主题2 第4章 热点强化课4 三角函数中有关ω的取值范围问题（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数含参数ω的解析式及性质，围绕单调性、最值、零点、对称性等核心考点，按性质分类构建知识体系，通过考点梳理、方法指导（整体代换、不等式组构建）、真题训练（典型例题解析）等环节，帮助学生突破综合应用难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义特色在于分类归纳各类ω取值问题，创新运用整体思想与数形结合方法，如讲解零点问题时，引导学生通过t=ωx整体代换，结合三角函数图象确定t的范围构建不等式组，培养数学思维与数学语言表达能力。设置分层例题（基础到综合），配合真题演练（如2023新课标Ⅰ卷），保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

已知含参数ω的函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式，三角函数的部分性质，求ω的取值范围，是近年来常考的一种类型题．由于其有时涉及到三角函数的零点、单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的综合应用，难度较大，学生对这一类问题不得其解，从而心生畏惧心理．现就这一类问题进行归纳总结. 　　　　利用单调性求ω最值范围问题 [例1]　设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ都是常数，A＞0，ω＞0)，若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f(0)，则f(x)的最小正周期为(　　) A.　　 B．π C.　　 D. [解析]　记函数f(x)的最小正周期为T， 则≥－0＝，可得T≥. 又因为f＝f＝－f(0)，且－＝， 又因为＝，所以函数f(x)的一个对称中心为，函数f(x)的一条对称轴为x＝＝，又因为－＝＜， ∴＝－＝，解得T＝π. [答案]　B [例2]　已知函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则ω的值不可能是(　　) A. B．4 C. D. [解析]　由已知，cos ＝0，则ω·＝ ＋kπ，k∈Z，即ω＝＋k，k∈Z， 又函数在区间上是单调函数，可知≥ －0，即·≥，解得0＜ω≤8，所以当k＝0时，ω＝，当k＝1时，ω＝4，当k＝2时，ω＝，满足题意，即ω＝或4或. [答案]　D 与三角函数单调性相关的ω取值范围问题，需要利用整体思想，结合集合之间的包含关系，列不等式组求解．通常要考虑三角函数的单调区间，包含关系确定ω的范围． 　　　利用最值求ω的取值范围 [例3]　函数f(x)＝sin(ω＞0)在内恰有两个最小值点，则ω的范围是(　　) A. B． C. D. [解析]　当ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)时， 即x＝(k∈Z)时，函数有最小值， 令k＝－1,0,1,2时，有x＝－，x＝，x＝，x＝， 因为函数f(x)＝sin(ω＞0)在内恰有两个最小值点，ω＞0， 所以有 [答案]　B [例4]　已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，若至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f(x1)＋f(x2)＝2A，则实数ω的取值范围是________． [解析]　至少存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]，使得f(x1)＋f(x2)＝2A， ∴当π＞2T＝，即ω＞4时，必存在两个不相等的实数x1，x2∈[π，2π]满足题意； 当π＜2T，即0＜ω＜4时，ωx∈[πω，2πω]， ∴(k∈Z)，∴(k∈Z)； 当k≤0时，解集为∅，不合题意；令k＝1， 则≤ω≤；令k＝2，则≤ω＜4； 综上所述：实数ω的取值范围为∪. [答案]　∪ 利用最值求ω的取值范围，一种思路是利用值域控制相位的范围，解不等式组求解；另一思路根据三角函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据ωx＋φ的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果． 　　　利用零点求ω的取值范围 [例5]　已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝0，且f(x)在上恰有1个零点，则ω的最小值为(　　) A．11 B．29 C．35 D．47 [解析]　因为f＝0， 且f(x)在上恰有1个零点，所以＜－≤T，所以≤T＜，所以24＜ω≤48，又因为f＝sin＝0，所以＋＝kπ，k∈Z，即ω＝6k－1，所以24＜6k－1≤48，k∈Z，解得k＝5,6,7,8，当k＝5时，ω有最小值29. [答案]　B [例6]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． [解析]　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3. [答案]　[2,3) 三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，根据零点个数，确定ω的范围．三角函数两个零点之间的“水平间隔”为， 根据三角函数的零点个数，可以研究“ω”的取值. 　　　对称性有关的ω最值范围问题 [例7]　将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是(　　) A. B．2 C. D. [解析]　将函数f(x)＝sin ωx的图象向右平移个单位长度，得y＝sin ω＝sin， ∵y＝sin的图象关于直线x＝π对称， ∴ωπ－＝＋kπ，k∈Z，∴ω＝＋k，k∈Z， ∵ω＞0，∴ω的最小值为. [答案]　D [例8]　已知函数f(x)＝cos(ω＞0)在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B． C. D. [解析]　f(x)＝cos(ω＞0)， 令ωx－＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z， 函数f(x)在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴， 即0≤≤π有3个整数k符合， 0≤≤π，得0≤≤1⇒0≤1＋4k≤4ω，则k＝0,1,2， 即1＋4×2≤4ω＜1＋4×3，∴≤ω＜. [答案]　C 根据三角函数图象的对称性或对称轴(对称中心)的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据ωx＋φ的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果． 　　　综合性质有关的ω最值范围问题 [例9]　已知函数f(x)＝2cos(ω＞0)在(0，π)有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为(　　) A.　　　　 B． C. D. [解析]　因为f(x)在(0，π)有且仅有2个极值点， 所以2π＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤， 因为f(x)在上单调递增， 又因为⊆(0，π)，所以 解得≤ω≤4，所以≤ω≤，即ω的取值范围为. [答案]　A [例10]　已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________． [解析]　由题意，令ωx＋＝kπ，k∈Z， 得x＝，k∈Z， ∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，， ∴解得≤ω＜4， 令－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z， ∴－＋≤x≤＋，k∈Z， 令k＝0，f(x)在上单调递增， ∴⊆， ∴解得0＜ω≤， 综上，ω的取值范围是≤ω≤. [答案]　 利用三角函数的综合性质求ω的范围．问题，应结合三角函数的图象，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据三角函数的性质以及题中条件，找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $