第07讲 直线的倾斜角与斜率（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，系统梳理倾斜角定义及取值范围，斜率的定义、与倾斜角的关系、过两点的斜率公式，以及两条直线平行和垂直的判定条件，为解析几何后续学习搭建基础支架。 资料通过丰富题型（求倾斜角、斜率、参数等）和各地期末真题，结合数形结合与实际应用（如古代建筑举架结构），培养学生数学眼光与思维，课中助力教师系统教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第07讲 直线的倾斜角与斜率 【人教A版】 模块二 直线的倾斜角与斜率 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为. 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线经过点，，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由两点式斜率公式求得斜率，再结合倾斜角的范围求解即可. 【解答过程】因为直线经过点，，所以的斜率为， 又直线倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·四川成都·期末）下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据各直线的方程求出其斜率，进而求得其倾斜角后比较即得. 【解答过程】对于A，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于B，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于C，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于D，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为. 因，故倾斜角最大的直线为. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【解答过程】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分和两种情况，表示出斜率并求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【解答过程】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，则， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：D. 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（25-26高二上·北京平谷·期末）直线经过点和，则直线的斜率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两点斜率公式直接求解即可. 【解答过程】因为直线经过点和， 所以直线的斜率为. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过两点的直线斜率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】由斜率计算公式即可求解. 【解答过程】解：根据直线斜率的两点式公式，， 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【解答过程】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A. 【变式2-3】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【解题思路】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【解答过程】因为，所以， 不妨设，则 ． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合图象应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答过程】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对直线的斜率的取值范围进行分类讨论，利用倾斜角与斜率的关系可得出的倾斜角取值范围. 【解答过程】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解答过程】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分和两种情况讨论，结合斜率的范围求解即可. 【解答过程】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【解题思路】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【解答过程】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·四川南充·期中）已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 【答案】C 【解题思路】由三点共线可得，再列式求解即可． 【解答过程】因为、、三点共线，所以， 即， 解得. 故选：C． 【变式4-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题意， 解得； （2）， 因为三点共线，所以， 即，解得. 【变式4-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率，据此可以求m的值； （2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值； （3）直线的倾斜角为，则直线的斜率，据此可以求m的值； （4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率，据此可以求出m的范围. 【解答过程】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率， 所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， 所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. 【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例5】（25-26高二上·天津西青·期中）已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出图像，根据倾斜角变化得到斜率变化. 【解答过程】如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到轴的过程中，倾斜角变大到，斜率增大到正无穷，此时斜率为，此时直线的斜率的取值范围为， 从轴旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始增大，此时斜率为， 此时直线的斜率的取值范围为，综上直线的斜率的取值范围为. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【解答过程】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 【变式5-2】（25-26高二上·陕西安康·阶段检测）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 【变式5-3】（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 （2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，， 所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 模块三 两条直线平行和垂直的判定 【知识点2 两条直线平行和垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型6 两条直线平行的判定及求参】 【例6】（25-26高二上·四川成都·期中）已知两条直线：和：，若，则（   ） A． B．1 C．或1 D．不存在 【答案】B 【解题思路】根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【解答过程】若，则，解得或， 当时，、的方程均为，故重合，不符题意； 当时，：，：，两者平行，符合题意，故B正确. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案. 【解答过程】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件， 由，得，解得，故“”是“”的必要条件， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【解题思路】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【解答过程】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【变式6-3】（25-26高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析； (2)与不平行，理由见解析； (3)，理由见解析； (4)与重合，理由见解析 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【解答过程】（1），理由如下； 设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以； （2）与不平行，理由如下： 因为，，．所以与不平行； （3），理由如下： 由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以； （4）与重合，理由如下： ，因为，， 所以与重合． 【题型7 两条直线垂直的判定及求参】 【例7】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【解题思路】根据直线垂直得出斜率关系结合两点的斜率公式计算求解参数即可. 【解答过程】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得． 故选：C． 【变式7-1】（25-26高二上·山西阳泉·期末）“”是“直线和直线垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先判断时两直线是否垂直确定充分性，再由两直线垂直求出的值判断必要性. 【解答过程】当时，两直线分别为和， 根据两直线垂直的判定条件可得：， 所以两直线垂直，充分性成立， 若两直线垂直，则，即， 求解可得或，所以必要性不成立. 所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由两直线斜率乘积等于得垂直； （2）由两直线斜率乘积等于得垂直； （3）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直． 【解答过程】（1）两直线的斜率，，由，则． （2）两直线的斜率，，由，则． （3）的斜率为0，的斜率不存在，． 【变式7-3】（25-26高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据判断直线垂直； （2）斜率不存在，则判断是否与x平行，若平行，则两直线垂直； （3）根据判断直线垂直. 【解答过程】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则， 所以轴．故． （3）直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. 【题型8 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例8】（25-26高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【解题思路】根据直线的斜率和图象进行判断. 【解答过程】四边形是平行四边形，证明如下： 由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． 【变式8-1】（25-26高二·全国·课堂例题）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析 【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】平行四边形，证明如下： 由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式8-2】（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证：.    【答案】证明见解析 【解题思路】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【解答过程】证明：由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【变式8-3】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【解题思路】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【解答过程】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形， 所以为等腰直角三角形. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可求解. 【解答过程】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为． 故选：D. 2．（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线的斜率公式可得出直线的斜率. 【解答过程】直线经过点和点，则直线的斜率为. 故选：B. 3．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）若直线和互相垂直，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用两直线垂直，它们的斜率乘积为，即可求解. 【解答过程】由直线和互相垂直，可得：， 解得：， 故选：D. 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【解答过程】因为已知直线，且 ， 所以，解得， 当时，的方程为，即，此时满足 . 故选：B. 5．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【解答过程】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 6．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 【答案】A 【解题思路】根据斜率公式得出的关系，再利用基本不等式求的最大值. 【解答过程】因为直线过点和，且倾斜角为135°， 所以，得， 因为点在第一象限，所以， 所以，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 7．（25-26高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【解答过程】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B. 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【解答过程】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【解答过程】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD. 10．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（    ） A．1 B．3 C．0 D．4 【答案】AB 【解题思路】利用直线垂直的充要条件列出方程，计算即得. 【解答过程】因，且，则的斜率必存在， 故，即， 化简得，解得或． 故选：AB． 11．（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】ACD 【解题思路】分别求得的斜率，然后结合图形及斜率变化关系求解斜率范围，结合选项即可判断. 【解答过程】如图：    当直线l过点B时，设直线的斜率为，则； 当直线l过点A时，设直线的斜率为，则. 故要使直线l过点，且与以为端点的线段有公共点， 则直线l的斜率的取值范围为，结合选项可知，直线l的斜率可能是2，1，. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·天津河北·期末）已知点，若直线的斜率为2，则__________. 【答案】9 【解题思路】根据过两点的直线的斜率公式计算即可得解. 【解答过程】已知点，且直线的斜率为2， 代入过两点的直线的斜率公式可得，解得. 故答案为：9. 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是__________. 【答案】7 【解题思路】根据斜率相等计算. 【解答过程】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【解题思路】根据斜率公式可得关于m的方程，求解可得实数的值. 【解答过程】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【解题思路】（1）结合两点斜率公式，根据直线斜率列方程求解即可. （2）结合两点斜率公式和斜率的定义，根据直线斜率列方程求解即可. （3）根据直线的倾斜角为锐角得，利用两点斜率公式列不等式求解即可. 【解答过程】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 16．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【解答过程】（1）直线斜率，直线的斜率， 由得，所以， 所以. （2）由得，由(1)可得， 所以. 17．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 【解题思路】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【解答过程】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 18．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【解答过程】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 19．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)等腰直角三角形； (3). 【解题思路】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【解答过程】（1）因为为的中点，结合已知坐标有， 则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 直线的倾斜角与斜率 【人教A版】 模块二 直线的倾斜角与斜率 【知识点1 直线的倾斜角与斜率】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为. 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线经过点，，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·四川成都·期末）下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（25-26高二上·北京平谷·期末）直线经过点和，则直线的斜率（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过两点的直线斜率为（    ） A． B． C． D．2 【变式2-2】（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】 【例3】（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例4】（25-26高二上·山东烟台·阶段检测）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【变式4-1】（25-26高二上·四川南充·期中）已知三点，，在同一条直线上，则（    ） A．12 B．24 C．6 D．10 【变式4-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【变式4-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例5】（25-26高二上·天津西青·期中）已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·陕西安康·阶段检测）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【变式5-3】（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 模块三 两条直线平行和垂直的判定 【知识点2 两条直线平行和垂直的判定】 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型6 两条直线平行的判定及求参】 【例6】（25-26高二上·四川成都·期中）已知两条直线：和：，若，则（   ） A． B．1 C．或1 D．不存在 【变式6-1】（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式6-2】（25-26高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【变式6-3】（25-26高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【题型7 两条直线垂直的判定及求参】 【例7】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【变式7-1】（25-26高二上·山西阳泉·期末）“”是“直线和直线垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【变式7-3】（25-26高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【题型8 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例8】（25-26高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【变式8-1】（25-26高二·全国·课堂例题）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式8-2】（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证：.    【变式8-3】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南德宏·期末）直线经过点和点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）若直线和互相垂直，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 7．（25-26高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（    ） A．1 B．3 C．0 D．4 11．（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 三、填空题 12．（25-26高二上·天津河北·期末）已知点，若直线的斜率为2，则__________. 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是__________. 14．（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 四、解答题 15．（25-26高二上·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 16．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 17．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 18．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 19．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $