4.1 整式拓展作业2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 七年级数学上册“4.1整式”同步拓展练习，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，通过概念辨析、规律推理、实际应用三阶路径，强化整式核心知识，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单项式/整式判断、系数次数|单选1-4、填空9-10，直接考查概念，夯实符号意识| |能力提升|多项式排列、规律探究|单选5-8、填空12，结合推理意识，训练有序思维| |拓展探究|实际应用与新定义|解答15（售价方案）、17（雅系多项式），体现模型意识与创新意识|

4.1 整式 拓展作业2026-2027学年人教版 七年级数学上册 一、单选题 1．下列式子中，是单项式的是(　　) A． B． C． D． 2．在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 3．下列各代数式中，是五次单项式的是（     ） A． B． C． D． 4．已知一个单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 5．观察按规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式为（    ） A． B． C． D． 6．多项式的二次项系数与常数项分别为（    ） A．，4 B．， C． D．3，4 7．若多项式是关于的二次二项式，则的值是（    ） A．或2 B．2 C． D． 8．代数式是（    ） A．按降幂排列 B．按升幂排列 C．按降幂排列 D．按升幂排列 二、填空题 9．下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是整式的有________，是单项式的有________，是多项式的有________．（填序号） 10．一个单项式满足下列两个条件：①系数是；②次数是2．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式_____． 11．如图，等腰直角三角形的直角边长为，根据图中数据，用含，的代数式表示阴影部分的面积_____，这是一个_____次_____项式． 12．关于x的代数式（a，b为常数），下列说法： ①若，则代数式是关于x的二次三项式； ②若，，则关于x的方程的解为非负数； ③若时，代数式的值为3，则； ④当时，代数式的值为2，当时，代数式的值为 ，则； ⑤若，且当或时，代数式的值相等，则． 其中，一定正确的结论有______（填写序号即可] 三、解答题 13．把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的降幂排列． 14．已知关于m、n的多项式的次数是6，且与关于m、n的单项式的次数相同． (1)求x、y的值； (2)求该多项式各项的系数之和． 15．某超市出售某种商品，标价为每件a元，有如下三种销售方案：方案A：先打九五折，再打九五折；方案B：先提价，再打六折；方案C：先提价，再降价．分别写出三种方案的售价，并指出它们的系数和次数． 16．已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 17．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D D B A A 1．【答案】A 【知识点】单项式的判断 【详解】解：是单项式，，，不是单项式 2．【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的定义，整式包含单项式与多项式，单独的数、数和字母的积是单项式，几个单项式的和是多项式，等式不属于整式，据此判断各式子是否为整式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，单独的数、数与字母的积为单项式，几个单项式的和为多项式，等式不是整式， ∴在给出的式子中，是单独的数，属于单项式（整式）； 是数与字母的积，属于单项式（整式）； 是两个单项式的和，属于多项式（整式）； 是等式，不是整式； 是数与字母的积，属于单项式（整式）， ∴整式的个数有个， 故选：． 3．【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 4．【答案】D 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A、系数是，次数是5，故本选项不符合题意； B、系数是2，次数是5，故本选项不符合题意； C、不是单项式，故本选项不符合题意； D、系数是-2，次数是5，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查单项式的次数与系数，解题的关键是掌握单项式的系数和次数的定义． 5．【答案】D 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查了单项式规律探究，直接利用已知得出数字变化规律，进而得出答案． 【详解】解：观察各单项式的系数，其符号规律为，分母的规律为，字母及指数规律为， ∴依照此规律，第n个单项式为：， 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键，多项式是由若干个单项式通过加法或减法组成的代数表达式，在多项式中，每个单项式的系数是其前面的常数． 【详解】解：多项式中，二次项为，常数项为，即二次项系数与常数项分别为，， 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式次数与系数的定义是解题关键． 根据二次二项式的定义，最高次项次数为2，且项数为2，得到，从而确定m的值． 【详解】∵多项式是关于的二次二项式， ∴， ∴或． 故选：A． 8．【答案】A 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，多项式的项、项数、次数，“多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号）；次数最高的项的次数即为该多项式的次数；不含字母的项称为常数项”，熟记多项式的项、项数、次数的定义是解题关键．根据多项式的项、项数、次数的定义分别求出各项中的次数，由此即可得． 【详解】解：多项式中，中字母的次数为3，中字母的次数为2，中字母的次数为1，中字母的次数为0； 多项式中，中字母的次数为1，中字母的次数为2，中字母的次数为0，中字母的次数为3； 由此可知，代数式是按降幂排列． 故选：A． 9．【答案】 ①②③④⑥⑦； ①②⑥； ③④⑦；． 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式；单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：整式有：，，，，， 单项式有：，， 多项式有：，， 是不等式，是分式，故不属于整式； 故答案为：①②③④⑥⑦；①②⑥；③④⑦． 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念紧扣概念作出判断． 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．根据单项式的系数和次数的定义，系数是数字部分，次数是所有字母的指数之和，因此写出一个系数为且次数为2的单项式即可． 【详解】解：根据题意，系数为，次数为2， 因此单项式可以是或等， 故答案为：（答案不唯一）． 11．【答案】 二 二 【知识点】列代数式、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式的相关定义，解题的关键是根据题意列出代数式． 根据面积公式列出代数式，然后根据多项式的定义进行判断项和次数即可． 【详解】解：阴影部分的面积为； 这是一个二次二项式； 故答案为：，二，二． 12．【答案】①②③⑤ 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了代数式的化简求值，多项式的相关概念，解题关键是熟悉代数式化简的基本运算；逐项判断：①由得且，故为二次三项式；②且时方程解为正；③代入得等式成立；④解得；⑤由值相等得，结合得． 【详解】解：对于①，若 ，则且，代数式中二次项系数，且有三项，故是关于的二次三项式，正确； 对于②，若且，则方程化为，解得，为非负数，正确； 对于③，当时，代数式值为3，即，整理得，即，故，正确； 对于④，当时，，即；当时，，即；联立方程解得，，故错误； 对于⑤，当或（）时代数值相等，即，故，化简得，因，故；又，即，正确； 故答案为：①②③⑤． 13．【答案】(1) (2) 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】（1）按x的降幂排列，即按照各单项式中x的指数从大到小的顺序排列单项式． （2）按y的降幂排列，即按照各单项式中y的指数从大到小的顺序排列单项式． 【详解】（1）解：中x的指数为4，中x的指数为0，中x的指数为3，中x的指数为1，中x的指数为2；按x的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． （2）中y的指数为0，中y的指数为4，中y的指数为1，中y的指数为2，中y的指数为3；按y的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． 14．【答案】(1)； (2) 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了单项式的次数和多项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义． （1）根据单项式的次数和多项式的次数的意义列方程可求x、y的值； （2）由（1）可得多项式，从而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得． 由多项式与单项式的次数相同，可得， 解得． （2）解：由（1）可知，该多项式为， 所以该多项式各项的系数和为． 15．【答案】 方案A：售价为元，它的系数为，次数为1； 方案B：售价为元，它的系数为，次数为1； 方案C：售价为元，它的系数为，次数为1． 【知识点】列代数式、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了代数式，单项式的系数和次数，准确列出符合题意的代数式，并能找出单项式的系数和次数是解题的关键．根据题意，列出代数式，再根据单项式的系数和次数的概念找出对应的单项式的系数和次数 【详解】方案A：售价为（元），它的系数为，次数为1； 方案B：售价为（元），它的系数为，次数为1； 方案C：售价为（元），它的系数为，次数为1． 16．【答案】(1)十次十一项式 (2)第七项是，第八项是 【知识点】单项式规律题、多项式的项、项数或次数、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了数字类变化规律，多项式的有关概念，解题的关键是要理解多项式的项、次数、项数等概念的意义． （1）该多项式按a的降幂排列，共十一项，且每一项的次数都是10，奇数项的系数符号是正号，偶数项的系数符号是负号，根据规律即可得解； （2）结合（1）的规律即可得这个多项式的第七项和第八项． 【详解】（1）解：这个多项式是按a的降幂排列的，且每一项的次数都是10，奇数项的系数符号是正号，偶数项的系数符号是负号； 所以这个多项式是十次十一项式； （2）解：由多项式的规律得，第项是， 所以这个多项式的第七项是，第八项是． 17．【答案】(1)① (2) (3) 不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $