第13讲 直线与圆的位置关系（十大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理位置关系判定（d与r比较、方程组解的情况）、切线方程（过圆上/外点）、弦长计算（几何法、代数法）等内容，形成从基础到综合应用的递进学习支架。 资料精选各地期末真题题型，注重几何直观与代数推理结合，含拱桥、轮船监测等实际应用问题。通过具体案例培养学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维分析逻辑关系，用数学语言构建模型解决问题，课中辅助教师系统教学，课后提升练助力学生查漏补缺。

第13讲 直线与圆的位置关系 【人教A版】 模块二 直线与圆的位置关系及判定 【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【解题思路】先求出圆心及半径，再应用圆心到直线距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】圆C的圆心坐标为，半径为2， 直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C的位置关系是相交. 故选:A. 【变式1-1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到直线恒过圆心，即可得到直线与圆的位置关系. 【解答过程】由直线，可化为，可得直线恒过定点， 又由圆，可得圆心为， 所以直线过圆心，此时直线与圆一定相交. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【解题思路】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【解答过程】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【解题思路】由圆的方程可得圆心以及半径，利用点到直线距离计算圆心到直线的距离，将其与半径进行比较，可得答案. 【解答过程】由圆可知：圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，由，则直线与圆相交. 故选：A. 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【解题思路】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【解答过程】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直线与圆有公共点，说明圆心到直线的距离小于等于圆的半径，然后列出不等式求解. 【解答过程】因为直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离小于等于圆的半径，即，即，解得. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高三上·辽宁·期末）已知圆，直线. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于，则的值为（ ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】由圆，可得圆心，半径为 要使得圆上恰有3个点到直线的距离等于， 则满足圆心到直线的距离为， 即，可得，解得. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高三上·四川南充·阶段检测）若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列不等式求解即可. 【解答过程】圆即的圆心为，半径为， 若直线与圆有两个交点， 则，即，解得， 所以m的取值范围为. 故选：A. 模块三 圆的切线及切线方程 【知识点2 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点为，连接，则，求出的值，结合勾股定理可求得切线长为. 【解答过程】设切点为，连接，则，如图所示：    圆心为，半径为，， 故切线长为. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·山东·期中）已知圆C：． (1)过点向圆C作切线l，求切线l的方程； (2)若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值； （2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【解答过程】（1）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得， 所以切线l的方程为，即． 综上，切线l的方程为或． （2）圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离， 因为，所以当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 所以的最小值为． 【变式3-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或； (2). 【解题思路】（1）根据已知得圆心，半径，讨论直线的斜率的存在性，结合圆的弦长公式、点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程； （2）由圆的切线长，结合（为圆心到直线的距离），进而求其最小值，注意取值条件. 【解答过程】（1）由题意，圆的标准方程为，圆心，半径， 当斜率不存在时，直线，则圆心到直线的距离， 所以直线截圆所得弦长为，符合题意， 当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为， 根据垂径定理，得，即，解得， 故直线的方程为或； （2）由题意， 而到直线的距离，则， 所以，当且仅当时取等号，故最小值为. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解题思路】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【解答过程】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆 相切的直线方程是或. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法将三个点的坐标代入圆的一般方程，解方程组即可； （2）根据圆的切线性质求出切线的斜率，点斜式求得直线方程. 【解答过程】（1）设圆的方程为， 将三点坐标代入得，， 即，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1），可得圆心，则， 所以经过点的圆的切线斜率， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 【变式4-3】（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)过点作圆C的切线l，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）设圆的标准方程，根据圆经过点、及圆心在直线上的条件，建立关于圆心坐标和半径的方程组，求解得到圆心与半径，进而写出圆的标准方程. （2）分切线斜率不存在和存在两种情况讨论：斜率不存在时直接验证直线是否为切线；斜率存在时设切线方程为点斜式，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解斜率，最终得到切线方程并综合两种情况得出结果. 【解答过程】（1）设圆的方程为， 则，解得， 故圆的方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径为， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为1，合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 模块四 圆的弦长 【知识点3 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 【例5】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）直线：被圆：截得的弦为，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用代入数值求解. 【解答过程】转化为， 圆心，半径为， 设圆心到直线：距离为， 则， 则有. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解题思路】先由点斜式求出直线的方程，再利用圆的弦长公式求解即得. 【解答过程】过原点且倾斜角为的直线方程为， 即， 圆：，圆心，半径， 圆心到的距离， 故直线被圆所截得的弦长为. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知，，且为圆的直径. (1)求圆的方程； (2)若直线过点，且斜率为2，求直线被圆截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得中点为圆心坐标，半径，求出圆心坐标及半径即可求出答案； （2）由题意得到直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用几何法求弦长即可得解. 【解答过程】（1）因为为圆的直径， 所以中点即为圆心坐标，故圆心坐标为， 半径， 所以圆的方程为. （2）由题意得直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为． 【变式5-3】（25-26高二上·湖南永州·期末）已知三点在圆上． (1)求圆的方程： (2)求直线被圆截得的弦的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆的一般方程，再代入得出方程组计算求出参数得出圆的方程； （2）先根据圆的方程得出圆心和半径，再应用圆的弦长公式计算即可. 【解答过程】（1）设圆的方程为： 将三点坐标分别代入，得方程组 解得， 则圆的方程； （2）由（1）知方程可化为： 圆心到直线的距离， 圆的半径， 所以. 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 【例6】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】求出圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式，结合给定弦长求解即得. 【解答过程】圆C：的圆心，半径， 圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或， 所以直线的方程为或. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·江苏南京·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【解答过程】圆的圆心，半径为， 设圆心到直线的距离， 由直线被圆截得的弦长为，得，所以. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． (1)求圆C的标准方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】(1)利用待定系数法可求圆的标准方程； (2)利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，可求解直线方程. 【解答过程】（1）已知三个点，，，设圆的标准方程为，将三个点代入方程得： ，消得：，解得，， 代入可得：， 因此圆的标准方程为：； （2）设直线到圆心的距离为，由弦长公式：， 代入和可解得：， 若直线l斜率不存在，则直线l方程为，此时圆心到直线距离为，舍去； 若直线l斜率存在，则可设直线l方程为，即， 由点到直线距离公式： ，两边平方整理得， 解得或， 因此直线的方程为：或. 【变式6-3】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知圆的圆心在轴上，经过两点． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）求出线段中垂线方程，结合已知求出圆心及半径即可. （2）由给定弦长求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否求出方程. 【解答过程】（1）由，得线段中点，直线的斜率， 因此线段中垂线方程为，当时，， 依题意，圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）由直线被圆所截弦长，得圆心到直线的距离， 又直线过点，圆心到直线的距离为1，则直线的方程可以为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 【例7】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【解答过程】由可得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线的定点，然后结合图像，确定临界条件，进而求出结果. 【解答过程】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为， 又曲线可转化为：，. 画出直线与曲线图象如图所示. 数形结合可得直线在，处产生临界条件， 设直线，的斜率分别为，. 点，则，设直线的方程为， 即，圆心到直线的距离为，解得， 所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到直线过定点，曲线表示位于轴上方的半圆，画出图形，结合图形，利用斜率公式和点到直线的距离公式并结合图象求解取值范围即可. 【解答过程】由题意得，直线可化为，可得直线过定点， 将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为1，且位于轴上方的半圆，如图所示，    当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时，直线与曲线只有一个交点， 由，解得，即， 曲线与直线有两个交点，结合图形，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7-3】（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出曲线的图象，数形结合可得解． 【解答过程】直线恒过定点， 由，得到 ， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点， 故选：D. 【题型8 直线与圆中的面积问题】 【例8】（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【解答过程】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，    ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A. 【变式8-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆的标准方程为，设过圆心且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，连接并延长，与直线分别相交于点，用表示面积，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为，与圆的方程联立，求出点的坐标，同理可得点的坐标，根据 利用基本不等式可得答案. 【解答过程】如图，由题意知，，设直线的方程为， 由得， 解得或则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得，点的坐标为． 由题可知， 所以，又 ， 同理， 所以， 当且仅当时等号成立，故． 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点，圆的直径为线段. (1)求圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由题意求得，，即可得答案； （2）利用点到线的距离公式可得圆心到直线的距离，进而求得弦，最后利用三角形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知，且为中点， 所以， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）由题意可知直线的方程为：， 则圆心到直线的距离， 所以弦， 所以. 【变式8-3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【解答过程】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    【题型9 直线与圆有关的最值问题】 【例9】（25-26高二上·河北衡水·期中）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．-1 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值. 【解答过程】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：，    观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高二上·广东广州·期中）已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用圆的性质及直线与圆的位置关系，得出目标表达式与两圆的关系式，再求出关于直线的对称点，再结合两点间线段最短求出的最小值． 【解答过程】    的圆心为，半径，的圆心为，半径，分别是圆上的动点， ，故， 设点关于直线的对称点为，则垂直于直线 且的中点在直线上， 即，解得， ， 两点之间线段最短，的最小值为， ， 的最小值为，故D正确． 故选：D． 【变式9-2】（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【解答过程】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为.    【变式9-3】（25-26高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)7 【解题思路】（1）根据动点与点的距离是它与原点的距离的2倍，由化简求解； （2）设，代入，得到，利用判别式求解； （3）当AB和CD的斜率都存在和AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0，设直线AB方程为：，分别求得弦长AB和CD，再由四边形ACBD的面积为求解. 【解答过程】（1）因为动点与点的距离是它与原点的距离的2倍， 所以， 即， ； （2）设，则，代入， 得， 由，得， 解得，即， 所以的最小值为； （3）当AB和CD的斜率都存在时，设直线AB方程为：， 则直线CD的方程为：， 已知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 则圆心到直线的距离为， 所以，同理， 所以四边形ACBD的面积为：， ； 当AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0， 此时 ， 所以四边形ACBD的面积为， 当，即时，四边形ACBD的面积的最大值是7. 【题型10 直线与圆的实际应用】 【例10】（25-26高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【解答过程】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C. 【变式10-1】（25-26高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【解题思路】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【解答过程】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船监测到的时间是0.5小时． 故选：C． 【变式10-2】（25-26高二上·湖北武汉·期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； (2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 【答案】(1)； (2)会驶入安全预警区，行驶时长为半小时 【解题思路】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离； （2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长. 【解答过程】（1）由题意得，∴； （2）设圆的方程为， 因为该圆经过三点，∴，得到. 所以该圆的方程为：， 化成标准方程为：. 设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：， 圆心（6，8）到直线的距离， 所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区. 直线与圆截得的弦长为 ，行驶时长小时. 即在安全警示区内行驶时长为半小时. 【变式10-3】（25-26高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【解题思路】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【解答过程】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【解题思路】先求出直线经过的定点坐标，判断点与圆的位置关系即可得出结论. 【解答过程】将代入直线中有，解得， 所以直线恒过点， 代入方程得， 所以点在内部，所以直线与相交， 故选：A. 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【解答过程】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 3．（2026·江苏镇江·模拟预测）若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据圆的方程确定圆心和半径再结合直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系可知，然后解不等式可得的取值范围. 【解答过程】由题意可得：圆心为，半径，且直线过定点， 因为圆上有且仅有2个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离满足， ，结合，解得， 故选：D. 4．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】由直线斜率存在和不存在结合弦长公式即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径. 当的斜率不存在时，，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为， 由，解得，此时的方程为. 综上，直线的方程为或. 故选：C. 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【解答过程】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B. 6．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由得到当最小时，最小，此时与直线垂直，求出圆心到直线的距离，从而得到的最小值. 【解答过程】圆的标准方程为，其圆心为，半径为3． 因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直． 因为圆心到直线的距离为， 所以，故． 故选：D.    7．（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意对条件合理转化，并作出符合题意的图形，再利用直线和半圆的位置关系求解参数范围即可. 【解答过程】由题意得，直线可化为， 可得直线过定点，将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为2，且位于轴上方的半圆， 如图所示，当直线过点时， 直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时， 若直线与曲线只有一个交点，由，解得，即， 若曲线与直线有两个交点，结合图形可得， 则实数的取值范围是. 故选：D. 8．（25-26高二上·广东河源·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【解题思路】先求出点的轨迹方程，然后判断直线过定点，把点到直线的距离转化为圆心到直线的距离与半径之和，进而求出最大值即可． 【解答过程】设，又点，且，所以， 则，即点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 又直线恒过定点， 则，所以点在圆外， 所以点到直线的距离等于圆心到直线的距离与半径之和， 即点到直线的距离， 当时，，即点到直线的距离的最大值为6. 故选：D.    二、多选题 9．（25-26高二上·安徽六安·期末）设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】求出圆心的坐标，按直线的斜率是否存在，结合圆的弦长公式求解即得 【解答过程】圆的圆心，半径， 当直线l的斜率不存在时，则直线方程为， 圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离， 此时直线l：， 所以直线的方程为或. 故选：AC. 10．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【解题思路】设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项. 【解答过程】将方程化为标准方程可得， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，设，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，整理可得，解得， 即的最大值为，即的最小值为0，A对，B错； 对于C，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方， 如下图所示： 由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值， 即， 故的最大值为，C错； 对于D，设，则直线与圆有公共点， 所以，解得， 所以的最大值为，D对. 故选：AD. 11．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（    ） A．圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为 C．直线AB恒过定点 D．当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 【答案】ACD 【解题思路】对A：利用点到直线距离公式计算出圆心C到直线l的距离后，结合半径长即可得；对B：借助切线性质与勾股定理计算即可得；对C：设，利用切线的性质可得A，B在以PC为直径的圆上，且可表示出该圆方程，联立圆C方程，作差可表示出直线AB方程，即可得所过定点；对D：利用等面积法及切线性质计算可得当取最小值时，四边形PACB面积最小，此时有，则可得直线PC方程，可解出点坐标，结合C选项中所得直线AB方程即可得解. 【解答过程】由圆，得圆心，圆半径， A选项：点C到直线l的距离为，又，即， 所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，， 所以，B选项错误； C选项：由切线的性质可知A，B在以PC为直径的圆上， 设，则以为直径的圆的圆心为， 半径为， 圆的方程为， 即， 又A，B在圆C上，则， 得，则，解得， 所以AB恒过定点，C选项正确； D选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线PC方程为， 即，联立，解得，故，则， 所以，即，D选项正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西西安·期末）直线与圆交于A，B两点，则____________． 【答案】 【解题思路】由圆的方程确定圆心和半径，再通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离，则． 故答案为：. 13．（25-26高二上·广东清远·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为____________. 【答案】 【解题思路】由圆的方程确定圆心和半径，设切线为，应用点线距离公式列方程求参数值，即可得. 【解答过程】由圆的圆心，半径为， 若过原点且斜率不存在，则，此时圆心到其距离为，显然不满足， 所以切线斜率存在，令过原点的切线为，则， 所以，整理得， 所以，即. 故答案为：. 14．（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【解答过程】直线过定点， 曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上部分的半圆， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，即，解得， 当直线与曲线相切时，直线与圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 结合图象可知，当或时，直线与曲线恰有一个交点， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2或 【解题思路】（1）直线与圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，由圆心和半径得圆的方程； （2）设直线的斜率为，利用圆的弦长公式求出的值即可. 【解答过程】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 16．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知直线和圆 . (1)直线交圆C于A，B两点，求弦长； (2)求过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2)与 【解题思路】（1）根据圆的弦长公式计算即得； （2）根据条件分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，由圆心到直线的距离等于半径列方程即可求得切线方程. 【解答过程】（1）由圆C：，可得圆心，半径，      所以圆心到直线的距离，      所以. （2）① 当过点的直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为4， 恰等于半径，所以直线是圆的一条切线；      ② 当直线斜率存在时，设切线方程为：即，      因直线与圆相切，则可得圆心到该直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为. 故所求切线有两条：与. 17．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【答案】(1) (2)4辆 【解题思路】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可求得圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【解答过程】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又，     则，∴，     ∴，     ∴圆弧所在的圆的方程为. （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴     若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车，     若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，     综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 18．（25-26高二上·山东聊城·期末）已知圆经过点与点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由题意设圆心，由即可解得的值，进而求得圆的方程； （2）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则有一条与平行，且与距离为1的直线与圆相切，另一条与平行，且与距离为1的直线与圆相交，且圆心到直线的距离，由此求得的值并加以验证即可. 【解答过程】（1）设圆心为，半径为，由题意得，即， 且有，即， 解得，进而，， 则圆的方程为. （2）由题意得一条平行于，且与距离为1的直线与圆相切，此时贡献1个点， 一条平行于，且与距离为1的直线与圆相交，此时贡献2个点， 且圆心到直线的距离， ①当直线斜率不存在时，即时，直线， 此时圆心到的距离为2，符合题意， 与圆相切于1个点，与圆相交于2个点，符合题意， 故满足题意； ②当直线斜率存在时，即时，直线， 则有，解得（已验证）或， 此时有直线， 易得与圆相切于1个点，与圆相交于2个点， 符合题意，故满足题意； 综上，直线的方程为或. 19．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1)（或）；点在该圆上； (2)或； (3)25 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标求得方程，即可判断； （2）通过斜率存在和不存在两类情况讨论即可求解； （3）由与直线垂直时，四边形面积最小，结合点到线的距离公式即可求解. 【解答过程】（1）设经过，，三点的圆的方程为， 则， 解方程组可得，，， 所以圆的方程为（或）； 又点的坐标满足上述圆的方程， 点在圆上； （2）由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设过点的直线方程为，即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或； （3） 由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 四边形面积等于2倍三角形的面积，， ， 又，即最小时，最小，此时三角形的面积最小， 即四边形面积最小， 当最小时，即与直线垂直时，四边形面积最小， 此时圆心到直线的距离， 四边形EMTN面积最小值为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 直线与圆的位置关系 【人教A版】 模块二 直线与圆的位置关系及判定 【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．与m，r的取值有关 【变式1-2】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【变式2-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线与圆有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高三上·辽宁·期末）已知圆，直线. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于，则的值为（ ） A． B．0 C． D． 【变式2-3】（25-26高三上·四川南充·阶段检测）若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 模块三 圆的切线及切线方程 【知识点2 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·山东·期中）已知圆C：． (1)过点向圆C作切线l，求切线l的方程； (2)若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 【变式3-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式4-1】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】（25-26高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点，，． (1)求圆的方程； (2)求经过点的圆的切线方程． 【变式4-3】（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)过点作圆C的切线l，求直线l的方程． 模块四 圆的弦长 【知识点3 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型5 求圆的弦长与中点弦】 【例5】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）直线：被圆：截得的弦为，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式5-2】（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知，，且为圆的直径. (1)求圆的方程； (2)若直线过点，且斜率为2，求直线被圆截得的弦长. 【变式5-3】（25-26高二上·湖南永州·期末）已知三点在圆上． (1)求圆的方程： (2)求直线被圆截得的弦的长． 【题型6 已知圆的弦长求方程或参数】 【例6】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式6-1】（25-26高二上·江苏南京·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 【变式6-2】（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． (1)求圆C的标准方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【变式6-3】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知圆的圆心在轴上，经过两点． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【题型7 直线与部分圆的相交问题】 【例7】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·河北·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 直线与圆中的面积问题】 【例8】（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【变式8-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆的标准方程为，设过圆心且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，连接并延长，与直线分别相交于点，用表示面积，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-2】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知点，圆的直径为线段. (1)求圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与圆交于两点，求的面积. 【变式8-3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【题型9 直线与圆有关的最值问题】 【例9】（25-26高二上·河北衡水·期中）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．-1 【变式9-1】（25-26高二上·广东广州·期中）已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【变式9-3】（25-26高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【题型10 直线与圆的实际应用】 【例10】（25-26高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【变式10-1】（25-26高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【变式10-2】（25-26高二上·湖北武汉·期末）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． (1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； (2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ 【变式10-3】（25-26高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知，直线，则直线与的位置关系（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·江苏镇江·模拟预测）若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 6．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 7．（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东河源·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．6 二、多选题 9．（25-26高二上·安徽六安·期末）设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最大值为 11．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（    ） A．圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为 C．直线AB恒过定点 D．当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西西安·期末）直线与圆交于A，B两点，则____________． 13．（25-26高二上·广东清远·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为____________. 14．（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为____________． 四、解答题 15．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 16．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）已知直线和圆 . (1)直线交圆C于A，B两点，求弦长； (2)求过点的圆的切线方程. 17．（25-26高二上·广西百色·期末）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程. (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 18．（25-26高二上·山东聊城·期末）已知圆经过点与点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆上恰有三个点到直线的距离为1，求直线的方程. 19．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $