22.4 位似图形&22.5 图形与坐标（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

22.4位似图形 √知识梳理 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这两个图形叫做位似 位似中心 图形，这个交点叫做位似中心 相似比 位似图形的对应点到 的距离之比等于相似比 (1)确定位似中心（位似中心可以在图上、图外、图内）；(2)作图形各顶点与位似中 位似图形的画法 心的连线或延长线；(3)取点并连线 针对训练 1.下列每个选项的两个图形中，不是位似4.如图，△ABC与△DEF是以点O为位 图形的是 似中心的位似图形，且相似比为1：2， 则下列结论不正确的是 A.AC∥DF 提-8器 C.BC是△OEF的中位线 D.S△ABC：S△DEF=1：2 5.如图，在10×10的正方形网格中，O是 格点，△ABC是格点三角形（顶，点在网 2.如图，△ABC与△ADE是以点A为位 格线交点上) 似中心的位似图形，AD=3,BD=2,则 (1)画出△ABC以点O为位似中心的位 △ABC与△ADE的相似比为( 似图形△A1B,C1;(点A1为点A的 A.3:2 对应点) B.2:3 (2)△ABC与△ABC的面积比是 C.5:3 D.5:2 3.如图，已知△EFH和△MNK是位似图 形，则其位似中心是 A ‘D A.点AB.点BC.点CD.点D ·23· 22.5图形与坐标 22.5.1用坐标确定位置 知识梳理 确定平面内物 ①行列定位法；②坐标定位法；③经纬度定位法；④方位角定位法 体位置的方法 不管采用哪种定位方法，平面内确定位置都需要两个数据，特别是通过一对数表示 有序数对 位置时，应注意这对数是有顺序的，顺序不同表示不同点的位置」 √针对训练 1.气象台为了预报台风，首先要确定台风 (一1,2)，月季园的坐标为(1,0)，则牡丹 中心的位置，下列说法能确定台风中心 园的坐标为 ( 位置的是 A.(-2,4) B.(-2,2) A.北纬128°，东经36 C.(-1,1) D.(-4,2) B.距电台500 n mile 4.正方形ABCD在平面直角坐标系中的 C.西太平洋 位置如图所示，它的边长是4，则点A的 D.在电台的西北方向 坐标是 2.如图，平顶山在M处，与少林寺O处相 距80km,用方向和距离描述少林寺O 相对于平顶山M的位置，下列正确的是 C) 5.先建立平面直角坐标系，再用坐标表示 A.南偏东20°，80km 图中各点的位置 B.东偏南70°，80km 商场 C.北偏西20°，80km 第士中学 D.北偏东70°，80km 酒店广场 北 第二中学 牡丹园 西 070° 东 芍药园 南 月季园 (第2题图) (第3题图) 3.如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月 季园的位置示意图.将其放在适当的平 面直角坐标系中，若芍药园的坐标为 ·24· 22.5.2 图形的变换与坐标 √知识梳理 当一个几何图形经过某种变换改变位置或大小后，图形上各点的坐标也发生了相应的变化. 图 图形以原点为位 后 沿x轴向右 沿y轴向上 的态 变 关于x轴关于y轴 关于原点 平移a个单位 平移b个单位 似中心放大（缩 李换绱点的 换对称 对称 对称 长度 长度 小)到倍 (x,y) (x,-y) (x+a,y) 针对训练 1.将点(-2，一5)向上平移6个单位长度， (1)沿y轴正方向平移3个单位长度； 再向右平移3个单位长度后得到的点的 (2)关于x轴对称； 坐标为 ( (3)以点C为位似中心，将△ABC放大 A.(4,-2) B.(1,1) 2倍； C.(-5,6) D.(4,-8) (4)以点C为中心，将△ABC旋转180°. 2.在平面直角坐标系中，点A(一3，一1)关 于x轴的对称点的坐标是 ( ) A.(-3,1) B.(3,1) B C.(3,-1) D.(-1,-3) 3.已知A(3,1),则点A关于原点对称的点 的坐标为 4.如图，在平面直角坐标系中，已知 A(2,1),B(2,0).以坐标原点O为位似 中心，相似比为2：1，将线段AB放大 为线段A'B',则点A'的坐标为 B 32古03 -2 5.将图中的△ABC作下列变换，画出相应 的图形，并指出三个顶点的坐标所发生 的变化. ·25·4=号4，=3.(3)原方程可化为3(x-2)=36.两边都除以3，得(x-2)=12.直接 开平方，得x-2=士2√3.x1=2十2√，x2=2-2√5.(4)将方程化为一般形式，得 4x2十20.x十25=0.这里a=4,b=20,c=25.:b2-4ac=202-4×4×25=0..x= 02,即1==号 2×4 21.2.4一元二次方程根的判别式 知识梳理 △不相等相等没有 针对训练 1.B2.B3.-8没有485.解：(1)原方程可变形为3x-2x-1=0.4 (-2)2-4×3×(一1)=16>0，·方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可变形为 x2十4x十4=0.：4=42-4×1×4=0，∴.方程有两个相等的实数根，6.解：由题意， 得△=(-6)2-4kX9=36-36k,且k≠0.(1)由题意，得△=36-36k>0,且k≠0，解得 k<1且k≠0.(2)由题意，得△=36-36k=0,且k≠0，解得k=1.(3)由题意，得△= 36一36k<0,且k≠0，解得k>1. 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 针对训练 1.D2.D3.14.-15.解：(1)原方程可化为x2-6x十5=0，.x1十x2=6, 1=5.(2)原方程可化为7x2-5=0.1十=0，=-号.(3)原方程可化为 3r十4十1=0n十0=一亭，0=子6解：1由题意，得4=2：-4X1Xa .4 1)≥0，解得a≤2.(2)由题意，得x1十x2=-2,x1x2=a-1.,2x1十2x2-x1x2= 2(x1十x2)-x1x2=5,.2×(-2)-(a-1)=5,解得a=-8. 21.3实践与探索 第1课时利用一元二次方程解决几何问题 针对训练 1.D2.C3.14.85.解：(1)(100-2x)(50-2x)(2)根据题意，得(100-2x) (50一2x)=3600.整理，得x2一75x十350=0.解得x1=5,x2=70(不符合题意，舍去). 答：正方形观光休息亭的边长为5m. 第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 针对训练 1.B2.B3.20%4.八5.解：(1)401800(2)设每件商品降价x元.由题意， 得(250-x-200)(30十2x)=2100.整理，得x2-35.x十300=0.解得x1=20,x2=15. :为了让顾客得到更多的实惠，∴x=20.答：当每件商品降价20元时，商场通过销售 这种商品每天盈利可达到2100元. 第22章图形的相似 22.1成比例线段 22.1.1成比例线段 知识梳理 相同形状合=台（或a:b=c:合=行AP P AB 针对训练 1.D2.D3.(1)8(2)24.(405-40)5.解：1)：2a=36,.2a-b-36-b=2. 91 (2):线段m是a,b的比例中项，m=ah.2a=36,a=6,b=2X6=4.m=4X 3 6=24..m>0,.m=26. 22.1.2平行线分线段成比例 知识梳理 平行线 针对训练 1C2.A3 4.解：DE∥BC,DF∥AC,∴.四边形DECF是平行四边形. FC=DE=2mDr/AC既-器脚些=亭B版=4m点第：1：AB/ CD//EF...AC_BD AE BF' AC6.D015..CE-AE- AC=9.(2:AB/CD∥F,5-8架=合=是：a=20器-子 204 .DF=15. 22.2相似图形 知识梳理 成比例相等对应成比例对应相等对应边的比 针对训练 1.C2.C3.A4.100° 琴5万：16.解：设新的相框的另一边长为rcm 5 当所求的边与20cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=x：30,解得x=60.当所 求的边与10cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=30：x,解得x=15..新的相 框的另一边长为60cm或15cm. 22.3相似三角形 22.3.1相似三角形 知识梳理 成比例相等相似 针对训练 1.B2.C3.C4.55.解：AD=6,CD=18,∴.AC=AD+CD=24.又△ADE △ABC长器是：普=京景AE=8AB=186解：AB/DB, 43 ABC∽△DEC.C=C,AC=4cm,BC=3cm,CE=6cm,…D元 .CD=8cm.,.AD=AC+CD=4+8=12(cm). 22.3.2相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定定理1 知识梳理 相等 针对训练 1.B2.B3.∠B=∠D(答案不唯一)4.解：：∠C=∠D,∠APC=∠BPD, △APCO△BPD.六0-8邵即巴-号.BD=85证明：DE∥AC ∴.∠BED=∠C.EF∥AB,∴∠B=∠FEC.∴△BDE∽△EFC. 第2课时相似三角形的判定定理2,3 知识梳理 成比例夹角成比例 针对训练 1.D2.C3.1.54.证明：AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,.AB=AD十BD=8, 92 AC=AE+B=10.福=青=名，把-品=分∴福-把又：∠A=∠A ∴.△ADE△ACB.5.解：△ABCc∽△DEF.理由如下：由题意，得AB=√+2= √5，BC=5,AC=√1+3z=√10，DE=1,EF=√/1+2=√5，DF=√/1+1=√2， 提后器后品-爱后提器品AAaR 22.3.3相似三角形的性质 知识梳理 相似比相似比的平方相似比 针对训练 1.B2.A3.3:44.125.解：和△ABC相似的△A'B'C的最长边长为30， .△ABC与△A'B'C的相似比为10：30=1：3.：△ABC的周长为6+8十10=24， .△A'B'C的周长为24X3=72.6.解：：四边形ABCD为平行四边形，AD=BC, AD∥BC.∴.△AFDp△EFB.又BE:EC=3:1,∴.BE:BC=3:4.∴.BE:AD= 3:4.S△地= AD、2 S△EFB （0)-(青)广9∴S.v.m=2cm 22.3.4相似三角形的应用 第1课时相似三角形的实际应用 针对训练 1心2B3解准结MN兴-品赢长品品票-盖又 :∠A=∠A,△AC△ANM∴系=、=品BC=45m,MN= 3000m.答：M,N两地之间直线隧道的长为3000m.4.解：(1)△ABC△ADE.理 由如下：：BC⊥AE,DE⊥AE,∴.BC∥DE..△ABC∽△ADE.(2)由(1)知△ABC △ADB,S-BE即产2=DE=16,2m答：古塔DE的高度为16,2m 第2课时等积式、比例式的证明与应用 知识梳理 中线专 针对训练 1.C2.D32 4.证明：：DE∥BC,EF∥AB,四边形DBFE是平行四边形. DE=BR:DE∥BC△ADB△AC铝-.六铝=既 5.证明： :AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90.:DE⊥AB,易得△ABD∽△ADE.AP AE 0:AD=AE·AB,同理，得AD=AF·ACAE·AB=AF·AC 22.4位似图形 知识梳理 位似中心 针对训练 1.C2.C3.B4.D5.解：(1)如图，△A1B1C即为所求 (2) 1 9 93 22.5图形与坐标 22.5.1用坐标确定位置 针对训练 1.A 2.C3.A4.(一4,4)5.解：建立平面直角坐标系如图所示. y 广场(0,0)，第一中学(-1，一2)，酒店(-2,0)，商场（一1,2），第 商场 第中学 酒店广肠 1 第一中学 二中学(2,1).（答案不唯一） 22.5.2图形的变换与坐标 知识梳理 (-）(-,-)(叶0(，(，） 针对训练 1.B2.A3.(-3,-1)4.(4,2)或(-4，-2)5.解：(1)如图，△A1B1C即为所 求 三个顶点的横坐标不变，纵坐标为对应点纵坐标加3. A; (2)如图，△A2B2C2即为所求，三个顶点的横坐标不变，纵坐标为对应点纵坐标的相反 数.(3)如图，△AB,C即为所求.点C的坐标不变，点A:在点A的基础上，横坐标减2， 纵坐标减2，点B:在点B的基础上，横坐标减1，纵坐标加1.(4)如图，△A,B,C即为所 求.点C的坐标不变，点A,在点A的基础上，横、纵坐标都加4，点B,在点B的基础上， 横坐标加2，纵坐标减2 第23章解直角三角形 23.1测量 针对训练 1.C2.D3.484.解：AB⊥BC,CE⊥BC,AB∥CE.△ADB△EDC.9- EC ,即AB=30AB=33m答：河宽AB为33m5解：根据题意，得ABLC 11-10 BC=15m,BD=6m.在Rt△ABC中，：AB2+BC2=AC2,.AB2+152=(25-AB)2, ∴.AB=8m.在Rt△ABD中，AD=√AB+BD=10m.答：梯子的长为10m 23.2直角三角形的性质 知识梳理 互余平方一半一半 针对训练 1.C2.C3.C4.85.156.解：AB=13,AD=12,BD=5,13=12+5, △ABD是直角三角形，∠ADB=90°.∴.∠ADC=90°.：AC=20,.CD= √/AC-AD=√/20-122=16.∴.BC=BD+CD=5+16=21. 23.3锐角三角函数 23.3.1锐角三角函数 第1课时锐角三角函数 知识梳理 c 94 针对训练 1.C2.A3D495,解：∠C=90,BC=4anA=号，即名=号.AC- 6.∴.AB=√/AC+BC=2√3.cosB= BC_=4=2√13 AB2√/13 13 第2课时特殊角的三角函数值 知识梳理 2 针对训练 1D2B3直角4解：1)原式=5×号-3×（号）-号-子=0.(2)原式 2x号××()=反-是+=反.5解：在△A0中，∠C 90,AB=8,Bc=45.AC=VaB=C=Vs-4同=4easA=6=专- 2.∴∠A=60 23.3.2用计算器求锐角三角函数值 针对训练 1.A2.C3.A4.3.55.解：(1)原式≈-0.6959.(2)原式≈1.7692.(3)原式 0.6718.(4)原式≈0.7489. 23.4解直角三角形 第1课时解直角三角形及其简单应用 针对训练 1.A2.C3.B4.215.号6.解：(1)：∠C=90,c=8,∠A=30a=z0=4, b=c·cosA=4V3,∠B=90°-∠A=60°.(2)：∠C=90°，a=5,b=12,∴c=VWa+6F= 13,tan A= 6=2∠A≈22.6°.∠B=90°-∠A=67.4. a5 第2课时与仰角、俯角有关的解直角三角形的应用 知识梳理 仰角俯角 针对训练 1.A2.B3.D4.75.解：根据题意，得∠A=a=17°，∠CBD=3=45°.在Rt△ACD 中，CD=5m,心ADCD16,1m.在R△BCD中，BD=anC光=5m .AB=AD-BD=11.1m≈11m.答：最远点与最近点之间的距离AB约为11m. 第3课时与坡度、坡角有关的解直角三角形的应用 知识梳理 ian&大陡 h 针对训练 1A2C35.解：拨CD的拨度是11.5，DF=4m,m∠CF8器 六C=1.5DF=6m:技AB的坡度是11AE=4mm∠ABE能=子 1..BE=AE=4m.易得四边形AEFD是矩形，∴.EF=AD=2.5m.∴.BC=BE十 EF+CF=4十2.5十6=12.5(m).答：坝底宽BC是12.5m. 95 第24章随机事件及其概率 24.1在重复试验中观察随机现象 第1课时确定事件与随机事件 知识梳理 一定一定不会确定事件无法预先确定 针对训练 1.A2.D3.解：(1)(3)(5)是必然事件，(2)(4)是不可能事件，(6)是随机事件， 4.解：(1)不同意.理由：因为每次抛掷硬币“正面朝上”是一个随机事件，它不受前面出 现结果的影响，虽然前面3次出现的结果都是“正面朝上”，但第4次可能出现“正面朝 上”或“正面朝下”，所以第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是随机事件，故不同意. (2)不同意.理由：因为每次买彩票是否中一等奖是一个随机事件，且它不受前面出现 的结果的影响，所以“今后他买彩票中一等奖”是随机事件，故不同意 第2课时用频率估计随机事件发生的机会的大小 知识梳理 频率 针对训练 1.D2.33%3.62%4.解：(1)猜测：正面朝上的机会为50%.(2)因为试验次数较 小，事件出现的频率与事件出现的机会有比较大的差距，不能据此估计事件发生的机会， 24.2随机事件的概率 24.2.1概率及其意义 知识梳理 可能性 针对训练 1.D2.C3.A4.号5.解：1)P(指针落在标有6的区域内)=令.(2)P(指针落 在标有9的区域内)=0.(3)P(指针落在标有偶数的区域内)=令=宁.（④）P(指针落 8 在标有偶数或奇数的区域内)=1， 24.2.2频率与慨率 针对训练 1.A2.A3.A4.0.95.解：(1)0.700.70(2)发芽的频率接近0.70，.这种 油菜籽发芽的概率估计值为0.70，理由：在相同条件下进行多次重复试验，某一事件的 发生频率近似等于概率，(3)在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗约 10000×0.70×90%=6300(棵). 24.2.3列举所有机会均等的结果 针对训练 1.D2C34.5.解：1 (2)列表如下： A B C D A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D) 共有16种等可能的结果，其中抽到的都是合格品的结果有9种，∴.P(两次抽到的都是 合格品)=16 96