第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题（七大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究距离与夹角问题，系统梳理点到直线、点到平面、平行平面及异面直线的距离求法，以及异面直线所成角、线面角、二面角的向量解法，通过知识点解析与题型示例（含例题及变式）构建完整学习支架。 该资料以分层递进题型设计为特色，从基础应用到探索性问题，培养学生数学思维（推理能力），向量法解决几何问题体现数学语言（模型观念），如“点到平面距离”例题引导抽象模型，课后19题提升练助力查漏补缺，提升应用意识。

第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题 【人教A版】 模块二 用空间向量研究距离问题 【知识点1 用空间向量研究空间距离】 1．距离问题 (1)点P到直线l的距离：如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形. 设，则向量在直线l上的投影向量， 在Rt△APQ中，由勾股定理，得， 则点P到直线l的距离为． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】（25-26高二上·陕西商洛·期末）在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面， ，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 【变式1-3】（25-26高二上·江西赣州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【变式2-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【题型3 点到直线距离、异面直线距离的向量求法】 【例3】（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【变式3-3】（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）如图，在长方体中，，，，求：    (1)点到直线的距离； (2)平面与平面间的距离. 模块三 用空间向量研究空间角问题 【知识点2 用空间向量研究空间角】 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型4 向量法求异面直线所成的角】 【例4】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式4-3】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）如图，正四棱锥，，，P为侧棱SD中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【题型5 向量法求线面角】 【例5】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面 平面.若是直线上的一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值是（   ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式5-3】（25-26高二上·浙江·期末）已知四棱锥平面平面，． (1)证明：平面平面； (2)设关于平面的对称点为，求直线与平面所成角的正弦值． 【题型6 向量法求二面角】 【例6】（2026高三上·安徽合肥·专题练习）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）    A．1 B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·重庆·三模）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式6-3】（25-26高三下·辽宁沈阳·阶段检测）平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面． (2)在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【题型7 利用空间向量研究探索性问题】 【例7】（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式7-1】（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【变式7-2】（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，是的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 3．（2026高二上·河南鹤壁·专题练习）如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图，正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（   ） A．平面 B． C．二面角的余弦值为 D．点到面的距离为 二、多选题 9．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，平面ABCD，，，，，，，则（    ） A． B．平面ADE C．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 10．（25-26高二上·河南南阳·期末）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示．若，则（   ）    A．该石凳的表面积是 B．异面直线AC与所成的角为 C．直线与平面ABC所成角的余弦值是 D．点到平面ABC的距离是 11．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（    ） A． B．与所成角为30° C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角为 三、填空题 12．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为____________. 13．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为____________． 14．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    四、解答题 15．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）如图，四棱锥中，底面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在直三棱柱中，，，如图，建立空间直角坐标系． (1)求点B到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 18．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 19．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 用空间向量研究距离、夹角问题 【人教A版】 模块二 用空间向量研究距离问题 【知识点1 用空间向量研究空间距离】 1．距离问题 (1)点P到直线l的距离：如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形. 设，则向量在直线l上的投影向量， 在Rt△APQ中，由勾股定理，得， 则点P到直线l的距离为． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 【题型1 点到平面距离的向量求法】 【例1】（25-26高二上·陕西商洛·期末）在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解即可. 【解答过程】如图所示，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，得， 所以点C到平面的距离为， 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面， ，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离. 【解答过程】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：    由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 【变式1-2】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【解题思路】（1）利用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据点到面的向量法建立方程求解即可. 【解答过程】（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示： 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面， 所以以点为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由，则， 设，所以， 由，所以， 即，所以， 由， 设平面的一个法向量为：， 由，令，则，所以， 又， 所以点到平面的距离为： ， 又，解得：. 【变式1-3】（25-26高二上·江西赣州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式计算直线与平面所成角的正弦值，求解即可. （2）借助点到平面的距离公式，求解点到平面的距离即可. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 因为， 所以以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 可得，，，，由为棱的中点，得， 则，，. 设为平面的法向量，则，即， 令，则，，得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则，             所以， 所以直线与平面所成角的余弦值 . （2）向量，设平面的法向量，，即， 令，则，，得为平面的一个法向量， 则点到平面的距离为. 【题型2 平行平面距离的向量求法】 【例2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【解答过程】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 【变式2-2】（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【解答过程】（1）证明：在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【变式2-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【解答过程】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 【题型3 点到直线距离、异面直线距离的向量求法】 【例3】（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【解答过程】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线的方向向量， ， 点到直线的距离. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【解答过程】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【解答过程】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 【变式3-3】（25-26高二上·云南楚雄·阶段检测）如图，在长方体中，，，，求：    (1)点到直线的距离； (2)平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据条件求得，，再利用点线距的向量法，即可求解； （2）根据条件得到平面平面，从而将面面距转化成点面距，求出平面的一个法向量及，再利用点面距的向量法，即可求解. 【解答过程】（1）以点为坐标原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为，，，则，，， 所以，， 所以点到直线的距离为.    （2）由（1）知，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，得到， 取，得到，所以， 易知，面，面，所以面， 又，面，面，所以面， 又，面，所以平面平面， 所以平面与平面间的距离即为点到平面的距离， 又点到平面的距离为， 所以平面与平面间的距离为. 模块三 用空间向量研究空间角问题 【知识点2 用空间向量研究空间角】 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型4 向量法求异面直线所成的角】 【例4】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过条件证明平面 ，建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【解答过程】 设， 由知：，， 又，平面 ， 所以平面 ， 以为原点，为轴，过在平面 内作为轴，为轴建立空间直角坐标系， 又， 可得，，，，， 则， ， 设直线与直线所成角为， 则. 即与所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，并计算向量，再计算向量的数量积与模长，最后利用向量的点积公式计算异面直线所成角的余弦值即可. 【解答过程】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积与垂直的关系可证明； (2)直接结合（1）中的坐标系，利用向量夹角公式求解. 【解答过程】（1）证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为. 【变式4-3】（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）如图，正四棱锥，，，P为侧棱SD中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）连结交于点，连结，证明出平面，即可证得； （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用异面直线的向量求法，即可求解. 【解答过程】（1）证明：连结交于点，连结， 因为正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 因为正四棱锥，所以四边形是正方形， 所以，因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 因为， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 所以， 所以， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 【题型5 向量法求线面角】 【例5】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值. 【解答过程】因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．    因为，所以， 故． 设为平面的一个法向量， 则， 令，得． 设直线与平面，所成的角为， 则， 故选：A． 【变式5-1】（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面 平面.若是直线上的一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，可得，，所以建立空间直角坐标系，根据线面角可得，再结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为，，， 所以，即， 又平面平面，平面与平面相交于， 所以平面，又，平面， 所以，，又， 建立以为坐标原点，以，，为，，轴的空间直角坐标系，如图所示，    则，，，， 因为是直线上的一点，设， 所以，，， 设平面的法向量为， ，即，令，可得， 设与平面所成角为，则， 当时，， 令， 则， 当时，即，时，. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【解答过程】（1）证明：取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面； （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 【变式5-3】（25-26高二上·浙江·期末）已知四棱锥平面平面，． (1)证明：平面平面； (2)设关于平面的对称点为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）取中点分别为，证得四边形为平行四边形，得到，证得，结合，证得平面，即可证得平面平面． （2）过作且，以为原点，建立坐标系，求得，求得，得到，再求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】（1）证明：取中点分别为，，联结， 因为且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，可得， 又因为，所以， 因为，且，平面， 所以平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）过作且，则平面， 设， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为平面，平面，所以， 在直角中，由射影定理可得，即， 设，可得， 解得，所以， 又因为关于平面的对称点为，可得，则， 又由， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【题型6 向量法求二面角】 【例6】（2026高三上·安徽合肥·专题练习）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建系标点，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【解答过程】设为的中点，由正三棱柱的性质，，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．    则，，，，，， 可得，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 平面的法向量， 设平面与平面所成角为， 则， 可得，所以. 故选：C． 【变式6-1】（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点，点在平面内，，若平面，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出点坐标得到向量坐标，由空间向量的数量积求出平面法向量，由平面法向量通过空间向量的数量积求得面面角的余弦值. 【解答过程】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，. 设平面的法向量为， 则令，得. 取平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A. 【变式6-2】（2026·重庆·三模）在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解题思路】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【解答过程】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式6-3】（25-26高三下·辽宁沈阳·阶段检测）平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面． (2)在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii） 【解题思路】（1）利用线面垂直、面面垂直的判定，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）（i）利用线面平行的判定推理得证； （ii）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【解答过程】（1）证明：在平面四边形中，，，则， 在中，， 翻折后，，则，即， 又，平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）（i）证明：由分别为线段的中点，得， 而平面平面， 所以平面. （ii）在三棱锥中，，则， 即，由（1）知，而平面， 于是平面ABD，又，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 而， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 而平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 由，得，则，， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 【题型7 利用空间向量研究探索性问题】 【例7】（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在 【解题思路】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【解答过程】（1）证明：因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）如图，过点作 ， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. 【变式7-1】（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在点，，理由见解析 【解题思路】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【解答过程】（1）证明：取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）存在点，，理由如下： 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 【变式7-2】（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，是的中点． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)在线段上存在点，或，理由见解析 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）由直线两两垂直建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值. （3）设，求出和平面的法向量，利用线面角的夹角公式建立方程求解. 【解答过程】（1）证明：由，M是的中点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. （2）在菱形中，由，得是正三角形，则， 由（1）知平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，令，得，而平面的法向量， ，显然二面角的大小为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）在线段上存在点，或，理由如下： 假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， ，设， 则，而， 设平面的法向量，则， 令，得， 因此，解得或， 所以在线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，且或. 【变式7-3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）．将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在， 【解题思路】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【解答过程】（1）证明：在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面； （2）由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； （3）设，则，,, 得，， 设平面的一个法向量为， 由于与平面所成角的正切值为， CQ与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的正切值为． 模块四 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出、及，再根据空间异面直线夹角的余弦公式，即可求解. 【解答过程】由题意，可得，， ， 设直线所成的夹角为，则， 所以直线所成角的余弦值为. 故选：D. 2．（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的数量积计算即可. 【解答过程】因为点，，， 所以，所以. 所以点到直线的距离为. 故选：A. 3．（2026高二上·河南鹤壁·专题练习）如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正三棱柱的棱长均为， 可得， 所以，可得， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【解答过程】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 故选：D. 5．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知得出平面的一个法向量，再得出相交于直线的两个平面的法向量，由这两个法向量求出直线的方向向量，由平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值． 【解答过程】由题意知平面的一个法向量是， 平面与的法向量分别是， 设直线的一个方向向量为， 则，所以，取，得， 所以， 故直线l与平面所成角的正弦值为. 故选：A． 6．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【解答过程】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 故选：B. 7．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，则与平面所成角的正弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先以点为原点建立空间直角坐标系，代入线面角的向量公式求最值. 【解答过程】因为平面，且平面， 所以 ，且，，平面， 所以平面， 以为原点，为x轴，AD为y轴，过点A作垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则，，，，， 所以，，设为平面的法向量， 则即取，可得，， 所以为平面的一个法向量. 设，，则， 设与平面所成的角为，则==， 令，则有， 当，即时，，此时 当，由存在，得， 解得，当时，，此时，即的最大值为， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 故选：B. 8．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图，正方体的棱长为1，为棱的中点，点在面对角线上运动（点异于点），以下说法错误的是（   ） A．平面 B． C．二面角的余弦值为 D．点到面的距离为 【答案】C 【解题思路】根据中位线的性质，可证，根据线面平行的判定定理，即可判断A的正误；根据线面垂直的性质定理，可证，同理可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，进而判断B的正误；如图建系，求得各点坐标，根据二面角的向量求法，判断C的正误；分析可得点P到平面的距离不变，不妨令P为的中点，可得点P坐标，根据点到平面距离的向量求法，即可判断D的正误. 【解答过程】选项A：连接，交于点O，连接，如图所示， 因为分别为，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故A正确； 选项B：连接，因为点在面对角线上运动， 所以平面， 连接，因为正方体， 所以，平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，同理可证， 又平面， 所以平面， 又平面，所以，故B正确； 选项C：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 因为平面ABCD， 所以为平面ABCD的法向量，即为平面ABC的法向量， 所以， 由图象得，二面角为钝二面角， 所以二面角的余弦值为，故C错误； 选项D：因为正方体， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为点在面对角线上运动， 所以点P到平面的距离不变，不妨令P为的中点，即， 所以， 所以点到面的距离，故D正确； 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，平面ABCD，，，，，，，则（    ） A． B．平面ADE C．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 【答案】BC 【解题思路】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【解答过程】对于A，根据题意可知，平面ABCD， 不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 对于B，依题意，是平面的一个法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 对于C，设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，设直线与平面所成角为，而， 则，故D错误. 故选：BC. 10．（25-26高二上·河南南阳·期末）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体．如图1，这是某广场放置的石凳，它是由一个正方体截去八个一样的四面体得到的，其直观图如图2所示．若，则（   ）    A．该石凳的表面积是 B．异面直线AC与所成的角为 C．直线与平面ABC所成角的余弦值是 D．点到平面ABC的距离是 【答案】ACD 【解题思路】由题意可得该石凳是由6个边长为的正方形和8个边长为的等边三角形围成，结合面积公式，可得判定A；将石凳的直观图补全成正方体，建立坐标系，由异面直线所成角的求法可判断B；由线面角的向量公式可判断C；由点到平面的距离公式可判断D. 【解答过程】对于A，由题意可得该石凳是由6个边长为的正方形和8个边长为的等边三角形围成， 所以其表面积是，A正确． 对于B，将石凳的直观图补全成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则 ， 所以，． 因为0，所以， 所以异面直线AC与EF所成的角为，B错误． 对于C，设平面ABC的法向量为， 则令，得． 设直线EF与平面ABC所成的角为， 则 ， 故，C正确． 对于D，因为平面ABC的一个法向量为，且， 所以点到平面ABC的距离是，D正确． 故选：ACD.    11．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（    ） A． B．与所成角为30° C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角为 【答案】ACD 【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间角的向量求法求解判断BD；利用空间距离的向量求法求解判断D. 【解答过程】取中点，连接，由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 因此平面，在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，设和所成角为，， 因此，B错误； 对于C，，设平面的法向量，则， 取，得，，点到平面的距离为，C正确； 对于D，令直线与平面所成角为，则，因此，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为____________. 【答案】 【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】 由平面及正方形，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由，得，线段中点， 则，， 设异面直线与所成角为，即， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为____________． 【答案】 【解题思路】根据题意画出图形，分别以为轴作出空间直角坐标系，写出相应的坐标，求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量求法求解即得.. 【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4，，， 则， 在平面内，直线方程为，直线方程为，联立解得， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 于是点M到平面的距离. 故答案为：. 14．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    【答案】 【解题思路】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，易得平面的法向量为，求出平面的法向量为，使用向量夹角公式即可求解. 【解答过程】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：    则有， 且有， 易得为平面的法向量， 设平面的法向量为，， 则有，令，则， 则， 即平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为， 故答案为：. 四、解答题 15．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）如图，四棱锥中，底面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）利用勾股定理逆定理得到，进而得到，然后利用线面平行的判定定理证得； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【解答过程】（1）证明：在中，， 由余弦定理得， 所以，故， 所以为直角三角形，且， 又因为面，平面，所以 又因为，且，平面， 所以面，平面， 所以， 又因为、、平面，所以， 又因为平面平面，所以平面； （2）因为平面，，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则 ， 设为面的一个法向量， ，故， 令，解得， 记与面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在直三棱柱中，，，如图，建立空间直角坐标系． (1)求点B到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，由点到平面的距离公式即可求解； （2）由空间向量的线面夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）如图，建立空间直角坐标系， ， 取平面内两个向量：，， 设平面的法向量为， 则 令，得， 即，又， 则点B到平面的距离； （2）设直线与平面所成角为，， 则， 且，， 则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 17．（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【解答过程】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 18．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）因为平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，令其与垂直，即可求得的值； （2）根据线面角的向量求法，将与平面所成角的正弦表示成的函数，从而求得其取值范围； （3）根据平面与平面夹角的向量求法，列出相应的方程，求解可得的值. 【解答过程】（1）在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则， 即. 令，得，，所以. 由，得， 由，得， 所以， 因为平面，所以， 所以， 解得. （2）因为，所以， 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，， 所以. 设与平面所成的角为，则 . 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为. （3）由（1）知，所以. 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即， 解得. 19．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在， 【解题思路】（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出； （3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【解答过程】（1）证明：为等腰梯形，，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，平面平面； （2），， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， ，故两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，， ，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则. （3）设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $