2.5.1 直线与圆的位置关系（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线与圆的位置关系核心知识点，系统梳理相交、相切、相离的几何法（d与r比较）和代数法（判别式）判定，衔接弦长计算（几何勾股定理、代数韦达定理）、切线方程（过圆上/外点）及切线长、圆上点到直线距离最值，构建从基础到应用的完整学习支架。 资料以“知识点+题型+分层练习”设计，通过即学即练强化理解，典例与变式结合培养数学思维，如切线问题强调斜率不存在情况避免易错，距离最值用几何直观提升数学眼光。课中助力教师系统教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升数形结合与综合应用能力。

第二章 直线和圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 课标要点 1.掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置，会用几何法、代数法完成位置判断。 2.理解弦长、切线相关模型，熟练运用公式求解弦长、切线方程、切线长等问题。 3.能求解圆上点到直线的距离最值，会结合直角三角形模型处理几何计算。 4.提升数形结合能力，区分各类易混淆结论，解决直线与圆综合基础习题。 学习重难点 重点： 1.直线与圆三种位置关系，掌握几何法d与r比较、代数法判别式两种判定方式。 2.弦长的几何计算模型，圆的切线方程求法，牢记切线相关常用二级结论。 3.圆上点到直线距离最值，会利用圆心、半径分析距离的最大值与最小值。 难点： 1.切线问题，容易忽略斜率不存在情况，区分切线方程与切点弦方程两个不同结论。 2.综合运用几何模型，把弦长、距离最值转化为直角三角形进行计算求解。 3.代数联立结合韦达定理处理圆问题，准确识别题目隐含的限制条件。 知识点一 直线与圆的三种位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为。 1.相交：直线与圆有两个公共点，几何判定：。 2.相切：直线与圆只有一个公共点，几何判定：。 3.相离：直线与圆没有公共点，几何判定：。 代数判定方法： 将直线方程与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，记判别式为。 1.相交：，方程有两个不相等实数根； 2.相切：，方程有两个相等实数根； 3.相离：，方程无实数根。 即学即练 1．直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 2．（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【详解】圆的圆心，半径为，直线，若圆与直线有交点， 则圆心到直线的距离，解得，故选A、B. 知识点二 直线与圆相交（弦长问题） 直线与圆相交，核心模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，圆半径为斜边。 1.几何法（常用） 设弦长为，由勾股定理得半弦长，则弦长公式：。 2.代数法 若直线斜率为，交点， 弦长公式：： 当（直线水平）： 当斜率不存在（直线竖直）： 即学即练 3．直线被圆所截得的弦长为_____． 【答案】 【详解】圆可化为 所以圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 4．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 知识点三 直线与圆相切（切线问题） 1.点与圆位置决定切线条数 （1）点在圆上：过该点只有1条切线；（2）点在圆外：过该点有2条切线；（3）点在圆内：不存在切线。 2.过圆上一点求切线方程 先求圆心与切点连线的斜率：（1）若不存在：切线为水平线；（2）若：切线为竖直线（3）存在且不为0：切线与半径垂直，切线斜率为，用点斜式写方程。 3.过圆外一点求切线方程 （1）几何法：设切线斜率，写出点斜式方程；利用圆心到直线距离等于半径，解出。 （2）代数法：设切线方程代入圆方程，令判别式，求解斜率。 4.圆的切线常用结论 （1）圆上一点，切线方程： （2）圆上一点，切线方程： （3）圆外一点，两切点连线方程： 5.切线长公式 过圆外一点作圆两条切线，切线长可利用勾股定理：外点到圆心距离、半径、切线长构成直角三角形。 易错提醒 求过圆外一点切线，遗漏斜率不存在的竖直切线：做题习惯直接设切线斜率为，此做法默认切线斜率存在。解方程只算出有斜率的切线，忽略还有可能存在一条竖直形式的切线，造成答案少一解。 处理方法：解出之后，必须单独验证过该点的竖直线是否满足切线条件，把竖直直线代入检验圆心到直线距离是否等于半径。 即学即练 5．已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 6．求过点且与圆相切的直线的方程； 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，又点在圆上， 所以圆心与切点连线的斜率为：， 所以切线斜率为，切线方程为：， 所以切线方程为：. 知识点四 圆上点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线距离为，圆半径。 （1）直线与圆相离（）：最大距离：；最小距离： （2）直线与圆相切（）：最大距离：；最小距离： （3）直线与圆相交（）：最大距离：；最小距离： 易错提醒 圆上点到直线距离，直线相交时错误认为最小距离为：死记硬背、，不去区分直线与圆的三种位置，直线和圆相交依然套用相离的最小距离公式。相交时直线穿过圆，圆上存在点落在直线之上。 处理方法：先区分位置：相离最小距离；相切、相交时圆上存在点在直线上，最小距离等于0。 即学即练 7．已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 题型01 直线与圆的位置关系 典｜例｜精｜析 【例1】直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【详解】由圆，得圆心，半径为， 所以圆心到的距离为， 又因为，所以， 所以直线与圆相交. 故选：A. 【例2】已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【答案】C 【详解】∵圆，∴圆心，半径； 关于直线对称，且原点在直线上， ，， 则，故在圆上， 联立，解得，， ， ∵，∴，得， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？ 【答案】当时，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，直线与圆相离，无公共点． 【详解】法1：由可得， 故， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 法2：圆心坐标为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，直线与圆相交，有两个公共点． 当或时，，直线与圆相切，有一个公共点． 当或时，，直线与圆相离，无公共点． 【变式1-2】已知直线，圆，则“”是“与圆相切”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若直线与圆相切，且圆的圆心为坐标原点，半径为，则， 整理可得，可得，解得或， 因为是的真子集，故“”是“与圆相切”的充分不必要条件. 【变式1-3】若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 题型02 利用直线与圆的位置关系求距离最值 解题贴士 研究圆上动点到定直线距离最值，过圆心作直线垂线，垂线与圆交点即为取得最值的点。 相离时最大距离，最小距离；相交、相切时最小距离为0。做题先判断直线和圆的位置，不要死记公式，最好画出简易示意图辅助分析，减少公式套用错误。 典｜例｜精｜析 【例3】已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 【例4】圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则，，所以，即， 即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到直线的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为， 故选：C 【变式2-2】已知直线与圆，则圆心到直线距离的最大值是______． 【答案】 【详解】由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 又由，得到，所以圆心为，半径为， 又，所以点在圆内， 当时，圆心到直线距离最大，最大值为， 故答案为：. 【变式2-3】已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由，表示圆上的点到直线的距离的5倍. 圆的圆心，半径，如图： 由圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，且圆上点到直线距离的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：3. 题型03 圆的弦长问题 典｜例｜精｜析 【例5】直线与圆：交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 设，则， 由余弦的二倍角公式得：. 【例6】已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线被圆截得的弦长为， 得圆心到直线的距离为， 因此，整理得，解得， 所以直线的斜率. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 【答案】 【详解】圆半径为1，圆心为，圆半径为2，圆心为，画图如下： 由题意得：，， 因为，，所以，且相似比为：， 所以，则，，， 所以 【变式3-2】已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以当取最大值时，最小. 因为直线过定点，所以的最大值为， 所以的最小值为. 【变式3-3】已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】由，则在的垂直平分线上， 又圆的弦的垂直平分线过圆心， 故为的垂直平分线，即， 所以，解得， 所以直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 又圆的半径，所以. 题型04 圆内接三角形的面积问题 典｜例｜精｜析 【例7】直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【答案】3或 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． 【例8】已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【详解】圆：得圆心为，半径， 的面积， 当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为， 则，解得或. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 【答案】 【详解】∵ 圆的圆心为原点，半径， ∴ ， 设， 则. ∵ ， ∴ ，解得. ∵ ，∴ 或. 过点作于点，则为圆心到直线的距离，且. 在中，. 当时，；当时，. 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，故舍去. ∴ ，解得，即. 【变式4-2】直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 【变式4-3】已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为. 因为圆过点，， 所以，即. 将上面两式相减，消去，可得，解得， 将其代入，解得. 所以圆的标准方程为； （2）    由（1）知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 则，要使面积的最大， 只须点到直线的距离最大，最大距离为， 故面积的最大值为. 题型05 过圆上一点的切线方程 解题贴士 先确认点在圆上，再求圆心与该点连线的斜率，切线和半径互相垂直，斜率乘积为。 注意斜率不存在或者斜率等于0两种特殊情况，直接写水平、竖直切线。熟记结论公式，圆上点，切线方程，不要记错公式形式。 典｜例｜精｜析 【例9】经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 【例10】某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是圆的切线， 所以，且， 由勾股定理可得，因此点的坐标为， 因为， 所以圆的切线的斜率为， 所以圆的切线的方程为，化简，得. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆心C，则，设切线斜率，则，， 点斜式，整理得. 故选：D 【变式5-2】点为圆上一点，过作圆的切线，且直线与直线平行，则与之间的距离是________. 【答案】/ 【详解】由题意可得圆的圆心，半径为， 则，所以过的切线斜率为， 所以直线的方程为，即， 又直线与直线平行，所以， 则与之间的距离是. 故答案为：. 【变式5-3】圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. (1)求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； (2)求经过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）直线恒过定点，则圆的方程为， 而，则点在圆内，当点与点都不重合时，， 点在以线段为直径的圆上，当点与点之一重合时，点也在此圆上， 所以点P的轨迹方程为，即. （2）由，得点在圆上，直线的斜率为， 所以经过点的圆的切线方程为，即. 题型06 过圆外一点的切线方程 解题贴士 点在圆外，一共存在两条切线，可设斜率，用几何法：圆心到切线距离等于半径列方程求解。 容易漏掉斜率不存在的竖直切线，解完之后务必检验。也可以用代数法，把直线代入圆令判别式。解题第一步先验证点在圆外，若点在圆内则不存在切线。 典｜例｜精｜析 【例11】求过原点且与圆相切的直线的方程； 【答案】或 【详解】直线过原点且与圆相切， 当斜率不存在时，显然与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为：，即， 由题意可得，解得：， 所以过原点且与圆相切的直线的方程为：或； 【例12】一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射光线所在的直线方程为__________. 【答案】或 【详解】点关于轴的对称点为，圆的圆心，半径， 由光的反射定律知，反射后光线所在的直线过点，显然该直线斜率存在， 设反射光线所在的直线方程为，即， 由反射光线与圆相切，得，解得或， 所以反射光线所在的直线方程为或. 故答案为：或 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 【答案】 【详解】易知两条切线的斜率均存在，设过点的圆的切线方程为，整理为一般式得, 圆的圆心为，半径，由直线与圆相切的性质可知，圆心到切线的距离等于半径，即 ， 将上式两边平方得，展开整理得， 设两条切线的斜率分别为,，由韦达定理得，， 由两直线的夹角公式，设两直线夹角为，则， 其中， 代入得 【变式6-2】已知圆．若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程． 【答案】，，． 【详解】设圆的切线方程为或， 由圆心到直线距离，， 得或，， 所以切线方程为，，． 【变式6-3】已知的三个顶点分别是，，． (1)求的外接圆的方程； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】 【详解】（1）设圆M的方程为，将，，三点代入得： ，所以圆的方程为， 标准方程为. （2）由光的反射性质知，经轴反射后的光线所在直线过点， 点关于轴的对称点， 由（1）知圆的标准方程为：. 当斜率不存在时，直线方程为与圆不相切， 设反射光线所在的直线方程为，即， 于是，解得， 所以反射光线所在的直线方程为或． 题型07 切线长问题 典｜例｜精｜析 【例13】由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 【例14】已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点，满足， 于是点到该直线的距离， 解得，可得的取值范围是. 故选：C 【变式7-2】在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线与圆有且只有一个公共点，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】化为标准型为，圆心为，半径为； 由题意可知与圆相切，所以， 故选：D 【变式7-3】若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】由题意，圆的半径， 由直线与圆相切，故连接,有， 即，当时取等号， 故. 题型08 数形结合求圆的最值范围 解题贴士 常见题型：圆上点相关的斜率型、距离型、截距型最值，借助几何图形分析，减少复杂代数运算。 斜率看作圆上点和定点连线斜率；距离转化两点间距离；截距看成动直线纵截距。结合切线、圆心距离临界状态找最值，算出临界之后，看清题目求的是最大值、最小值还是取值范围。 典｜例｜精｜析 【例15】已知圆上的一点，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】表示圆上的点到直线 的距离， 圆圆心为,半径为， 圆心到直线的距离为. 所以直线与圆相离，所以圆C上的点到直线 的距离的取值范围为， 即. 故答案为：. 【例16】已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】（多选）已知实数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最小值为 D．的最大值为9 【答案】ACD 【详解】实数，满足，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 对于A，，解得，因此的最大值为，A正确； 对于B，令，则直线与圆有公共点，， 解得，因此的最小值为，B错误； 对于C，令，则直线与圆有公共点，，解得， 因此的最小值为，C正确； 对于D，表示圆上的点到定点距离的平方， 而圆心与点距离为，则， 即，因此的最大值为9，D正确. 故选：ACD 【变式8-2】已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】由条件可知，，则点在以为圆心，半径为1的圆上， 表示圆上的点与定点连线的斜率， 如图，设过点的直线为， 当直线与圆有交点时，圆心到直线的距离，解得， 所以的取值范围是. 【变式8-3】若实数满足，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】可化为，圆心坐标为，半径为. 令，即，则表示直线的纵截距，如图. 圆心到直线的距离为. 直线与圆有交点的条件为，即，解得， 所以的取值范围为. 题型09 韦达定理的应用 典｜例｜精｜析 【例17】已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 【答案】 【详解】设，， 由可得； 因为直线与圆有两个交点，故，解得， 因为，故； 根据韦达定理可得，； 则； 因为，； 则，解得． 【例18】如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 【答案】 ， 设，则直线的方程为，直线的方程为， 联立，得， 则，即，则，同理， 所以直线的斜率， 则直线的方程为，即， 所以直线恒过定点. 【详解】略 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】已知为圆：的弦，点，若直线，直线的斜率之积为，则的面积（   ） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【详解】 由题易知，直线的斜率必存在，故可设直线，. 联立直线与圆，，得， ， 得. 若，则，经过点，显然不符题意，故. 由韦达定理，可得. . 因此有，解得， 即，因此直线过定点， 故重设直线， 因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离，解得. 弦长， 点到直线的距离，故. 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立，即的面积有最大值. 故选：D. 【变式9-2】已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 【答案】(1) (2)证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ， 为定值． (3)1 【分析】 【详解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则，整理得， 即，得． （2）略 （3）设，， 将代入方程 得， ， ． ，解得． 又当时，，． 【变式9-3】已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】 【详解】（1）圆的圆心的坐标为， 将其代入直线得，解得. 即圆的方程为. （2）圆的标准方程为，设弦的中点为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 因为，所以，则圆心到直线的距离，解得. 此时直线的方程为， 故直线的方程为或． （3）因为，所以． ①当直线的斜率不存在时，易知. ，所以与不共线，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由，得， 可得. 所以， 所以， 则， 所以． 若向量与共线，则， 即，解得或， 当时，，舍去， 当时，. 所以存在直线，使得向量与共线，且直线的方程为，即.    基础通关 一、单选题 1．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 2．直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设，联立，消去y整理得：， 解得，故， 利用两点之间的距离得， 故选：C 3．直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】联立解得：，， 所以. 故选：D 4．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（    ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【详解】圆的方程为，化为标准方程：， 圆心为，半径为， 当过点的直线与垂直时，弦长最短，且， 当过点的直线且过圆心时，弦长最长，且， 此时，， 所以四边形ABCD面积为， 故选：B 5．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，由切线与直线垂直， 得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：， 即. 故选：A 6．台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：C. 二、多选题 7．已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 【答案】AC 【详解】圆：，配方得，圆心坐标，半径. 选项A：令，则，与无关，所以直线恒过定点，A正确. 选项B：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，B错误. 选项C：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，C正确. 选项D：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，D错误. 故选：AC. 8．已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 【答案】AD 【详解】直线l过定点，圆C：，所以圆心为，半径为 对于A，若，则圆心到直线的距离，所以l与圆C相切，故A正确； 对于B，依题意，由圆心到直线的距离，解得或，故B错误； 对于C，将到代入l的方程，得不成立，故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C 错误； 对于D，若，圆心到直线的距离为，则弦长为，故D正确． 故选：AD. 三、填空题 9．直线被圆所截得的线段的长为______． 【答案】 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由于圆的半径，所以弦长为. 10．已知直线与圆交于A、B两点，当时，直线的一般式方程为__________________． 【答案】 【详解】的圆心,半径， 则圆心到直线的距离为， 由于， 故，即，结合， 解得， 故直线方程为，即， 故答案为： 四、解答题 11．已知点，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)求直线被曲线E截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得，所以， 设，因为点， 所以，化简得． 所以曲线E的方程为； （2）由（1）知，曲线E是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 所以直线被曲线截得的弦长为． 12．过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 素养提升 1．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 2．已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径，即， 由，可知是圆的切线，为直角三角形 由，则， 由，求的最小值，即求的最小值， 而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离， 的最小值为，即的最小值为. 3．已知圆，，为圆O上相异两点，且，则的最大值为______． 【答案】 【详解】因为，则， 又A，B为圆O上相异两点，则A，B关于原点O对称， 所以，，所以， 由圆得半径，圆心为， 设，所以， 当时，取最大值，为， 即的最大值为. 4．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 5．已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 【答案】2 【详解】圆，外点，根据切点弦方程公式，得的方程为. 与交于，，点到的距离为. 的面积， 代入，得，两边平方得. 令，则，展开得 ，即. 二次式判别式，故，即，（负根舍去）. 因此 .    6．已知圆的方程为，圆的方程为，直线与圆相切，与圆交于两点，则的最小值为________． 【答案】 【详解】 圆的圆心，半径, 圆的圆心，半径, ， 直线与圆相切，即定点到直线的距离恒等于， 设圆心到直线的距离为， 由定点到定距离的直线，到的距离， 则，即， 解得， 所以， 越大，越小，即取最大值时，最小， ． 7．已知圆，A，B为圆O与x轴的两交点，，为圆在A，B处的切线，P为圆上异于A，B的动点，过P的切线交，于C，D，直线与交于． (1)求m，n关系； (2)设，的最小值为，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）    取，，则，． 设，P处切线． 与；与． 直线；直线． 令两式相等：， 化简得：，即， 代回直线得：． 故，即，， 故：． （2）由（1）可知M在椭圆上（去掉长轴端点）． 设，，，． 对称轴．当时，． 此时，对应，最小值可取到． 迁移创新 1．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 2．在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________． 【答案】． 【详解】设，则, 由， 即， 所以点在以为圆心，半径为1的圆及其内部，同时点在内部（含边界），的边界为， 由于， 且的最小值，即求的最小值， 令，则，所以当与圆相切时，取得最值， 则， 解得：， 结合点是内部（含边界），取时，取得最小值， 最小值为 3．在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【答案】(1)证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为； （3）由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.5.1 直线与圆的位置关系 课标要点 1.掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置，会用几何法、代数法完成位置判断。 2.理解弦长、切线相关模型，熟练运用公式求解弦长、切线方程、切线长等问题。 3.能求解圆上点到直线的距离最值，会结合直角三角形模型处理几何计算。 4.提升数形结合能力，区分各类易混淆结论，解决直线与圆综合基础习题。 学习重难点 重点： 1.直线与圆三种位置关系，掌握几何法d与r比较、代数法判别式两种判定方式。 2.弦长的几何计算模型，圆的切线方程求法，牢记切线相关常用二级结论。 3.圆上点到直线距离最值，会利用圆心、半径分析距离的最大值与最小值。 难点： 1.切线问题，容易忽略斜率不存在情况，区分切线方程与切点弦方程两个不同结论。 2.综合运用几何模型，把弦长、距离最值转化为直角三角形进行计算求解。 3.代数联立结合韦达定理处理圆问题，准确识别题目隐含的限制条件。 知识点一 直线与圆的三种位置关系 设圆的半径为，圆心到直线的距离为。 1.相交：直线与圆有两个公共点，几何判定：。 2.相切：直线与圆只有一个公共点，几何判定：。 3.相离：直线与圆没有公共点，几何判定：。 代数判定方法： 将直线方程与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，记判别式为。 1.相交：，方程有两个不相等实数根； 2.相切：，方程有两个相等实数根； 3.相离：，方程无实数根。 即学即练 1．直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 2．（多选）已知圆：，直线：.若圆与直线有公共点，则的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点二 直线与圆相交（弦长问题） 直线与圆相交，核心模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，圆半径为斜边。 1.几何法（常用） 设弦长为，由勾股定理得半弦长，则弦长公式：。 2.代数法 若直线斜率为，交点， 弦长公式：： 当（直线水平）： 当斜率不存在（直线竖直）： 即学即练 3．直线被圆所截得的弦长为_____． 4．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 知识点三 直线与圆相切（切线问题） 1.点与圆位置决定切线条数 （1）点在圆上：过该点只有1条切线；（2）点在圆外：过该点有2条切线；（3）点在圆内：不存在切线。 2.过圆上一点求切线方程 先求圆心与切点连线的斜率：（1）若不存在：切线为水平线；（2）若：切线为竖直线（3）存在且不为0：切线与半径垂直，切线斜率为，用点斜式写方程。 3.过圆外一点求切线方程 （1）几何法：设切线斜率，写出点斜式方程；利用圆心到直线距离等于半径，解出。 （2）代数法：设切线方程代入圆方程，令判别式，求解斜率。 4.圆的切线常用结论 （1）圆上一点，切线方程： （2）圆上一点，切线方程： （3）圆外一点，两切点连线方程： 5.切线长公式 过圆外一点作圆两条切线，切线长可利用勾股定理：外点到圆心距离、半径、切线长构成直角三角形。 易错提醒 求过圆外一点切线，遗漏斜率不存在的竖直切线：做题习惯直接设切线斜率为，此做法默认切线斜率存在。解方程只算出有斜率的切线，忽略还有可能存在一条竖直形式的切线，造成答案少一解。 处理方法：解出之后，必须单独验证过该点的竖直线是否满足切线条件，把竖直直线代入检验圆心到直线距离是否等于半径。 即学即练 5．已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 6．求过点且与圆相切的直线的方程； 知识点四 圆上点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线距离为，圆半径。 （1）直线与圆相离（）：最大距离：；最小距离： （2）直线与圆相切（）：最大距离：；最小距离： （3）直线与圆相交（）：最大距离：；最小距离： 易错提醒 圆上点到直线距离，直线相交时错误认为最小距离为：死记硬背、，不去区分直线与圆的三种位置，直线和圆相交依然套用相离的最小距离公式。相交时直线穿过圆，圆上存在点落在直线之上。 处理方法：先区分位置：相离最小距离；相切、相交时圆上存在点在直线上，最小距离等于0。 即学即练 7．已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（     ） A．1 B．3 C．6 D．9 题型01 直线与圆的位置关系 典｜例｜精｜析 【例1】直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【例2】已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知圆的方程是，直线，当为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？ 【变式1-2】已知直线，圆，则“”是“与圆相切”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型02 利用直线与圆的位置关系求距离最值 解题贴士 研究圆上动点到定直线距离最值，过圆心作直线垂线，垂线与圆交点即为取得最值的点。 相离时最大距离，最小距离；相交、相切时最小距离为0。做题先判断直线和圆的位置，不要死记公式，最好画出简易示意图辅助分析，减少公式套用错误。 典｜例｜精｜析 【例3】已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【例4】圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】已知直线与圆，则圆心到直线距离的最大值是______． 【变式2-3】已知，则的最小值为_____． 题型03 圆的弦长问题 典｜例｜精｜析 【例5】直线与圆：交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【例6】已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 【变式3-2】已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式3-3】已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，若，则（    ） A． B．4 C． D． 题型04 圆内接三角形的面积问题 典｜例｜精｜析 【例7】直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【例8】已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知O为坐标原点，直线2x+3my+1 =0与圆 交于A，B两点，若 的面积为 则m=_____. 【变式4-2】直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式4-3】已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求的标准方程； (2)直线与交于，两点，点为上任意一点，求面积的最大值. 题型05 过圆上一点的切线方程 解题贴士 先确认点在圆上，再求圆心与该点连线的斜率，切线和半径互相垂直，斜率乘积为。 注意斜率不存在或者斜率等于0两种特殊情况，直接写水平、竖直切线。熟记结论公式，圆上点，切线方程，不要记错公式形式。 典｜例｜精｜析 【例9】经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【例10】某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】点为圆上一点，过作圆的切线，且直线与直线平行，则与之间的距离是________. 【变式5-3】圆O是以直线恒过的定点为圆心，半径为3的圆. (1)求经过点的圆的弦的中点P的轨迹方程； (2)求经过点的圆的切线方程. 题型06 过圆外一点的切线方程 解题贴士 点在圆外，一共存在两条切线，可设斜率，用几何法：圆心到切线距离等于半径列方程求解。 容易漏掉斜率不存在的竖直切线，解完之后务必检验。也可以用代数法，把直线代入圆令判别式。解题第一步先验证点在圆外，若点在圆内则不存在切线。 典｜例｜精｜析 【例11】求过原点且与圆相切的直线的方程； 【例12】一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射光线所在的直线方程为__________. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______． 【变式6-2】已知圆．若圆的切线在轴和轴上截距相等，求切线的方程． 【变式6-3】已知的三个顶点分别是，，． (1)求的外接圆的方程； (2)一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程． 题型07 切线长问题 典｜例｜精｜析 【例13】由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【例14】已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线与圆有且只有一个公共点，则线段的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式7-3】若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为___________. 题型08 数形结合求圆的最值范围 解题贴士 常见题型：圆上点相关的斜率型、距离型、截距型最值，借助几何图形分析，减少复杂代数运算。 斜率看作圆上点和定点连线斜率；距离转化两点间距离；截距看成动直线纵截距。结合切线、圆心距离临界状态找最值，算出临界之后，看清题目求的是最大值、最小值还是取值范围。 典｜例｜精｜析 【例15】已知圆上的一点，则的取值范围是_________. 【例16】已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】（多选）已知实数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最大值为 B．的最小值为0 C．的最小值为 D．的最大值为9 【变式8-2】已知实数a、b满足方程的点，则的取值范围是______ 【变式8-3】若实数满足，则的取值范围是______ 题型09 韦达定理的应用 典｜例｜精｜析 【例17】已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 【例18】如图：已知A，是圆：与轴的交点，为直线：上的动点．，与圆的另一个交点分别为，．求证：直线过定点． 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】已知为圆：的弦，点，若直线，直线的斜率之积为，则的面积（   ） A．有最小值 B．有最大值1 C．有最小值 D．有最大值 【变式9-2】已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 【变式9-3】已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 基础通关 一、单选题 1．直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 2．直线与圆交于A，B两点，，则（   ） A． B． C． D． 3．直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（    ） A． B． C．8 D．13 5．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 8．已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 三、填空题 9．直线被圆所截得的线段的长为______． 10．已知直线与圆交于A、B两点，当时，直线的一般式方程为__________________． 四、解答题 11．已知点，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)求直线被曲线E截得的弦长． 12．过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 素养提升 1．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D．3 3．已知圆，，为圆O上相异两点，且，则的最大值为______． 4．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 5．已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 6．已知圆的方程为，圆的方程为，直线与圆相切，与圆交于两点，则的最小值为________． 7．已知圆，A，B为圆O与x轴的两交点，，为圆在A，B处的切线，P为圆上异于A，B的动点，过P的切线交，于C，D，直线与交于． (1)求m，n关系； (2)设，的最小值为，求a． 迁移创新 1．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，，点在内部（含边界）一点，且满足，则的最小值为________． 3．在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $