22.4 位似图形题型专练2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 以位似图形概念为核心，通过“判断-作图-性质”三阶训练，系统构建从概念辨析到性质应用的解题体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位似图形的判断及相关概念|1典例+4举一反三|用“对应点连线交于一点”判定位似，明确“位似必相似，相似不一定位似”|从概念本质出发，通过正反例辨析深化理解| |相似三角形与尺规作图|1典例+5举一反三|网格中用“三边比”“夹角相等”构造相似，结合位似性质作图|衔接相似三角形判定，强化几何直观与空间观念| |位似作图|1典例+5举一反三|确定位似中心，利用坐标或比例关系计算对应点，保留作图痕迹|从定性作图到定量计算，培养推理意识| |位似图形的性质|1典例+4举一反三|相似比与线段、面积比的转化，结合方程思想求解|深化位似与相似的内在联系，提升应用能力|

华东师大版（2024）九年级上册 22.4 位似图形 题型专练 【题型1】位似图形的判断及相关概念 【典例】下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】下列判断中，正确的是 （      ） A．相似图形一定是位似图形 B．位似图形一定是相似图形 C．全等的图形一定是位似图形 D．位似图形一定是全等的图形 【举一反三2】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【举一反三3】如图，E，P，F分别是AB，AC，AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD __________ (填“是”或“不是”)位似图形. 【举一反三4】如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心. (1)哪个图形与正方形ABCD的相似比为3？ (2)正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？ 【题型2】相似三角形与尺规作图 【典例】如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三2】如图，△DEF的边长分别为1，，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，选择格点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比＝k，那么k的值可以是__________． 【举一反三3】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图5×5的方格纸中，以A，B为顶点作格点三角形ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则另一个顶点C的坐标为__________． 【举一反三4】如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上． 【举一反三5】如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图． （1）在图1中的线段AC上找一个点E，使； （2）在图2中作一个格点△BDE，使△BDE与△ABC相似，且面积比为8：5． 【题型3】位似作图 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1）， 【举一反三1】如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A．（m，n+3） B．（m，n﹣3） C．（m，n+2） D．（m，n﹣2） 【举一反三2】在中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是__________. 【举一反三3】如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3． （1）△ABP与△CDP的位似比为 __________； （2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为 __________． 【举一反三4】如图，在四边形ABCD内选一点O为位似中心将它放大为原来的两倍(保留作图痕迹)． 【举一反三5】数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连接OE并延长交弧AB于G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I． (1) 请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由； (2) 还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）． 【题型4】位似图形的性质（移题） 【典例】如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′＝3：1，△A′B′C′的面积为27，则△ABC的面积为（　　） A．48 B．24 C．32 D． 【举一反三1】如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O．已知OA：OD＝1：3，若△ABC的周长等于4，则△DEF的周长等于 __________． 【举一反三2】如图，已知平行四边形ABCD的面积为24，以B为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形平行四边形EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则△ADG的面积为 __________． 【举一反三3】如图，已知△ADE和△ABC是位似图形，∠A＝30°，DE垂直平分AC，且DE＝2． （1）求∠C的度数； （2）求BC的长度． 【举一反三4】如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，已知矩形ABCD的周长是25cm，BB′＝4cm，DD′＝2cm，求矩形ABCD和AB′C′D′的面积比． 华东师大版（2024）九年级上册 22.4 位似图形 题型专练（参考答案） 【题型1】位似图形的判断及相关概念 【典例】下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形； B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形． 故选：B． 【举一反三1】下列判断中，正确的是 （      ） A．相似图形一定是位似图形 B．位似图形一定是相似图形 C．全等的图形一定是位似图形 D．位似图形一定是全等的图形 【答案】B 【解析】由位似的定义知，相似不一定位似，因为它们对应顶点的连线不一定交于一点，位似一定相似. 【举一反三2】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【解析】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，D中的两个图形是位似图形，C中的两个图形不是位似图形． 故选：B． 【举一反三3】如图，E，P，F分别是AB，AC，AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD __________ (填“是”或“不是”)位似图形. 【答案】是 【解析】∵E，P，F分别是AB，AC，AD的中点， ∴PF，EP分别是△ACD，△ABC的中位线， ∴PF∥CD，EP∥BC， ∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC， ∴四边形AEPF∽四边形ABCD， ∴根据位似图形的定义，得四边形AEPF和四边形ABCD是位似图形. 【举一反三4】如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心. (1)哪个图形与正方形ABCD的相似比为3？ (2)正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？ 【答案】解 (1)∵PI∶PA＝6∶2＝3∶1， ∴正方形IJKL与正方形ABCD的相似比为3. (2)正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形， ∴相似比为. (3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为＝2. 【题型2】相似三角形与尺规作图 【典例】如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 故选：D． 【举一反三1】若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（　　）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由于△ABC是直角三角形， 过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角， 所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似， 过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线． 故选：C． 【举一反三2】如图，△DEF的边长分别为1，，2，正六边形网格是由24个边长为2的正三角形组成，选择格点为顶点画△ABC，使得△ABC∽△DEF．如果相似比＝k，那么k的值可以是__________． 【答案】2，2，4 【解析】∵△DEF的边长分别为1，，2 ∴△DEF为直角三角形，∠F＝30°，∠D＝60°， 根据等边三角形的三线合一，可作三边比为1：（+）：2的三角形， 故相似比＝k，k可取2，2，4． 故答案为：2，2，4． 【举一反三3】在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图5×5的方格纸中，以A，B为顶点作格点三角形ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则另一个顶点C的坐标为__________． 【答案】（5，2）或者（4，4） 【解析】∵OA＝2，OB＝1，AB＝， ∴当AB与AC对应时，有或者， ∴AC＝或AC＝5 ∵C在格点上 ∴AC＝不合题意，则AC＝5 ∴C点坐标为（5，2） 同理当AB与BC对应时，可求得BC＝或者BC＝5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（4，4） ∴C点坐标为（5，2）或者（4，4）． 故答案为：（5，2）或者（4，4）． 【举一反三4】如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上． 【答案】解　如图 【举一反三5】如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图． （1）在图1中的线段AC上找一个点E，使； （2）在图2中作一个格点△BDE，使△BDE与△ABC相似，且面积比为8：5． 【答案】解　（1）如图1，取格点M，N，使CM＝2，AN＝3，且CM∥AN， 连接MN，交AC于点E， 则△CEM∽△AEN， ∴， ∴AE＝， ∴， 即AE＝， 则点E即为所求． （2）由如图2可得，AC＝＝，BC＝＝，AB＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°，S△ABC＝＝5， ∵△BDE与△ABC相似，且面积比为8：5， ∴△BDE的面积为8， 取格点D，E，使∠DBE＝90°，BD＝，BE＝， 连接BE，BD，DE， 则△BDE即为所求． 【题型3】位似作图 【典例】如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（　　） A．（0，0），2 B．（2，2）， C．（2，2），2 D．（1，1）， 【答案】B 【解析】如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2）， k的值为：＝． 故选：B． 【举一反三1】如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（　　） A．（m，n+3） B．（m，n﹣3） C．（m，n+2） D．（m，n﹣2） 【答案】A 【解析】过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′， 设C（x，y）， 则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m， ∵△AB′C′与△ABC的位似比为2：1， ∴＝＝，即＝， 解得：x＝﹣m，y＝﹣n+3， ∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3）， 故选：A． 【举一反三2】在中，已知点，，以原点为位似中心画，使它与位似，且相似比为，则点的对应点的坐标是__________. 【答案】或 【解析】∵与位似，以原点O为位似中心，且相似比为，， ∴点的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或. 【举一反三3】如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3． （1）△ABP与△CDP的位似比为 __________； （2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为 __________． 【答案】（1）　　（2）﹣2a 【解析】（1）∵点B、P、D在x轴上对应的数分别为﹣3、﹣1和3， ∴BP＝2，PD＝4， ∴， ∴△ABP与△CDP的位似比为． 故答案为：． （2）根据题意，作出△CDP如图所示， 过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N， 由（1）可知，△ABP与△CDP的位似比为， ∴， ∵点A的纵坐标为a， ∴AN＝a， ∴CM＝2a， ∵点C在第四象限， ∴点C的纵坐标为﹣2a． 故答案为：﹣2a． 【举一反三4】如图，在四边形ABCD内选一点O为位似中心将它放大为原来的两倍(保留作图痕迹)． 【答案】解：如图，四边形A′B′C′D′为所作． 【举一反三5】数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连接OE并延长交弧AB于G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I． (1) 请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由； (2) 还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）． 【答案】(1) 四边形GHIJ是正方形． 证明如下：如图1， ∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA， ∴∠GJO＝∠JIH＝∠JGH＝90°， ∴四边形GHIJ是矩形， ∵四边形CDEF是正方形，CD边与矩形GHIJ的IJ边在同一条直线上 ∴FC∥HI，EF∥GH， ∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO． ∴，．∴． 又∵FC＝EF，∴HI＝GH． ∴四边形GHIJ是正方形； (2) 如图2，正方形MNGH为所作． 【题型4】位似图形的性质（移题） 【典例】如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，OC′：CC′＝3：1，△A′B′C′的面积为27，则△ABC的面积为（　　） A．48 B．24 C．32 D． 【答案】A 【解析】∵ ， ∴ ， ∵△A′B′C′与△ABC位似， ∴△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′与△ABC的相似比为， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【举一反三1】如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O．已知OA：OD＝1：3，若△ABC的周长等于4，则△DEF的周长等于 __________． 【答案】12 【解析】∵△ABC与△DEF位似， ∴△ABC∽△DEF，AC∥DF， ∴△OAC∽△ODF， ∴＝＝， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3， ∵△ABC的周长＝4， ∴△DEF的周长＝12， 故答案为：12． 【举一反三2】如图，已知平行四边形ABCD的面积为24，以B为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形平行四边形EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则△ADG的面积为 __________． 【答案】4 【解析】延长EG交CD于点H，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG， ∴AD∥EG， ∴四边形AEHD是平行四边形， ∴． ∵位似图形与原图形的位似比为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：4． 【举一反三3】如图，已知△ADE和△ABC是位似图形，∠A＝30°，DE垂直平分AC，且DE＝2． （1）求∠C的度数； （2）求BC的长度． 【答案】解　（1）∵DE垂直平分AC， ∴∠AED＝90°， ∵△ADE和△ABC是位似图形， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠C＝∠AED＝90°； （2）∵△ABC∽△ADE， ∴， ∴BC＝2DE＝2×2＝4． 【举一反三4】如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，已知矩形ABCD的周长是25cm，BB′＝4cm，DD′＝2cm，求矩形ABCD和AB′C′D′的面积比． 【答案】解　设AB＝x， ∵矩形ABCD的周长为25， ∴AD＝12.5﹣x， ∵BB′＝4，DD′＝2， ∴AD′＝AD+DD′＝14.5﹣x，AB′＝AB+BB′＝x+4， ∵矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形， ∴，即＝， 解得，x＝， 则AB′＝， 矩形ABCD和AB′C′D′的面积比＝（）2＝， 答：矩形ABCD和AB′C′D′的面积比为． 学科网（北京）股份有限公司 $