专题04 相似三角形有关的十类热考模型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以十类相似模型为核心，构建“通法归纳-题型精讲-变式迁移-压轴突破”四层训练体系，系统提炼模型识别与比例应用方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |十类模型（A字/8字/射影定理等）|每模型含典例+3-5变式，压轴挑战8题|模型识别（结构特征）+比例应用（AA/SAS判定，射影定理等公式）+易错提醒（对应关系/模型条件）|从相似判定原理到模型固化，从单一模型到复合应用（如飞鱼=A字+分点）|

专题04 相似三角形有关的十类热考模型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A 字相似模型 1 类型二、8 字相似模型 3 类型三、射影定理模型 13 类型四、一线三等角相似模型 19 类型五、手拉手相似模型 26 类型六、十字架模型 39 类型七、三角形内接四边形模型 55 类型八、对角线互补型模型 67 类型九、三平行模型 76 类型十、飞鱼模型 79 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形热考模型是初中几何压轴题的 "工具箱"，所有模型本质上都是相似三角形判定（AA / SAS / SSS）与性质（对应边成比例）在特定图形结构中的固化应用。解题贯穿两条主线：一是识别模型—— 从复杂图形中剥离出 A 字、8 字、一线三等角等基本结构；二是用模型定比例—— 利用模型自带的比例关系（射影定理、手拉手比例、内接相似等）直接列方程，最终结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A 字相似模型 典例精讲1（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 【答案】/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 题型归纳 1.特征：三角形内有一条线段平行于底边，截得的小三角形与原三角形构成 "A" 字形结构，已知部分边长求其余线段或比例。 2.方法：由平行线得同位角相等，用 AA 判定相似；按 "上比下 = 上比下"" 上比全 = 上比全 " 列比例式求解；小三角形与原三角形的相似比 = 对应边之比。 3.易错提醒：平行线必须平行于三角形的某一边，否则不构成 A 字模型；比例式中 "上 / 下 / 全" 须在同一直线上对应，不可跨边混搭。 变式训练1（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 【答案】 【分析】证明得出，证明得出，进而求出结论． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ， ． 与等高， ． 变式训练2（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 变式训练3（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 变式训练4（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，D为边上一点，且，E为中点，则________． 【答案】 【分析】过E作，然后根据平行可得，得出比例关系，再把已知中的比例关系进行转化从而得到答案． 【详解】解：过E作，如图所示： ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型二、8 字相似模型 典例精讲2（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 【答案】6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：两条线段相交于一点，形成对顶的两个三角形（形如 "8" 或 "X"），已知部分边长或角度，求线段或证明比例。 2.方法：由对顶角相等，再找一组角相等（或两边成比例）用 AA（或 SAS）判定相似；对应边成比例列方程，常用于证明等积式或比例式。 3.易错提醒：对顶角是对应角，其两边的对应关系不可颠倒；两个三角形的顶点顺序须按对应关系书写，写错则比例式全错。 变式训练1（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知，进而可知，根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，进而可转化出答案． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则． 变式训练2（2026·广东深圳·三模）如图，在矩形中， ，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交 于点，则的长是__________． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，，，则由勾股定理可得，证明，得到，证明，得到，据此代入数值得出 ，，利用勾股定理求出，再根据即可求出． 【详解】解：矩形中，，， ，，， ， 由作图过程知平分 ，则， ， ， 又 ， ， ， ∴， ， ， ，即， ，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 变式训练3（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 中，以点B为圆心， 为半径作弧，交 于点M，交 的延长线于点N，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线 ．点E在边 上，且 ，连接 并延长，交 于点F，连结 ，交 于点G，则 的长为________ ． 【答案】 【分析】根据题意可知 是 的角平分线，结合正方形性质可得 ，过点 作 和 延长线的垂线，利用角平分线性质和相似三角形 求出 到 的距离，再利用 求出的长，最后在 中利用勾股定理求解． 【详解】解：根据题意可知 平分 ， 四边形 是正方形， ， 点 在 的延长线上， ， ， 过点 作 于点 ，作 交 的延长线于点 ，则四边形 为矩形， 平分 ， ， ∴四边形 为正方形， 在 中， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中，． 变式训练4（23-24九年级上·山东青岛·期末）在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）①连接，先证，相似比为，得到，即，再证，相似比为，即可求解；②根据，，求得，则，再根据，即可求解． （2）先证，相似比为，得到，即，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 类型三、射影定理模型 典例精讲3（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，是斜边上的高，其中，则__________． 【答案】 【分析】根据得到，然后利用算术平方根的定义得到的长． 【详解】解：∵是斜边上的高，即， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：直角三角形斜边上作高，将原三角形分成两个小直角三角形，三者两两相似，已知部分边长求直角边、高或斜边分段。 2.方法：三个直角三角形两两相似（AA），直接用射影定理：直角边 ² = 斜边 × 邻段，斜边上的高 ² = 两段乘积；也可由相似列比例推导 3.易错提醒：直角边 ² 对应的是斜边的邻段（不是对段），用错分段是高频错误；高 ² = 两段乘积，两段是斜边被高分成的两部分 变式训练1（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有_______对． 【答案】3 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟知两角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理，即可得到存在的相似三角形有哪些． 【详解】解：， ． 又 ． 同理可得， ∴共有对相似三角形． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里得定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言：如图1，在中，，，垂足为． 结论：①；②；③． 下面是对结论①的证明： 是斜边上的高， ， ，， ， （依据）， ，即． 任务： (1)材料中的依据是指______． (2)证明结论②：． (3)运用射影定理解决问题：如图2，，，，，求的长． 【答案】(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2) 证明：，， ， ， ， ， ． (3)2 【分析】本题重点考查了相似三角形的判定和性质，以及全等三角形的性质和判定，读懂题意并熟练掌握相似三角形、全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）相似三角形的判定，两角分别相等的两个三角形相似． （2）证明直角三角形与直角三角形相似，即可得到，进而完成证明． （3）延长至点，使，连接，证明，得到，并设，得到，，利用第二步的结论，代入即可求得的值，进而完成求解． 【详解】（1）解：两角分别相等的两个三角形相似． （2）略 （3）解：如图，延长至点，使，连接， 又，， ， ， ， ，即， 设，则， 由（2）可知，， ，， 即，整理得， 解得，（负值舍去）， 的长为． 变式训练3（24-25九年级上·山西长治·阶段检测）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似； （2）选择②，证明：， ， ， ， ， ； 或选择③．证明：， ， ， ， ， ； （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算； 任务一：（1）根据两角分别对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似证明，据此即可解答； 任务二：（3）根据射影定理得，，，即可证明． 【详解】（1）是斜边上的高， ． ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似； （2）略 （3）略 类型四、一线三等角相似模型 典例精讲4（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭的高为________米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，核心知识点是“两角分别相等的两个三角形相似”及相似三角形对应边成比例的性质．首先根据垂直关系得到两个直角相等，结合已知的角相等，证明与相似；再利用相似三角形对应边成比例的关系，计算出凉亭的高度． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得(米)； 故答案为：． 题型归纳 1.特征：一条直线上有三个等角（顶点共线），两侧各有一个三角形，常见于等腰直角三角形、等边三角形、正方形或矩形的顶点处。 2.方法：由三等角共线，利用平角 180° 推出另一组角相等，用 AA 判定两侧三角形相似；按对应边成比例列方程求线段。 3.易错提醒：三个角的顶点必须在同一直线上，否则不构成该模型；等角的位置（锐角 / 直角 / 钝角）要画准，推等角时勿遗漏平角关系。 变式训练1（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示，点A，B，C是地面上同一直线上的三个点，小童、标杆、旗杆，分别立于上述三点处．今在标杆顶部点F处平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶点D，已知小童眼睛的高度，标杆的高度，，，则旗杆高为______． 【答案】5 【分析】过点F作，交于点M，交于点N，根据平面镜反射原理，得，证明，根据三角形相似的性质，矩形性质解答即可． 本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 【详解】解：过点F作，交于点M，交于点N， 则四边形，都是矩形， ∴，，，， 根据平面镜反射原理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 变式训练2（22-23九年级下·全国·期中）如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质说明，可得，再代入数值可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 所以正方形的边长为． 变式训练3（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ∵，， ∴， ∴． (3) ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式训练4（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1) 解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）略 （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 类型五、手拉手相似模型 典例精讲5（25-26九年级上·河北·单元复习）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是___________，___________； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： “智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则___________； 【答案】(1)， (2) 解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； (3)或； 【分析】（1 ）根据等边三角形的性质可得，则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2 ）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3 ）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点B在以点A为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2 ）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型归纳 1.特征：两个三角形共一个顶点，且从该顶点出发的两组对应边成比例、夹角相等（旋转相似），常出现在等腰三角形、等边三角形或正方形中。 2.方法：由 "两边成比例且夹角相等"（SAS）判定旋转相似；利用相似比求对应线段，或由相似传递角度关系证明平行、垂直。 3.易错提醒：仅共顶点不构成手拉手，必须验证 " 两组对应边成比例 且 夹角相等 "；旋转方向（顺时针 / 逆时针）决定对应顶点顺序，不可写反。 变式训练1（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 【答案】(1) (2)解：，理由： ∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； (3)①或；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得， 则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； ②如图所示， ∵绕顶点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接， 在中，， 当点三点共线时，，此时线段的值最小， ∵和都是直角三角形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 变式训练2（24-25九年级上·河南郑州·期末）【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 【答案】（1），； （2）证明：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为； （3） 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，点到圆的距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （2）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （3）根据当三点共线，且点在线段上时，最小，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为， 故答案为：；； （2）略； （3）， ，， 正方形绕点旋转一周， 当三点共线，且点在线段上时，最小， 此时， 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）【问题背景】（1）已知D、E分别是的边和边上的点， 且， 则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；并加以证明． 【迁移应用】（2）如图3， 在中，， D、E， M分别是中点， 连接和． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段和的始终存在的位置和数量关系： ； ② 把绕着点 A 逆时针方向旋转到如图5，连接和，取中点 N，连接， 若，求的长． 【创新应用】（3）如图6，是直角三角形，，将绕着点 A旋转， 连接， F是上一点， 连接，请直接写出的最小值． 【答案】 （1），证明如下： ， 又，， ∴ ． （2）①，；② （3） 【分析】（1）根据相似的性质，得到，进而得到，利用两边对应成比例，夹角相等，得到即可； （2）①求出，中点推出，延长与相交于点，与相交于点，证明再证明，得到，得到；②证明求出的长，中位线定理求出的长； （3）过点作，过点作，连接，三线合一结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的长，证明求出的长，根据三角形的三边关系求出的最小值即可． 【详解】解：（1）略 （2）①如图，在中，， ， ∵D、E， M分别是中点， ∴， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ，， ∴， 又， ， ， ， ， ，即：． 故答案为：；． ②如图，连接， ，， ∴， 又， ， ， ∴， 又∵M是的中点，N是的中点， ； （3）如图，过点作，过点作，连接， ，， ， 又 ， ， ， ， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线的判定与性质等，解答本题的关键在于会添加合适的辅助线，利用平行线的性质求解，是一道综合性较强的压轴题． 类型六、十字架模型 典例精讲6（2026·湖北·模拟预测）问题情境∶如图1，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若 求的值； (2)探索研究∶如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，求的长； (3)探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，若，，求y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，动点问题的函数关系式．添加相关辅助线，利用翻折的性质及相似三角形的性质是解题的关键． （1）过点E作于点Q，易得，由相似三角形的性质即可求解； （2）①过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得的值，由勾股定理求得，即可求得的值； ②过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长； （3）连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得，；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式． 【详解】（1）解∶如图1，过点E作于点Q，则， 在矩形中，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解∶①过点E作于点Q，如图， ∵矩形沿直线折叠， ∴； 由（1）知， 由勾股定理得 ∴；     ②如图，过G点作于点 P，则， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在 Rt△BPG中， （3）解∶如图，连接，过点E作于点Q， 由翻折性质得； 由（1）知，， ∵四边形是矩形， 在中，由勾股定理得 即 整理得： 即y与x的函数关系式为 题型归纳 1.特征：正方形（或矩形）中两条线段互相垂直交叉，端点分别在对边（或顶点）上，求线段长度或证明相等、垂直。 2.方法：由垂直得角互余，推出一组角相等，结合直角用 AA 判定三角形相似（或全等）；按对应边成比例列方程，正方形中常转化为全等。 3.易错提醒：两条线段必须互相垂直才构成十字架模型；矩形中是相似，正方形中可能是全等，不可直接默认全等；对应边的位置要标清。 变式训练1（25-26九年级上·河南南阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形中两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，则的值为________； （2）如图2，为矩形的对角线，过点A作于点O，延长交于点E．，则的值为________； 【类比探究】（3）如图3，点E为矩形的边上一点，点F为边上一点，连接，过点E作，交的延长线于点G，交于点P，求证：； 【拓展延伸】 （4）如图4，点E为矩形的边上一点，为矩形的对角线，，，点A与点关于直线对称，连接，过点作交于点F，连接．则的值为________． 【答案】（1）1； （2）； （3）证明：∵四边形为矩形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （4） 【分析】（1）由正方形的性质得，，证得，即可求解； （2）由矩形的性质得，利用等量代换得，证得，进而求解即可； （3）由等量代换和对顶角相等得，进而得，证得，得，进而得证； （4）连接交于点H，过点作，分别交、的延长线于点M、N，过点作于点G，证明四边形是矩形，得，由锐角三角函数得，再由轴对称的性质和等量代换得，由直角三角形的性质和勾股定理求得，进而求得，证明，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）略 （4）解：连接交于点H，过点作，分别交、的延长线于点M、N，过点作于点G， ∵四边形是矩形， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A、关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、锐角三角函数及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 变式训练2（26-27九年级上·全国·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】(1) (2)证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； （2）略 （3）解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 变式训练3（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【图形认知】如图1，在正方形中，交于点G，则________（填比值）； (2)【探究证明】如图2，在矩形中，分别交于点分别交于点，求证：； (3)【结论应用】如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，，求折痕的长； (4)【拓展运用】如图4，四边形中，，点分别在边上，则的值为________． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）过点作，交的延长线于，过点作，连接，证明和，再利用，即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图，过作交于，过作交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵矩形中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴由（2）可知，， ∴， 解得； ∴的长． （4）解：如图，过点作，交的延长线于，过点作，连接， ，，， 四边形是矩形， ，，， ，，， ， ， ，且， ，且， ， ，， ， ， （不合题意，舍去），， ， 由（2）可得． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 变式训练4（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】 （2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 【答案】 （1）证明：如图①，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，；，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴． （2）1；（3） 【分析】（1）过点作，交于点，过点作，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，由此即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，由此即可得； （3）先利用勾股定理可得，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1） 略 （2）解：∵在正方形中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：1． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图④，过点作于点， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 类型七、三角形内接四边形模型 典例精讲7（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 【例题】 有一块三角形余料，它的边，高.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问加工成的正方形零件的边长是多少毫米? 【点拨】：解四边形为正方形， ， ， 设正方形零件的边长为xmm，则，. ∵， ，即， 解得.故这个正方形零件的边长是． 【问题探究】 (1)如果原题中要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长是多少？ (2)如果原题中所要加工成的零件只是一个矩形，如图②，求这个矩形面积的最大值和达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 【答案】(1)， (2)最大值为，此时， 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）设，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可； （2）设，用表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题回答问题． 【详解】（1）解：设，则， 由题意知， ， 即， 解得， ， 故这个矩形零件的两条边长是，； （2）解：设，矩形的面积为， 由题意知， ， 即， 解得， ， 的最大值为，此时，． 题型归纳 1.特征：三角形内接一个矩形、正方形或平行四边形，内接图形的一边在三角形底边上，另两个顶点在两腰上，求内接图形的边长或最大面积。 2.方法：内接图形的上边平行于三角形底边，构成 A 字相似；由相似比表示内接图形的边长，建立面积关于位置的函数，求最值。 3.易错提醒：内接图形的高与三角形高的比例关系要列对；求最值必须先确定自变量的取值范围（受三角形边长限制），忽略范围会取到不存在的最值。 变式训练1（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图1，是一块锐角三角形材料，边，高．    (1)要把它加工成正方形零件，使得正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少； (2)要把它加工成矩形零件，且矩形是由两个并排放置的正方形组成，如图2，此时，这个矩形零件的两条边长分别是多少； (3)如果要加工的零件只是一个矩形，如图3，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求矩形的最大面积． 【答案】(1)这个正方形零件的边长是 (2)这个矩形零件的两条边长分别为， (3)矩形的最大面积为 【分析】（1）如图①，设正方形的边长为，则，，通过证明，利用相似比可得到，然后根据比例性质求出即可； （2）设，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可； （3）设，用表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用表示出，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：如图1，设正方形的边长为，则， ∴， ， ， ， ， 解得． 加工成的正方形零件的边长是； （2）解：设矩形的边长，则，由条件可得， ， ， 解得， ， 答：这个矩形零件的两条边长分别为，； （3）解：设，矩形的面积为， 由条件可得， ， ， 解得． ， ∵， ∴当时，有最大值，即最大值为． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键． 变式训练2（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图， 在中，，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点． (1)求证： (2)设，当为何值时，矩形的面积最大？ 并求其最大值． (3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒一个单位的速度沿射线匀速运动当点与点重合时停止运动 ，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1) 证明： 四边形是矩形， ． ． 又 ， ， ； (2)当时，有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，再由可得出，进而可得出结论； （2）先用表示出的长，根据矩形的面积公式得到关于矩形的面积和的函数关系式，进而可得出结论； （3）先求出及的长，再分，＜及三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， ． ， ． ， 当时，有最大值，最大值为． （3）如图1，由（2）得，，， ∵， 是等腰直角三角形， ，， 分三种情况讨论： ① 如图．当时， 设、分别交于点、，则是等腰直角三角形， ． ∴； ②如图，当时， 则，． ∴ ③如图，当时， 设交于点，则． 综上所述：与的函数关系式为： ． 【点睛】此题主要考查了矩形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质及二次函数的应用等知识，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 变式训练3（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问加工成的正方形零件的边长是多少？ 小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 【答案】达到这个最大值时矩形零件的两条边长， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则，，通过证明，得到，求解即可得出答案； （2）设，用含的代数式表示出的长度，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】解：如图1，设正方形的边长为，则， ， ， ， ，即， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是； 如图2，设，矩形的面积为， 由条件可得， ，即， 解得：， ∴， ∴的最大值为，此时，， ∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长，． 变式训练4（2025九年级·全国·专题练习）在中，．矩形DEFG的顶点D，G分别在边AC，BC上，EF在边AB上． (1)点C到AB的距离为_______． (2)如图①，若，求矩形DEFG的周长． (3)如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形性质，判定及应用，涉及矩形性质及应用，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． （1）先求出，再用面积法可得答案； （2）过点C作于点M，交DG于点N，证明，可得，设，则，即可求得的值，从而求出矩形的周长； （3）过点C作于点M，交DG于点N，设，则，同（2）可得，解得的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：． 【提示】如图①，过点C作于点M， 在中， ∴， ∵， ∴， 解得：． 解：如图①，过点C作于点M，交DG于点N． 由（1）得． 四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ， ． 设，则， 解得， 矩形的周长为． （2）． 【提示】过点C作于点M，交DG于点N，如图②． 矩形的周长是DE长的8倍， 设，则， 由（2）知， ，解得，即， 矩形的周长是． 【点睛】本题考查相似三角形性质，判定及应用，涉及矩形性质及应用，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 变式训练5（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题提出】 （1）如图①，中，，，，矩形为的内接矩形（、、分别在、、上），，求矩形的面积． 【问题解决】 （2）如图②，某公园管委会想将一个五边形场地建造成儿童乐园，经测量知：，，，，，现准备建造一个矩形场地，摆放游乐设施，其中、分别在、上，边在上，求出矩形场地的最大面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意可得，从而得出，由相似三角形的性质得出，求出，即可得解； （2）连接交于，交于，证明四边形为矩形，得出，，，证明为直角三角形，且，求出，，由矩形的性质可得，，证明四边形为矩形，得出，，设，则，，求出，从而可得，表示出矩形场地的面积为，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】解：（1）∵矩形为的内接矩形（、、分别在、、上）， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （2）如图，连接交于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形场地的面积为， ∵， ∴当时，矩形场地的面积最大，为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、二次函数的应用、勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 类型八、对角线互补型模型 典例精讲8（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点A作于点M，于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点 M，于点 N， ∴平分； (2)28 (3) 【分析】（1）过点A作于点M，于点N，证明，易得，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）结合三角形面积公式易得，然后由求解即可； （3）证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值并求解即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：平分，， ∴， ； （3）∵ 四边形是奇异四边形，， 又∵， ∵平分， ， 由（1）知，平分， ， ∴， 又∵， ∴， ， ∵，即 ， 解得 或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了新定义“奇异四边形”、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 题型归纳 1.特征：四边形中一组对角互补（和为 180°），或四点共圆，要求构造相似三角形证明比例式或求线段。 2.方法：由对角互补得 "外角 = 内对角"，结合公共角或对顶角用 AA 判定相似；必要时延长边构造 A 字或 8 字模型，列比例求解。 3.易错提醒：不可默认任意四边形对角互补，须有四点共圆或对角和为 180° 的依据；外角与内对角的对应位置要找准，构造相似时辅助线须说明。 变式训练1（2026·广东深圳·三模）新定义：有一组对角相等，且都为 ，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形 中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补：____________． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等：____________． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）____________． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点P作，N为垂足，过点D作，M为垂足．若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在 中， ， ， ， 平分 ，点E在边 上，若以B、C、E、D为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段 的长． 【答案】(1)①正确； ②错误； ③正确； (2)； (3)线段 的长为6或 【分析】（1）①根据四边形内角和定理求解即可； ②连接 ，利用 证明△，即可判断； ③利用角平分线的定义结合①的结论，求得，即可判断； （2）连接 ，证明四边形是圆内接四边形，推出，据此求解即可； （3）分类讨论：①若，，证明，求得；②若，，过点 作，，垂足为点 ，，由勾股定理得 ，由角平分线性质定理可得，则，可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：①， ， “垂直四边形”对角互补， 猜想①正确， ②如图，四边形 是“垂直四边形”， ，，但是 和 不等， “垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边不一定相等， 故猜想②错误； ③，是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， “垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）， 猜想③正确， （2）解：连接 ，如图， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即， ， ； （3）解：平分 ， ， ①若，，如图， 在 与中， ， ， ； ②若，， 如图，过点 作，，垂足为点 ，， 在中， ， ， ， 由勾股定理得：， 平分 ，，， ， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得：， ， 综上所述，线段 的长为6或． 变式训练2（23-24九年级下·湖南株洲·期末）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．    (1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 ， ； (2)如图，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”； (3)如图，在中，，，，平分，点在线段上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】(1)，； (2) 在中 ， ∵为斜边边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴ 四边形是“等对角四边形”； (3)线段的长为或． 【分析】（）根据“等对角四边形”的定义即可求解； （）由为斜边边上的中线得，则，由，，得，又，从而求解； （）根据“等对角四边形”的定义分若，，若，，两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵四边形是“等对角四边形”，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）若，，如图，    ∵平分， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴； 若，，如图，    在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是主要考查了四边形内角和定理，直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质，余角的性质，勾股定理，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键． 类型九、三平行模型 典例精讲9（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像，若物体的高为，实像的高度为，则小孔到地面距离为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键．根据平行关系证明，，从而得到，，计算可得，即可得到的长度． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：三条（或以上）平行线截两条直线，形成多组比例线段，已知部分线段求其余线段，需经过两次或以上比例传递。 2.方法：由平行线分线段成比例定理，从已知条件出发沿平行线组逐步传递比例，中间量作为桥梁；可设参数表示各段，联立求解。 3.易错提醒：每一步比例的对应关系都要重新确认，传递过程中方向不可颠倒；中间量算错会导致最终结果全错，建议每步标注比例来源。 变式训练1（2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚．已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为和，则木杆高为__________． 【答案】 【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得，即，，根据线段成比例关系得出方程，求解即可． 【详解】解：对图中各点进行标注，如下图所示： ∵甲、乙两人和木杆依次直立， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 变式训练2（2023·山东临沂·二模）如图，在中，，过点作，垂足为，且，连接，与相交于点，过点作，垂足为．若，则的长为_____________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质．由，，得，可得，，从而得，，把两式相加得，从而求出的长度． 【详解】解：，，， ∴， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 类型十、飞鱼模型 典例精讲10（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点是的边上一点，连结，在线段上取点，连结并延长交于点． (1)若是的中线，且时． ①证明：； ②若，求的面积； (2)当（，是正整数）时，若依然成立，则 （用字母，表示）． 【答案】(1)①证明：过点作，交于点，如图所示： ， 则， ， 是的中线， ， ， ， 则， ， ， ； ② (2) 【分析】（1）①过点作，交于点，由平行线的性质推出、，得出相似比，结合题中已知条件即可得到、，等量代换即可得证； ②由中线等分三角形面积得到，设，再由相似三角形面积比为相似比的平方、等高三角形面积比等于底边比得出、，代入列方程求出即可确定，最后根据求出即可得到的面积； （2）过点作，交于点，由平行线的性质推出，结合得到，根据题意，设，再由的相似比得到，设，，由前面相关比例关系表示出要求的线段，代入计算即可． 【详解】（1）解：①略 ②连接，如图所示： 由①知， ，， ， ， 由①知，且相似比， ∴， 设， ， 由①知，且相似比，则， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 则， ， ， ∴的面积； （2）解：过点作，交于点，如图所示： ， ， ， 则， ∵（，是正整数）， ∴设， ， ， ， ∴， 设，，则， ∵， ∴， ，， ． 题型归纳 1.特征：A 字模型的变形，三角形一边上有分点，过分点作另一边的平行线，结合中线、角平分线或其他分点条件，形成复合比例结构。 2.方法：先由平行线构造 A 字相似，再结合分点比例（如中点、角平分线定理）多次传递比例；必要时设参数表示各段，联立方程求解。 3.易错提醒：飞鱼模型是 A 字 + 分点的复合结构，须先识别 A 字部分再处理分点；分点比例（如 1:2、中点）不可遗漏，否则比例传递断裂。 变式训练1（2026·山东德州·中考真题）如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ． (1)求证：； (2)若， ，求线段 的长； (3)若，，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ (2) (3) 【分析】（1）由得，结合，利用等角的余角相等得出，再通过对顶角相等代换得，根据等角对等边即可证明； （2）先由，结合和（1）中的结论，用表示与；再通过两角对应相等证明，得到，最后结合长，按比例分配求出即可； （3）在上截取构造等腰直角，设求出的长度；再由等腰三角形底角度数推出，证得，进而求出即的长度；过作，由三线合一得到、的长度，算出的长，最后根据，利用平行线分线段成比例得出，化简计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，在上截取， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 变式训练3（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)20． 【分析】（1）过点A作交BC于点M，根据平行线分线段成比例得到，，根据可知； （2）根据得到，由（1）得，根据得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：过点A作交BC于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2024·河北唐山·模拟预测）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，．求证：． （2）探究如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立，说明理由， （3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在中，，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边向点B运动，且满足，设点P的运动时间为t（秒），当的长与底边上的高相等时，求t的值． 【答案】 （1）如图1， ， ，， ， ， ， ； （2）结论仍成立： 证明：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ； （3）的值为1或5秒 【分析】本题考查一线三等角相似； （1）根据一线三等角证明，得到，； （2）根据一线三等角证明，得到，； （3）先由等腰三角形和勾股定理求出底边上的高，则，再由（1）（2）的经验得，代入列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如下图，过点D作于点E， ， ， ，即底边上的高， ∴当的长与底边上的高相等时，， ， ， ， 又， ， 由（1）（2）的经验得， 由运动可得，， ， 解得或， 的值为1秒或5秒． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）综合与实践 活动目的：对四边形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是 ； ②如图（2），在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则 ． (2)迁移探究 如图（3），在矩形中，，点分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)或 【分析】（1）①利用正方形的边角特征，结合得到角的互余关系，推导出，再通过证明，由全等三角形的对应边相等得到与的数量关系； ②过作构造矩形，结合推导角相等，通过证明，得到，再根据垂直平分确定为中点，利用直角三角形斜边中线定理求出的长； （2）过作、过作构造直角三角形和矩形，结合得到，利用推导角相等证明，根据相似三角形的对应边成比例，结合的长度计算出的长； （3）先利用矩形的性质和角平分线的性质推出为等腰直角三角形，得到，再根据点是的三等分点分两种情况讨论，每种情况先通过角的互余关系证明相关三角形相似，求出关键线段的长度，再作辅助线构造等腰直角三角形，设未知数后利用相似三角形的性质列方程求解未知数，最后结合勾股定理计算出的长度． 【详解】（1）①解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ②解：过点作于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴为的中点， ∵为直角三角形， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，则， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴同上证得四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，设与交于点， ∴°． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的三等分点， ∴分两种情况讨论： 情况1：点为线段上靠近点的三等分点，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 过点作于点，于点， ∵， ∴为等腰直角三角形，， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， 由勾股定理得； 情况2：点为线段上靠近点的三等分点，， 同理，，求出， 过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 综上，的长为或． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，是等腰三角形，，点，分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， (2) (3)存在， 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证得； （2）由，，得到，，由（1）知，进而可得，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）设，，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，得到，整理得，由方程有解，即，得到，于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：，， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ； （3）解：设，， 由（1）知， ， ， ， 方程有解，即， ， 解得， 即最大值为， 最小值为． 【点睛】本题以等腰三角形为载体，核心是通过角的和差推导证得，再依托相似三角形的比例性质，结合线段长度关系求解的长度；最后通过设元建立一元二次方程，利用判别式的非负性探究的最小值，将几何最值问题转化为代数方程问题，充分体现了数形结合与转化思想。 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点，，，分别在边、、、上，且，若，则的长为______． ②如图（2），在矩形中，，点，，，分别在边、、、上，且，若，则的长为______． （2）迁移探究 如图（3），在中，，，点、分别在边，上，且，试证明：． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，，，平分交于点，点为线段上一点，交于点，交直线于点，过点作交于点．若的面积为，求的长． 【答案】（1）①；②4； （2）证明：如图，过点作交的延长线于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）或 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，用方程思想解决几何问题等知识点． （1）①过点作于点，过点作于点，通过证明，得到的长度． ②过点作于点，过点作于点，通过证明，根据对应线段成比例，得到的长度． （2）过点作交的延长线于点，通过证明，得到，通过证明，得到对应边成比例，继而得到． （3）首先证明，得到，再证明，得到，，设，则，通过证明，得到对应边成比例，继而得到关于的表达式，继而得到关于的表达式，代入面积值解得的值，继而得到的长度． 【详解】解：（1）①如图，过点作于点，过点作于点，则， ∴四边形，是矩形， ∴， 设交于点，则， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点，则， ∴四边形，是矩形， ， 设交于点，则， ， 又 ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）解： 在矩形中，平分，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， 设，则， ，， ， ，， ，， ， ， 解得或， 则，即，或， 或． 5．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图1，在中，，点D是上一点（不与点A，B重合），作交于点E．如图2，把绕点A顺时针旋转α度，．在旋转过程中，完成以下问题． (1)如图2，求证：； (2)如图3，若点F，H，G分别是的中点，求的值； (3)如图2，若，求面积的最小值． 【答案】(1) 证明：如图1，∵绕点A旋转前，， ∴， ∴，即 ， 如图2，∵绕点A顺时针旋转α度的过程中， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) (3)24 【分析】（1）如图1：先证明可得，如图2：再说明即可证明结论； （2）由三角形中位线定理知，同理：．由（1）知，再利用相似三角形的性质以及已知条件即可解答； （3）先运用勾股定理求得，再利用可得；根据绕点A顺时针旋转，则是的半径，要使达到最小值，即：以为底．过点A作于点M．当点A，E，M三点共线时，即；然后用等面积法求得，即，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵点F，H，G分别是的中点， ∴是的中位线， ∴，同理：． 由（1）得，且． ∴， ∴． （3）解：如图： ∵在中，， ∴． ∵，， ∴，即，解得：． ∵绕点A旋转，则是的半径， 要使达到最小值，即：以为底．过点A作于点M． ∵绕点A顺时针旋转α度的过程中，的三边关系有：， ∴当点A，E，M三点共线时，即， ∴，即，解得： ∴，此时 ∴，即面积的最小值为24． 6．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究：在矩形中，点在上，， (1)【观察与猜想】如图1，连接，过点作，交于点，连接，求证：； (2)【类比探究】如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：； (3)【拓展延伸】如图3，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接，且的面积是4.5，直接写出长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，            ∵ 在和中， ， ∴． (2) 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，         又∵， ∴． (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和已知数据，证明； （2）根据矩形的性质可得，再通过导角证明，即可证明； （3）过作于，根据的面积可得，同（2）可证，推出，进而求出，再利用勾股定理解求出，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过F作于G， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，                       同（2）可证：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，                    ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． 7．（2026·湖北武汉·二模）探究图形中线段之间的关系，并完成以下问题 (1)问题背景  如图，点在上，，，，求证：． (2)尝试应用  如图，在中，点在边上，将沿折叠得到，且点恰好为边的中点，求的值． (3)拓展创新  如图，在菱形中，点，分别在，边上，，，，．请直接写出的值． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ． (2) (3) 【分析】（1）证明与相似即可． （2）添加辅助线，利用平行四边形的性质以及翻折的性质证明与相似，得到边长成比例，再结合，，即可求解． （3）添加辅助线同理可证，得到边长成比例，设，列分式方程求解x的值，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在边取点，使，如图， 则， 在中，， ． 沿折叠得到， ，，， 在中，， ， 又， ， 在与中， ， ， ，即． ， ． ， 在中，，且点恰好为边的中点， ， ． （3）解： 作，，如图， 由（2）同理可证， ，即． 设，， 则，，， ，， ， ，即． 由，可知， ， ， 解得，，经检验，是原方程的解； ． 8．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】(1)图1的正方形面积较大 (2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． （2）解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形有关的十类热考模型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A 字相似模型 1 类型二、8 字相似模型 2 类型三、射影定理模型 5 类型四、一线三等角相似模型 7 类型五、手拉手相似模型 9 类型六、十字架模型 12 类型七、三角形内接四边形模型 15 类型八、对角线互补型模型 18 类型九、三平行模型 20 类型十、飞鱼模型 21 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 相似三角形热考模型是初中几何压轴题的 "工具箱"，所有模型本质上都是相似三角形判定（AA / SAS / SSS）与性质（对应边成比例）在特定图形结构中的固化应用。解题贯穿两条主线：一是识别模型—— 从复杂图形中剥离出 A 字、8 字、一线三等角等基本结构；二是用模型定比例—— 利用模型自带的比例关系（射影定理、手拉手比例、内接相似等）直接列方程，最终结果均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、A 字相似模型 典例精讲1（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 题型归纳 1.特征：三角形内有一条线段平行于底边，截得的小三角形与原三角形构成 "A" 字形结构，已知部分边长求其余线段或比例。 2.方法：由平行线得同位角相等，用 AA 判定相似；按 "上比下 = 上比下"" 上比全 = 上比全 " 列比例式求解；小三角形与原三角形的相似比 = 对应边之比。 3.易错提醒：平行线必须平行于三角形的某一边，否则不构成 A 字模型；比例式中 "上 / 下 / 全" 须在同一直线上对应，不可跨边混搭。 变式训练1（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 变式训练2（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 变式训练3（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 变式训练4（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，中，D为边上一点，且，E为中点，则________． 类型二、8 字相似模型 典例精讲2（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 题型归纳 1.特征：两条线段相交于一点，形成对顶的两个三角形（形如 "8" 或 "X"），已知部分边长或角度，求线段或证明比例。 2.方法：由对顶角相等，再找一组角相等（或两边成比例）用 AA（或 SAS）判定相似；对应边成比例列方程，常用于证明等积式或比例式。 3.易错提醒：对顶角是对应角，其两边的对应关系不可颠倒；两个三角形的顶点顺序须按对应关系书写，写错则比例式全错。 变式训练1（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 变式训练2（2026·广东深圳·三模）如图，在矩形中， ，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ，再分别以点 为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交 于点，则的长是__________． 变式训练3（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为 的正方形 中，以点B为圆心， 为半径作弧，交 于点M，交 的延长线于点N，再分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点K，作射线 ．点E在边 上，且 ，连接 并延长，交 于点F，连结 ，交 于点G，则 的长为________ ． 变式训练4（23-24九年级上·山东青岛·期末）在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 类型三、射影定理模型 典例精讲3（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，是斜边上的高，其中，则__________． 题型归纳 1.特征：直角三角形斜边上作高，将原三角形分成两个小直角三角形，三者两两相似，已知部分边长求直角边、高或斜边分段。 2.方法：三个直角三角形两两相似（AA），直接用射影定理：直角边 ² = 斜边 × 邻段，斜边上的高 ² = 两段乘积；也可由相似列比例推导 3.易错提醒：直角边 ² 对应的是斜边的邻段（不是对段），用错分段是高频错误；高 ² = 两段乘积，两段是斜边被高分成的两部分 变式训练1（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有_______对． 变式训练2（25-26九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里得定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言：如图1，在中，，，垂足为． 结论：①；②；③． 下面是对结论①的证明： 是斜边上的高， ， ，， ， （依据）， ，即． 任务： (1)材料中的依据是指______． (2)证明结论②：． (3)运用射影定理解决问题：如图2，，，，，求的长． 变式训练3（24-25九年级上·山西长治·阶段检测）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 类型四、一线三等角相似模型 典例精讲4（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，使得眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米(此时)，那么凉亭的高为________米． 题型归纳 1.特征：一条直线上有三个等角（顶点共线），两侧各有一个三角形，常见于等腰直角三角形、等边三角形、正方形或矩形的顶点处。 2.方法：由三等角共线，利用平角 180° 推出另一组角相等，用 AA 判定两侧三角形相似；按对应边成比例列方程求线段。 3.易错提醒：三个角的顶点必须在同一直线上，否则不构成该模型；等角的位置（锐角 / 直角 / 钝角）要画准，推等角时勿遗漏平角关系。 变式训练1（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示，点A，B，C是地面上同一直线上的三个点，小童、标杆、旗杆，分别立于上述三点处．今在标杆顶部点F处平放一小镜子，站在A处的小童刚好可以在镜中看到旗杆顶点D，已知小童眼睛的高度，标杆的高度，，，则旗杆高为______． 变式训练2（22-23九年级下·全国·期中）如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 变式训练3（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 变式训练4（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 类型五、手拉手相似模型 典例精讲5（25-26九年级上·河北·单元复习）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是___________，___________； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： “智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则___________； 题型归纳 1.特征：两个三角形共一个顶点，且从该顶点出发的两组对应边成比例、夹角相等（旋转相似），常出现在等腰三角形、等边三角形或正方形中。 2.方法：由 "两边成比例且夹角相等"（SAS）判定旋转相似；利用相似比求对应线段，或由相似传递角度关系证明平行、垂直。 3.易错提醒：仅共顶点不构成手拉手，必须验证 " 两组对应边成比例 且 夹角相等 "；旋转方向（顺时针 / 逆时针）决定对应顶点顺序，不可写反。 变式训练1（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 变式训练2（24-25九年级上·河南郑州·期末）【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 变式训练3（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）【问题背景】（1）已知D、E分别是的边和边上的点， 且， 则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ；并加以证明． 【迁移应用】（2）如图3， 在中，， D、E， M分别是中点， 连接和． ①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段和的始终存在的位置和数量关系： ； ② 把绕着点 A 逆时针方向旋转到如图5，连接和，取中点 N，连接， 若，求的长． 【创新应用】（3）如图6，是直角三角形，，将绕着点 A旋转， 连接， F是上一点， 连接，请直接写出的最小值． 类型六、十字架模型 典例精讲6（2026·湖北·模拟预测）问题情境∶如图1，矩形中，M是边上一点，分别交，于点E，F． (1)探究发现：若 求的值； (2)探索研究∶如图2，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，，连接，与交于点G． ①求的长； ②连接，求的长； (3)探究拓展：如图3，矩形中，，，将矩形沿直线折叠，E，F分别在边上，点A落在边上的点M处，若，，求y关于x的函数关系式． 题型归纳 1.特征：正方形（或矩形）中两条线段互相垂直交叉，端点分别在对边（或顶点）上，求线段长度或证明相等、垂直。 2.方法：由垂直得角互余，推出一组角相等，结合直角用 AA 判定三角形相似（或全等）；按对应边成比例列方程，正方形中常转化为全等。 3.易错提醒：两条线段必须互相垂直才构成十字架模型；矩形中是相似，正方形中可能是全等，不可直接默认全等；对应边的位置要标清。 变式训练1（25-26九年级上·河南南阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形中两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，则的值为________； （2）如图2，为矩形的对角线，过点A作于点O，延长交于点E．，则的值为________； 【类比探究】（3）如图3，点E为矩形的边上一点，点F为边上一点，连接，过点E作，交的延长线于点G，交于点P，求证：； 【拓展延伸】（4）如图4，点E为矩形的边上一点，为矩形的对角线，，，点A与点关于直线对称，连接，过点作交于点F，连接．则的值为________． 变式训练2（26-27九年级上·全国·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． (1)【数学思考】如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； (2)【深入探究】如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； (3)【拓展延伸】如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 变式训练3（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明： (1)【图形认知】如图1，在正方形中，交于点G，则________（填比值）； (2)【探究证明】如图2，在矩形中，分别交于点分别交于点，求证：； (3)【结论应用】如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，，求折痕的长； (4)【拓展运用】如图4，四边形中，，点分别在边上，则的值为________． 变式训练4（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得． （1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律． 【模型应用】（2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）． 【拓广延伸】（3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度． 类型七、三角形内接四边形模型 典例精讲7（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 【例题】 有一块三角形余料，它的边，高.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问加工成的正方形零件的边长是多少毫米? 【点拨】：解四边形为正方形， ， ， 设正方形零件的边长为xmm，则，. ∵， ，即， 解得.故这个正方形零件的边长是． 【问题探究】 (1)如果原题中要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长是多少？ (2)如果原题中所要加工成的零件只是一个矩形，如图②，求这个矩形面积的最大值和达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 题型归纳 1.特征：三角形内接一个矩形、正方形或平行四边形，内接图形的一边在三角形底边上，另两个顶点在两腰上，求内接图形的边长或最大面积。 2.方法：内接图形的上边平行于三角形底边，构成 A 字相似；由相似比表示内接图形的边长，建立面积关于位置的函数，求最值。 3.易错提醒：内接图形的高与三角形高的比例关系要列对；求最值必须先确定自变量的取值范围（受三角形边长限制），忽略范围会取到不存在的最值。 变式训练1（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图1，是一块锐角三角形材料，边，高．    (1)要把它加工成正方形零件，使得正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少； (2)要把它加工成矩形零件，且矩形是由两个并排放置的正方形组成，如图2，此时，这个矩形零件的两条边长分别是多少； (3)如果要加工的零件只是一个矩形，如图3，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求矩形的最大面积． 变式训练2（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图， 在中，，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点． (1)求证： (2)设，当为何值时，矩形的面积最大？ 并求其最大值． (3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒一个单位的速度沿射线匀速运动当点与点重合时停止运动 ，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式． 变式训练3（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）课本中有一道作业题：有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．问加工成的正方形零件的边长是多少？ 小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 变式训练4（2025九年级·全国·专题练习）在中，．矩形DEFG的顶点D，G分别在边AC，BC上，EF在边AB上． (1)点C到AB的距离为_______． (2)如图①，若，求矩形DEFG的周长． (3)如图②，若矩形DEFG的周长是DE长的8倍，则矩形DEFG的周长为_______． 变式训练5（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）【问题提出】 （1）如图①，中，，，，矩形为的内接矩形（、、分别在、、上），，求矩形的面积． 【问题解决】 （2）如图②，某公园管委会想将一个五边形场地建造成儿童乐园，经测量知：，，，，，现准备建造一个矩形场地，摆放游乐设施，其中、分别在、上，边在上，求出矩形场地的最大面积． 类型八、对角线互补型模型 典例精讲8（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 题型归纳 1.特征：四边形中一组对角互补（和为 180°），或四点共圆，要求构造相似三角形证明比例式或求线段。 2.方法：由对角互补得 "外角 = 内对角"，结合公共角或对顶角用 AA 判定相似；必要时延长边构造 A 字或 8 字模型，列比例求解。 3.易错提醒：不可默认任意四边形对角互补，须有四点共圆或对角和为 180° 的依据；外角与内对角的对应位置要找准，构造相似时辅助线须说明。 变式训练1（2026·广东深圳·三模）新定义：有一组对角相等，且都为 ，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形 中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补：____________． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等：____________． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）____________． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点P作，N为垂足，过点D作，M为垂足．若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在 中， ， ， ， 平分 ，点E在边 上，若以B、C、E、D为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段 的长． 变式训练2（23-24九年级下·湖南株洲·期末）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．    (1)已知四边形是“等对角四边形”，，，，则 ， ； (2)如图，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”； (3)如图，在中，，，，平分，点在线段上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 类型九、三平行模型 典例精讲9（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像，若物体的高为，实像的高度为，则小孔到地面距离为______． 题型归纳 1.特征：三条（或以上）平行线截两条直线，形成多组比例线段，已知部分线段求其余线段，需经过两次或以上比例传递。 2.方法：由平行线分线段成比例定理，从已知条件出发沿平行线组逐步传递比例，中间量作为桥梁；可设参数表示各段，联立求解。 3.易错提醒：每一步比例的对应关系都要重新确认，传递过程中方向不可颠倒；中间量算错会导致最终结果全错，建议每步标注比例来源。 变式训练1（2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚．已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为和，则木杆高为__________． 变式训练2（2023·山东临沂·二模）如图，在中，，过点作，垂足为，且，连接，与相交于点，过点作，垂足为．若，则的长为_____________． 类型十、飞鱼模型 典例精讲10（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，点是的边上一点，连结，在线段上取点，连结并延长交于点． (1)若是的中线，且时． ①证明：； ②若，求的面积； (2)当（，是正整数）时，若依然成立，则 （用字母，表示）． 题型归纳 1.特征：A 字模型的变形，三角形一边上有分点，过分点作另一边的平行线，结合中线、角平分线或其他分点条件，形成复合比例结构。 2.方法：先由平行线构造 A 字相似，再结合分点比例（如中点、角平分线定理）多次传递比例；必要时设参数表示各段，联立方程求解。 3.易错提醒：飞鱼模型是 A 字 + 分点的复合结构，须先识别 A 字部分再处理分点；分点比例（如 1:2、中点）不可遗漏，否则比例传递断裂。 变式训练1（2026·山东德州·中考真题）如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ． (1)求证：； (2)若， ，求线段 的长； (3)若，，请直接写出的值． 变式训练3（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2024·河北唐山·模拟预测）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，．求证：． （2）探究如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立，说明理由， （3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在中，，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边向点B运动，且满足，设点P的运动时间为t（秒），当的长与底边上的高相等时，求t的值． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）综合与实践 活动目的：对四边形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是 ； ②如图（2），在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则 ． (2)迁移探究 如图（3），在矩形中，，点分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，是等腰三角形，，点，分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）综合实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点，，，分别在边、、、上，且，若，则的长为______． ②如图（2），在矩形中，，点，，，分别在边、、、上，且，若，则的长为______． （2）迁移探究 如图（3），在中，，，点、分别在边，上，且，试证明：． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，，，平分交于点，点为线段上一点，交于点，交直线于点，过点作交于点．若的面积为，求的长． 5．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图1，在中，，点D是上一点（不与点A，B重合），作交于点E．如图2，把绕点A顺时针旋转α度，．在旋转过程中，完成以下问题． (1)如图2，求证：； (2)如图3，若点F，H，G分别是的中点，求的值； (3)如图2，若，求面积的最小值． 6．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中研究三角形和矩形性质时，做了如下探究：在矩形中，点在上，， (1)【观察与猜想】如图1，连接，过点作，交于点，连接，求证：； (2)【类比探究】如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：； (3)【拓展延伸】如图3，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接，且的面积是4.5，直接写出长． 7．（2026·湖北武汉·二模）探究图形中线段之间的关系，并完成以下问题 (1)问题背景  如图，点在上，，，，求证：． (2)尝试应用  如图，在中，点在边上，将沿折叠得到，且点恰好为边的中点，求的值． (3)拓展创新  如图，在菱形中，点，分别在，边上，，，，．请直接写出的值． 8．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $