微专题02 直线方程中最值的问题讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学直线方程中最值问题，系统梳理利用斜率公式的几何意义求代数式范围、通过对称转化解决距离和差最值、结合距离公式进行代数与几何转化的核心知识点，构建从几何直观到代数运算的学习支架。 资料以结构化知识清单为基础，典型例题分类覆盖倾斜角与斜率、将军饮马等多样情境，培养学生用数学眼光发现问题、以数形结合的数学思维解决问题。课中辅助教师分层教学，课后检测助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决实际问题的能力。

微专题02 直线方程中最值的问题 第一部分：知识清单 知识点一：利用斜率公式求代数式的最值(范围) 形如 的范围（最值）问题,可以利用 的几何意义(过定点 与动点 的直线的斜率),借助图形,将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题,从而简化运算过程. 知识点二：利用对称求最值 1. 在直线l上求一点P，使P到两个定点的距离之和最小的求法 1) 当两定点A, B在直线l的异侧时, 如图①, 连接AB, 线段AB交直线l于点 P, 此时AB与l的交点P到两定点的距离之和最小, 最小值为线段AB的长.在直线l上任取一点, 则 . 2) 当两定点A, B在直线l的同侧时, 如图②, 作点A关于直线l的对称点 , 连接交直线l于点P, 此时点P到两定点的距离之和最小. 2. 在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法 1) 当两定点A, B在直线l的同侧时(A, B 连线与l不平行), 如图③, 连接BA并延长, 交直线l于点P. 此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大, 最大值为线段AB 的长在l上任意取一点 , 则有 . 2) 当两定点 A, B 在直线l的异侧时, 如图④, 作点 A 关于直线l的对称点, 连接 ( 所在直线与l不平行) 并延长, 交l于点 P. 此时点 P 到两定点距离之差的绝对值最大, 最大值为线段的长, 即||PB|−.在l上任取一点，则有. 知识点三：与距离有关的最值问题的解题策略 1) 利用对称转化为两点之间的距离问题. 2) 利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离或者两平行线间的距离问题. 一般地，形如 的式子可视为点 与点 之间的距离，所以解决相关的最值问题时，可应用数形结合思想，将其转化为点到直线的距离或两平行直线之间的距离问题. 3) 利用距离公式将问题转化为函数的最值问题, 通过配方求最值. 第二部分：典型例题汇总 典例一 倾斜角与斜率的最值问题 典例二 两点间距离最值问题 典例三 由点到直线距离求最值问题 典例四 由两条平行线距离求最值问题 典例五 线段和、差的最值问题 典例六 将军饮马问题求最值问题 第三部分：典型例题 典例一 倾斜角与斜率的最值问题 1．（26-27高二上·广东深圳·开学考试）已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 2．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 典例二 两点间距离最值问题 5．（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为_______． 典例三 由点到直线距离求最值问题 9．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线经过直线与的交点P，若点到直线的距离为3，则直线的方程为_____，点到直线的距离的最大值是_________． 10．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 11．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线经过直线与的交点． (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)求点到直线的距离的最大值及此时直线的方程． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 典例四 由两条平行线距离求最值问题 13．（25-26高二上·云南临沧·阶段检测）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________. 14．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．过定点 D．当时，与之间的距离的最大值为 15．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 16．（25-26高二·全国·课后作业）设两条平行线分别经过点和，它们之间的距离为d，则d的取值范围是________. 典例五 线段和、差的最值问题 17．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知平面上两点和，在直线上求一点M． (1)使最大值； (2)使最小． 18．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）以下四个命题为真命题的是（   ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 C．直线与直线之间的距离是 D．点P在直线上运动，，则的最大值是 19．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 20．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 典例六 将军饮马问题求最值问题 21．（25-26高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 22．（25-26高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为__________． 23．（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 24．（25-26高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆巫溪·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 7．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．（为坐标原点）的最小值为 D．的最小值为3 8．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 9．（25-26高二上·河北保定·期中）（多选）已知，若直线与线段相交，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．10 D． 10．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线的方程为，则不存在实数，使直线经过坐标原点 B．方程表示过点的所有直线 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 11．（25-26高二上·重庆涪陵·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 12．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________. 13．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是______. 14．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为_____. 15．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点的三等分点，过点作的平行线. (1)求直线的方程； (2)已知两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标. 16．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 直线方程中最值的问题 第一部分：知识清单 知识点一：利用斜率公式求代数式的最值(范围) 形如 的范围（最值）问题,可以利用 的几何意义(过定点 与动点 的直线的斜率),借助图形,将求范围(最值)问题转化为求斜率的范围(最值)问题,从而简化运算过程. 知识点二：利用对称求最值 1. 在直线l上求一点P，使P到两个定点的距离之和最小的求法 1) 当两定点A, B在直线l的异侧时, 如图①, 连接AB, 线段AB交直线l于点 P, 此时AB与l的交点P到两定点的距离之和最小, 最小值为线段AB的长.在直线l上任取一点, 则 . 2) 当两定点A, B在直线l的同侧时, 如图②, 作点A关于直线l的对称点 , 连接交直线l于点P, 此时点P到两定点的距离之和最小. 2. 在直线l上求一点P，使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法 1) 当两定点A, B在直线l的同侧时(A, B 连线与l不平行), 如图③, 连接BA并延长, 交直线l于点P. 此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大, 最大值为线段AB 的长在l上任意取一点 , 则有 . 2) 当两定点 A, B 在直线l的异侧时, 如图④, 作点 A 关于直线l的对称点, 连接 ( 所在直线与l不平行) 并延长, 交l于点 P. 此时点 P 到两定点距离之差的绝对值最大, 最大值为线段的长, 即||PB|−.在l上任取一点，则有. 知识点三：与距离有关的最值问题的解题策略 1) 利用对称转化为两点之间的距离问题. 2) 利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离或者两平行线间的距离问题. 一般地，形如 的式子可视为点 与点 之间的距离，所以解决相关的最值问题时，可应用数形结合思想，将其转化为点到直线的距离或两平行直线之间的距离问题. 3) 利用距离公式将问题转化为函数的最值问题, 通过配方求最值. 第二部分：典型例题汇总 典例一 倾斜角与斜率的最值问题 典例二 两点间距离最值问题 典例三 由点到直线距离求最值问题 典例四 由两条平行线距离求最值问题 典例五 线段和、差的最值问题 典例六 将军饮马问题求最值问题 第三部分：典型例题 典例一 倾斜角与斜率的最值问题 1．（26-27高二上·广东深圳·开学考试）已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 2．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【详解】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点和在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线，的倾斜角，数形结合可得答案. 【详解】直线经过定点，斜率为， 设直线的倾斜角为且， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ∵点和， ∴， ∴， ∵点和在直线的两侧，    ∴由图可知直线的倾斜角的范围为. 故选：C. 4．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】求出直线的倾斜角，直线的倾斜角，结合图形可得结果． 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，从而， 设直线的倾斜角为，， 则，从而， 要使直线与线段有公共点， 结合图形可知，直线倾斜角的范围是：， 故选：A. 典例二 两点间距离最值问题 5．（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 7．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 8．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 典例三 由点到直线距离求最值问题 9．（25-26高二·全国·课后作业）已知直线经过直线与的交点P，若点到直线的距离为3，则直线的方程为_____，点到直线的距离的最大值是_________． 【答案】 或 【分析】先联立直线方程求出两直线的交点，分斜率是否存在设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出直线方程；利用平面几何判定点到直线l的距离取得最大值． 【详解】联立，得，即， 当直线的斜率不存在时，直线l的方程x＝2， 此时到直线x＝2的距离为3，满足题意； 当直线的斜率存在时，可设直线l的方程为， 即， 由题意得， 解得，此时直线方程为， 因为， 当时，点到直线l的距离取得最大值． 故答案为：x＝2或4x﹣3y﹣5＝0；． 10．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出直线所过定点，得到最大距离时，然后由斜率关系可得. 【详解】直线方程可化为， ，解得， 所以直线恒过点，设为点 此时为点到直线的最大距离，且， 由斜率关系可得. 故选：B. 11．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线经过直线与的交点． (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)求点到直线的距离的最大值及此时直线的方程． 【答案】(1)或. (2)； 【分析】（1）先联立方程组求出，分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式求解； （2）根据题意可知点到直线的距离的最大值为，且直线与直线垂直，即可得解. 【详解】（1）解方程组得 即直线的交点为. 由题意得，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为1，符合题意，所以直线的方程为. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为． 由题意，得，解得， 所以直线的方程为，化为一般式，得. 综上，直线的方程为或. （2）由（1）得直线过点，所以点到直线的距离的最大值为. 因为，所以. 当点到直线的距离最大时，直线与直线垂直. 直线的斜率为，所以直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点． (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程． (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)，最大距离为 (3)不存在 【分析】（1）根据条件设出方程，再根据点到直线的距离公式，求出参数． （2）过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由此求出直线斜率和方程，再由点到直线的距离公式求出最大距离； （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，由此可得出结论. 【详解】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件， 此时l的斜率不存在，其方程为． 若斜率存在，设l的方程为， 即．由已知得，解得． 此时l的方程为． 综上，可得直线l的方程为或． （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图． 由，得，所以． 由直线方程的点斜式得，即． 所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为． （3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线， 因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线． 典例四 由两条平行线距离求最值问题 13．（25-26高二上·云南临沧·阶段检测）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是__________. 【答案】5 【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案. 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 14．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．过定点 D．当时，与之间的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据两直线垂直的充要条件可判定A，根据两直线平行的充要条件可判定B，由直线方程直接求定点可判定C，由直线的距离公式可判定D. 【详解】当时，则，故A正确. 当时，，且，故B错误. 显然，即过定点，故C正确. 显然，即过定点，故时，与之间的距离的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 15．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据平行线之间的距离转化为一直线上的点到平行线之间的距离，可结合图形分析，间的距离的最大值为，即可求得. 【详解】解：由题可知，，如图，两平行直线，分别过点A，B， 因为，所以，间的距离即点到直线的距离，由图可知， 当，垂直时，，间的距离取最大值，即最大值为， 又由两点间的距离公式可知，. 故选：D． 16．（25-26高二·全国·课后作业）设两条平行线分别经过点和，它们之间的距离为d，则d的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据两点间距离公式即可计算出两条平行线之间的最大距离. 【详解】d的最大值即为点和之间的距离， 所以d的取值范围是. 故答案为： 典例五 线段和、差的最值问题 17．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知平面上两点和，在直线上求一点M． (1)使最大值； (2)使最小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设求出关于直线的对称点，再根据，即可求最大值； （2）利用两点间线段长度最短，即可求最小值. 【详解】（1）若为关于直线的对称点，则中点在直线上， 所以，得，则， 由，则， 要使最大，只需共线，. （2）如上图，要使最小，只需共线， 所以. 18．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）以下四个命题为真命题的是（   ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 C．直线与直线之间的距离是 D．点P在直线上运动，，则的最大值是 【答案】CD 【分析】A选项，分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，代入，求出直线方程；B选项，过定点，求出，数形结合得到或，得到答案；C选项，，利用两平行线距离公式求出答案；D选项，求出点B关于的对称点为，数形结合，当A，，P三点共线时，等号成立，所以的最大值为，故D正确． 【详解】对于A，当截距为0时，设直线方程为，将点代入， ，解得，故直线方程为， 若直线两截距不为0时，设，将点代入， ，解得，即， 所以满足条件的直线方程为或，故A错误； 对于B，方程可化为，所以直线过定点， 直线的斜率为k，因为直线和以为端点的线段相交， 所以或，其中， 所以实数k的取值范围为，B错误； 对于C，直线， 与直线之间的距离，故C正确； 对于D，设点B关于的对称点为， 则，解得：，即， 如图，， 当A，，P三点共线时，等号成立，所以的最大值为，故D正确． 故选：CD． 19．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 20．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    典例六 将军饮马问题求最值问题 21．（25-26高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A．      22．（25-26高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为__________． 【答案】 【分析】根据点关于直线的对称，进而根据两点距离公式即可求解. 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    23．（25-26高二上·上海奉贤·阶段检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 24．（25-26高二上·安徽合肥·期中）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，出塞诗是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为． (1)求将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的最短总路程； (2)设“将军饮马”路程最短时的饮马点为，在△中，求边中线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称可得对称点，即可根据两点距离公式求解， （2）根据两直线的方程可得交点，即可根据中点坐标可得，进而根据两点坐标求解直线方程. 【详解】（1）由题意可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 此时“将军饮马”走过的总路程为．    （2）由（1）知,故直线方程为， 故直线的方程是， 联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为， 边的中点，则，即， ∴直线斜率， ∴直线的方程为，整理得． ∴△中边中线所在的直线方程为． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 2．（25-26高二上·重庆巫溪·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出点与线段端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解. 【详解】如图： 因为，，所以. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故选：C 3．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，结合图形分析即可求解. 【详解】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 4．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D 5．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，设点在点的左下方，推导出点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为．    故选：A. 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B.    7．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．（为坐标原点）的最小值为 D．的最小值为3 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标关系，即可求解A，根据两点距离公式即可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，利用对称即可求解D. 【详解】因为点在直线上，所以设. 对于A，因为点， 所以直线的方向向量分别为，. 若，则，即，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根， 所以存在点，使得，故A正确. 对于B，由，， 得，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根， 所以存在点，使得，故B正确. 对于C，的最小值为点到直线的距离，由题意得，故C正确. 对于D，因为点，所以线段的方程为，. 在中，令，解得， 所以点不在线段上，即点在直线的同侧. 设点关于直线的对称点为， 则当点为线段与直线的交点时，取得最小值，最小值为. 由题意，得，解得， 所以，即的最小值为，故D错误， 故选：D.    8．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据定点到动直线的距离最大值列式求解即可. 【详解】设定点，则点到直线的距离的最大值为， 解得或6. 故选：A. 9．（25-26高二上·河北保定·期中）（多选）已知，若直线与线段相交，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．10 D． 【答案】BC 【分析】求出直线经过的定点，然后求出直线、的斜率，根据题意列出不等式求解即可. 【详解】由，得， 令得 则直线过定点． 直线的斜率， 因为直线的斜率，直线的斜率， 所以或， 解得或． 故选：BC. 10．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线的方程为，则不存在实数，使直线经过坐标原点 B．方程表示过点的所有直线 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用直线方程的意义来进行分析，在求点到直线的距离最大值时，利用了直线恒过定点，从而推出这两点间的距离是最大的点到直线的距离，问题即可得解，在研究动直线斜率的取值范围时，关键要利用斜率在倾斜角为锐角和钝角范围内都是单调递增的，从而易得斜率取值范围. 【详解】对于A,若直线 过原点，则代入得，这显然是不成立的，故A正确； 对于B，由于直线方程表示是过点斜率存在的直线方程，故B错误； 对于C，直线可化为，，可知直线恒过定点， 因为，所以，， 由几何图形可知点到直线的距离恒小于或等于， 只有当直线与垂直时，取到点到该直线距离的最大值， 所以此时直线的斜率为，结合直线方程可得，，故C正确； 对于D，由，，可得：， 利用倾斜角与正切值的函数单调性，结合图形可知：斜率的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·重庆涪陵·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【分析】对于A，分和两种情况讨论即可判断，对于B，由，令，解出即可判断，对于C，由，又，解出即可求解，对于D，先求点关于对称点，由，利用两点间距离即可求解. 【详解】对于A，由直线不经过第三象限， 当时，直线不经过第三象限，所以， 当时，直线不经过第三象限，所以， 故A错误； 对于B，由题意有，令，得， 解得，所以方程表示的直线都经过定点，故B正确； 对于C，由，又，所以或，故C错误； 对于D，由关于轴的对称点为，所以，所以的最小值是5，故D正确； 故选：BD. 12．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 13．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是______. 【答案】 【分析】作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点C，从而将题目问题转化为求解. 【详解】如图， 点关于直线的对称点为，则，即， 解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程为. 故答案为： 14．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知点、，有一点在直线上运动，当取得最小值时，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，分析可知当、、三点共线时，最小，设点，求出点的坐标，进而可得出直线的方程，再将该直线方程与直线的方程联立，即可得出点的坐标. 【详解】易知，均在直线的同侧； 作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则， 所以， 当、、三点共线时取等号，即、、三点共线时，最小. 设，则，解得，即. 因为，所以直线为， 由，得，即. 故答案为：. 15．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点的三等分点，过点作的平行线. (1)求直线的方程； (2)已知两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)由条件可得直线到直线距离是直线到直线的距离的两倍，由平行线距离公式列方程求解即可；(2)求点关于的对称点，由两点之间线段最短可确定的最小值及点的位置. 【详解】（1）因为与直线平行，直线的方程为，故可设直线的方程为， 由已知，过点作直线，交直线与点，交直线与点， 因为，，所以，，因为，所以,又， 所以,所以，则或 ，结合图形检验可得与条件矛盾，所以，故直线的方程为； （2）设点关于直线的对称点，则，所以， 当且仅当三点共线时等号成立，连接与直线交与，即点与点重合时，取最小值， 由已知，， 所以点的坐标为，点的坐标为，所以，联立可得， 所以点的坐标为，故点的坐标为时最小. 16．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 【答案】(1)或 (2)或 (3)直线：，最大距离为 【分析】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求； （3）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离. 【详解】（1）①若直线的截距为0时，设直线方程为， 因为过点，所以， 所以，故直线的方程为． ②若直线的截距不为0时，设直线的方程为， 因为过点，所以， 解得， 故直线的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （2）①若直线的斜率不存在， 由于过点，则其方程为， 原点到直线的距离为2，满足题意； ②若直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即． 由已知，得，解得． 此时的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （3）记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线， 设直线、直线的斜率分别为，． 由题意知， 由，得，即． 由直线方程的点斜式得，即． 即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $