22.3 相似三角形 题型专练2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 以13类题型构建"判定-性质-应用"三维训练体系，通过典例解析与变式训练系统培养相似三角形的推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判定方法|4题型/4典例|平行线分线段成比例、两角/两边夹角/三边判定法|从图形直观到逻辑推理，构建判定方法体系| |性质应用|5题型/5典例|相似比与线段/周长/面积关系转化|性质应用层层递进，强化比例计算与几何直观| |综合拓展|4题型/4典例|动态问题建模、跨知识综合应用|从静态计算到动态探究，培养数学思维与创新意识|

华东师大版（2024）九年级上册 22.3 相似三角形 题型专练 【题型1】平行线中相似三角形的判定 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC＝（  ） A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：1 【举一反三1】如图中，，点在轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的斜边的中点，与边交于点，若的面积为12，则的值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【举一反三2】魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形，点在边上，交于点．如果与的面积比为，，则正方形的面积为 __________ ． 【举一反三3】如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架连接墙面与显示屏，测得．   (1) 证明：； (2) 若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【举一反三4】如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB＝12，CD＝6，DE：EG：GA＝3：4：5．求EF和GH的长． 【题型2】用两角相等判定两个三角形相似 【典例】下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；④都有一个角的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ） A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【举一反三1】如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【举一反三2】如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是  __________ ．（写出一个即可） 【举一反三4】如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则 __________ ． 【举一反三5】如图，在中，于点. (1) 求证：； (2) 若，求. 【题型3】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 【典例】已知△ABC如图所示．则与△ABC相似的是图中的（  ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，能使成立的条件是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】△ABC中，AB＝6 cm，BC＝10 cm，AC＝12 cm，D为AC上点，E为AB上点，AD＝4 cm，当AE＝  __________ 时，△ADE∽△ABC． 【举一反三3】如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝  __________ 时，图中的两个直角三角形相似． 【举一反三4】如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2＝BD•CE，求证：△ABD∽△ECA． 【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． (1) 求证：△ABE∽△DEF； (2) 若正方形的边长为4，求BG的长． 【题型4】用三边成比例判定两个三角形相似 【典例】如图，小正方形的边长均为1，则如图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）． A． B． C． D． 【举一反三1】甲三角形的三边长分别为1、、，乙三角形的三边长分别为5、、，则甲乙两个三角形（  ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似 【举一反三2】如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲乙丙丁四点中的  __________ ． 【举一反三3】如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，观察画面中由黑色阴影组成的五个三角形，则相似三角形有  __________ 对． 【举一反三4】如图，△ABC三边长分别为AB＝3 cm，BC＝3.5 cm，CA＝2.5 cm；△DEF三边长分别为DE＝3.6 cm，EF＝4.2 cm，FD＝3 cm．△ABC与△DEF是否相似？为什么？ 【题型5】相似三角形应用举例 【典例】王大伯要做一张如图的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1＝0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7＝0.8m．则第5级踏板的长度为（  ） A．0.6m B．0.65m C．0.7m D．0.75m 【举一反三1】小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、4cm，则实像CD的高度为 __________cm． 【举一反三2】马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米． （1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上，为什么？ （2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ 【举一反三3】根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 (1) 利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 (2) 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 (3) 利用素材3求出旗杆的高度． 【题型6】根据相似三角形性质求线段长 【典例】已知△ABC的三边长分别为1，3，2，△A′B′C′的两边长分别为2和6，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边为(  ) A．2 B．22 C．62 D．2 【举一反三1】如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】已知一个三角形最短边上的高为8cm，若和它相似的另一个三角形的各边之比为3：4：5，则它的最长边上的高为  __________ cm． 【举一反三3】如图，在中，对角线和相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F，，求的长度． 【举一反三4】如图， 是的直径，点 为上一点， 是的中点，过点 作的 垂线，垂足为，延长 ，交 的延长线于点是的中点，连接 ， ． (1) 求证：是的切线； (2) 若，，求线段 ， 的长． 【题型7】根据相似三角形性质求角度 【典例】如图，△ABC∽△AED，且∠AED＝∠B，则△ABC与△AED的相似比等于（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】将的三边都扩大为原来的倍，得，则为（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【举一反三2】如图，在3×3的正方形网格中，点，，，，均在各小正方形顶点处，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】△ABC的三边之比为2：3：4，与其相似的△DEF的一边长是12cm，则△DEF的最长边的长是 __________． 【举一反三4】如图，已知△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长． 【题型8】相似三角形对应线段的比等于相似比 【典例】两个相似三角形的对应中线之比为2：3，则它们的周长之比是（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【举一反三1】两个相似三角形面积之比为2：5，较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为__________． 【举一反三2】如图，在中，，点在边上，，， ，则的长是 __________ ，若点 在延长线上，连接，，则 的长是 __________ ． 【举一反三3】已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若＝，且△ABC的周长为20cm，求△A′B′C′的周长． 【题型9】相似三角形的面积比等于相似比的平方 【典例】如图，在中，，若，则的值（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在平行四边形的地板上，点E是的中点，相交于点F，用油漆粉刷地面花费了元，则用同样价格的油漆粉刷的地面要花费（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【举一反三2】如图，在△ABC中，以B为圆心，BC为半径作弧，分别交AC，AB于点D，E，连接DE，若ED＝DC，AD＝3，AE＝2，则△AED与四边形BCDE的面积之比是（　　） A．9：14 B．2：5 C．6：7 D．3：7 【举一反三3】已知△ABC∽△A'B'C'，对应高AD和A'D'的长分别为3cm和4cm，S△ABC+S△A'B'C′＝75cm2，求S△ABC＝__________． 【举一反三4】已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为 __________ ． 【举一反三5】如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，S△ABC＝20，求S△ADE． 【题型10】相似三角形的性质与判定的综合（移题） 【典例】如如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝2.5，则平行四边形ABCD的周长为（  ） A．21 B．28 C．34 D．42 【举一反三1】若两个相似三角形对应边上的高的比为3：2，对应中线的比为a：b，对应角平分线的比为c：d，则（a+c）：（b+d）＝__________． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC， ． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的周长为20，求△BCE的周长． 【题型11】在复杂几何图形中求正弦值 【典例】如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，， 垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，BD＝4，AD＝3，求∠ACD的正弦值． 【举一反三2】如图，在正方形中，P是边上的一点，且，Q是的中点． (1) 求证：； (2) 求的值． 【题型12】相似三角形与新定义、规律探究类问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的斜边在直线上，点，将进行如下操作：①绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第1次运动；②绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第2次运动；③绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第3次运动，，当第9次运动后，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为 __________ ． 【举一反三2】如图，点A1，A2在射线OA上，B1在射线OB上，依次作A2B2∥A1B1，A3B2∥A2B1，A3B3∥A2B2，A4B3∥A3B2，…．若△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1、9，则△A1007B1007A1008的面积是  __________ ． 【举一反三3】根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1) 阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ① 两个大小不同的菱形相似．（__________命题） ② 两个大小不同的长方形相似．（__________命题） ③ 两个大小不同的正方形相似．（__________命题） (2) 如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3) 如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 【题型13】相似三角形与动点问题 【典例】如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝3，CD＝2，点E从点B出发沿线段BA的方向移动到点A停止，连接CE．若△ADE与△CDE的面积相等，则线段DE的长度是  __________ ． 【举一反三2】【问题背景】 如图，给定平行四边形，点是边上不与，重合的一动点．如图，作，使得，且当点运动时，保持，． 【动手操作】 将拼接于平行四边形的上方： 操作一：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，作交于点； 操作二：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，连接． 【问题解决】 (1) 如图，当时，_______________°； (2) 如图，从结论①，②中选一个给出证明； ①，②； (3) 如图，在点运动过程中，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (4) 如图，设，，当点运动时，求的最大值． 华东师大版（2024）九年级上册 22.3 相似三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】平行线中相似三角形的判定 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC＝（  ） A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．1：1 【答案】C 【解析】解：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE， ∴， ∵O为对角线的交点，∴DO＝BO， 又∵E为OD的中点，∴DE＝DB，则DE：EB＝1：3， ∴DF：AB＝1：3， ∵DC＝AB， ∴DF：DC＝1：3， ∴DF：FC＝1：2； 故选：C． 【举一反三1】如图中，，点在轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过的斜边的中点，与边交于点，若的面积为12，则的值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【解析】过M点作，垂足为， ∵的中点为，， ∴， ∴， ∵反比例函数解析式为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得（经检验符合题意）. 【举一反三2】魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形，点在边上，交于点．如果与的面积比为，，则正方形的面积为 __________ ． 【答案】 【解析】由题可知， ， 又与的面积比为， ， 又四边形是正方形， ， ， 又， ，， ， 则正方形的面积为． 【举一反三3】如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架连接墙面与显示屏，测得．   (1) 证明：； (2) 若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 墙面与地面垂直，显示屏竖直放置， ． 又， ． 同理可得， ． 又（已知两根支架等长）， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ． (2) 解：由题意可知，显示屏平行于墙面，即， ， ． 眼睛到墙面的距离，支架宽， ． 将代入比例式，得， 解得． 即盲区的长度为． 【举一反三4】如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB＝12，CD＝6，DE：EG：GA＝3：4：5．求EF和GH的长． 【答案】解：过C作CQ∥AD，交GH于N，交EF于M，交AB于Q，如图， ∵CD∥AB， ∴四边形AQCD为平行四边形， ∴AQ＝CD＝6， 同理可得GN＝EM＝CD＝6， ∴BQ＝AB﹣AQ＝6， ∵DC∥EF∥GH∥AB， ∴DE：EG：GA＝CF：HF：HB＝3：4：5， ∵MF∥NH∥BQ， ∴ ∴MF：BQ＝CF：CB＝3：（3+4+5），NH：BQ＝CH：CB＝（3+4）：（3+4+5）， ∴MF＝×6＝1.5，NH＝×6＝3.5， ∴EF＝EM+MF＝6+1.5＝7.5，HG＝GN+NH＝6+3.5＝9.5． 【题型2】用两角相等判定两个三角形相似 【典例】下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；④都有一个角的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ） A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【解析】①所有等边三角形的内角都为，任意两个等边三角形的三个内角都对应相等，因此所有等边三角形都相似，①正确； ②等腰三角形两底角相等，若两个等腰三角形有一个底角相等，则两个三角形的底角都对应相等，顶角也相等，三个内角对应相等，因此两个三角形相似，②正确； ③若相等的角一个是等腰三角形的顶角，另一个是等腰三角形的底角，则两个三角形的内角不对应相等，不一定相似，③错误； ④两个直角三角形都有一个直角，且都有一个角，因此两个三角形有两个角对应相等，两个三角形相似，④正确． 【举一反三1】如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∴当最小时有最小值， 由“垂线段最短”可知当时最小， ∵，∴，∴，∴，∴，∴ ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，∴． 【举一反三2】如图，在正方形中，E是边的中点，连接，F是的中点，连接，作于点G，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正方形边长为，则， 是边的中点， ． 在中，， 是的中点， ， 四边形为正方形， ∴ ， ， ， ， ，即， ，， ． 【举一反三3】如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是  __________ ．（写出一个即可） 【答案】∠D＝∠B 【解析】解：这个条件可能是∠D＝∠B；理由如下： ∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC， 又∵∠D＝∠B， ∴△ADE∽△ABC． 【举一反三4】如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则 __________ ． 【答案】 【解析】解：∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， 在中，， ∵，，，∴，∴． 【举一反三5】如图，在中，于点. (1) 求证：； (2) 若，求. 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， ； (2) 解：由（1）知， ， ， . 【题型3】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 【典例】已知△ABC如图所示．则与△ABC相似的是图中的（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵AB＝AC＝6，∴∠C＝∠B＝75°，∴∠A＝30°， ∵， ∴与△ABC相似的是C． 故选：C． 【举一反三1】如图，能使成立的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似， 可判断，故C选项符合题意； A， B， D选项均不能判定，故不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】△ABC中，AB＝6 cm，BC＝10 cm，AC＝12 cm，D为AC上点，E为AB上点，AD＝4 cm，当AE＝  __________ 时，△ADE∽△ABC． 【答案】8 cm 【解析】解：∵∠A＝∠A，AB＝6cm，AC＝12cm，AD＝4cm， ∴当AD：AB＝AE：AC时，则△ADE∽△ABC， 即4：6＝AE：12，解得：AE＝8（cm）． 【举一反三3】如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，CB＝2，当BD＝  __________ 时，图中的两个直角三角形相似． 【答案】或8 【解析】解：∵∠ACB＝∠CBD＝90°，∴要使△ACB和△CBD相似， 必须或， 将AC＝8，CB＝2代入上式，得＝或，∴BD＝或8． ∴当BD＝或8时，图中的两个直角三角形相似． 【举一反三4】如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2＝BD•CE，求证：△ABD∽△ECA． 【答案】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB2＝BD•CE， ∴＝，即＝， ∴△ABD∽△ECA． 【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． (1) 求证：△ABE∽△DEF； (2) 若正方形的边长为4，求BG的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°， ∵AE＝ED， ∴， ∵DF＝DC， ∴， ∴， ∴△ABE∽△DEF； (2) 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴ED∥BG， ∴， 又∵DF＝DC，正方形的边长为4， ∴ED＝2，CG＝6， ∴BG＝BC+CG＝10． 【题型4】用三边成比例判定两个三角形相似 【典例】如图，小正方形的边长均为1，则如图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意可得：AB==∴AC:BC:AB=， A．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似． B．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似． C．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似． D．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似． 故答案为：A． 【举一反三1】甲三角形的三边长分别为1、、，乙三角形的三边长分别为5、、，则甲乙两个三角形（  ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似 【答案】A 【解析】解：因为，即两个三角形三边对应成比例，所以相似． 故选：A． 【举一反三2】如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲乙丙丁四点中的  __________ ． 【答案】丙 【解析】解：应该为丙，因为当R在丙的位置时，若设每一个小正方形的边长为1，则△PQR的三边分别为4、2、2．△ABC的各边分别为2、、． 各边对应成比例且比例相等均为2，则可以得到两三角形相似． 【举一反三3】如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，观察画面中由黑色阴影组成的五个三角形，则相似三角形有  __________ 对． 【答案】2 【解析】解：设第一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长． △ABC的各边分别为2、、； △CDF的各边分别为、、3； △EFG的各边分别为、、； △HMN的各边分别为1、、； △HPQ的各边分别为2、2、2； 可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例且比例相等，所以这两组三角形相似． 故答案为：2． 【举一反三4】如图，△ABC三边长分别为AB＝3 cm，BC＝3.5 cm，CA＝2.5 cm；△DEF三边长分别为DE＝3.6 cm，EF＝4.2 cm，FD＝3 cm．△ABC与△DEF是否相似？为什么？ 【答案】解：△ABC∽△DEF．理由如下： ∵＝＝，＝＝，＝＝， ∴＝＝． ∴△ABC∽△DEF． 【题型5】相似三角形应用举例 【典例】王大伯要做一张如图的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1＝0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7＝0.8m．则第5级踏板的长度为（  ） A．0.6m B．0.65m C．0.7m D．0.75m 【答案】C 【解析】因为每相邻两级踏板之间的距离都相等， 所以A4B4为梯形A1A7B7B1的中位线， 根据梯形中位线定理， A4B4＝（A1B1+A7B7）＝（0.5+0.8）＝0.65m． 作A1C∥B1B4， 则DB5＝CB4＝A1B1＝0.5m， A4C＝0.65﹣0.50＝0.15m， 于是＝， 即＝， 解得A5D＝0.2m． A5B5＝0.2+0.5＝0.7m． 故选：C． 【举一反三1】小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD（点A，B的对应点分别是C，D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm、4cm，则实像CD的高度为 __________cm． 【答案】3 【解析】∵AB⊥BC，OE⊥BC，DC⊥BC ∴AB∥OE∥DC， ∴△OEC∽△ABC，△OEB∽△DBC， ∴， ∵AB的高为6cm，BE，CE分别为8cm、4cm， ∴， ∴， ∴CD＝3cm， 故答案为：3． 【举一反三2】马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米． （1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上，为什么？ （2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ 【答案】解 （1）狮子能将公鸡送到吊环上． 当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ， ∵支点A为跷跷板PQ的中点，AB∥QH， ∴AB为△PHQ的中位线， ∵AB＝1.2（米）， ∴QH＝2AB＝2.4m＞2m． （2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝PQ）， 狮子刚好能将公鸡送到吊环上， 如图，∵AB∥QH， ∴△PAB∽△PQH， ∴＝， ∴支点A移到跷跷板PQ的三分之一处时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上． 【举一反三3】根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学AB，旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆，测得． 问题解决 任务1：分析测量原理 (1) 利用素材1说明的理由． 任务2：完善测量数据 (2) 在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度(旗杆无法直接测量)，才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． 任务3：推理计算高度 (3) 利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 解：还需要测出的长，令， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； (3) 解：如图，过点G作于点N，交于点M，则四边形与四边形是矩形， ∴(m)，，， ∴(m)， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴(m)． 【题型6】根据相似三角形性质求线段长 【典例】已知△ABC的三边长分别为1，3，2，△A′B′C′的两边长分别为2和6，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边为(  ) A．2 B．22 C．62 D．2 【答案】D 【解析】解：设△A′B′C′的第三边为x， ∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC的三边长分别为1，3，2，△A′B′C′的两边长分别为2和6， ∴1∶2＝3∶6＝2∶x， 解得x＝2.故选D. 【举一反三1】如图，为正方形的边上一动点，，连接，过作交于，交于，连接，当为最小值时，的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：以AB为直径画圆，G在圆O上， ∵∠AGB=90°， ∴当O，G，C共线时，CG有最小值， ∵CG= 又∵∠CGH=∠AGO=∠OAG=∠CBF， ∴∠CBF=∠CGH， 又∵∠BCD=∠BCD， ∴△CGH∽△CBG， ∴ ∴ 故答案为C． 【举一反三2】已知一个三角形最短边上的高为8cm，若和它相似的另一个三角形的各边之比为3：4：5，则它的最长边上的高为  __________ cm． 【答案】4.8 【解析】解：如图，△ABC∽△A′B′C′，AB＝8 cm，△A′B′C′的各边之比为3：4：5， 故设B′C′＝3k，A′B′＝4k，A′C′＝5k， 则A′C′2＝B′C′2+A′B′2，∴∠A′B′C′＝90°， ∴∠ABC＝90°，A′B′•B′C′＝A′C′•B′D′，则B′D′＝， ∴＝，即＝， ∴BD＝4.8 cm． 【举一反三3】如图，在中，对角线和相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F，，求的长度． 【答案】解：如图，过作，交于， ∴， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的长为． 【举一反三4】如图， 是的直径，点 为上一点， 是的中点，过点 作的 垂线，垂足为，延长 ，交 的延长线于点是的中点，连接 ， ． (1) 求证：是的切线； (2) 若，，求线段 ， 的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接 ， 是 的中点，即 ， ， 是 的直径， ，即 ， ， ， ， 是 的半径， 是 的切线； (2) 解：连接 ，过点 作 于点 ，如图， 是 的中点， 是 的直径， ， ． ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ． 【题型7】根据相似三角形性质求角度 【典例】如图，△ABC∽△AED，且∠AED＝∠B，则△ABC与△AED的相似比等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵△ABC∽△AED， ∴相似比＝或或． 故选：D． 【举一反三1】将的三边都扩大为原来的倍，得，则为（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【解析】， ， 再根据相似三角形的性质可以得到必有一个角是直角， ∴是直角三角形. 故选：A. 【举一反三2】如图，在3×3的正方形网格中，点，，，，均在各小正方形顶点处，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设每个小正方形的边长为1，根据题意，得， ， 都是锐角， ， 不平行， 故选项A不符合要求； ，， ， 故选项B不符合要求； 根据题意，得， 都是锐角，且， ， 故选项C不符合要求； 连接，根据勾股定理，得，且是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， . 【举一反三3】△ABC的三边之比为2：3：4，与其相似的△DEF的一边长是12cm，则△DEF的最长边的长是 __________． 【答案】12cm或24cm或16cm 【解析】①12为最长边； ②12为最短边；设最长边为x， ∵△ABC∽△DEF， ∴2：4＝12：x， 解得x＝24； ③12为中间数； 得3：4＝12：x， 解得x＝16； 综上所述：△DEF的最长边的长是12cm或24cm或16cm． 【举一反三4】如图，已知△ABC∽△ACD． （1）若CD平分∠ACB，∠ACD＝35°，求∠ADC的度数； （2）若AD＝3，BD＝5，求AC的长． 【答案】解　（1）∵△ABC∽△ACD， ∴∠ACD＝∠B， ∵CD平分∠ACB，∠ACD＝35°， ∴∠ACD＝∠DCB＝∠B＝35°， ∴∠ADC＝35°+35°＝70°； （2）∵△ABC∽△ACD， ∴＝， ∵AD＝3，BD＝5， ∴＝， 解得：AC＝2． 【题型8】相似三角形对应线段的比等于相似比 【典例】两个相似三角形的对应中线之比为2：3，则它们的周长之比是（　　） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【答案】A 【解析】因为两个相似三角形对应周长的比与对应中线的比相等， 所以它们周长之比为2：3． 故选：A． 【举一反三1】两个相似三角形面积之比为2：5，较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为__________． 【答案】 【解析】∵两个相似三角形面积之比为2：5， ∴两个相似三角形的相似比为：， ∴两个相似三角形对应边上的高的比等于：， 而较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为． 故答案为：． 【举一反三2】如图，在中，，点在边上，，， ，则的长是 __________ ，若点 在延长线上，连接，，则 的长是 __________ ． 【答案】； 【解析】过点 作于 ，过点作于 ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得（负值已舍去）， ， ，， 又，， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 【举一反三3】已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若＝，且△ABC的周长为20cm，求△A′B′C′的周长． 【答案】解　∵△ABC∽△A′B′C′，＝，且△ABC的周长为20cm， ∴＝，解得C△A′B′C′＝40． 答：△A′B′C′的周长是40． 【题型9】相似三角形的面积比等于相似比的平方 【典例】如图，在中，，若，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，，，，即，． 【举一反三1】如图，在平行四边形的地板上，点E是的中点，相交于点F，用油漆粉刷地面花费了元，则用同样价格的油漆粉刷的地面要花费（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【解析】∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵用油漆粉刷地面花费了元， ∴用同样价格的油漆粉刷的地面要花费元. 【举一反三2】如图，在△ABC中，以B为圆心，BC为半径作弧，分别交AC，AB于点D，E，连接DE，若ED＝DC，AD＝3，AE＝2，则△AED与四边形BCDE的面积之比是（　　） A．9：14 B．2：5 C．6：7 D．3：7 【答案】B 【解析】如图，连接BD． ∵ED＝DC， ∴＝， ∴∠CBD＝∠DBE， ∵BE＝BD＝BC， 在△BDE和△BDC中， ， ∴△BDE≌△BDC（S.A.S.）， ∴∠BED＝∠BDE＝∠BDC＝∠BCD， ∵∠AED+∠BED＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°， ∴∠AED＝∠ADB， ∵∠A＝∠A， ∴△AED∽△ADB， ∴S△AED：S△ADB＝（AE：AD）2＝4：9， ∴S△AED：S△BDE＝4：5， ∴S△AED：S四边形BCDE＝4：10＝2：5， 故选：B． 【举一反三3】已知△ABC∽△A'B'C'，对应高AD和A'D'的长分别为3cm和4cm，S△ABC+S△A'B'C′＝75cm2，求S△ABC＝__________． 【答案】27cm2 【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，对应高AD和A'D'的长分别为3cm和4cm， ∴=＝， ∵S△ABC+S△A'B'C′＝75cm2， ∴S△ABC＝75×＝27（cm2）， 故答案为：27cm2． 【举一反三4】已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为 __________ ． 【答案】 【解析】过点A作轴于点C，作轴于点D， ∵点A在函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三5】如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE＝2，BC＝5，S△ABC＝20，求S△ADE． 【答案】解　∵△ADE∽△ABC， ∴S△ABC：S△ADE＝（）2， ∴20：S△ADE＝， 解得S△ADE＝． 【题型10】相似三角形的性质与判定的综合（移题） 【典例】如如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝2.5，则平行四边形ABCD的周长为（  ） A．21 B．28 C．34 D．42 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DF， ∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠EDF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ∵DE＝3，DF＝2.5， ∴AB＝5，AE＝6， ∴AD＝9， ∴▱ABCD的周长＝2×（5+9）＝28， 故选：B． 【举一反三1】若两个相似三角形对应边上的高的比为3：2，对应中线的比为a：b，对应角平分线的比为c：d，则（a+c）：（b+d）＝__________． 【答案】 【解析】∵两个相似三角形对应边上的高的比为3：2， ∴对应中线的比为a：b＝3：2，对应角平分线的比为c：d＝3：2， 设a＝3k，b＝2k，c＝3m，d＝2m， ∴ 故答案为：． 【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC， ． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的周长为20，求△BCE的周长． 【答案】（1）证明 ∵∠BAF＝∠DBC， ∴∠BAF+∠ABD＝∠DBC+∠ABD， ∵∠ABC＝∠DBC+∠ABD，∠AFD＝∠BAF+∠ABD， ∴∠ABC＝∠AFD， ∵， ∴△ABC∽△AFD． （2）解 ∵△ABC∽△AFD， ∴∠BCE＝∠ADE， ∵∠BEC＝∠AED， ∴△BCE∽△ADE， ∵AD＝2，BC＝5， ∴＝， ∵△ADE的周长为20， ∴△BCE的周长＝×20＝50， ∴△BCE的周长为50． 【题型11】在复杂几何图形中求正弦值 【典例】如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，， 垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠ABC=α， ∴， 故选：D． 【举一反三1】如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，BD＝4，AD＝3，求∠ACD的正弦值． 【答案】解：∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝3，BD＝4， ∴AB＝＝＝5， ∴sin∠ABD＝＝， ∵∠ACD＝∠ABD， ∴sin∠ACD＝sin∠ABD＝． 【举一反三2】如图，在正方形中，P是边上的一点，且，Q是的中点． (1) 求证：； (2) 求的值． 【答案】(1) ∵四边形是正方形， ∴， ∵，Q是的中点． ∴， ∴， ∴； (2) 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型12】相似三角形与新定义、规律探究类问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，的斜边在直线上，点，将进行如下操作：①绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第1次运动；②绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第2次运动；③绕点顺时针旋转，使落在直线上，记作第3次运动，，当第9次运动后，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：的斜边在直线上，点，∴， 解得，点，，， 第2次运动后，记点O的对应点为，如图所示，作轴，交y轴于点E， ∴，，∴， ∴，即 ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为； 同理第6次运动后，运动后点的横坐标为，纵坐标为； 当第9次运动后，运动后点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 【举一反三1】经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为 __________ ． 【答案】113°或92° 【解析】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝(180°－46°)＝67°，∴∠ACB＝67°＋46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°＋46°＝92°. 【举一反三2】如图，点A1，A2在射线OA上，B1在射线OB上，依次作A2B2∥A1B1，A3B2∥A2B1，A3B3∥A2B2，A4B3∥A3B2，…．若△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1、9，则△A1007B1007A1008的面积是  __________ ． 【答案】32011 【解析】解：∵△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1、9，A3B3∥A2B2，A3B2∥A2B1， ∴∠B1B2A2＝∠B2B3A3，∠A2B1B2＝∠A3B2B3， ∴△A2B1B2∽△A3B2B3， ∴， ∵：＝1：9， ∴＝＝， ∵A3B2∥A2B1， ∴△OA2B1∽△OA3B2， ∴＝， ∴△OB1A2的面积为，△A1B1A2的面积为，△A2B2A3的面积为3，△A3B3A4的面积为27，… ∴△A1007B1007A1008的面积为×32（1007﹣1）＝32011． 【举一反三3】根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1) 阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ① 两个大小不同的菱形相似．（__________命题） ② 两个大小不同的长方形相似．（__________命题） ③ 两个大小不同的正方形相似．（__________命题） (2) 如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3) 如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 【答案】(1) ① 假：菱形边成比例，但内角不一定相等（如菱形和菱形不相似）； ② 假：长方形角相等，但边不一定成比例（如和长方形不相似）； ③ 真：正方形四个角都是，四条边都相等，必然满足“角分别相等、边成比例”； (2) 证明：如图1中，连接， ∵，且， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，，， ， ∴四边形与四边形相似； (3) 证明：∵四边形与四边形相似， ∴， 设这个公共比值为，则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴即， ∴， ∵，， ∴两边同除以得，， ∴， ∴． 【题型13】相似三角形与动点问题 【典例】如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴，为定值，故选项A，C，D不符合题意； ∵是变值， ∴是变化的，故选项B符合题意． 故选：B． 【举一反三1】如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝3，CD＝2，点E从点B出发沿线段BA的方向移动到点A停止，连接CE．若△ADE与△CDE的面积相等，则线段DE的长度是  __________ ． 【答案】 【解析】解：在直角△ACD中，AD＝3，CD＝2，则由勾股定理知AC＝＝＝． ∵依题意得，当DE∥AC时，△ADE与△CDE的面积相等，此时△BDE∽△BCA， 所以＝， 因为AD＝BD＝3，CD＝2，所以＝， 所以DE＝． 【举一反三2】【问题背景】 如图，给定平行四边形，点是边上不与，重合的一动点．如图，作，使得，且当点运动时，保持，． 【动手操作】 将拼接于平行四边形的上方： 操作一：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，作交于点； 操作二：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，连接． 【问题解决】 (1) 如图，当时，_______________°； (2) 如图，从结论①，②中选一个给出证明； ①，②； (3) 如图，在点运动过程中，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (4) 如图，设，，当点运动时，求的最大值． 【答案】(1) ∵， ∴． (2) 选择①，证明如下： ∵， ∴． 又， ∴； 选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又， ∴， ∴． 又， ∴． (3) ，理由如下： ∵，， ∴①，． ∵， ∴②． 由①得，， 由②得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (4) 根据题意，图3中的和图4中的全等， ∴． ∵图3中， ∴． 由（3）知，， ∴． 又， ∴， ∴． 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴当时，取最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $