第5章 函数概念与性质（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第一册

第5章 函数概念与性质全章十大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 函数的概念 1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 4．（24-25高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 5．（24-25高一·全国·随堂练习）下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系； (2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系； (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系； (4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系； (5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系； (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系． 题型2 函数的定义域的求解 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 4．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 题型3 函数的值域的求解 1．（24-25高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ） A． B．（） C．（） D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 题型4 同一函数的判断 1．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 3．（24-25高一上·甘肃庆阳·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是 ． （1） （2） （3） （4） 4．（24-25高一·江苏·课后作业）判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由： （1），；    （2），，； （3），；        （4），. 5．（24-25高一·江苏·课后作业）试判断下列各组函数是否表示同一个函数． （1）与； （2）与； （3）与 ； （4），与，. 题型5 函数解析式的求解 1．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数，则 ． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）分别求满足下列条件的函数的解析式： (1)已知是二次函数，且； (2)函数满足． 5．（24-25高一上·云南大理·期中）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 题型6 函数单调性的判断及单调区间的求解 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为 ． 4．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：. 5．（24-25高一上·湖南郴州·期中）已知函数 (1)求函数的定义域. (2)求函数的单调区间. (3)当时，求函数的最小值. 题型7 函数的最值问题 1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 3．（24-25高一上·全国·周测）函数，的最大值为 . 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 5．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 题型8 函数奇偶性的判断 1．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数； (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性，并证明. 题型9 函数图象的判断与应用 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南衡阳·期中）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为 . 4．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 题型10 利用函数的性质解不等式 1．（24-25高二下·云南·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知是定义在上的偶函数，若对于任意的，当时，都有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的的取值范围为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 5．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数概念与性质全章十大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 函数的概念 1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【解答过程】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 【答案】② 【解题思路】根据函数的定义，即可求解. 【解答过程】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确； 若函数,定义域为，但值域为，故②错误， 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确， 由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确， 故答案为：②. 4．（24-25高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)不是集合A到集合B的函数 (2)是集合A到集合B的函数 (3)不是集合A到集合B的函数 (4)是集合A到集合B的函数． 【解题思路】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数. 【解答过程】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． （2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数． （3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数． （4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 5．（24-25高一·全国·随堂练习）下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？ (1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系； (2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系； (3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系； (4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系； (5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系； (6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可. 【解答过程】（1）地球绕太阳公转，二者的距离与时间存在函数关系， 其中时间时自变量，距离是因变量 （2）在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间存在函数关系， 其中时间为自变量，高度是因变量 （3）某超市一天的销售额与客流量之间存在函数关系， 其中客流量是自变量，销售额是因变量 （4）某十字路口，通过汽车的数量与时间存在函数关系， 其中时间是自变量，通过汽车的数量是因变量 （5）往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间存在函数关系， 其中时间是自变量，杯中水的体积是因变量 （6）抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间不存在函数关系. 题型2 函数的定义域的求解 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据偶次根式、分式有意义的条件列不等式，求解即可. 【解答过程】由题意得，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得. 【解答过程】由函数的定义域为，得，则， 即的定义域为，在函数中，由，解得， 所以所求函数的定义域为. 故选：A. 3．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【解题思路】由求解即可. 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3){且 (4)且 【解题思路】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （2）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可； （3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可； （4）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可. 【解答过程】（1） 所以定义域为 （2） 所以定义域为 （3）且 所以定义域为且 （4）且 所以定义域为且. 5．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【解答过程】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 题型3 函数的值域的求解 1．（24-25高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【解答过程】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C. 2．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（    ） A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【解题思路】分别求出各函数的值域即可. 【解答过程】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ． 【答案】 【解题思路】分离常数后，即可求解. 【解答过程】因为，所以， 故所求值域为． 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据即可求出函数的值域； （2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解； （4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解. 【解答过程】（1）由，即所求函数的值域为； （2）由， ∵，∴， 即函数的值域为； （3）由，∴函数的定义域为， ， 即，∴， 即函数的值域为； （4）由，得， ∴所求函数的值域为． 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【解答过程】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 题型4 同一函数的判断 1．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【解答过程】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【解题思路】由函数解析式可得函数的定义域，整理函数解析式判断是否相同，逐项检验，可得答案. 【解答过程】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·甘肃庆阳·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是 ． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）（4） 【解题思路】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数，从而得解. 【解答过程】对于选项（1），因为， 所以两个函数的定义域均为，且对应关系也相同， 所以是同一个函数，故（1）正确； 对于选项（2），因为， 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故（2）错误； 对于选项（3），因为的定义域为， 的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故（3）错误； 对于选项（4），因为， 所以两个函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一个函数，故（4）正确． 故答案为：（1）（4）. 4．（24-25高一·江苏·课后作业）判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由： （1），；    （2），，； （3），；        （4），. 【答案】答案见解析. 【解题思路】根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域是否相同来判断即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为R，的定义域为， 所以两者不是同一个函数. （2）函数的定义域为R，，的定义域为，定义域不同，所以两者不是同一个函数. （3）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数. （4）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数. 5．（24-25高一·江苏·课后作业）试判断下列各组函数是否表示同一个函数． （1）与； （2）与； （3）与 ； （4），与，. 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）是；（4）不是. 【解题思路】（1）求两个函数的定义域即可求解； （2）根据两个函数的对应关系即可求解； （3）求两个函数的定义域和对应关系即可求解； （4）根据两个函数的对应关系即可求解； 【解答过程】（1）函数，定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以它们不是同一个函数； （2）因为，，对应关系不同，所以它们不是同一个函数． （3）因为定义域为， ，两个函数的对应关系、定义域均相同，所以它们是同一个函数； （4）因为，，，，两个函数的对应关系不同，所以它们不是同一个函数． 题型5 函数解析式的求解 1．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【解题思路】令，采用换元法求函数的解析式. 【解答过程】令，则， ， 所以. 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数，则 ． 【答案】或 【解题思路】根据函数的性质，令，解出相应的值，把原函数变形为，代入相应的值求解. 【解答过程】令，解得或， 又， 所以：当时，； 当时，． 故答案为：或. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）分别求满足下列条件的函数的解析式： (1)已知是二次函数，且； (2)函数满足． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，代入已知条件列出方程组，解方程组得出，得出方程为，代入验证成立. （2）根据得出，联立消去得出. 【解答过程】（1）设， 根据题意得 解得 则. 验证：，成立； ，成立； ，成立. 所以. （2）因为①， 所以②， ②①得，， 所以． 5．（24-25高一上·云南大理·期中）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数是上的增函数且满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】(1)利用配凑法求解； (2)利用待定系数法求解； (3)利用方程组法求解. 【解答过程】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 因为是上的增函数，所以； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 题型6 函数单调性的判断及单调区间的求解 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【解答过程】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为 ． 【答案】和 【解题思路】整理可得，利用函数单调性的定义判断函数单调性. 【解答过程】首先，的定义域为，且. 而对任意，根据可知，即，故. 又对任意，根据可知，故. 因此在区间上单调递减，在上单调递减，故函数的单调递减区间为和． 故答案为：和． 4．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：. 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2). 【解题思路】（1）任取、且，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数在上的单调性； （2）由已知条件可得出，结合（1）中的结论可解原不等式. 【解答过程】（1）任取、且，即， ， 因为，则，， ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）由（1）可知函数在区间上是增函数，且， 因此由可得. 因此，不等式的解集为. 5．（24-25高一上·湖南郴州·期中）已知函数 (1)求函数的定义域. (2)求函数的单调区间. (3)当时，求函数的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）结合分式成立的条件即可求出函数的定义域； （2）利用单调性的定义进行证明即可； （3）结合（2）的单调性求时，函数的最小值. 【解答过程】（1）要使函数有意义，则， 即函数的定义域为. （2），令，则， 则， 当时，，则，故函数在上单调递增； 当时，，则，故函数在上单调递减； 当时，，则，故函数在上单调递减； 当时，，则，故函数在上单调递增； 综上知，的增区间为和，的减区间为和. （3）由（2）知，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 因此时，函数取得最小值为. 题型7 函数的最值问题 1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【解题思路】利用函数的单调性求解即可. 【解答过程】因为在上单调递减， 所以当时取得最小值，， 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【解答过程】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·周测）函数，的最大值为 . 【答案】12 【解题思路】换元法将函数转化为二次函数，再根据二次函数的图像与性质求最小值. 【解答过程】令，因为，所以. 则，函数单调递增， 当，即时，有最大值12， 即函数，的最大值为12. 故答案为：12. 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【解题思路】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【解答过程】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 5．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）且，利用作差法证明即可； （2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解. 【解答过程】（1）且， 则， 因为，所以， 又因为，所以， 因此， 所以在是减函数； （2）由（1）可知，是减函数， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 因为最大值与最小值之差为1， 所以，解得. 题型8 函数奇偶性的判断 1．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可. 【解答过程】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 2．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【解题思路】根据奇偶性的定义判断即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 【答案】奇 【解题思路】根据奇偶函数的定义即可判断 【解答过程】因为是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以， 所以为奇函数， 故答案为：奇. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 【答案】(1)既是奇函数又是偶函数； (2)偶函数. 【解题思路】（1）（2）根据奇偶性定义判断函数的奇偶性即可. 【解答过程】（1）由，得，即． 函数的定义域是，关于原点对称，且， 既是奇函数又是偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称． ， 是偶函数． 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数； (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 【解题思路】（1）根据具体函数的解析式得出函数的定义域； （2）先根据定义域关于原点对称，再化简解析式应用偶函数的定义即可证明. 【解答过程】（1）因为函数，所以且不等于2， 所以且不等于0，所以函数的定义域为； （2）函数是偶函数. 函数的定义域为关于原点对称， 又因为, , 所以是偶函数. 题型9 函数图象的判断与应用 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【解答过程】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D. 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析函数的奇偶性、及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， ，则函数为偶函数，排除C选项， 当时，，则，排除BD选项， 故选：A. 3．（24-25高一上·湖南衡阳·期中）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为 . 【答案】 【解题思路】先根据图象，写出当时，不等式的解集，再根据函数的奇偶性写出当时，不等式的解集，再合并起来即可. 【解答过程】由图可知，当时， ， . 又函数是定义在区间上的一个偶函数， 所以当时，，且； 当时，，且. 综上可知，的解集为：. 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 【答案】(1) (2)图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为， (3)或. 【解题思路】（1）令，则求出，再根据即可求出； （2）画出分段函数的图象，即可写出单调区间； （3）结合图象写出的解集即可. 【解答过程】（1）当时，，则. 因为为奇函数，所以. 所以； （2） 由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为，. （3）由图可知，使的的取值集合为或. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分． (1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)求函数的单调区间和最大值． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)答案见解析. 【解题思路】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象； （2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式； （3）由图象确定函数的单调区间和最大值. 【解答过程】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下： （2）当时，； 当时，依题设， 将点代入，得，解得， 故． 即函数在上的解析式为； （3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和， 函数在和处取得最大值，且， 所以函数的最大值为4． 题型10 利用函数的性质解不等式 1．（24-25高二下·云南·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由奇偶性得到，当时，，结合单调性，求出，同理得到当时，，故， 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，， 所以， 因为在上单调递减，当时，， 故， 因为是定义在上的奇函数，故在上单调递减， 又，当时，， 故， 综上，的解集为. 故选：D. 2．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知是定义在上的偶函数，若对于任意的，当时，都有成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数单调性的定义得函数在上单调递减，结合偶函数的对称性得函数在上单调递增，利用可得当或时，，当时，，进而求解不等式和，再分类讨论解分式不等式即可. 【解答过程】因为对于任意的，当时，都有成立， 所以函数在上单调递减，又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递增，又，则， 所以当或时，，当时，， 所以由，得或，解得或， 由，得，解得， 又， 所以或，解得或， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据奇偶性确定出在上的单调性，然后分析出取值正负，最后分类讨论的成立情况，由此求得解集. 【解答过程】因为是上的奇函数且在上单调递减， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以时，，时，， 时，，时，， 又因为，所以或， 解得， 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【解题思路】（1）先利用赋值法求得，再赋值得，利用奇函数的定义证明即可； （2）先判断为单调增函数，然后利用奇函数性质将不等式变为，最后利用单调性解不等式即可． 【解答过程】（1）函数的定义域为， 由，令，得，即． 令，得， 即，所以为奇函数． （2）由为单调函数，知为单调增函数． 由得． 因为为奇函数，所以． 因为为单调增函数，所以， 即，解得或． 5．（24-25高一下·陕西安康·期末）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)为偶函数. (3) 【解题思路】（1）由已知条件代入数值计算，即可得答案； （2）根据偶函数的定义即可判断结论； （3）判断函数的单调性，结合偶函数性质可得不等式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意得， 将代入，得到，解得. （2）由（1）可得， 其定义域为，关于原点对称， 且， 故为偶函数. （3）当时，在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，即， 解得. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $