第6章 §6.1 幂函数（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦幂函数这一核心知识点，系统梳理从概念抽象到图象性质再到应用的完整脉络。以实例引入幂函数定义，通过对比五个典型幂函数的图象，分析定义域、值域、奇偶性及单调性，为后续学习指数函数、对数函数等基本初等函数提供知识支架。 该资料以数学史导语激发兴趣，通过问题链引导学生用数学眼光从现实实例中抽象概念，借助图象对比培养数学思维，例题与分层练习结合强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后通过对点练习帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y=xα的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 导语 同学们，我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念. 一、幂函数的概念 问题1　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p=ω元，这里p是ω的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c=即c=这里c是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v= km/s，即v=t-1，这里v是t的函数. 提示　这些函数的解析式都具有指数幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数. 知识梳理 幂函数的概念 一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 注意点： (1)底数是自变量x； (2)幂的系数为1； (3)α是任意常数； (4)函数的定义域与α有关. 例1　(1)在函数y=y=2x2，y=y=x2+x，y=1中，幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　因为y==x-2，所以它是幂函数；由于y=2x2中x2的系数不是1，因此它不是幂函数；y=的自变量在指数位置，因此不是幂函数；y=x2+x是两项和的形式，因此不是幂函数；y=1=x0(x≠0)，可以看出，常函数y=1和幂函数y=x0的定义域不同，因此y=1不是幂函数.故幂函数只有1个. (2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数，求m，n的值. 解　由题意得 解得m=-3或m=1，n=. 反思感悟　幂函数的判断方法： 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1. 跟踪训练1　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(-4)=　　　　.  答案　16 解析　设f(x)=xα，∵f(4)=16，∴4α=16， 解得α=2，∴f(x)=x2，∴f(-4)=(-4)2=16. 二、幂函数的图象与性质 问题2　根据之前所学的函数概念与性质，我们应该从哪些方面来研究幂函数呢？ 提示　根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题. 问题3　你能在同一坐标系下作出y=x，y=x2，y=x3，y=y=x-1这五个函数的图象吗？ 提示　 问题4　观察函数图象以及函数解析式，完成下表. y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 值域 奇偶性 单调性 提示　R　R　R　[0，+∞)　{x|x≠0} R　[0，+∞)　R　[0，+∞)　{y|y≠0}　 奇函数　偶函数　奇函数　非奇非偶函数　奇函数 增函数　在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增　增函数　在[0，+∞)上单调递增　 在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减 知识梳理　一般幂函数的性质 (1)函数y=xα，当α>0时，具有的性质： ①函数的图象都过点(0，0)和(1，1)； ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，+∞)上单调递增. (2)函数y=xα，当α<0时，具有的性质： ①函数的图象都过点(1，1)； ②在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间(0，+∞)上单调递减. 例2　(1)(课本例1)写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性： (1)y=x3； (2)y=； (3)y=x-2. 解　(1)函数y=x3的定义域是R.因为对任意的x∈R，-x∈R，且都有(-x)3=(-1)3x3=-x3，所以由奇函数的定义知，函数y=x3是奇函数. (2)函数y=即y=其定义域是[0，+∞).因为当x∈(0，+∞)时，-x∉(0，+∞)，所以由奇函数、偶函数的定义可知，函数y=既不是奇函数，也不是偶函数. (3)由函数y=x-2即y=可知x≠0，所以此函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因为对任意的x∈R，x≠0，都有-x∈R，-x≠0，且(-x)-2=(-1)-2·x-2=x-2，所以由偶函数的定义知，函数y=x-2是偶函数. 例2　(1)下列幂函数中，既在区间(0，+∞)上单调递减，又是奇函数的是(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= 答案　D 解析　y=在(0，+∞)上单调递增，故A不符合题意； y=在(0，+∞)上单调递增，故B不符合题意； y=在(0，+∞)上单调递减， 设f(x)==定义域为{x|x≠0}， f(-x)===f(x)， 所以f(x)为偶函数，故C不符合题意； y=在(0，+∞)上单调递减， 设g(x)==定义域为{x|x≠0}， g(-x)==-=-g(x)， 所以g(x)为奇函数，故D符合题意. (2)如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-2 B.2--2 C.--2，2 D.2-2，- 答案　B 解析　根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y=xn递增速度越快，故C1的n=2，C2的n=；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-曲线C4的n=-2，故选B. 反思感悟　解决幂函数的图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象的高低判断幂的指数大小： ①在区间(0，1)上，幂的指数越大，幂函数的图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在区间(1，+∞)上，幂的指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)注意幂函数f(x)=xα的变化特点，如递增、递减的特征，与x轴、y轴的接近等，以区分α的范围，确定幂指数α与0，1的大小关系. 跟踪训练2　(1)如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象，则(　　) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1，0<m<1 C.-1<n<0，m>1 D.n<-1，m>1 答案　B 解析　由于y=xm在[0，+∞)上单调递增，且为上凸函数，故0<m<1；由于y=xn在(0，+∞)上单调递减，且在直线x=1的右侧时，y=xn的图象在y=x-1的图象的下方，故n<-1. (2)已知α∈.若函数f(x)=xα在(0，+∞)上单调递减，且图象关于y轴对称，则α=　　　　.  答案　-2 解析　由f(x)在(0，+∞)上单调递减，得α<0， 所以α的可能取值为-2，-1，-. 当α=-2时，函数f(x)=x-2=(x≠0)为偶函数，其图象关于y轴对称，符合题意； 当α=-1时，函数f(x)=x-1=(x≠0)为奇函数，其图象关于点(0，0)对称，不符合题意； 当α=-时，函数f(x)== 此时f(x)的定义域为(0，+∞)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意. 综上，α=-2. 三、幂函数的图象与性质的应用 例3　(1)(课本例2)试比较下列各组数的大小： ①1.13，0.893； ②2.1.； ③1. 解　①因为函数y=x3在区间[0，+∞)上单调递增，又1.1>0.89，所以1.13>0.893. ②因为函数y=在区间[0，+∞)上单调递增，又2.1>2>1.8，所以2.>>1.. ③因为函数y=x1.3在区间[0，+∞)上单调递增，又1=11.3<1，所以<11.3=1. 因为函数y=在区间[0，+∞)上单调递增，又=1，3>1，所以>=1.于是<1<. 例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小： ①与； ②与； ③与. 解　①∵幂函数y=x0.5在[0，+∞)上单调递增，且>∴>. ②∵幂函数y=x-1在(-∞，0)上单调递减， 且-<-∴>. ③方法一　== ∵幂函数y=在[0，+∞)上单调递增， 且>∴>即>. 方法二　∵函数y1=在[0，+∞)上单调递增， 且>1，∴>=1. 又∵函数y2=在[0，+∞)上单调递增， 且<1，∴<=1，∴>. (2)若幂函数f(x)=(m2-2m+1)在定义域上为减函数. ①求f(x)的解析式； ②若f(a+1)>f(2a-3)，求实数a的取值范围. 解　①∵f(x)=(m2-2m+1)为幂函数， ∴m2-2m+1=1， ∴m=2或m=0. 当m=2时，f(x)=在定义域上为增函数，不符合题意； 当m=0时，f(x)=在定义域上为减函数，符合题意. 综上，f(x)=. ②∵f(x)=在定义域(0，+∞)上为减函数且f(a+1)>f(2a-3)， ∴0<a+1<2a-3，解得a>4， ∴a的取值范围为(4，+∞). 反思感悟　比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小. (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”. 跟踪训练3　比较下列各组数中两个数的大小： (1)与； (2)-3.143与-π3； (3)与. 解　(1)∵y=x-0.3在(0，+∞)上单调递减， 又>∴<. (2)∵y=x3是R上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴-3.143>-π3. (3)== ∵y=在[0，+∞)上单调递增，且2< ∴<即<. 1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：易忽略幂函数的概念. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.下列函数：①y=x3；②y=；③y=4x2；④y=x5+1；⑤y=(x-1)2；⑥y=x；⑦y=ax(a>1).其中幂函数的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　②⑦中自变量在指数位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数. 2.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点则幂函数f(x)具有的性质是(　　) A.在其定义域上单调递增 B.在(0，+∞)上单调递减 C.奇函数 D.定义域为R 答案　BC 解析　设幂函数f(x)=xα(α为常数)， 因为幂函数图象过点所以f(x)= 所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(-∞，0)，(0，+∞)上均单调递减. 3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　) A.y= B.y=x-1 C.y=x2 D.y=x 答案　C 解析　由于y=x-1和y=x都是奇函数，故B，D不满足题意.y=在(0，+∞)上单调递增，但不是偶函数，故A不满足题意.y=x2为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，故C满足题意. 4.函数f(x)=(a-b)+b-3是幂函数，则下列结论正确的是(　　) A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)=f(b) D.以上都不对 答案　A 解析　∵f(x)为幂函数，∴解得 ∴f(x)= ∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，且a>b>0， ∴f(a)>f(b). 5.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 答案　B 解析　y=的图象位于第一象限，且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y=-1的图象可看作是由y=的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示)，则y=-1的图象关于x轴对称的图象即为选项B. 6.下列命题正确的是(　　) A.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点 B.当n=0时，函数y=xn的图象是一条直线 C.如果两个幂函数的图象有三个交点，那么这两个函数一定相同 D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点(-1，1) 答案　D 解析　对于A，幂函数的图象都经过点(1，1)，当y=xn中n≤0时，不过点(0，0)，故A不正确；对于B，当n=0时，幂函数y=xn的图象是直线y=1除去点(0，1)，故B不正确；对于C，当两个幂函数的图象有三个交点时，两函数不一定相同，如y=x与y=x3的图象有三个交点，但这两个函数不相同，故C不正确；对于D，因为幂函数的图象都经过点(1，1)，所以若幂函数为偶函数，其图象一定经过点(-1，1)，故D正确. 7.(5分)已知α∈若幂函数y=xα的值域与定义域相同，则α的取值集合为　　　　.  答案　 解析　幂函数的定义域和值域相同时，α的值可以是-11，3， 故α的取值集合为. 8.(5分)如图为三个幂函数y=y=y=在其定义域上的局部图象，则实数a1，a2，a3从小到大的排列顺序为　　　　　　　　.(请用“<”连接) 答案　a1<a2<a3 解析　对于y=由其图象可知a1<-1，例如a1=-2； 对于y=由其图象可知0<a2<1，例如a2=； 对于y=由其图象可知a3>1，例如a3=3； 所以a1<a2<a3. 9.(10分)已知函数f(x)=(m2+2m)·则m为何值时，函数f(x)是 (1)正比例函数；(3分) (2)反比例函数；(3分) (3)幂函数.(4分) 解　(1)若函数f(x)为正比例函数， 则∴m=1. (2)若函数f(x)为反比例函数， 则∴m=-1. (3)若函数f(x)为幂函数，则m2+2m=1， ∴m=-1±. 10.(11分)比较下列各组数的大小： (1)和；(5分) (2)和.(6分) 解　(1)因为函数y=在(0，+∞)上单调递减， 又3<3.2，所以>. (2)因为函数y=在(0，+∞)上单调递增， 而>所以>. 11.已知幂函数y=(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于(　　) A.1 B.0，2 C.-1，1，3 D.0，1，2 答案　C 解析　∵幂函数y=(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称， ∴m2-2m-3≤0，且m2-2m-3(m∈Z)为偶数， 由m2-2m-3≤0，得-1≤m≤3， 又m∈Z，∴m=-1，0，1，2，3. 当m=-1时，m2-2m-3=1+2-3=0，为偶数，符合题意； 当m=0时，m2-2m-3=-3，为奇数，不符合题意； 当m=1时，m2-2m-3=1-2-3=-4，为偶数，符合题意； 当m=2时，m2-2m-3=4-4-3=-3，为奇数，不符合题意； 当m=3时，m2-2m-3=9-6-3=0，为偶数，符合题意. 综上所述，m=-1，1，3. 12.已知幂函数f(x)的图象过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(0<x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是(　　) A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x2)<x2f(x1) C.> D.< 答案　D 解析　设幂函数f(x)=xα，图象过点则==即α= 所以f(x)= 因为函数f(x)=在(0，+∞)上单调递增， 所以当0<x1<x2时，0<f(x1)<f(x2)， 所以x1f(x1)<x2f(x2)， 即<故选项A，C错误； 因为函数y==在(0，+∞)上单调递增，所以当0<x1<x2时<即x2f(x1)<x1f(x2)，故B错误，D正确. 13.(5分)写出一个幂函数f(x)的解析式，使之同时具有以下三个性质：①f(x)的定义域为{x|x≠0}；②f(x)是偶函数；③当x>1时，0<f(x)<1.则函数f(x)的解析式为　　　　　　.  答案　f(x)=x-2(答案不唯一) 解析　当f(x)=x-2时，f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(x)是偶函数， 当x>1时，x2>1，0<f(x)=x-2=<1， 故f(x)=x-2满足题意. 14.(5分)已知幂函数f(x)=xa的图象过点若f(2m+1)<f(3)，则m的取值范围是　　　　　　　　.  答案　(-∞，-2)∪(1，+∞) 解析　由幂函数f(x)=xa的图象过点得2a=解得a=-2，则f(x)=x-2= 则f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，f(x)为定义域上的偶函数，在(0，+∞)上单调递减. 于是f(2m+1)<f(3)等价于|2m+1|>3， 解得m<-2或m>1. 15.(多选)若a>b>1>c>0>d，则下列不等式不成立的是(　　) A.ad>bd B.dca<dba C.ac>bc D.b<d 答案　ABD 解析　∵d<0，∴幂函数y=xd在(0，+∞)上单调递减， 又∵a>b>1，∴ad<bd，故A不成立； ∵a>0，∴幂函数y=xa在(0，+∞)上单调递增， 又∵b>c>0，∴ba>ca， 又∵d<0，∴dba<dca，故B不成立； ∵c>0，∴幂函数y=xc在(0，+∞)上单调递增， 又∵a>b>1，∴ac>bc，故C成立； ∵a>b>1，∴>1， ∴幂函数y=在(0，+∞)上单调递增， 又∵b>c>0，∴>>0， 又∵b>0>d，∴b>0，d<0， ∴b>d故D不成立. 16.(12分)若函数f(x)=(m2-3m+3)为幂函数，且在(0，+∞)上单调递减. (1)求实数m的值；(4分) (2)若函数g(x)=x-f(x)，且x∈(0，+∞). ①判断函数g(x)的单调性，并证明；(4分) ②求使不等式g(2t-1)<g(t)成立的实数t的取值范围.(4分) 解　(1)由题意知m2-3m+3=1， 解得m=1或m=2， 当m=1时，幂函数f(x)=x-1， 此时幂函数在(0，+∞)上单调递减，符合题意； 当m=2时，幂函数f(x)=x4， 此时幂函数在(0，+∞)上单调递增，不符合题意； 所以实数m的值为1. (2)①g(x)=x-f(x)=x-g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.证明如下： 任取0<x1<x2，则g(x1)-g(x2) =-=(x1-x2)- =(x1-x2) 由0<x1<x2可得x1-x2<0，1+>0， 则g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增. ②由①知，g(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 又由g(2t-1)<g(t)可得 解得<t<1， 故实数t的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $