专题25.2 降次——解一元二次方程（15大题型）（小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以“降次”为主线，构建“模块基础-微专题整合-压轴综合”三阶体系，系统覆盖解一元二次方程全方法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|典例+3变式|“化p型→开平方→解一次方程”三步法|从平方根意义到降次思想的初步应用| |配方法|典例+3变式|“移项-化1-配方-开方-求解”五步法|完全平方公式到方程转化的推理过程| |公式法|典例+3变式|“定a,b,c→算Δ→代公式”程序化步骤|配方法一般化推导求根公式的逻辑链| |根与系数关系|典例+3变式|“韦达定理求代数式值/参数”应用技巧|从求根公式推导到根的性质拓展|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题25.2 降次——解一元二次方程》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 可化为 模块9根据根的判别式求参数的值或取值范围 模块2 可化为 模块10 运用根与系数的关系计算 模块3 配方 模块11 运用根与系数的关系求参数的值 模块4 用配方法解方程 微专题1换元法解方程 模块5 判断根的情况 微专题2配方法的应用 模块6用公式法解方程 压轴1 根的判别式与根与系数的关系的综合运用 模块7用因式分解法解方程 压轴2 方程的解和根与系数的关系的综合求值 模块8 用适当方法解一元二次方程 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 模块通关·举一反三 【模块一】可化为 【典例1】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【变式1-1】一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【变式1-2】方程的解为(　　) A． B． C． D． 【变式1-3】若2是方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别是（　　） A．4， B．2， C．， D．， 【模块二】 可化为 【典例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程的两边同时开平方， 得________， 即________或________， 所以________， ________． 【变式2-1】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】关于x的方程的解是（m，h，k均为常数，），则方程的解是 【模块三】 配方 【典例3】（25-26九年级上·海南·月考）配方：______=；． 【变式3-1】下列配方中，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】用配方法将二次三项式变形的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【模块四】用配方法解方程 【典例4】（25-26九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 【变式4-1】将方程通过配方转化为的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】用配方法解方程：． 【变式4-3】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【模块五】判断根的情况 【典例5】（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【变式5-1】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．以上全对 【变式5-2】不解方程，判断关于x的方程的根的情况． 【变式5-3】已知关于x的方程． (1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为3，求的值． 【模块六】 用公式法解方程 【典例6】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【变式6-1】关于的一元二次方程，当时，方程的两个根是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】用公式法解方程 【变式6-3】用公式法解方程：． 【模块七】 用因式分解法解方程 【典例7】（25-26九年级上·吉林白城·月考）用因式分解方法解方程：． 【变式7-1】方程的根为（    ） A．5， B．1， C．0 D．0， 【变式7-2】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【模块八】 用适当方法解一元二次方程 【典例8】用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【变式8-1】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式8-2】解方程： (1)； (2)； (3)． 【变式8-3】解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【模块九】根据根的判别式求参数的值或取值范围 【典例9】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【变式9-1】关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式9-2】若关于的方程有实数根，是实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式9-3】已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)写出m的最大非正整数值，并求出此时方程的根． 【模块十】 运用根与系数的关系计算 【典例10】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 【变式10-1】若a，b是方程的两个根，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式10-2】已知一元二次方程的两根为，则的值是（    ） A． B．3 C． D．6 【变式10-3】一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)，； (2)； (3)； (4)． 【模块十一】运用根与系数的关系求参数的值 【典例11】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的两个实数根．若，求（    ） A．3 B． C．4 D．0 【变式11-1】已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则的值为 ． 【变式11-2】．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若满足，求的值． (3)若都是符号相同的整数，则整数______________． 【变式11-3】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值为 ． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 换元法解方程 【典例12】若实数x、y满足，则的值是（    ） A．或1 B．2 C．2或 D．1 【变式12-1】若，则的值是（    ） A． B．1 C．1或 D．1或6 【变式12-2】若，满足方程，则 ． 【变式12-3】若，求的值为 ． 【微专题二】配方法的应用 【典例13】（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【变式13-1】对于任意的实数，代数式的值是一个（    ） A．非负数 B．正数 C．负数 D．整数 【变式13-2】代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【变式13-3】阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 压轴突破·素养提升 【压轴一】 根的判别式与根与系数的关系的综合运用 【典例14】（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【变式14-1】已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 【变式14-2】关于x的方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)设、是方程的两根，且．求m的值． 【变式14-3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为，求另一个实数根； (2)若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值． 【压轴二】 方程的解和根与系数的关系的综合求值 【典例15】（25-26九年级上·广西南宁·月考）已知，是方程的两个根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式15-1】已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 【变式15-2】若，且有，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式15-3】阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料得m＋n＝1，，所以． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，，则：______，______． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题25.2 降次——解一元二次方程》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 可化为 模块9根据根的判别式求参数的值或取值范围 模块2 可化为 模块10 运用根与系数的关系计算 模块3 配方 模块11 运用根与系数的关系求参数的值 模块4 用配方法解方程 微专题1换元法解方程 模块5 判断根的情况 微专题2配方法的应用 模块6用公式法解方程 压轴1 根的判别式与根与系数的关系的综合运用 模块7用因式分解法解方程 压轴2 方程的解和根与系数的关系的综合求值 模块8 用适当方法解一元二次方程 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 知识点2 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 知识点3 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 知识点4 公式法解一元二次方程 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 知识点5 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 知识点6 一元二次方程根与系数的关系 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 模块通关·举一反三 【模块一】可化为 【典例1】（25-26九年级上·山西忻州·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 【变式1-1】一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，直接开方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，； 故选C． 【变式1-2】方程的解为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 二次项系数化为1得：， 开方得：，即． 故选D． 【点睛】本题考查直接开方法，掌握直接开方法是解题的关键． 【变式1-3】若2是方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别是（　　） A．4， B．2， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，把代入即可得出，再根据直接开平方法即可得出另一个根． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得， 则， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 【模块二】 可化为 【典例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）将方程的两边同时开平方， 得________， 即________或________， 所以________， ________． 【答案】 ±3 3 －3 2 －1 【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可 【详解】∵ ∴±3 ∴3，-3 ∴2，-1 【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键 【变式2-1】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 根据直接开平方法解一元二次方程，然后判断即可． 【详解】解：， ∴， 解得，， 故选：D． 【变式2-2】下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， 解得，，， 故选：C 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有：；（同号且）；；同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解． 【变式2-3】关于x的方程的解是（m，h，k均为常数，），则方程的解是 【答案】 【分析】设，则变形为，结合x的方程的解是，得到解是， 故，求解即可． 【详解】设，则变形为， ∵ x的方程的解是， ∴解是， 故， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的根，正确理解根的定义是解题的关键． 【模块三】 配方 【典例3】（25-26九年级上·海南·月考）配方：______=；． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式． 根据完全平方公式进行配方即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，，． 【变式3-1】下列配方中，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用配方法，通过式子变形把不是完全平方式的多项式变成完全平方式与一个数的和的形式． 【详解】解： ， 故A错误，不合题意； ． 故B错误，不合题意； ． 故C正确，符合题意； 故D错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查配方法，熟悉完全平方式的式子特点，加上一个数然后再减去一个相同的数式子不变是配方的关键． 【变式3-2】用配方法将二次三项式变形的结果是（　　） A． B． C． D． 【来源】三 配方法（第2课时） 【答案】B 【分析】二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【变式3-3】已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的即可求出答案． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 【模块四】用配方法解方程 【典例4】（25-26九年级上·山西朔州·月考）佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法解，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． （1）观察解答过程可得答案； （2）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； （2）解：移项得：， 配方得：，即， 开平方，得． 解得，． 【变式4-1】将方程通过配方转化为的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据配方法将方程配成完全平方公式即可求解． 【详解】解： 等式两边同时除以得， 移项得， 等式两边同时加上得，，整理得，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查配方法的运用，掌握配方法（找到一次项系数，加上一次项系数一半的平方）是解题的关键． 【变式4-2】用配方法解方程：． 【答案】 【分析】根据完全平方公式处理，将原式化为求解． 【详解】解： ， ∴ ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程配方法求解，掌握配方法是解题的关键． 【变式4-3】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)无实数根 (3) (4) 【分析】（1）运用完全平方公式：移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，左右开平方，化为一次方程求解； （2）移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，等式右边小于0，故方程无实数根； （3）运用完全平方公式：移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，左右开平方，化为一次方程求解； （4）运用完全平方公式：移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，左右开平方，化为一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴或， ∴． （2）解：， ， ， ∴方程无实数根． （3）解：， ， ， ， ∴或． ∴． （4）解：， ， ， ， ∴或． ∴ 【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，理解完全平方公式是解题的关键． 【模块五】判断根的情况 【典例5】（25-26九年级下·山东滨州·期中）关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式5-1】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．以上全对 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，先求出一元二次方程的判别式，即可确定根的情况，得到答案． 【详解】解：， 即， 方程有两个相等的实数根， 故选：C． 【变式5-2】不解方程，判断关于x的方程的根的情况． 【答案】见解析 【分析】利用分类讨论：（1）若，由，根据判断方程根的情况；（2）若，方程为，方程有1个实数根． 【详解】解：（1）若，由， 当时，，方程有两个相等的实数根； 当且时，，方程有两个不相等的实数根； 当时，，没有实数根； （2）若，方程为，有一个实数根． 【点睛】本题主要考查了方程解的情况，关键是分类讨论思想以及根的判别式的应用． 【变式5-3】已知关于x的方程． (1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为3，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值； （1）根据一元二次方程根的判别式，进行证明即可； （2）根据方程有一个根为3，得出， 然后整体代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根为3， ∴， 整理，得：， ∴ ． 【模块六】 用公式法解方程 【典例6】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 【变式6-1】关于的一元二次方程，当时，方程的两个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用公式法解一元二次方程即可得． 【详解】的根的判别式， 方程有两个不相等的实数根 由公式法得： 即 故答案为：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，掌握求根公式是解题关键． 【变式6-2】用公式法解方程 【答案】， 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 ，， ∴ ∴ 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【变式6-3】用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，先把方程整理成一般式，确定的值，算出的值，代入求根公式即可求解，掌握公式法是解题的关键． 【详解】解：方程整理得，， ，，， ∴， ∴， ∴，． 【模块七】 用因式分解法解方程 【典例7】（25-26九年级上·吉林白城·月考）用因式分解方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 解：， ∴或， ∴，． 【变式7-1】方程的根为（    ） A．5， B．1， C．0 D．0， 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程．将方程变形为，运用因式分解法求解即可． 【详解】， 变形，得， 因式分解，得， ∴或， 解得：， 即方程的根为1和． 故选：B 【变式7-2】方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再根据因式分解法，可得答案． 【详解】解：， 移项得， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式7-3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）方程分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）整理后，利用配方法，求出方程的解即可； （4）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， 移项得， ∴， ∴或， 解得：，； （3）解：， 整理得， 配方得：，即， ， 解得：，； （4）解：， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：，． 【模块八】 用适当方法解一元二次方程 【典例8】用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择合适的方法是解题的关键． （1）采用配方法求解； （2）采用公式法求解； （3）采用因式分解法求解； （4）将左边展开整理后，采用配方法求解． 【详解】（1）， 移项，得， 配方，得， ∴， 开方，得， ∴，； （2） ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； （3）， 移项，得， 因式分解，得， ∴，， 解得，； （4） 整理，得， 配方，得， 即， 开方，得， ∴，． 【变式8-1】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】()方程利用直接开平方法求解即可； ()方程利用因式分解法求解即可； ()方程利用因式分解法求解即可； ()方程利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和直接开平方法是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）∵， ∴， ∴ 或， ∴，； （4）∵， ∴， ∴， ∴ 或， ∴，． 【变式8-2】解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了直接开平方法、因式分解法、配方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接开平方法解一元二次方程即可 （2）因式分解法解一元二次方程即可 （3）配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，； （3）解：， ， ， ∴， 解得，． 【变式8-3】解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（）利用直接开平方法求解即可； （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法法求解即可； （）利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】（1）解：， ， ∴，； （2）解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）解：， ， 或 ∴，； （4）解： ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【模块九】根据根的判别式求参数的值或取值范围 【典例9】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题需要同时满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个实数根要求根的判别式，求解两个不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 又∵方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， 综上，的取值范围是且． 【变式9-1】关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：时为一元一次方程，有实根；时为一元二次方程，根据判别式的意义即可解答． 【详解】解：依题意得： 时，则， 方程有实根， 时，， 解得． 综上所述： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解，对学生的思维缜密性有一定要求，体现了分类讨论的数学思想． 【变式9-2】若关于的方程有实数根，是实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】分方程是一元一次和一元二次两种情况求解即可． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得，且， 综上，实数的取值范围是； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元二次方程的根的判别．解题的关键在于分方程是一元一次和一元二次两种情况求解． 【变式9-3】已知关于x的一元二次方程（m为实数）． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)写出m的最大非正整数值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)且 (2)m的最大非正整数值是0； 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据题意结合（1）所求的m的取值范围，可确定的值，代入原方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得：且 （2）∵且 ∴m的最大非正整数值是． 当时，一元二次方程化为： ， 配方得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与其判别式的关系，解一元二次方程．掌握一元二次方程根的情况与其判别式的关系是解题的关键：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时,方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根． 【模块十】 运用根与系数的关系计算 【典例10】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． （2）解：的最大整数为， ， ∴，， 则． 【变式10-1】若a，b是方程的两个根，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个实数根，则，，首先根据根与系数得到，再把转化为，最后整体代值计算． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：D． 【变式10-2】已知一元二次方程的两根为，则的值是（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由是方程的两根，则，，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴由根与系数的关系，得：，， ∴； 故选：B． 【变式10-3】一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)，； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，熟记根与系数的关系是解本题的关键； （1）利用根与系数的关系，可得出，即可． （2）把化为，再整体代入计算即可； （3）由，再整体代入计算即可； （4）由，再整体代入计算即可； 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，； （2）； （3）； （4）． 【模块十一】运用根与系数的关系求参数的值 【典例11】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的两个实数根．若，求（    ） A．3 B． C．4 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系，将条件转化为关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵方程是， ∴设，，， 则，， ∴， 代入，， 得， 给定， ∴， 解得， ∴， 当时，方程为，其根的判别式，满足题意 此时，方程确为二次方程，符合条件． 故选：D． 【变式11-1】已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义；根据根与系数的关系得出，，代入求出，根据判别式检验，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为， ∴，，且， ∵ 即有， ∴ 解得：或 当时，， 当时， ∴， 故答案为：． 【变式11-2】．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若满足，求的值． (3)若都是符号相同的整数，则整数______________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，正整数解的含义，熟练的利用根与系数的关系解题是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，可知根的判别式大于0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出，代入中； （3）由，且都是符号相同的整数，可得都为正整数，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：由题意知， 解得； （2），， ∴， ， 解得：． （3），且都是符号相同的整数， ∴都为正整数， ∴当，，此时，解得：， 当，，此时，解得：，不符合题意， 当，，不符合题意， 综上：． 【变式11-3】如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值为 ． 【答案】0或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，通过对完全平方公式变形求值．由“邻根方程”定义可得，由根与系数的关系可得，，再根据即可求出m的值． 【详解】解：中， ， 方程有两个实数根， 设是“邻根方程”的两个根，， 则，，， ， ， ， 解得或， m的值为0或． 故答案为：0或． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 换元法解方程 【典例12】若实数x、y满足，则的值是（    ） A．或1 B．2 C．2或 D．1 【答案】D 【分析】设，则方程为，解方程求出或，由此得到答案． 【详解】解：设，则方程为 ∴或， ∵， ∴，即， 故选：D． 【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握方程的特点选择简单的解法是解题的关键． 【变式12-1】若，则的值是（    ） A． B．1 C．1或 D．1或6 【答案】B 【分析】设，而，可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设， ∴ ∴， ∴， ∴或， 解得：，（不符合题意舍去）； ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本题的关键． 【变式12-2】若，满足方程，则 ． 【答案】 【分析】令，则，解一元二次方程，即可求解． 【详解】令，则， 原方程为 解得：或（舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 【变式12-3】若，求的值为 ． 【答案】4 【分析】设，把原方程变形，求得x，即可得出的数值． 【详解】解：设，则原方程为， 整理得， ， ∴，， 解得，， ∵是非负数， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【微专题二】配方法的应用 【典例13】（24-25八年级上·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 【变式13-1】对于任意的实数，代数式的值是一个（    ） A．非负数 B．正数 C．负数 D．整数 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用；将代数式配方，即可求解． 【详解】解： ， ∴代数式的值是一个正数， 故选：B． 【变式13-2】代数式的值的值一定（    ） A．大于3 B．小于3 C．等于3 D．不小于1 【答案】D 【分析】利用配方法把所给代数式变形为，根据偶次方的非负性推出，由此即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值一定不小于1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确将所给代数式变形为是解题的关键． 【变式13-3】阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样的变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似地，代数式有（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查的是配方法的应用，把化为，再结合可得答案，掌握配方法的步骤与方法是解本题的关键． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴代数式有最大值． 故选D 压轴突破·素养提升 【压轴一】 根的判别式与根与系数的关系的综合运用 【典例14】（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ． 【变式14-1】已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 【变式14-2】关于x的方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)设、是方程的两根，且．求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而可证得结论； （2）利用根与系数的关系可得出，，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合找出关于的一元二次方程． 【详解】（1）证明：，，． ∴， ∴无论m取任何实数，一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，为方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式14-3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为，求另一个实数根； (2)若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为5 (2)的值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式． （1）设另一个实数根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得，求出m的值即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，把变形为，然后代入即可． 【详解】（1）设关于的一元二次方程另一个实数根为， 根据题意得：， ， 即另一个实数根为5； （2）∵方程的两个不相等的实数根为和， ∴， ， 解得或1 当时，； 当时，（不符合题意，舍去） 综上可得，的值为． 【压轴二】 方程的解和根与系数的关系的综合求值 【典例15】（25-26九年级上·广西南宁·月考）已知，是方程的两个根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求的代数式降次变形，再结合根与系数的关系得到两根乘积，代入计算即可． 【详解】 ，是方程的两个根， 由方程根的定义得，， 由一元二次方程根与系数的关系得， ， 又， ， 由，得， ， 原式， 将代入得：原式． 【变式15-1】已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体代入思想，关键是变形． 【变式15-2】若，且有，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可变形为，然后可把看作是方程的两个根，进而根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：由可两边同除以，则有， 根据可把看作是方程的两个根，则根据一元二次方程根与系数的关系有：， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式15-3】阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料得m＋n＝1，，所以． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，，则：______，______． (2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）直接根据根与系数的关系可得答案； （）由题意得出可看作方程的两个根，据此得到，，将其代入变形后的式子计算即可求解； 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】（1）∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 故答案为；，； （2）∵，，且， ∴，可看作方程的两个根， ∴，， ∴． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $