， 令，则，所以函数在上单调递减， 由，得，由，得， 因为函数的定义域为，所以，所以，即， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 4．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为____________. 【答案】 【解题思路】由不等关系构造新的函数并得到单调性，对已知不等式按构造函数进行转换，利用单调性列出不等式后解得的解集. 【解答过程】不妨设，则， 令，则，∴在上单调递增， 可得， ∵，∴， 则，. 故答案为：. 5．（25-26高一上·四川·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用赋值法代入求值即可. （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【解答过程】（1）令，，代入中得，， 解得； 令，代入原式中得，，取，则； 所以. （2）证明：设，且，则. 当时，，所以. ， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）因为， 所以原不等式可化为，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以，即， 解得或. 所以该不等式的解集为. 题型5 函数不等式恒（能）成立问题 1．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数，若，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将转化为，分别求出和在的最值可得结果. 【解答过程】由，，可得，所以， 即，化简可得， ，，，即， 由于在上单调递增，所以当时，， 又，所以，当且仅当，即时取等号， 所以当时，. 综上，，即实数的取值范围是. 故选：C. 2．（25-26高一上·江西抚州·期末）设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【解答过程】当时，，； 因，即x每增大，对应的纵坐标都变原来的倍. 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，； 当时，，故， 则，. 当时，由，可得，解得或， 如图所示： 由图可知，当时，恒成立，故实数的取值范围是. 故选：A. 3．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求在给定区间的值域，再根据的单调性分类讨论，确保的值域包含的值域，解不等式组得到的范围. 【解答过程】因为，最小值在处为， 根据题目，函数在区间上的值域为， 对任意的，存在，使得等价于要求的值域是的值域的子集， 由于是一次函数，需要满足： 当时，单调递增，值域为，要求且，解得， 当时，单调递减，值域为，要求且，解得， 综上，的取值范围为​或，即， 故选：A. 4．（25-26高一上·上海·期末）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，利用函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】因为，所以由 ， 设， 因为函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 函数在时单调递增，且， 所以函数在时单调递减， 因此函数时单调递减， 所以， 所以在上恒成立，只需， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为． (1)请用单调性定义证明：为单调递减函数； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据函数单调性定义证明函数在单调递减即可； （2）将不等式恒成立进行转化，然后构造新函数利用函数单调性得出相应的不等式恒成立，再利用基本不等式求最值即可得出结论. 【解答过程】（1）证明：任取，规定， 则 ， 因为，所以， 且， 所以，即， 即，所以函数为上的单调递减函数． （2）当时，恒成立， 即恒成立， 令函数，， 因为函数为上的单调递减函数， 且也为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数， 由恒成立， 等价于不等式恒成立， 因为为上的单调递减函数， 所以对任意恒成立， 且， 令，所以问题转化为， 由，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 题型6 函数奇偶性的应用 1．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，那么时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由是定义在上的奇函数，得，又时，，进而求解. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，，所以， 所以， 故选：C. 2．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【解答过程】由函数在区间上单调递减，， 所以当时，，当时，， 又函数是定义域为的偶函数， 当时，，当时，， 由，当时， 所以，解得， 当时，所以，解得， 所以的解集为， 故选：B. 3．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）设函数是定义在上的奇函数，且，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据奇函数的性质可知，再由即可求解． 【解答过程】函数是定义在上的奇函数， ，， ． 故选：A． 4．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则____________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数值. 【解答过程】函数是定义在上的奇函数，且当时，， 则. 故答案为：. 5．（25-26高一上·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性并加以证明； (3)解不等式 【答案】(1)； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3) 【解题思路】(1)利用奇函数性质，再用待定系数法求参数即可； (2)利用定义法和作差法来证明函数的单调性； (3)利用函数奇偶性和单调性来解不等式即可. 【解答过程】（1）因为奇函数可得：，即， 又可得：， 经验证符合题意，所以. （2）由于， 函数在上单调递减， 证明：任取，不妨设， 则 ， 因为，所以， 又因为，所以，即， 则，所以函数在上单调递减； （3）由不等式， 因为函数在上单调递减，所以， 解得. 题型7 函数的对称性、周期性问题 1．（25-26高一上·四川成都·期末）已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 【答案】B 【解题思路】根据图象的平移及对称中心得到是奇函数，结合得到是周期为8的周期函数，从而得到，结合已知条件及奇函数求出，即可得到. 【解答过程】根据函数平移的性质，函数的图象可由函数向右平移1个单位得到， 因为函数关于对称，所以函数关于对称， 即是奇函数，满足. ，即，， 所以，所以是周期为8的周期函数. ， 又时，，所以，所以. 故. 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数为奇函数，定义域为，为偶函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据为奇函数，得到，再由为偶函数，得到，从而推出函数的周期求解. 【解答过程】因为函数为奇函数， 所以， 又为偶函数，则，即， 所以，即， 所以，所以其周期为， 所以， ， 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏·期末）已知定义域为的函数的图象关于点中心对称，若为偶函数且，则（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【解题思路】根据已知条件判断为周期为4的偶函数，然后根据已知等式逐项判断计算即可. 【解答过程】因为函数的图象关于点中心对称，所以，令，得，即①，又为偶函数， 得②，所以有， 所以，故的周期为4， 因为，①中令，得，所以， ②中令，所以，令，代入，所以， 解得，所以， 所以. 故选：D. 4．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，，则____________. 【答案】 【解题思路】根据条件分析函数的对称性和周期性，再根据性质求函数值. 【解答过程】因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，所以， 又因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于点中心对称，所以. 所以， 设，所以 . 所以，所以函数是以4为周期的周期函数. 在中，令得 . 在中，令得. 又，， 所以. 故答案为：2. 5．（25-26高一上·福建南平·阶段检测）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)若存在对称中心，求的值 (2)由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：； (3)已知函数，写出图象的对称中心，并求 的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)对称中心为，. 【解题思路】（1）根据的对称中心为，构造函数，由奇函数的性质推出求解； （2）设，根据，然后换元，即可证明结论； （3）根据为奇函数，求出，，然后发现规律，即可求解. 【解答过程】（1）设，则为奇函数， 可得，，， ∵， ∴根据奇函数的定义域关于原点对称可得，解得， ∴， 由可得，解得， ∴. （2）设， ∵为奇函数， ∴对定义域内任意都成立，即， 整理得. 令，则，代入上式得， 即； （3）∵， ∴ ， ∵为奇函数， ∴， ∴，解得， ∴图像对称中心为， ∴， 即，，，…，，又， ∴ . 题型8 抽象函数的性质综合 1．（25-26高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【解答过程】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则， 又在上是增函数，所以，解得，故D正确． 故选：C． 2．（2026·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是R上的减函数 C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为 【答案】C 【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A； 根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B； 根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C； 不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D. 【解答过程】解：取，，则，解得，， 则．即，函数是奇函数，所以选项A错误； 令，，且，则，因为当时，，所以． 则．即， 函数是R上的增函数，所以选项B错误； 因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为， ，，． 故，在的最小值为-2，所以选项C正确； ，即， 因为函数是R上的增函数，所以，所以， 所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确． 故选：C． 3．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知函数的定义域为，且，则下列说法错误的是（   ） A．为周期函数 B．为偶函数 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据所给条件，利用赋值法和递推法进行推导判断即可. 【解答过程】在中， 取，可得,解得， 再取，可得,则有，即函数为偶函数，故B正确； 取，得，则有， 两式相减，可得，即,故为以3为一个周期的周期函数，故A正确； 由上分析，由，可得． 因,所以，故D正确； 取，得到：，再取，得，故C错误. 故选：C. 4．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知函数的定义域是，若对任意的，都有成立，且当时，，则的解集为____________. 【答案】 【解题思路】根据题意，求得，得到为奇函数，由函数单调性的定义和判定方法，证得为单调递减函数，把不等式转化为，即可求得不等式的解集，得到答案. 【解答过程】因为对任意的，都有成立， 当时，有，必有， 令，有，即，所以为奇函数， 设且，可得，则， 由， 可得，即，所以为上的单调递减函数， 又由，可得， 因为在上单调递减，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用，结合，即可求； （2）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性； （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【解答过程】（1）因为， 所以, , . （2）证明：令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数. （3）任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则， 解得. 题型9 函数性质的综合应用 1．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【解题思路】先通过奇偶性转化为对称关系，并将不同的对称关系结合，推导出函数具有周期性，最后利用周期简化运算求和. 【解答过程】因为为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线轴对称； 因为为奇函数，所以，即，所以函数的图象关于中心对称，且. 所以. 所以. 所以函数是周期为的函数. 当时，，所以. 所以，，，， ，. 所以. 所以. 故选：D. 2．（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【解答过程】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D. 3．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法中不正确的有（    ） A．函数的周期是 B．直线是函数的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【解题思路】根据奇偶性可推导得到，知A正确；根据周期性可推导得到B正确；利用周期性可求得在上的单调性，由此可得CD正误. 【解答过程】对于A，为偶函数，， 关于直线对称，即， 为奇函数，； ，， 的周期为，A正确； 对于B，， 即是函数的一条对称轴，B正确； 对于C，为定义在上的奇函数，， 当时，； 当时，，， ； 当时，， ， 在上单调递减，C错误； 对于D，由C知：，，，D正确. 故选：C. 4．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【解题思路】（1）令可求出，令再继续分解，结合可求出的值； （2）令，对变形可得答案； （3）先利用奇偶性把不等式转化为，再根据题意确定函数的单调性，进而把问题转化为不等式恒成立问题，进一步转化为函数的最值问题即可. 【解答过程】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令 . 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 5．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）利用与求出m，n的值，即可得解； （2）利用定义法证明函数的单调性； （3）转化为，结合第二问求出，分，与三种情况，结合函数的单调性，求出，列出不等式，求出实数k的取值范围. 【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数， 所以，解得，故， 又，故，解得，所以， 函数的定义域为，且， 所以为奇函数，故； （2）在上的单调递增，理由如下： 由（1）得，任取，且， 故 ， 因为，且， 所以， 故， 故，所以， 故单调递增； （3）因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 因为在上的单调递增，所以， 当时，，所以恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，故， 所以，解得，与取交集得； 当时，在上单调递减，故， 所以，解得，与取交集得， 综上：实数k的取值范围是. 题型10 函数新定义 1．（25-26高一上·陕西渭南·期末）若函数与同时满足以下条件：①与具有相同的定义域与单调区间；②且.则称是的“二倍函数”，已知函数，是函数，的“二倍函数”，则（   ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】先研究函数的单调性与值域，再根据“二倍函数”的定义得在上单调递增，进而求得值域，最后根据值域关系即可求得答案. 【解答过程】，， 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 所以， 因为函数，是函数，的“二倍函数”， 所以函数在上单调递增，且值域为， 因为函数， 所以，即，解得， 所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·福建龙岩·期中）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意得在恒成立，又，所以在恒成立，即在恒成立，令，，设，求解的最小值即可． 【解答过程】因为函数与是区间的“2阶依附函数”， 所以在恒成立， 又因为在单调递增，则， 所以在恒成立，即在恒成立， 不等式右侧可整理为， 令，，设，， 则， 因为，所以且， 即，在单调递增，则时有最小值， ，所以， 故选：A. 3．（25-26高一上·广西桂林·期中）若函数满足是奇函数，则我们称是“基移奇函数”，点为“基移奇函数”的“基点”．已知函数是“基移奇函数”，则的“基点”坐标为___________． 【答案】 【解题思路】函数可化简变形为，并理解题意，根据“基移奇函数”的定义可知为奇函数，从而得出其“基点”坐标. 【解答过程】已知函数是“基移奇函数”， ， 移项得. 令，则 因为函数是奇函数，所以是奇函数， 与定义对比可得. 则的“基点”坐标为． 故答案为：. 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 【答案】(1)，非奇非偶函数； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）令可得的值，根据的定义域即可判断其奇偶性；（2）由当时，可联想到利用换元法求解；（3）根据（2）中的单调性，将已知不等式转化为自变量之间的不等关系，分析法证明. 【解答过程】（1）因为， 令可得，解得. 因为是定义在上的函数，而不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数. （2）对任意的，且， 令，则， 由知， 所以. 又当时，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增. （3）因为 ， 所以要证，即证， 由（2）知函数在上单调递增， 所以即证，根据基本不等式知，该不等式恒成立， 所以函数是上的上凸函数． 5．（25-26高一上·湖北·阶段检测）函数的定义域为，若区间，函数在上的值域是，则称为函数的“跟随区间”，特别地，当时，称是函数的“保值区间”. (1)求函数 的“跟随区间”； (2)证明：函数不存在“保值区间”； (3)定义域为的函数满足：①为奇函数；②当时， 若函数在上存在“保值区间”，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）由得，进而根据函数在上单调递增得，再结合即可求得答案； （2）假设函数存在“保值区间”，则必有或，再根据函数的单调性列方程，得到方程组无解即可证明； （3）先根据函数的对称性得，，进而得及与时的图象，再分，，三种情况讨论求解即可. 【解答过程】（1）解：设函数的“跟随区间”为，则的值域为 因为， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以，即是一元二次方程的两个实数根，解得或， 又因为，所以，. 所以函数的“跟随区间”为. （2）证明：函数的定义域为 假设函数存在“保值区间”（），则必有或， 因为在和上均为单调递减函数， 所以，两式作差得：，即 因为，所以，即， 将代入得，此方程无解， 所以函数不存在“保值区间”. （3）解：因为为奇函数， 所以函数的图象关于点对称，即 当时，， 所以当时，，， 所以， 当时，，且单调递增， 因为函数的图象关于点对称， 所以当时，，且单调递增， 所以，在与图象如图所示：        当时，函数，显然不存在“保值区间”， 若函数在存在“保值区间”（）， 当时， 若，则，所以，不合题意， 所以若在存在“保值区间”，则必有 因为函数在上单调递增， 所以，即， 所以在上有两个不同的解， 令，则，当且仅当时等号成立，且，时有两个不同的解； 所以， 当时， 若，则，所以，不合题意， 所以，若在存在“保值区间”，则必有， 由于函数在上单调递减， 所以， 两式作差得，即：， 将代入得， 即，所以， 所以，当，，时，在存在“保值区间”， 综上，当实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $