第02讲 空间向量的数量积运算（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，系统梳理空间向量夹角的定义与范围，数量积的定义、性质及运算律，进而延伸到数量积在距离、夹角、模计算中的应用，最后引入投影向量概念，构建从基础概念到综合应用的递进学习支架。 资料通过8类典型题型（含例题及变式）结合正四面体、正方体等几何体实例，强化概念辨析与逻辑推理，培养数学思维。课后19道提升练覆盖选择、填空、解答，助力学生查漏补缺，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识。

第02讲 空间向量的数量积运算 【人教A版】 模块二 空间向量的数量积 【知识点1 空间向量的夹角与数量积】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【知识点2 空间向量数量积的应用】 1．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【变式1-1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【变式1-2】（25-26高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【变式1-3】（25-26高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【题型2 空间向量数量积的计算】 【例2】（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-2】（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 【例3】（25-26高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（ ） A． B． C． D． 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）    A． B． C．4 D．2 【变式4-3】（25-26高二上·河南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，，，与的交点为M，则（    ）    A． B． C． D． 【题型5 空间向量垂直的应用】 【例5】（25-26高二上·山东·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，若，则为（    ）    A．1 B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【变式5-3】（25-26高二下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且 ，且 ．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【题型6 空间向量数量积的应用】 【例6】（25-26高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【变式6-1】（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【变式6-2】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【变式6-3】（25-26高二上·浙江台州·阶段检测）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【题型7 求空间向量数量积的最值（范围）】 【例7】（25-26高二上·北京延庆·期中）已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 模块三 向量的投影 【知识点3 向量的投影】 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型8 投影向量的求解】 【例8】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 5．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且 ，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 7．（25-26高二上·山东烟台·开学考试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西渭南·期中）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 10．（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则___________． 13．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 14．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 16．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 17．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 18．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 19．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 空间向量的数量积运算 【人教A版】 模块二 空间向量的数量积 【知识点1 空间向量的夹角与数量积】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【知识点2 空间向量数量积的应用】 1．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【题型1 空间向量数量积的概念辨析】 【例1】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【答案】B 【解题思路】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可. 【解答过程】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，，故不成立，故D错误； 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【解题思路】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【解答过程】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B. 【题型2 空间向量数量积的计算】 【例2】（25-26高二上·天津静海·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【解答过程】因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【解答过程】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【解题思路】把变成，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可. 【解答过程】 . 故选：C. 【变式2-3】（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【解答过程】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 【题型3 空间向量的夹角（余弦值）的计算】 【例3】（25-26高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【解答过程】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【解答过程】因为， 所以, 得. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【解答过程】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A. 【变式3-3】（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的长，在中，利用余弦定理的变形即可求出 【解答过程】如图连接, 则， ， 由题可知， ∴ ， ， ， ∴， 在中,, , 在中, 故选：D. 【题型4 利用空间向量的数量积求模】 【例4】（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助投影向量定义、数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【解答过程】， ， 则 ， ， 故. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）    A． B． C．4 D．2 【答案】C 【解题思路】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高二上·河南·开学考试）如图，在三棱柱中，，，，，与的交点为M，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的线性运算可得，进而结合空间向量的数量积公式运算即可求解. 【解答过程】由题意得， 所以 . 故选：C. 【题型5 空间向量垂直的应用】 【例5】（25-26高二上·山东·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，若，则为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，且，以为一个空间基底，求得，，结合，列出方程，即可求解. 【解答过程】设，且， 因为，以为一个空间基底， 可得，， 又因为，可得 ， 即，即， 解得或（舍去），即的值为. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【解答过程】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点. (1)若对角线的长度为时，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【解答过程】（1）设，三个向量不共线， 则构成空间的一个基底，且，        ，则，故. （2）证明：由题意得，      则 ，故. 【变式5-3】（25-26高二下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且 ，且 ．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【解答过程】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 【题型6 空间向量数量积的应用】 【例6】（25-26高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度； （2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 【变式6-1】（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【解答过程】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 【变式6-2】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 【解答过程】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 【变式6-3】（25-26高二上·浙江台州·阶段检测）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可； （2）根据向量数量积公式和运算律求解即可. 【解答过程】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【题型7 求空间向量数量积的最值（范围）】 【例7】（25-26高二上·北京延庆·期中）已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设中点为，连接，设中点为，连接，，，利用转化法求向量数量积的最值即可. 【解答过程】设中点为，连接，设中点为，连接，，， 则， ， 当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：. 【变式7-1】（25-26高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，利用空间向量的运算可得，则可化为，进而可得答案. 【解答过程】如图，连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O 为EF的中点， 因为 所以， 所以 ， 所以当P与G重合时，取得最小值，为0，此时取得最小值，为． 故选：C.    【变式7-2】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）在棱长为1的正方体中，P为正方体内一动点（包括表面），若，且．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意得点在三棱柱内，设为的中点，由，求出的取值范围可得答案． 【解答过程】满足的点在三棱柱内． 如图，设为的中点，连接相交于点，连接， 因为，，且，平面， 所以平面，又，所以平面，且， ，所以， 所以． 因为，所以的取值范围为． 故选：D. 【变式7-3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先根据垂直关系证明，再转化向量表示，最后结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】连结，因为平面，平面，    所以，又，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为点是的中点，所以， 又， 所以 , 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 模块三 向量的投影 【知识点3 向量的投影】 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【题型8 投影向量的求解】 【例8】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【解答过程】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用投影向量公式求解即可. 【解答过程】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【解答过程】，，， ，， ，，. 故选：C. 【变式8-3】（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量数量积的运算性质可得出，利用投影向量的定义结合基本不等式可求得在方向上投影向量的长度的最小值. 【解答过程】因为空间向量、满足， 所以，故， 故在方向上的投影向量为， 故在方向上投影向量的长度为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故在方向上投影向量的长度的最小值是. 故选：B. 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【解答过程】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 2．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据投影向量的计算公式求解出结果. 【解答过程】空间向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. 3．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【解答过程】因为 ； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . 故选：B. 4．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【解题思路】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【解答过程】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 故选：C. 5．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【解答过程】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 6．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且 ，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】B 【解题思路】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【解答过程】由图可知，且； 所以 . 所以. 故选：B. 7．（25-26高二上·山东烟台·开学考试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【解答过程】对于A， ，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以 ， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以 ,D正确， 故选：D. 8．（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【解答过程】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西渭南·期中）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 【答案】BD 【解题思路】A：根据直线可能平行或重合作出判断；B：由单位向量的模长均为作出判断；C：根据数量积小于，向量夹角为钝角或作出判断；D：根据空间向量的定义直接判断. 【解答过程】A：若空间向量共线，则向量所在直线平行或重合，故A错误； B：若与是空间单位向量，则，故B正确； C：若，则与的夹角为钝角或，故C错误； D：由空间中任意两个向量共面，可知D正确； 故选：BD. 10．（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】利用空间向量数量积的定义分别求解即可. 【解答过程】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 11．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【解答过程】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以 ，故．故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则___________． 【答案】3 【解题思路】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可 【解答过程】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以， 故答案为：3． 13．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【解题思路】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【解答过程】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 14．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【解题思路】设，则，再根据向量运算求解即可. 【解答过程】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【解题思路】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【解答过程】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 16．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）已知，与、的夹角都是，并且，，．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数量积的运算律，结合数量积的定义即可求得答案； （2）利用向量模的计算公式，结合数量积的运算律以及数量积定义，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知，与、的夹角都是，并且，，， 故 ； （2） . 17．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用中位线定理得到和，再结合空间向量数量积的定义求解即可. （2）利用空间向量的线性运算得到，再结合空间向量数量积的定义求解即可. 【解答过程】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 18．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【解答过程】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 19．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）利用向量的模与数量积的关系求解即可； （3）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $