第6章 §6.1 幂函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y=xα的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.

导语

同学们，我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.

一、幂函数的概念

问题1　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？

(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p=ω元，这里p是ω的函数；

(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；

(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；

(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c=即c=这里c是S的函数；

(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v= km/s，即v=t-1，这里v是t的函数.

提示　这些函数的解析式都具有指数幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.

知识梳理

幂函数的概念

一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.

注意点：

(1)底数是自变量x；

(2)幂的系数为1；

(3)α是任意常数；

(4)函数的定义域与α有关.

例1　(1)在函数y=y=2x2，y=y=x2+x，y=1中，幂函数的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案　B

解析　因为y==x-2，所以它是幂函数；由于y=2x2中x2的系数不是1，因此它不是幂函数；y=的自变量在指数位置，因此不是幂函数；y=x2+x是两项和的形式，因此不是幂函数；y=1=x0(x≠0)，可以看出，常函数y=1和幂函数y=x0的定义域不同，因此y=1不是幂函数.故幂函数只有1个.

(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，求m，n的值.

解　由题意得

解得m=-3或m=1，n=.

反思感悟　幂函数的判断方法：

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.

跟踪训练1　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(-4)=　　　　. 

答案　16

解析　设f(x)=xα，∵f(4)=16，∴4α=16，

解得α=2，∴f(x)=x2，∴f(-4)=(-4)2=16.

二、幂函数的图象与性质

问题2　根据之前所学的函数概念与性质，我们应该从哪些方面来研究幂函数呢？

提示　根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.

问题3　你能在同一坐标系下作出y=x，y=x2，y=x3，y=y=x-1这五个函数的图象吗？

提示　

问题4　观察函数图象以及函数解析式，完成下表.

 

提示　R　R　R　[0，+∞)　{x|x≠0}

R　[0，+∞)　R　[0，+∞)　{y|y≠0}　

奇函数　偶函数　奇函数　非奇非偶函数　奇函数

增函数　在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增　增函数　在[0，+∞)上单调递增　

在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减

知识梳理　一般幂函数的性质

(1)函数y=xα，当α>0时，具有的性质：

①函数的图象都过点(0，0)和(1，1)；

②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，+∞)上单调递增.

(2)函数y=xα，当α<0时，具有的性质：

①函数的图象都过点(1，1)；

②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，+∞)上单调递减.

例2　(1)(课本例1)写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：

(1)y=x3；