2026-2027学年浙教版数学八年级上册期中复习(A)（单元评价九）

**基本信息** 初中数学期中复习卷，聚焦几何核心内容，融合亚运会图标等时代情境与秋千问题等实际应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查轴对称、全等三角形等知识，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、直角三角形判定、三角形全等|第1题结合亚运会图标，体现时代性；第3题通过学生对话辨析三角形唯一性，培养推理意识| |填空题|6/18|等腰三角形周长、直角三角形性质、实际应用|第14题秋千问题，考查勾股定理应用，发展应用意识；第15题最短路径，渗透空间观念| |解答题|8/72|尺规作图、全等证明、动态几何综合|第24题动态动点探究，融合垂直平分线与等腰三角形性质，培养创新意识；第18题等边三角形旋转全等，提升推理能力|

期中复习(A) 单元评价(九) 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________ 一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分) 1. 第19届亚运会是一场规模盛大的体育盛事,下列体育图标是轴对称图形的是 2. 下列各组线段a,b,c为边的三角形为直角三角形的是 A.a=2,b=3,c=4 B.a=1,b=,c=2 C.a=4,b=5,c=6 D.a=2,b=2,c= 3. 数学课上,老师问:“哪些条件能画出唯一的△ABC?”小杭说:“当AB=3,BC=4,CA=5时。”小州说:“当∠A=80°,∠B=60°,∠C=90°时。”对于两位同学的说法 A.小杭和小州都对 B.小杭对小州错 C.小杭错,小州对 D.小杭和小州都错 4. 如图,点E在AC上,△ABC≌△DAE,若BC=3,DE=7,则CE的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 5. 下列命题的逆命题为假命题的是 A.等腰三角形的两个底角相等 B.内错角相等,两直线平行 C.若a=b,则|a|=|b| D.等边三角形的三个角都是60° 6. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC<BC,分别以点A,B为圆心,大于½AB的长为半径画弧,两弧交于D,E两点,直线DE交BC于点F,连结AF。以点A为圆心,AF长为半径画弧,交BC的延长线于点H,连结AH。若BC=4,则△AFH的周长为 A.8 B.6 C.4 D.15/2 7. 下列命题:①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形;②三边长为,,的三角形为直角三角形;③等腰三角形的两条边长为2,4,则等腰三角形的周长为10或8;④在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。其中正确的有 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8. 如图,在△ABC中,D是BC上的一个点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,若EF=3,则AC的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 9. 如图,在△ABC中,分别以A,B为圆心,大于½AB长为半径画弧,两弧交于点M,N,作直线MN交∠ACB的平分线于点D,过点D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E。若CB=5,BE=3,则AC的长为 A.8 B.9 C.10 D.11 10. 如图,△AOB≌△ADC,点B和点C是对应顶点,∠O=∠D=90°,记∠OAD=α,∠ABO=β,当BC∥OA时,α与β之间的数量关系为 A.α=β B.α=2β C.α+β=90° D.α+2β=180° 二、填空题(本大题有6小题,每小题3分,共18分) 11. 将命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”改写成“如果……那么……”的形式:______。 12. 已知等腰三角形的两边长为4和6,则它的周长为______。 13. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点。若∠A=35°,则∠BDC=______°。 14. 如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地垂直高度DE=0.5 m,将它往前推送2 m(水平距离BC=2 m)时,秋千踏板离地的垂直高度BF=1.5 m,秋千的绳索始终拉得很直,则绳索AD长为______m。 15. 如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,BE平分∠DBC,N,M分别是射线BC,BE上的动点。若BD=8,则CM+MN的最小值为______。 16. 如图,在Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,将△ACD沿中线CD翻折,点A落在点A′处,连结A′B。 (1)若∠A=26°,则∠ABA′的度数为______。 (2)若BC=6,AC=8,则A′B的长为______。 三、解答题(本大题有8小题,共72分) 17. (8分)如图,两个班的学生分别在M,N两处参加植树劳动,现要在道路AB,AC的交叉区域内设一个茶水供应点P,使P到两条道路的距离相等,且使PM=PN,请你通过尺规作图找出这一点P(不写作法,保留作图痕迹)。 18. (8分)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BP=BQ,连结CQ。 (1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并说明理由。 (2)若PA=3,PB=4,PC=5,连结PQ,判断△PQC的形状,并说明理由。 19. (8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE=CF,BD=CE。 (1)求证:∠BDE=∠CEF。 (2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数。 20. (8分)如图,已知在△ABC中,AB=AC,BC=6,AM平分∠BAC交BC于点M,D为AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=½BC。 (1)求ME的长。 (2)求证:△DMC是等腰三角形。 21. (8分)如图,已知在等边三角形ABC中,D,E分别在BC,AC边上运动,点D,E始终不与等边三角形ABC的顶点重合,且BD=CE。连结AD,BE,AD与BE交于点F。 (1)写出在运动过程中始终全等的三角形,并选择其中一组证明。 (2)运动过程中,∠BFD的度数是否会改变?如果改变,请说明理由;如果不变,求出∠BFD的度数。 22. (10分)如图,已知点A在线段DE上,∠CDA=∠AEB=90°,且CD=AE,AD=BE。 (1)求证:AC=BA。 (2)△ABC是哪种特殊三角形?请说明理由。 (3)如果AM⊥BC,那么AM=½BC吗?请说明理由。 23. (10分)如图,在△CBD中,CD=BD,CD⊥BD,BE平分∠CBA交CD于点F,CE⊥BE,垂足为E,CE与BD的延长线交于点A。 (1)求证:BF=AC。 (2)求证:BE是AC的中垂线。 (3)若AD=2,求BD的长。 24. (12分)如图1,△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC上的动点,且AD=CE。 (1)当点D在AC的垂直平分线上时,连结CD,DE。 ①求证:△CDE是等腰三角形。 ②求证:∠ADE=∠BCD。 (2)如图2,在(1)的条件下过点D作DF⊥BC,垂足为F,求证:BC-DE=2BF。 (3)如图3,连结CD,BE,交点为G,若S△ABC=a,直接写出四边形ADGE面积的最大值(结果用含a的式子表示)。 参 考 答 案 一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分) 1. C 2. B 3. B 4. C 5. C 6. A 7. C 8. D 9. D 10. B 解析:因为△AOB≌△ADC,所以AB=AC,∠BAO=∠CAD,所以∠BAC=∠OAD=α,在△ABC中,∠ABC=½(180°-α),因为BC∥OA,所以∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°,所以β+½(180°-α)=90°,整理得α=2β。故选B。 二、填空题(本大题有6小题,每小题3分,共18分) 11. 如果两个数互为相反数,那么这两个数的绝对值相等 12. 14或16 13. 70 14. 2.5 15. 4 16. (1)52° 解析:因为D为斜边AB的中点,所以AD=BD,由折叠可得∠ADC=∠A′DC,AD=A′D,所以BD=A′D,即△A′BD是等腰三角形,因为在Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,所以AD=CD,所以∠CDA=∠A=26°,所以∠BDC=52°,∠ADC=128°,所以∠A′DC=128°,所以∠A′DB=128°-52°=76°,所以∠A′BD=(180°-76°)÷2=52°。故答案为52°。 (2)2.8 解析:如图,连结AA′,过点D作DE⊥AB于点E,过点B作BF⊥CD于点F,在Rt△ABC中,AB==10,由折叠得DA=DA′,AC=A′C,所以CD垂直平分AA′,因为AD=A′D=BD=5,所以∠DAA′=∠DA′A,∠DBA′=∠DA′B, 又因为∠DAA′+∠AA′D+∠DA′B+∠DBA′=180°,所以∠AA′B=90°,所以CD∥A′B,所以DE=BF,因为CD是△ABC的中线,所以S△CDB=½S△ABC,即½CD·BF=½·½AC·BC,所以BF=(½×½×6×8)÷(½×5)=4.8, 所以在Rt△BDE中,BE==1.4,因为A′D=BD,所以A′B=2BE=2.8,故答案为2.8。 三、解答题(本大题有8小题,共72分) 17. 略 18. 解:(1)AP=CQ。理由:因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC,∠ABC=60°。 因为∠ABP+∠CBP=60°,∠CBQ+∠CBP=60°,所以∠ABP=∠CBQ。 在△ABP和△CBQ中,AB=CB,∠ABP=∠CBQ,BP=BQ,所以△ABP≌△CBQ(SAS),所以AP=CQ。 (2)△PQC是直角三角形。理由:因为∠PBQ=60°,且BP=BQ,所以△BPQ是等边三角形。所以PQ=PB=4。 由(1)知,CQ=PA=3。 因为CQ²+PQ²=3²+4²=5²=PC²,所以△PQC是直角三角形。 19. (1)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,即∠DBE=∠ECF,在△DBE和△ECF中,BE=CF,∠DBE=∠ECF,BD=CE,所以△DBE≌△ECF(SAS),所以∠BDE=∠CEF。 (2)解:由(1)知,△DBE≌△ECF,如图,所以∠1=∠3,∠2=∠4, 因为∠A+∠B+∠C=180°,∠B=∠C,所以∠B=½(180°-40°)=70°, 所以∠1+∠2=110°,所以∠3+∠2=110°,所以∠DEF=70°。 20. (1)解:因为AB=AC,AM平分∠BAC,所以BM=CM=½BC=CE=3,所以ME=MC+CE=3+3=6。 (2)证明:因为AB=AC,AM平分∠BAC,所以AM⊥BC,因为D为AC的中点,所以DM=DC,所以△DMC是等腰三角形。 21. 解:(1)△ACD≌△BAE,△ABD≌△BCE。 证明:因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC=AC,∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°,因为BD=CE,所以CD=AE。 在△ACD和△BAE中,AC=BA,∠ACD=∠BAE=60°,CD=AE,所以△ACD≌△BAE(SAS)。 在△ABD和△BCE中,AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°,BD=CE,所以△ABD≌△BCE(SAS)。 (2)∠BFD的度数不变。 因为△ABD≌△BCE,所以∠BAD=∠CBE, 所以∠BFD=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°,所以∠BFD的度数不变,∠BFD=60°。 22. (1)证明:在△ACD和△BAE中,CD=AE,∠CDA=∠AEB=90°,AD=BE,所以△ACD≌△BAE(SAS),所以AC=BA。 (2)解:△ABC是等腰直角三角形。理由如下:由(1)知△ACD≌△BAE,所以AC=BA,∠CAD=∠ABE, 所以∠BAC=180°-∠CAD-∠BAE=180°-∠ABE-∠BAE=180°-90°=90°。所以△ABC为等腰直角三角形。 (3)解:AM=½BC。理由如下:由(2)知△ABC为等腰直角三角形,且AM⊥BC,所以BM=CM,所以AM=½BC。 23. (1)证明:因为CD⊥AB,BE⊥AC,所以∠BDF=∠CDA=∠AEB=90°,所以∠DBF+∠A=90°,∠DCA+∠A=90°,所以∠DBF=∠DCA,因为BD=CD,所以△BDF≌△CDA(ASA),所以BF=AC。 (2)证明:因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE,因为∠BEA=∠BEC=90°,所以∠A+∠ABE=90°,∠BCA+∠CBE=90°,所以∠A=∠BCA,所以BC=BA,因为BE⊥AC,所以CE=EA,所以BE是AC的中垂线。 (3)解:如图,连结AF。因为△BDF≌△CDA,所以AD=DF=2,AF=,因为BE垂直平分AC,所以CF=AF=,所以BD=CD=2+。 24. (1)证明:①因为点D在AC的垂直平分线上,所以AD=CD。 因为AD=CE,所以CD=CE。所以△CDE是等腰三角形。 ②设∠A=x°,因为AD=CD,所以∠DCA=∠A=x°, 因为AB=AC,CD=CE,所以∠B=∠ACB=((180-x)/2)°,∠CDE=∠CED=((180-x)/2)°。 所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=(90-3x/2)°, 因为∠CED为△ADE的外角,所以∠CED=∠A+∠ADE, 所以∠ADE=∠CED-∠A=(90-3x/2)°,所以∠ADE=∠BCD。 (2)证明:如图,在BC上取点H,使得DH=BD,因为BD=DH,DF⊥BC, 所以BF=FH=½BH,∠DHB=∠B=((180-x)/2)°,即BH=2BF。 由(1)可得∠CED=∠B,所以∠CED=∠DHB,所以∠DHC=∠DEA。 因为AB=AC,AD=CE,所以AB-AD=AC-CE,即BD=AE,所以AE=DH,又知∠ADE=∠BCD,所以△ADE≌△DCH(AAS)。所以DE=CH。 所以BC-CH=BC-DE=2BF。 (3)1/3 a。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $