培优课 三角函数中ω、φ的范围问题（讲义）-2027年高考数学一轮复习

培优课 三角函数中ω、p的范围问题 题型分析三角函数中的参数问题主要是涉及函数y=Asi(ox+o)中ω的求解，一般是利用所给函数 的单调性、对称性、极值、最值、零点等进行解决 培优拔尖锻造高阶思维 深挖核心考点一突破思维瓶颈 题型一三角函数的单调性与ω，9的取值范围 例1(2026安康模拟)已知函数x)=sin(ox+君)(o>0)在(G,m上单调递减，则ω的取值范围是( A.(1,2] B c(1,割 D后 答案B 解析sin(ox+w>0), 令经2m≤a+g2km,k∈Z, 则G+2km≤r≤（售+2km),k∈Z, 所以在(G+2km),(售+2m刃，k∈z上单调递减， 因为网本区可后华调流，所以后很2行e2 (+2m)2 ≤+2k ∈Z, 又w>0,所以=0， 华ω青 感悟提升涂：习 若三角函数在区间[α，b]上单调递增（减），则区间[a,b]是该函数单调递增（减）区间的子集，利用集合的包 含关系即可求解 跟踪训练目。 1.(2026湘潭模拟树)已知函数fx)sin(2+p)(pl<习在区间(0，君上单调，则p的取值范围为() A(受引 B(周 c[；剧 D若副 答案B 解析已知x∈(0，习， 令=2r+p,则te(p,+g), 因为受，所以g(,》 故原条件等价于已知函数=nt在区间(，哥+p)上单调，而函数)=sint在区间（于，）上单调，所以 p2-2 后+p≤ 解得p君， 又因为p(三)，故p的取值范围为(， 题型二 三角函数的对称性与ω，的取值范围 例2(2026盐城模拟)若函数)-sin@r+o(w>0)的图象在(0，)内有且仅有两条对称轴和一个对 称中心，则实数ω的取值范围是 答案（侣，到 解析由题意，得-sin+coso-V2sim(aωx+羽、 方法-令or+m+k∈Z,解得k∈D, 令0,1,2.得恶 令o+马km(k∈☑，解得x∈☑ 令1,2.得需 0<< 4ω 9 根据题意，得〈 43 0<< 4w 3 7π \4 解得5o<科 方法二 :x∈(0，)，令o好， 则e(任罗+用， 由=nt的图象可知，答+2m,解得5w≤程 234 感悟提升汝：泛 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为写，相邻的对称轴和对称中心之间的 “水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究共周期性，解决问题的关健在于运用 整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 跟踪训练目。 2.已知函数w)-sim(ωx+)(o>0)在区间(0，)内恰有一个极值，则ω的取值范围是() A(作，割 B居月 c(寻 D店) 答案A 解析因为w>0,令@x+云，则当0K时，有各w+名， 由题意得血1在区间（信，0+）内怡有一个极值， 结合函数图象，得o牙，解得子ω≤号， 所以®的取值范围为（作，乳 y +君 2 君罗 3m 题型三三角函数的零点与0，的取值范围 例3已知)Asim(wx+4>0,w>0),若函数在区间[0,2上有且仅有3个零点和1个极小 值点，则ω的取值范围是 答案侣) 解析当x∈[0,2m时，o+e后2wm+月， 因为函数=x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以3玩≤2om+。行，故w的取值范围是侣，》 感悟提升狡 已知三角函数的零点求ω，的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数 的零点，进而得所求的取值范围， 跟踪训练目。 3.(2026·苏州模拟)已知函数f)2sin(wx-爱)o>0),若集合{xf(x)=-1,xe(0,m}恰有3个元素， 则实数ω的取值范围是() A2, B(2, c侣，4) D(侣，4 答案D 解析令九-l,得sim(ox-哥} 则am。÷2或axg吾-2mkeZ刀， 66 解得2匹或 2严k∈A, 分别取1,2，因为®0，从小到大排列得5二恶告。 4 因为集合{x)-1,x∈(0，)}恰有3个元素， 10π <兀 所以需满足 3w 4π 解得10ω≤4. 子3 之兀， 题型四 三角函数的最值（值域）与ω，的取值范围 例4 (2026巴中模拟)已知函数x)=3 Bsin在区间[牙，哥上的最小值为-3，则ω的取值范围 为 答案（∞，-3]U[2,+∞） 解析由题意，)=3 sin在区间：寻上的最小值为-3，o≠0， 当w>0时，平ω≤r≤g0w4w≤2→w≥2： 当0时， g0≤w≤70=20≤w≤3. 5 则ω的取值范围为(-∞，-3]U[2,+∞) 感悟提升： 求三角函数的最值（值域）问题，主要是整体代换+p,利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范 围 跟踪训练目。 4.(2026郑州模拟已知函数w)-2sin(ox-君)@>0)在0，习上的值域为[-1,2]，则ω的取值范围为 () A售2 B信割 c尼 D 答案B 解析由c∈0，引及w>0可得x∈[言w-周 根据其值域为1,2]，且2sm()-1, 由正弦函数的图象及性质可得字。名，解得长®号 课时 培优精练 一、单项选择题 1若函数一cosω(w>0)的图象在区间(-云，羽上只有一个对称中心，则ω的取值范围为( A.1<ω≤2 B.1≤w2 C.1<ω≤3 D.1≤w<3 答案A 解析因为=c0sx(o>0)的图象在区问(-三，到上只有一个对称中心，令卡ox,则1∈(0，)，结 0<严ω≤2 合y=c0st的图象（图略）可得} 3π 解得1<ω≤2 -w< 21 2.(2026贵阳模拟)已知函数y)sim(2x-9,若)在区间[-a,a上单调递增，则a的最大值为() A号 B旺 c唱 DE 答案C 解析 令受+2m≤2受2，k∈乙，则音4m≤r≤0+m,k∈Z, 因为fx)在区间[a,a]上单调递增， 则[a,as吾， a>0, 则 -a之解得0<a≤日， (a≤ 则a的最大值为后 3.已知函数y)-2c0s(ωx-)+1(@>0)的图象在区间(0,2m)内至多存在3条对称轴，则o的取值范围是 () A(O,引 B作，引 c6) DB,+∞) 答案A 解析因为x∈(0,2m,o>0,令一or5, 则：∈（行2wm-), 画出y=2c0s+1的图象， 要想图象在区间（子2wm-)内至多存在3条对称轴，则2am∈（号，3m,解得o∈(0，引 4.已知函数-2c0s(ox+引(。0)在(0，上有且仅有2个极值点，且在(（G,)上单调递增，则w的取 值范围为() AB,习 B.4 c2, D2, 答案A 解析因为f)在(0，)上有且仅有2个极值点， 所以2Kwm≤3，解得名w≤名， 6 因为在(（传，）上单调递增， 又(G)=0,网， 所以合心+严之D 6 1匹w+g≤2π， 24 6 解得≤w≤4，所以冬w≤名 二、多项选择题 5.(2026·重庆模拟)记函数w)=sin(a+)o>0,0<g<)的最小正周期为T若f)号，且)≤f(得)对vx∈R 恒成立，则下列说法正确的是() Ap君 B.0-或5n 6×6 C.ω的最小值为3 D.ω的最小值为6 答案BC 解析宁sm如号+）sin0匹p名兰，故A错误，B正确 s. 因为)≤f(得对x∈R恒成立，所以ω+受m,k∈Z, ①0-0=3+9%，k∈z0>0 6 0min=3; ②0-5π→0=-3+9%，k∈Z0>0g →00min=6; 6 综上，ω的最小值为3，故C正确，D错误， 6.已知函数)cos(ox-o>0)在[0，上恰有三个零点，则() Aω的取值范围是[侣，？) Bx)在0，上只有一个极小值点 C)在[0，上恰有两个极大值点 D,)在(0，)上单调递增 答案ABD 解析当x∈0，时，≤ax≤m否， 3 由函数c0s(ox-》(ow>0)在[0，U上恰有三个零点， 可得≤om受，解得≤®，因此A正确： 由A选项分析知，≤®m否号，则当ar即x时，函数取得极小值， 即x)在[0，上只有一个极小值点，因此B正确； 因为ar答∈子m引但m号号，当号0时，0∈行om引，函数有极大值， 当am2元时，2m不一定在[三，om-内，)在[0，上不一定有两个极大值点，因此C错误； 当0时，ax各管容， 因为名，所以×9西 、5356330 则（吾，答(-）， 而一c0sx在（受，-）上单调递增， 因此在(0，)上单调递增，因此D正确。 三、填空题 7.(2026·大同期末)已知函数)sin(ωx+)(w>0)在区间0，)内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围 是 答案 (传 解析 因为o>0,令=®+信，所以当0≤时，有系+后，因为)在区间0，)内有最大值，但无 最小值， 结合函数s1的图家，得。。受，解得手0 62 y↑ 君号 3π7t 6 2 8.(2026-漳州模拟已知)=sin(传x+),若)在区间a,a+0<a2m上不单调，则a的取值范围 是 答案（侣，） 解析画出函数)的部分图象如图所示， 2T 0 因为0a2m,所以后a+gg号 663 因为fw)在区间a,a+0<a<2)上不单调， < 所以 解得 a+ > <a 3 培优课　三角函数中ω、φ的范围问题 题型分析　三角函数中的参数问题主要是涉及函数y=Asin(ωx+φ)中ω的求解,一般是利用所给函数的单调性、对称性、极值、最值、零点等进行解决. 题型一　三角函数的单调性与ω，φ的取值范围 例1　 (2026·安康模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A.(1，2] B. C. D. 答案　B 解析　f(x)=sin(ω>0)， 令+2kπ≤ωx+≤+2kπ，k∈Z， 则≤x≤k∈Z， 所以f(x)在k∈Z上单调递减， 因为f(x)在区间上单调递减，所以有k∈Z， 即k∈Z， 又ω>0，所以k=0≤ω≤. 若三角函数在区间[a，b]上单调递增(减)，则区间[a，b]是该函数单调递增(减)区间的子集，利用集合的包含关系即可求解. 1.(2026·湘潭模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)在区间上单调，则φ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　已知 x∈ 令t=2x+φ，则t∈ 因为|φ|<所以φ∈. 故原条件等价于已知函数y=sin t在区间上单调，而函数y=sin t在区间上单调，所以 解得 -≤φ≤ 又因为φ∈故φ的取值范围为. 题型二　三角函数的对称性与ω，φ的取值范围 例2　(2026·盐城模拟)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象在内有且仅有两条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围是　　　　　.  答案　 解析　由题意，得f(x)=sin ωx+cos ωx=sin 方法一　令ωx+=kπ+(k∈Z)，解得x=(k∈Z)， 令k=0，1，2，得x=； 令ωx+=kπ(k∈Z)，解得x=(k∈Z)， 令k=1，2，得x=. 根据题意，得 解得<ω≤. 方法二　∵x∈令t=ωx+ 则t∈ 由y=sin t的图象可知<+≤2π，解得<ω≤. 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 2.已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间内恰有一个极值，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为ω>0，令t=ωx+则当0<x<时，有<t<ω+ 由题意得y=sin t在区间内恰有一个极值， 结合函数图象，得<ω+≤解得<ω≤ 所以ω的取值范围为. 题型三　三角函数的零点与ω，φ的取值范围 例3　已知f(x)=Asin(A>0，ω>0)，若函数y=f(x)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和1个极小值点，则ω的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　当x∈[0，2π]时，ωx+∈ 因为函数y=f(x)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以3π≤2ωπ+<故ω的取值范围是. 已知三角函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围. 3.(2026·苏州模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)，若集合恰有3个元素，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　令f(x)=-1，得sin=- 则ωx-=-+2kπ或ωx-=-+2kπ(k∈Z)， 解得x=或x=(k∈Z)， 分别取k=1，2，因为ω>0，从小到大排列得x= 因为集合{x|f(x)=-1，x∈(0，π)}恰有3个元素， 所以需满足解得<ω≤4. 题型四　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 例4　(2026·巴中模拟)已知函数f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为-3，则ω的取值范围为　　　　　　　　.  答案　(-∞，-3]∪[2，+∞) 解析　由题意，f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为-3，ω≠0， 当ω>0时，-ω≤ωx≤ω⇒-ω≤-⇒ω≥2； 当ω<0时ω≤ωx≤-ω⇒ω≤-⇒ω≤-3. 则ω的取值范围为(-∞，-3]∪[2，+∞). 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx+φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围. 4.(2026·郑州模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)在上的值域为[-1，2]，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由x∈及ω>0可得ωx-∈ 根据其值域为[-1，2]，且2sin=-1， 由正弦函数的图象及性质可得≤ω-≤解得≤ω≤. 一、单项选择题 1.若函数y=cos ωx(ω>0)的图象在区间上只有一个对称中心，则ω的取值范围为(　　) A.1<ω≤2 B.1≤ω<2 C.1<ω≤3 D.1≤ω<3 答案　A 解析　因为y=cos ωx(ω>0)的图象在区间上只有一个对称中心，令t=ωx，则t∈结合y=cos t的图象(图略)可得解得1<ω≤2. 2.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=sin若f(x)在区间[-a，a]上单调递增，则a的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，则-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 因为f(x)在区间[-a，a]上单调递增， 则[-a，a]⊆ 则解得0<a≤ 则a的最大值为. 3.已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为x∈(0，2π)，ω>0，令z=ωx- 则z∈ 画出y=2cos z+1的图象， 要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则2ωπ-∈解得ω∈. 4.已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0，π)上有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为f(x)在(0，π)上有且仅有2个极值点， 所以2π<ωπ+≤3π，解得<ω≤ 因为f(x)在上单调递增， 又⊆(0，π)， 所以 解得≤ω≤4，所以≤ω≤. 二、多项选择题 5.(2026·重庆模拟)记函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=且f(x)≤对∀x∈R恒成立，则下列说法正确的是(　　) A.φ= B.φ=或 C.ω的最小值为3 D.ω的最小值为6 答案　BC 解析　f(T)=⇒sin=sin φ=φ=或故A错误，B正确； 因为f(x)≤对∀x∈R恒成立，所以ω·+φ=+kπ，k∈Z， ①φ＝⇒ω＝3＋9k，k∈Zωmin＝3； ②φ＝⇒ω＝－3＋9k，k∈Zωmin＝6； 综上，ω的最小值为3，故C正确，D错误. 6.已知函数f(x)=cos(ω>0)在[0，π]上恰有三个零点，则(　　) A.ω的取值范围是 B.f(x)在[0，π]上只有一个极小值点 C.f(x)在[0，π]上恰有两个极大值点 D.f(x)在上单调递增 答案　ABD 解析　当x∈[0，π]时，-≤ωx-≤ωπ- 由函数f(x)=cos(ω>0)在[0，π]上恰有三个零点， 可得≤ωπ-<解得≤ω<因此A正确； 由A选项分析知≤ωπ-<则当ωx-=π，即x=时，函数f(x)取得极小值， 即f(x)在[0，π]上只有一个极小值点，因此B正确； 因为ωx-∈且≤ωπ-<当ωx-=0时，0∈函数f(x)有极大值， 当ωx-=2π时，2π不一定在内，f(x)在[0，π]上不一定有两个极大值点，因此C错误； 当0<x<时，-<ωx-<- 因为ω<所以-<×-=- 则⊆ 而y=cos x在上单调递增， 因此f(x)在上单调递增，因此D正确. 三、填空题 7.(2026·大同期末)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　因为ω>0，令t=ωx+所以当0≤x<时，有≤t<ω+因为f(x)在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数y=sin t的图象，得<ω+≤解得<ω≤. 8.(2026·漳州模拟)已知f(x)=sin若f(x)在区间(0<a<2π)上不单调，则a的取值范围是　　　　　　.  答案　 解析　画出函数f(x)的部分图象如图所示， 因为0<a<2π，所以<a+<<. 因为f(x)在区间(0<a<2π)上不单调， 所以解得<a<. 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　三角函数中ω、φ的范围问题 题型分析　三角函数中的参数问题主要是涉及函数y=Asin(ωx+φ)中ω的求解,一般是利用所给函数的单调性、对称性、极值、最值、零点等进行解决. 题型一　三角函数的单调性与ω，φ的取值范围 例1　 (2026·安康模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A.(1，2] B. C. D. 课堂笔记： 若三角函数在区间[a，b]上单调递增(减)，则区间[a，b]是该函数单调递增(减)区间的子集，利用集合的包含关系即可求解. 1.(2026·湘潭模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)在区间上单调，则φ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 题型二　三角函数的对称性与ω，φ的取值范围 例2　(2026·盐城模拟)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象在内有且仅有两条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围是　　　　　.  课堂笔记： 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 2.已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间内恰有一个极值，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 题型三　三角函数的零点与ω，φ的取值范围 例3　已知f(x)=Asin(A>0，ω>0)，若函数y=f(x)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和1个极小值点，则ω的取值范围是　　　　　　.  课堂笔记： 已知三角函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围. 3.(2026·苏州模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)，若集合恰有3个元素，则实数ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 题型四　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 例4　(2026·巴中模拟)已知函数f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为-3，则ω的取值范围为　　　　　　　　.  课堂笔记： 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx+φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围. 4.(2026·郑州模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)在上的值域为[-1，2]，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 一、单项选择题 1.若函数y=cos ωx(ω>0)的图象在区间上只有一个对称中心，则ω的取值范围为(　　) A.1<ω≤2 B.1≤ω<2 C.1<ω≤3 D.1≤ω<3 2.(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=sin若f(x)在区间[-a，a]上单调递增，则a的最大值为(　　) A. B. C. D. 3.已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 4.已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0，π)上有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 5.(2026·重庆模拟)记函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=且f(x)≤对∀x∈R恒成立，则下列说法正确的是(　　) A.φ= B.φ=或 C.ω的最小值为3 D.ω的最小值为6 6.已知函数f(x)=cos(ω>0)在[0，π]上恰有三个零点，则(　　) A.ω的取值范围是 B.f(x)在[0，π]上只有一个极小值点 C.f(x)在[0，π]上恰有两个极大值点 D.f(x)在上单调递增 三、填空题 7.(2026·大同期末)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是　　　　　　.  8.(2026·漳州模拟)已知f(x)=sin若f(x)在区间(0<a<2π)上不单调，则a的取值范围是　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $