第12讲 圆的方程（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的方程核心知识点，系统梳理圆的定义、标准方程（含圆心半径确定）、一般方程（待定系数法应用），衔接二元二次方程表示圆的条件、点与圆的位置关系（几何与代数判断）、轨迹方程求法（直接法等）及对称问题，构建递进式学习支架。 资料特色在于知识点与典型题型深度融合，例题及变式题选自多地期末检测，贴近教学实际。通过对比方程适用条件培养数学思维，如三点用一般方程、圆心半径用标准方程，轨迹与对称问题引导用数学眼光转化几何关系，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第12讲 圆的方程 【人教A版】 模块二 圆的方程 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·江西吉安·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 【例3】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．,1 B．,1 C．, D．, 【变式3-1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）过点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 模块三 二元二次方程与圆的方程 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2．二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 【例4】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5 圆过定点问题】 【例5】（25-26高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5-1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标__________． 【变式5-2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【变式5-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 模块四 点与圆的位置关系 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型6 点与圆的位置关系】 【例6】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 模块五 轨迹方程 【知识点4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型7 轨迹问题——圆】 【例7】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【变式7-3】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 模块六 与圆有关的对称问题 【知识点5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型8 与圆有关的对称问题】 【例8】（25-26高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【变式8-3】（25-26高二下·安徽·开学考试）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 模块七 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 11．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知圆 及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 三、填空题 12．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆经过三点，，，则圆的方程为____________. 13．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为____________． 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为____________. 四、解答题 15．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 16．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆． (1)求直线到直线 的距离； (2)若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． 17．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)求与圆关于直线对称的圆的方程. 18．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 19．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 圆的方程 【人教A版】 模块二 圆的方程 【知识点1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【解答过程】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可得圆心坐标与半径，据此可得答案. 【解答过程】由题可得圆心坐标为，圆直径为：，则圆半径为. 从而圆方程为：. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·江西吉安·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由条件求得圆的半径，进而可求解. 【解答过程】由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为， 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【解答过程】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【解答过程】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案. 【解答过程】设圆的一般方程为, 将，，代入方程得， 解得，满足， 故圆的方程为， 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【解答过程】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设外接圆的方程为：，然后将三点坐标代入解方程组求出的值，从而可求出的外接圆的一般方程. 【解答过程】设外接圆的方程为：， 由题意可得：，解得：， 即的外接圆的方程为：． 故选：C. 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 【例3】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．,1 B．,1 C．, D．, 【答案】B 【解题思路】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【解答过程】将圆的一般式方程转化为标准方程， 可得， 所以该圆圆心为，半径为1. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【解答过程】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）过点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用圆的一般方程，该圆经过三个点可列出三个方程，并求解，最后用配方法变成标准方程，求出圆心坐标 【解答过程】设圆的方程为. 因该圆过点，，，所以，解得. 因此圆的方程为. 化简得. 因此该圆的圆心为. 故选：C. 【变式3-3】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意计算即可. 【解答过程】由， 化简可得， 则有，解得. 故选：B. 模块三 二元二次方程与圆的方程 【知识点2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程的关系 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2．二元二次方程表示圆的条件 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 【例4】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【解答过程】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【解答过程】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 【变式4-2】（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）“关于x，y的方程：表示圆”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将方程配成标准式，即可得到，解得即可. 【解答过程】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数m的取值范围是. 故选：B. 【题型5 圆过定点问题】 【例5】（25-26高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【解答过程】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标__________． 【答案】或 【解题思路】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【解答过程】将原方程整理为： ， 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： ， 由第一个方程，代入第二个方程得： ， 将代入，得， 所以，定点坐标为或. 故答案为：或. 【变式5-2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【解题思路】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【解答过程】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 【变式5-3】（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，和. 【解题思路】（1）根据已知得到圆心在直线上，设圆心，利用半径列方程求参数，即可得； （2）设，得，根据三点共圆，应用待定系数法求得圆的方程为，进而求圆所过的定点. 【解答过程】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 模块四 点与圆的位置关系 【知识点3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型6 点与圆的位置关系】 【例6】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【解题思路】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【解答过程】， 在圆外， 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【解答过程】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【解答过程】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【解答过程】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 模块五 轨迹方程 【知识点4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型7 轨迹问题——圆】 【例7】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【解答过程】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【解答过程】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）设，根据结合两点间距离公式运算求解即可； （2）设，根据中点可得，代入圆的方程运算求解即可. 【解答过程】（1）设， 由题意可知：，即， 则，整理可得， 所以动点的轨迹方程为； （2）设， 因为点为线段的中点，且，则， 又因为点在圆上运动， 则，可得， 所以点的轨迹方程为. 【变式7-3】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)设点，为圆上的动点，点满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由和的坐标，确定的斜率，进而得到垂直平分线的方程，解得圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由向量坐标运算公式用的坐标表示的坐标，然后代入圆的方程即可求解． 【解答过程】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为， 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为，所以圆的半径， 则圆的方程为：； （2）设，，， 则有，，． 由，可得，解之得， 由点在圆上，得，所以， 即， 故点的轨迹方程为. 模块六 与圆有关的对称问题 【知识点5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型8 与圆有关的对称问题】 【例8】（25-26高二上·江苏南通·期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案. 【解答过程】将圆的方程化为标准方程可得，， 所以，圆心，半径. 设， 由已知可得，，解得， 所以，圆的圆心为，半径， 所以，圆的方程为. 故选：D. 【变式8-1】（25-26高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知圆的方程确定圆心，进而得到线段的中点坐标及的斜率，应用点斜式写出直线方程. 【解答过程】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【解答过程】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 【变式8-3】（25-26高二下·安徽·开学考试）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程． 【解答过程】（1）解：设圆C的方程为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得， 即圆C的方程为， ∴圆C的标准方程为． （2）解：由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即． ∴圆的标准方程为． 模块七 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将圆的方程配成标准式，即可确定圆心坐标. 【解答过程】圆，即， 所以圆心为． 故选：C． 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【解答过程】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 故选：C． 3．（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【解答过程】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 4．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出圆的半径，进而得圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可求解. 【解答过程】由圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，， 所以圆心坐标为，圆的直径为， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为：，即， 故选：B. 5．（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解题思路】设点，利用的斜边为推得，借助于向量数量积的坐标运算由即得轨迹方程，去除不合题意的点即可. 【解答过程】设点，由题意，， 由，整理得， 因当时，，此时两点恰分别与点重合，故不合题意，应舍去. 即直角顶点的轨迹方程为且 故选：D. 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【解答过程】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D. 7．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，求出圆的一般方程，求其半径长即可. 【解答过程】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为. 故选：C. 8．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【解题思路】由题可得直线过已知圆圆心，则，然后由基本不等式可得答案. 【解答过程】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为. 因圆关于对称，则过圆心，从而. 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】依次求点到圆心的距离进行判断即可. 【解答过程】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB. 10．（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【解题思路】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【解答过程】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD. 11．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知圆 及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【解题思路】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【解答过程】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则 ， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以 ，所以的取值范围为． 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆经过三点，，，则圆的方程为____________. 【答案】 【解题思路】设圆的一般方程，用待定系数法可得圆的方程. 【解答过程】设圆的方程为，由圆经过点，得； 由圆经过，得，即①； 再由圆经过，得，即②； 联立①②解得，所以圆的方程为， 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】将曲线转化为，根据圆的性质即可求解. 【解答过程】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为____________. 【答案】 【解题思路】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【解答过程】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 故答案为：． 四、解答题 15．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【解答过程】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 16．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆． (1)求直线到直线 的距离； (2)若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． 【答案】(1)； (2)圆心为，半径为． 【解题思路】（1）将两条直线化简后，直接利用两条平行线间的距离公式求解即可； （2）利用待定系数法求出D,E,F的值，即可得到圆的方程，从而得到圆心半径. 【解答过程】（1）将直线，化为一般式得到： 直线，化简得到， 因为直线与直线平行， 则两直线之间的距离为. （2）由题设可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为． 17．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)求与圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）设圆的一般方程将条件代入可得到方程组，解方程组即可；（2）根据点关于直线的对称关系求出对称圆的圆心，结合圆的标准方程即可求得. 【解答过程】（1）依题意，因为圆心在轴上，所以设圆的方程为， 因为圆经过两点，所以，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为； 设关于直线对称的点为， 则的中点为，直线的斜率为； 因为点关于直线对称，所以， 即，解得，所以， 所以与圆关于直线对称的圆的方程为. 18．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； (3)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式求出方程即可； （2）根据直线的斜率，求出的中垂线斜率，结合的中点，得到的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心，即为半径，根据圆心半径写出圆的标准方程即可. （3）由（2）得圆心的坐标，结合的距离等于半径，判断得到的外接圆方程. 【解答过程】（1）边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． （2）的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． （3）由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 19．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【解答过程】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $