1.5二次函数的应用（1）同步训练 2026-2027学年浙教版数学 九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数面积最值问题，通过基础巩固-情境应用-能力提升-综合实践四层递进设计，实现从单一知识点到实际问题解决的完整巩固路径，培养数学眼光与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识点一|简单图形面积最值|直角三角形、菱形面积计算，直接应用二次函数求最值| |知识点二|实际情景图形面积|正方形截取、矩形养鸡场（含参数讨论），初步建立实际问题模型| |能力提升|复杂几何与动态问题|矩形花园修改、正三角形折纸盒、动点重合面积，综合几何性质与函数思想| |学以致用|生活实际综合应用|社区健身广场设计，融合面积计算、最值分析与投资优化，发展应用意识|

数学 · 九年级上 1.5 二次函数的应用(1)　同步训练 知识点一：简单图形面积的最值问题 1．(2025·西湖月考)若一个直角三角形两直角边之和为 20 cm，则这个直角三角形的最大面积是（ ） A. 25 cm2 B. 50 cm2 C. 75 cm2 D. 100 cm2 2．已知菱形的两条对角线的和为 20。设其中的一条长为 x，菱形的面积为 S，则 S 关于 x 的函数表达式为＿＿＿＿＿＿，自变量 x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿，菱形面积的最大值为＿＿＿＿＿＿。 知识点二：实际情景中图形面积的最值问题 3．如图，四边形 ABCD 是一块边长为 2 m 的正方形铁板，在边 AB 上选取一点 M，分别以 AM 和 BM 为边截取两块相邻的正方形板材，当 AM 的长 x 为＿＿＿＿＿＿m 时，截取的板材面积最小。 4．如图，用长为 24 米的篱笆靠一道长为 a 米的墙围一个矩形养鸡场(靠墙一面不用篱笆)。 (1)求下面情形下养鸡场的面积的最大值。①a=15；②a=10。 (2)若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为 67.5 平方米，求 a 的值。 能力提升 5．(2025·湖州月考)如图是一个长 20 m，宽 16 m 的矩形花园，现要将它的长缩短 x(m)，宽增加 x(m)，则修改后花园的最大面积为（ ） A. 320 m2 B. 322 m2 C. 323 m2 D. 324 m2 6．如图，有一块边长为 6 cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ） A. cm2 B. C. D. 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4。动点 D 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，当点 D 与点 B 重合时，整个运动停止。以 AD 为一边向上作正方形 ADEF，若设运动时间为 x 秒(0<x≤4)，正方形 ADEF 与△ABC 重合部分的面积为 y，则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） 图A 图B 图C 图D 8．如图是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为 6 m 的铝合金框条制作该窗框。设窗框的高为 x(m)，窗户的透光面积为 y(m2)(铝合金框条的宽度不计)。 (1)求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围。 (2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？ 学以致用 9．某社区决定把一块长为 50 m，宽为 30 m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，涂色区域是绿化区(四块绿化区是大小、形状都相同的矩形)，空白区域是活动区，且四周的 4 个出口宽度相同，其宽度不小于 14 m，不大于 26 m，设绿化区较长边为 x(m)，活动区的面积为 y(m2)。为了知道绿化区宽度的取值范围，小书根据出口宽度不小于 14 m，算出 x≤18。 (1)求 y 与 x 的函数表达式并直接写出自变量 x 的取值范围。 (2)求活动区的最大面积。 (3)预计活动区造价为 50 元/m2，绿化区造价为 40 元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过 72 000 元，求投资费用最少时活动区的出口宽度。 参考答案 9．B 9．S=−()x2+10x；0<x<20；50 9．1 9．(1)设养鸡场平行于墙壁的一边长为 x 米，养鸡场的面积为 S 平方米。由题意，得 S=当 x=12 时，养鸡场的最大面积 S 为 72 平方米。②因为 a=10，所以 0<x≤10。所以当 x=10 时，养鸡场的最大面积 S 为 70 平方米。(2)因为 67.5<72，所以 a<12。所以当 x=a 时，S最大=67.5。所以 9．D 9．C 9．B 9．(1)由题意，得 AB=EF=CD=x(m)，所以 AD=()(6−3x)m。所以 y=()x(6−3x)=−()x2+3x。所以 y 关于 x 的函数表达式为 y=−()x2+3x。因为 x>0，6−3x>0，所以自变量 x 的取值范围是 0<x<2。(2)由题(1)，得 y=−()x2+3x=−()(x−1)2+。因为 −<0，0<x<2，所以当 x=1 时，y 有最大值，最大值是 。此时 ()(6−3x)=，即 AD= m。所以当 AB=1 m，AD= m 时，窗户的透光面积达到最大，最大面积是 m2。 9．(1)根据题意，绿化区的宽为 [30−(50−2x)]÷2=(x−10)m，所以 y=50×30−4x(x−10)=−4x2+40x+1 500。所以函数表达式为 y=−4x2+40x+1 500(12≤x≤18)。(2)y=−4x2+40x+1 500=−4(x−5)2+1 600。因为 a=−4<0，抛物线的开口向下，当 x≥5 时，y 随 x 的增大而减小，所以当 x=12 时，y最大=1 404。答：活动区的最大面积为 1 404 m2。(3)设投资费用为 w 元。由题意，得 w=50(−4x2+40x+1 500)+40×4x(x−10)=−40(x−5)2+76 000。当 w=72 000 时，解得 x1=−5(不符合题意，舍去)，x2=15。因为 a=−40<0，所以当 x≥15 时，w≤72 000。所以 15≤x≤18。所以当 x=18 时，投资费用最少，此时出口宽度为 50−2x=50−2×18=14(m)。答：投资费用最少时活动区的出口宽度为 14 m。 学科网（北京）股份有限公司 $