第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，系统梳理空间直角坐标系的建立与点坐标确定，空间向量的坐标运算规则，以及用坐标解决平行、垂直、模长、夹角等几何问题，构建从概念到运算再到应用的递进式学习支架。 资料特色在于知识点与题型深度融合，通过求对称点、向量线性运算、坐标法解最值等实例，培养学生空间观念（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）和坐标表达能力（数学语言）。课中辅助教师引导探究，课后提升练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 【人教A版】 模块二 空间直角坐标系 【知识点1 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据对称性规则逐一求出的坐标. 【解答过程】由题意得，则. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知是空间直角坐标系中的一点，与点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由于点关于平面对称的点，满足横坐标、竖坐标不变，纵坐标互为相反数，计算即可. 【解答过程】空间直角坐标系中与点关于平面对称的点， 满足横坐标、竖坐标不变，纵坐标互为相反数， 是空间直角坐标系中的一点， 点关于平面对称的点是. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【解答过程】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·天津静海·期中）已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【解题思路】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题与关于点对称问题直接求解. 【解答过程】设点关于平面对称的点为，易知两个点的横坐标与竖坐标相同，纵坐标相反，故点； 设点关于点对称的点为，则点为线段的中点，故有：，解得，即. 故选：A. 模块三 空间向量的坐标运算 【知识点2 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的坐标运算进行计算即可. 【解答过程】因为向量， 所以. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量的坐标规则进行线性运算即可. 【解答过程】因为，，， 所以 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】由， 可得：， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【解答过程】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C. 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据向量数量积的运算律和向量数量积的坐标表示计算即可. 【解答过程】因为，，， 所以. 所以. 故选：D. 【变式3-1】（2026·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【解答过程】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】（1）由，可得，. ，故； （2），，， 可得，， 故. 【变式3-3】（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)7； (2)19或13. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用向量共线列式求出，再利用向量线性运算及模的坐标表示求解. （2）由向量垂直及模的坐标表示求出，进而求出向量的数量积. 【解答过程】（1）向量，由，得，解得， ，而，则， 所以. （2）由，得，即，解得， 由，得，解得， 当时，； 当时，， 所以的值是19或13. 模块四 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 【知识点3 用空间向量的坐标运算解决几何问题】 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【题型4 空间向量模长的坐标运算】 【例4】（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解题思路】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【解答过程】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二下·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量 ，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示，可得答案. 【解答过程】以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为， 因为，那么， 所以， 所以、、、四点共面， 由得，解得， 所以的最小值为. 故选：B.    【变式4-2】（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【解答过程】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 【变式4-3】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知向量，，. (1)求的值； (2)求； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算； （2）根据空间向量夹角公式直接计算即可； （3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 又因为， 所以. （2）因为，， 所以. （3）因为，， 所以， 所以， 当时，取得最小值，则最小值为. 【题型5 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例5】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知向量，，.若向量，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】根据向量加法的坐标运算求出，利用向量平行的性质建立等式求解. 【解答过程】. 因为，所以存在实数，使得，即. 所以，解得. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得. 【解答过程】由向量，共线， 故存在，使得，即， 解得，，所以． 故选：C． 【变式5-2】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【解题思路】由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【解答过程】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高二上·广东中山·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据空间向量线性坐标公式求解，再根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 又，且， 则，解得. 故选：A. 【题型6 空间向量垂直的坐标表示】 【例6】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知向量，，若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】利用空间向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【解答过程】因为向量，， 所以， 因为，所以， 即，解得，故D正确. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知，则下列向量中与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量垂直坐标运算逐项判断即可. 【解答过程】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意； 对于D，，不合题意. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 【答案】(1), (2) 【解题思路】（1）由空间向量的坐标表示中加减法的运算即可求得向量的坐标，再使用模长计算公式即可求得； （2）同（1）中的加减法运算，先分别计算和的坐标，由可得，再使用空间向量的坐标表示中数量积的运算即可求得的值. 【解答过程】（1）已知，． 设，则， 则有，解得，即， 则. 故，. （2）由（1）得，又，， 则，， 由得， 即，解得， 故的值为. 【变式6-3】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【解答过程】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 【题型7 空间向量夹角（余弦）的坐标运算】 【例7】（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【解答过程】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 【变式7-1】（25-26高二下·重庆北碚·阶段检测）已知， ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的平行、垂直关系求，再根据空间向量的坐标运算求夹角. 【解答过程】∵，∴，解得，即. 又∵ ，注意到，则，使得， ∴，解得，故. ∴， ∴，又， ∴. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【解答过程】（1）解：(1)因为, 所以， ， . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 【变式7-3】（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知空间四点，，，. (1)若、、、四点共面，求的值； (2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意知，存在唯一一对实数，使得，代入坐标，列出方程组，求解即得； （2）设直线和直线的夹角为，利用空间向量的夹角公式求出的表达式，借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【解答过程】（1）由题意，得，, ，，，四点共面， 存在实数使得， 即， 则，解得，，， 故的值为. （2），，      设直线和直线的夹角为， ，              因为，，所以，所以， 所以两直线和的夹角余弦值的范围是 . 【题型8 坐标法求最值（范围）问题】 【例8】（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知某正四棱柱的底面边长为2，高为，为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为正方向建立空间直角坐标系，经计算的几何意义为到的距离的平方减2，则有与重合时最小，在底面端点时最大. 【解答过程】由题意分别以为正方向建立空间直角坐标系如下： 取对角线，则与重合，与重合，设点，易得， 则， 则， 令，表示点到的距离的平方， 因为点在底面运动， 则当取最小值时，应与重合，即，此时，则， 当取最大值时，应在底面端点，不妨令，则，则. 故的取值范围为， 故选：D. 【变式8-1】（25-26高二上·广东·期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围． 【解答过程】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、， 设，、、，设中点为，中点为，由得，则， 即， 又，同理可得， 即，即， 即，故有， 且，，， ， 故， 由可得， 故，故. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间向量. (1)若 ，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【解题思路】（1）根据向量平行时的坐标关系，即可取得x，y的值，即可得答案. （2）根据向量垂直时的坐标关系，根据二次函数的性质，即可得答案. （3）根据求模公式，可得x，y的关系，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【解答过程】（1）因为 ， 所以， 当时，， 所以，不存在，所以； 当时，可得，解得， 所以； （2）因为， 所以，即， 所以当时，y的最小值为； （3）， 因为， 所以，即， 由，解得 则所求 ， 所以当时，的最大值为. 【变式8-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【解答过程】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值 ． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【解答过程】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 故选：D. 2．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】利用向量的坐标运算进行求解. 【解答过程】因为，所以， 所以， 故选：B. 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【解答过程】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解题思路】由共线向量可设，再由数量积运算即可求解． 【解答过程】由，，得， 由得，，得，则， 得， 故选：C. 5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值. 【解答过程】由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 6．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】使用向量的模的公式与向量的夹角公式即可求解. 【解答过程】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，解得. 故选：B. 7．（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可得，进而计算可求得的最小值. 【解答过程】由，可得，即， 又因为，所以， 所以， 又，所以， 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：D. 8．（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出 的取值范围. 【解答过程】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. . 点在线段上运动， ，且. ， ， ， 即， 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·江西宜春·期末）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【解题思路】根据空间向量平行的坐标表示判断A；根据向量共线定理判断B；求出向量在向量上的投影向量，判断C；求出点关于平面对称的点的坐标，判断D. 【解答过程】对于A，若，则，所以，所以A说法正确； 对于B，当时，恒成立，而实数不唯一或不存在，所以B说法错误； 对于C，向量在向量上的投影向量是，所以C说法错误； 对于D，点关于平面对称的点的坐标是，所以D说法错误. 故选：BCD. 10．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．向量是的一个单位向量 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【解题思路】利用空间单位向量的坐标运算来判断A，利用空间向量的模的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【解答过程】由的单位向量是，故A错误； 由，，可得，故B正确； 由为钝角，则， 又当，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：BD. 11．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知向量，，则（    ） A．当 时， B．当时， C．当 时， D．当时， 【答案】ABD 【解题思路】根据空间向量平行计算判断A，应用数量积为0结合重要不等式计算判断B，应用向量减法计算模长判断C，应用数量积公式结合基本不等式计算判断D. 【解答过程】对于A，因为 ，，， 所以，，解得，，故A正确； 对于B，由得，即，， 于是，故B正确； 对于C，由A知此时，， 于是，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知向量，，则在上的投影向量坐标为____________. 【答案】 【解题思路】应用空间向量投影向量公式结合数量积坐标公式及模长公式计算求解. 【解答过程】因为向量，且在上的投影向量为， ，， 所以投影向量为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于____________. 【答案】3 【解题思路】根据向量垂直、平行的坐标运算得出，再利用坐标计算向量的模. 【解答过程】因为，，，所以， 因为，所以，得， 故，故. 故答案为：. 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为____________． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出，结合表达式的特点求出最值即可. 【解答过程】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，， 因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直， 以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设，则，， 所以 ． 因为，，所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4．则的最小值与最大值的和为． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【解答过程】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 16．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【解题思路】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【解答过程】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 17．（25-26高二上·河北邯郸·开学考试）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的长. （2）利用向量法求得与所成角的余弦值. 【解答过程】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，即线段的长为. （2），，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为．    18．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据A、B、C三点坐标求出向量的坐标，再利于向量夹角公式即可计算其夹角的余弦； （2）求出的坐标，再利用向量模的计算公式即可求解； （3）利用向量垂直，它们的数量积为零即可求解． 【解答过程】（1）由题意，，， ∴， 即与的夹角的余弦值为； （2）由题意，， ； （3）∵， ， ∵与垂直， ∴，即， ∴或． 19．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)的坐标为或； (2)； (3). 【解题思路】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）先求向量，再根据投影定义求； （3）利用空间向量的夹角公式求出，结合三角形的面积公式求结论. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量， 所以； （3）因为，，， 所以，， 所以， 即，又， 所以， 所以的面积， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 【人教A版】 模块二 空间直角坐标系 【知识点1 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【题型1 求空间点的坐标】 【例1】（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·四川遂宁·期末）已知是空间直角坐标系中的一点，与点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·天津静海·期中）已知是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点和点关于点的对称点分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 模块三 空间向量的坐标运算 【知识点2 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【题型2 空间向量线性运算的坐标表示】 【例2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【题型3 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例3】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2026·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知，，. (1)求的值； (2). 【变式3-3】（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 模块四 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 【知识点3 用空间向量的坐标运算解决几何问题】 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则. 【题型4 空间向量模长的坐标运算】 【例4】（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【变式4-1】（25-26高二下·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量 ，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【变式4-3】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知向量，，. (1)求的值； (2)求； (3)求的最小值. 【题型5 空间向量平行、共线的坐标表示】 【例5】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知向量，，.若向量，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．6 【变式5-1】（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，若与共线，则（   ） A．12 B．9 C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【变式5-3】（25-26高二上·广东中山·期中）已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【题型6 空间向量垂直的坐标表示】 【例6】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知向量，，若，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6-1】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知，则下列向量中与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 【变式6-3】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【题型7 空间向量夹角（余弦）的坐标运算】 【例7】（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【变式7-1】（25-26高二下·重庆北碚·阶段检测）已知， ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式7-3】（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知空间四点，，，. (1)若、、、四点共面，求的值； (2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 【题型8 坐标法求最值（范围）问题】 【例8】（25-26高二上·江西萍乡·期末）已知某正四棱柱的底面边长为2，高为，为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·广东·期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间向量. (1)若 ，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值； (3)若，求的最大值. 【变式8-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知向量满足，，，则（   ） A． B．2 C． D．4 5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 7．（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 8．（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·江西宜春·期末）给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 10．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．向量是的一个单位向量 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 11．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知向量，，则（    ） A．当 时， B．当时， C．当 时， D．当时， 三、填空题 12．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知向量，，则在上的投影向量坐标为____________. 13．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于____________. 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为____________． 四、解答题 15．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 16．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 17．（25-26高二上·河北邯郸·开学考试）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．    (1)求线段的长． (2)求与所成角的余弦值． 18．（25-26高二上·海南海口·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求； (3)若向量与互相垂直，求的值． 19．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以，为邻边的平行四边形的面积． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $