第14讲圆的有关概念（知识点+题型精讲）2026-2027学年人教版九年级数学上册暑假预习讲义

第14讲 圆的有关概念 目录 知识点1 圆的双重定义（必考辨析） 2 知识点2 圆的基础核心概念 2 知识点3 点与圆的位置关系（三类） 3 知识点4 确定圆的条件 3 知识点5 三角形外接圆与外心 3 知识点6 特殊三角形外接圆半径公式 3 知识点7 找圆心、尺规画圆原理 4 知识点8 反证法核心步骤 4 题型1 圆的概念辨析 4 题型2 求园内一点的最长弦 5 题型3 圆的周长和面积问题 6 题型4 判断点和圆的位置关系 7 题型5 利用点与圆的位置关系求半径 7 题型6 点与圆上一点的最值问题 8 题型7 三角形外接圆概念辨析 9 题型8 求三角形外心坐标 10 题型9 求特殊三角形外接圆半径 11 题型10 已知外心的位置判断三角形的形状 12 题型11 判断确定圆的条件 13 题型12 确定圆心 13 题型13 画圆（尺规作图） 15 1. 知识目标：掌握圆的动态、静态双重定义，熟记弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等基础概念；熟练掌握点与圆的三种位置关系、确定圆的条件、三角形外接圆与外心定义；掌握尺规作圆、找圆心的基本方法，理解反证法的原理与证明步骤。 2. 能力目标：能精准辨析圆的各类概念易错点，熟练求解圆中最长弦、周长与面积；掌握点与圆位置关系判定、半径求解、点到圆的最值问题；熟练求解外心坐标、特殊三角形外接圆半径，能判断三角形形状与外心位置关系；掌握尺规作图、找圆心、反证法证明全题型解题方法。 3. 素养目标：建立平面几何图形建模、数形结合、逻辑推理思想，培养几何概念辨析、作图操作、推理证明能力，夯实圆整章学习基础，适配中考圆基础题型与简单证明题型。 知识点1 圆的双重定义（必考辨析） 1. 动态定义：在平面内，一条线段绕着它的一个固定端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆。固定端点为圆心，线段长度为半径。 2. 静态集合定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 3. 核心要点：圆特指圆周曲线，不包含圆内部平面；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 知识点2 圆的基础核心概念 1. 弦：连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦，是圆内最长的弦，弦不一定是直径。 2. 弧：圆上任意两点间的部分；半圆：直径分圆得到的弧；劣弧：小于半圆的弧；优弧：大于半圆的弧（需三个字母表示）。 3. 等圆：半径相等的圆；等弧：同圆或等圆中能够完全重合的弧，不等圆无等弧。 知识点3 点与圆的位置关系（三类） 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有： 　　 知识点4 确定圆的条件 1. 一点：可作无数个圆；2. 两点：可作无数个圆，圆心在两点连线垂直平分线上； 3. 不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆；同一直线上三点无法确定圆。 知识点5 三角形外接圆与外心 1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆；2. 外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等（均为半径）。 3. 外心位置：锐角三角形外心在内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在外部。 知识点6 特殊三角形外接圆半径公式 1. 直角三角形：外接圆半径 ； 2. 等边三角形：外接圆半径 。 知识点7 找圆心、尺规画圆原理 1. 找圆心：任意作两条不平行弦，作弦的垂直平分线，交点即为圆心； 2. 尺规作圆：定圆心、定半径，圆规一脚固定圆心，另一脚取定长旋转一周画圆。 知识点8 反证法核心步骤 1. 反设：假设原命题结论不成立；2. 归谬：根据假设推理，推出与公理、定理、已知条件矛盾的结果；3. 存真：否定假设，判定原命题成立。 题型1 圆的概念辨析 解题技巧（概念抠点排除法）：1. 区分核心：圆是封闭曲线，不是圆面；2. 弦与直径：直径是特殊弦，弦不一定是直径；3. 等弧判定：必须同圆或等圆、能完全重合，长度相等的弧不一定是等弧；4. 半圆特殊属性：半圆是弧，不是弦，是特殊的劣优弧分界；5. 逐一核对定义关键词，排除片面、绝对、混淆概念的错误说法。 高频易错：误将圆当成圆面、认为长度相等的弧是等弧、认为所有弦都是直径。 【典例1】．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【变式1】．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 【变式2】．平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 【变式3】．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 题型2 求园内一点的最长弦 解题技巧（定值秒杀法）：1. 核心定理：圆内任意一点的最长弦为经过该点的直径；2. 无论点在圆心或圆内任意位置，最长弦恒为直径；3. 直接取半径2倍即为最长弦长度，无需复杂计算；4. 对比区分：圆内最短弦为垂直于该点与圆心连线的弦。 秒杀结论：圆内最长弦=直径，固定不变。 【典例2】．已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】．经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【变式3】．如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 题型3 圆的周长和面积问题 解题技巧（公式直接套用）：1. 周长公式：；2. 面积公式：；3. 已知直径先求半径，再代入公式计算；4. 组合图形：拆分整圆、半圆、扇形，分步计算求和或作差；5. 结果保留，无特殊要求不近似取值。 【典例3】．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． 【变式2】．电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为毫米．现有厚度为毫米的胶片，它紧绕在盘上共有圈，那么这盘胶片的总长度约为____________米．（圆周率取计算） 【变式3】．．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 题型4 判断点和圆的位置关系 解题技巧（距离半径比对法）：1. 算距离：求出点到圆心的距离；2. 找半径：确定圆的半径；3. 比对判定：在圆外，在圆上，在圆内；4. 坐标题型：用两点间距离公式求点到圆心距离，再比对。 核心口诀：大内上等小内下，距离半径定位置。 【典例4】．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【变式1】．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【变式2】．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 【变式3】．如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 题型5 利用点与圆的位置关系求半径 解题技巧（不等式范围法）：1. 根据点的位置列不等式：点在圆外，点在圆内，点在圆上；2. 多点题型：结合多个点的位置，联立不等式锁定半径取值范围；3. 整数半径题型：在取值范围内筛选整数解；4. 临界判定：点刚好在圆上为临界值，可直接取等号。 【典例5】．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【变式1】．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【变式3】．圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________． 题型6 点与圆上一点的最值问题 解题技巧（连心线最值模型）：设点P到圆心O距离为，圆半径：1. 圆外一点：到圆上点最长距离，最短距离；2. 圆内一点：到圆上点最长距离，最短距离；3. 核心原理：最值点均在点与圆心的连线所在直线上，无需画图口算。 【典例6】．如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式1】．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】．如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【变式3】．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 题型7 三角形外接圆概念辨析 解题技巧（四要素辨析法）：1. 外接圆唯一性：任意不共线三点确定唯一外接圆；2. 外心属性：三边垂直平分线交点，不是角平分线、中线、高的交点；3. 半径属性：外心到三顶点距离相等，到三边距离不一定相等；4. 范围辨析：外接圆一定包含三角形三个顶点，三角形在圆内部。 易错区分：外心（垂直平分线交点）≠内心（角平分线交点）。 【典例7】．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式1】．下列说法：三点确定一个圆；三角形的外心一定在三角形内；长度相等的弧是等弧； 其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式2】．以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【变式3】．平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 题型8 求三角形外心坐标 解题技巧（垂直平分线交点法）：1. 取三角形两条边，分别求两边中点坐标；2. 求两条边的垂直平分线解析式；3. 联立两个直线解析式，交点坐标即为外心坐标；4. 直角三角形秒杀：外心直接为斜边中点坐标，无需计算。 【典例8】．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，外接圆的圆心坐标为______． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为______． 题型9 求特殊三角形外接圆半径 解题技巧（模型公式秒杀）：1. 直角三角形：，直接取斜边一半；2. 等边三角形：（为边长）；3. 等腰三角形：作高构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解半径；4. 直接套用固定模型，规避复杂推导。 【典例9】．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【变式2】．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【变式3】．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 题型10 已知外心的位置判断三角形的形状 解题技巧（位置对应秒杀法）：1. 外心在三角形内部 ⇔ 锐角三角形；2. 外心在斜边中点 ⇔ 直角三角形；3. 外心在三角形外部 ⇔ 钝角三角形；4. 反向亦可：已知三角形形状，快速判定外心位置。 口诀：锐内直中钝在外，一眼判形状。 【典例10】．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式1】．如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】．在中，若为三角形外一点，满足，线段与线段交于，且，则__________． 【变式3】．已知O为的外心，，则________ 题型11 判断确定圆的条件 解题技巧（三点定则判定法）：1. 单点、两点：无数个圆，无法唯一确定；2. 共线三点：无法作圆，无外接圆；3. 不共线三点：有且只有唯一一个圆；4. 辨析选项：优先排查共线、点数不足的错误条件。 【典例11】．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【变式1】．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【变式2】．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 题型12 确定圆心 解题技巧（双垂直平分线法）：1. 在圆上任意取四条点，连接成两条不平行的弦；2. 分别作出两条弦的垂直平分线；3. 两条垂直平分线的交点即为圆心；4. 特殊秒杀：直角三角形外接圆圆心为斜边中点。 【典例12】．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，． （1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为___________________． （2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过__________格点． 注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（lattice point） 题型13 画圆（尺规作图） 解题技巧（标准四步作图法）：1. 定圆心：根据题意确定圆心位置；2. 定半径：量取指定半径长度；3. 固定圆规：圆规针尖固定圆心，两脚间距为半径；4. 旋转画圆：平稳旋转一周，画出完整圆周，保留作图痕迹；5. 三点画圆：先找外心，再定半径画圆。 【典例13】．根据下列条件作圆： (1)以定点为圆心，作半径等于的圆； (2)以定点为圆心作圆，使其过另一个定点； (3)先任作一条线段，再作半径为的圆． 【变式1】．某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【变式2】．请用圆规和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹．（可以写出必要作图过程） (1)如图①，点在内．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦被点平分； (2)如图②，在这个外再取一点．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与（1）中所作弦的长度相等． 【变式3】．如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点； ③连接，交的垂直平分线于点． 请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法） 1．的半径为，同一平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 2．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 3．已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 4．如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 5．如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 6．下列说法正确的是（     ） A．用反证法证明“”时，应假设“” B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．命题“若，则”的逆命题为“若，则” D．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 7．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 8．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 9．如图，等边三角形的边长为，点是的中心（即），，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为．上述结论中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，为等腰直角的斜边（为定长线段），O为的中点，P为延长线上的一个动点，线段的垂直平分线交线段于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论：①E为的外心；②为等腰直角三角形；③；④的值不变． 正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 12．．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 13．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 14．经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 15．已知在正方形网格中的位置如图所示，点、、、均在格点上，有下列结论：①点在的角平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③点是的外心；④点是的重心．其中正确的有_________．（直接填写序号） 16．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 17．【问题探究】 (1)如图1，在四边形中，，连接，，过点C作交的延长线于点E，小力认为：，请你补全以下证明过程： ∴、之间的距离相等， ， 证明过程缺失 ， ， ， ； (2)如图2，半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点，则面积的最大值为________； 【问题解决】 (3)如图3，在中，，，，在内部取一点P，始终等于．过点C作交于点Q，连接，则四边形面积的最大值为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 圆的有关概念 目录 知识点1 圆的双重定义（必考辨析） 2 知识点2 圆的基础核心概念 2 知识点3 点与圆的位置关系（三类） 3 知识点4 确定圆的条件 3 知识点5 三角形外接圆与外心 3 知识点6 特殊三角形外接圆半径公式 3 知识点7 找圆心、尺规画圆原理 4 知识点8 反证法核心步骤 4 题型1 圆的概念辨析 4 题型2 求园内一点的最长弦 6 题型3 圆的周长和面积问题 8 题型4 判断点和圆的位置关系 10 题型5 利用点与圆的位置关系求半径 12 题型6 点与圆上一点的最值问题 14 题型7 三角形外接圆概念辨析 17 题型8 求三角形外心坐标 19 题型9 求特殊三角形外接圆半径 23 题型10 已知外心的位置判断三角形的形状 26 题型11 判断确定圆的条件 30 题型12 确定圆心 32 题型13 画圆（尺规作图） 36 1. 知识目标：掌握圆的动态、静态双重定义，熟记弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等基础概念；熟练掌握点与圆的三种位置关系、确定圆的条件、三角形外接圆与外心定义；掌握尺规作圆、找圆心的基本方法，理解反证法的原理与证明步骤。 2. 能力目标：能精准辨析圆的各类概念易错点，熟练求解圆中最长弦、周长与面积；掌握点与圆位置关系判定、半径求解、点到圆的最值问题；熟练求解外心坐标、特殊三角形外接圆半径，能判断三角形形状与外心位置关系；掌握尺规作图、找圆心、反证法证明全题型解题方法。 3. 素养目标：建立平面几何图形建模、数形结合、逻辑推理思想，培养几何概念辨析、作图操作、推理证明能力，夯实圆整章学习基础，适配中考圆基础题型与简单证明题型。 知识点1 圆的双重定义（必考辨析） 1. 动态定义：在平面内，一条线段绕着它的一个固定端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆。固定端点为圆心，线段长度为半径。 2. 静态集合定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 3. 核心要点：圆特指圆周曲线，不包含圆内部平面；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 知识点2 圆的基础核心概念 1. 弦：连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦，是圆内最长的弦，弦不一定是直径。 2. 弧：圆上任意两点间的部分；半圆：直径分圆得到的弧；劣弧：小于半圆的弧；优弧：大于半圆的弧（需三个字母表示）。 3. 等圆：半径相等的圆；等弧：同圆或等圆中能够完全重合的弧，不等圆无等弧。 知识点3 点与圆的位置关系（三类） 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有： 　　 知识点4 确定圆的条件 1. 一点：可作无数个圆；2. 两点：可作无数个圆，圆心在两点连线垂直平分线上； 3. 不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆；同一直线上三点无法确定圆。 知识点5 三角形外接圆与外心 1. 外接圆：经过三角形三个顶点的圆；2. 外心：三角形三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等（均为半径）。 3. 外心位置：锐角三角形外心在内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在外部。 知识点6 特殊三角形外接圆半径公式 1. 直角三角形：外接圆半径 ； 2. 等边三角形：外接圆半径 。 知识点7 找圆心、尺规画圆原理 1. 找圆心：任意作两条不平行弦，作弦的垂直平分线，交点即为圆心； 2. 尺规作圆：定圆心、定半径，圆规一脚固定圆心，另一脚取定长旋转一周画圆。 知识点8 反证法核心步骤 1. 反设：假设原命题结论不成立；2. 归谬：根据假设推理，推出与公理、定理、已知条件矛盾的结果；3. 存真：否定假设，判定原命题成立。 题型1 圆的概念辨析 解题技巧（概念抠点排除法）：1. 区分核心：圆是封闭曲线，不是圆面；2. 弦与直径：直径是特殊弦，弦不一定是直径；3. 等弧判定：必须同圆或等圆、能完全重合，长度相等的弧不一定是等弧；4. 半圆特殊属性：半圆是弧，不是弦，是特殊的劣优弧分界；5. 逐一核对定义关键词，排除片面、绝对、混淆概念的错误说法。 高频易错：误将圆当成圆面、认为长度相等的弧是等弧、认为所有弦都是直径。 【典例1】．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 【变式1】．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．同弧所对的圆周角相等 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．正多边形是中心对称图形 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关概念、圆周角定理、切线的判定及正多边形的对称性，需逐一分析各选项的正误． 【详解】解：∵等弧的定义是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合，∴A选项错误． ∵圆周角定理的推论：同弧所对的圆周角相等，∴B选项正确． ∵圆的切线判定定理是经过半径的外端且垂直于这条半径的直线才是圆的切线，仅经过半径的外端的直线不一定垂直于该半径，∴C选项错误． ∵只有边数为偶数的正多边形是中心对称图形，如正三角形不是中心对称图形，∴D选项错误． 故选：B． 【变式2】．平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 【答案】以点为圆心，为半径的圆 【分析】本题考查了轨迹，圆的认识，解题的关键是理解圆的定义． 利用圆的定义进行回答． 【详解】解：平面上到点的距离为的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 故答案为：以为圆心，为半径的圆． 【变式3】．《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了圆的定义和性质，解题的关键是掌握圆的定义和性质． 根据圆的定义和性质进行解答即可． 【详解】解：能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是： ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； 故答案为：②③． 题型2 求园内一点的最长弦 解题技巧（定值秒杀法）：1. 核心定理：圆内任意一点的最长弦为经过该点的直径；2. 无论点在圆心或圆内任意位置，最长弦恒为直径；3. 直接取半径2倍即为最长弦长度，无需复杂计算；4. 对比区分：圆内最短弦为垂直于该点与圆心连线的弦。 秒杀结论：圆内最长弦=直径，固定不变。 【典例2】．已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 【变式1】．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 【变式2】．经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 【变式3】．如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理与圆的性质，解题核心是利用中位线定理将与建立数量关系，再结合“圆中最长的弦是直径”确定的最大值，从而求出的最大值． 根据三角形中位线定理可得，所以当最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线， ， 又是的弦， 的半径为， 直径为：， 因为圆中直径是最长的弦， 的最大值为， 当时， ， ， ， 即的最大值为． 故答案为： ． 题型3 圆的周长和面积问题 解题技巧（公式直接套用）：1. 周长公式：；2. 面积公式：；3. 已知直径先求半径，再代入公式计算；4. 组合图形：拆分整圆、半圆、扇形，分步计算求和或作差；5. 结果保留，无特殊要求不近似取值。 【典例3】．如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 【变式1】．如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了减法的性质，转化的数学思想﹒根据减法的性质可以得到的值为的值，计算即可求解﹒ 【详解】解：因为阴影部分为大圆和小圆的公共部分， 所以﹒ 故答案为：﹒ 【变式2】．电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为毫米．现有厚度为毫米的胶片，它紧绕在盘上共有圈，那么这盘胶片的总长度约为____________米．（圆周率取计算） 【答案】 【分析】本题考查了圆环柱的应用，解题的关键是求出圆环柱的体积和胶片的底面积．根据题意，可设圆柱形的高度为毫米，分别求得中间孔的半径，大圆的半径，再根据圆环柱的体积除以胶片的底面积即可求解． 【详解】解：设圆柱形的高度为毫米， 中间孔的半径为（毫米） 外圆半径（毫米） 总长度 （毫米） 毫米（米） 答：这盘胶片的总长度约为米． 故答案为：． 【变式3】．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 题型4 判断点和圆的位置关系 解题技巧（距离半径比对法）：1. 算距离：求出点到圆心的距离；2. 找半径：确定圆的半径；3. 比对判定：在圆外，在圆上，在圆内；4. 坐标题型：用两点间距离公式求点到圆心距离，再比对。 核心口诀：大内上等小内下，距离半径定位置。 【典例4】．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 【变式1】．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 【变式2】．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在外 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 【变式3】．如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 题型5 利用点与圆的位置关系求半径 解题技巧（不等式范围法）：1. 根据点的位置列不等式：点在圆外，点在圆内，点在圆上；2. 多点题型：结合多个点的位置，联立不等式锁定半径取值范围；3. 整数半径题型：在取值范围内筛选整数解；4. 临界判定：点刚好在圆上为临界值，可直接取等号。 【典例5】．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 【变式1】．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 【变式2】．已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 【变式3】．圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，得出直径为，即可求出该圆的半径， 【详解】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6， ∴， 故答案为：2． 题型6 点与圆上一点的最值问题 解题技巧（连心线最值模型）：设点P到圆心O距离为，圆半径：1. 圆外一点：到圆上点最长距离，最短距离；2. 圆内一点：到圆上点最长距离，最短距离；3. 核心原理：最值点均在点与圆心的连线所在直线上，无需画图口算。 【典例6】．如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 【变式1】．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，得到点在以点为圆心的上运动，当点三点共线时，的值最小，由半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当点在上运动时，点在以为直径的圆弧上运动，该弧交于点，与交于点，如图所示， 取线段的中点为，连接， ∴点在以点为圆心的上运动， 在中，，点为中点，， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小， 在中，是直径，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 【变式2】．如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【答案】4 【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示： 在直角中，， ∵E是直角斜边上的中点， ∴， ∵M是的中点，E是的中点， ∴， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆， ∴当点M在线段上时，最小，且线段长度的最小值为． 【变式3】．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 题型7 三角形外接圆概念辨析 解题技巧（四要素辨析法）：1. 外接圆唯一性：任意不共线三点确定唯一外接圆；2. 外心属性：三边垂直平分线交点，不是角平分线、中线、高的交点；3. 半径属性：外心到三顶点距离相等，到三边距离不一定相等；4. 范围辨析：外接圆一定包含三角形三个顶点，三角形在圆内部。 易错区分：外心（垂直平分线交点）≠内心（角平分线交点）。 【典例7】．下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 【变式1】．下列说法：三点确定一个圆；三角形的外心一定在三角形内；长度相等的弧是等弧； 其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，三角形外心的性质，等弧概念等知识点，根据确定圆的条件，三角形外心的性质，等弧概念，逐一进行判断即可，熟练掌握确定圆的条件，三角形外心的性质，等弧概念是解决此题的关键． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故①错误，符合题意； 三角形的外心不一定在三角形内，故②错误，符合题意； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故③错误，符合题意； ∴错误的共有3个， 故选：A． 【变式2】．以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 【变式3】．平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 题型8 求三角形外心坐标 解题技巧（垂直平分线交点法）：1. 取三角形两条边，分别求两边中点坐标；2. 求两条边的垂直平分线解析式；3. 联立两个直线解析式，交点坐标即为外心坐标；4. 直角三角形秒杀：外心直接为斜边中点坐标，无需计算。 【典例8】．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 【变式2】．如图，外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，作线段、线段的垂直平分线相交于点，点即为外接圆的圆心，结合图象即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作线段、线段的垂直平分线相交于点， 由垂径定理可得，点即为外接圆的圆心， 由图象可得，点的坐标为， 故答案为：． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为、点B的坐标为、点C的坐标为，那么该圆弧所在的圆心坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键． 由网格容易得出的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，如图所示， 它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心， 由图知，， 该圆弧所在的圆心坐标为， 故答案为：． 题型9 求特殊三角形外接圆半径 解题技巧（模型公式秒杀）：1. 直角三角形：，直接取斜边一半；2. 等边三角形：（为边长）；3. 等腰三角形：作高构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解半径；4. 直接套用固定模型，规避复杂推导。 【典例9】．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【变式1】．在中，，，，则外接圆的半径为（    ） A．10 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形外接圆的半径，勾股定理． 在直角三角形中，外接圆的半径等于斜边的一半，因此需先利用勾股定理求斜边长，进而作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵是外接圆的直径， ∴外接圆的半径． 故选：B． 【变式2】．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 【变式3】．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 【答案】 【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 如图，与等腰直角的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∵同一个圆中，弦相等则弦心距相等， ∴等弦圆的圆心到等腰直角三条边的距离相等，故圆心就是等腰直角的内心， ∴当过时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大， 过点分别作弦的垂线，垂足分别为，连接， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 即， 在中，， ∴． 题型10 已知外心的位置判断三角形的形状 解题技巧（位置对应秒杀法）：1. 外心在三角形内部 ⇔ 锐角三角形；2. 外心在斜边中点 ⇔ 直角三角形；3. 外心在三角形外部 ⇔ 钝角三角形；4. 反向亦可：已知三角形形状，快速判定外心位置。 口诀：锐内直中钝在外，一眼判形状。 【典例10】．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 【变式1】．如图，是等边三角形且边长为1，点，，分别在边的延长线上，，连接，．给出下面四个结论： ①是等边三角形； ②； ③的面积为； ④的外心与的外心重合． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．利用证明，推出，证明是等边三角形；利用三角形的外角性质求得，可证明；利用勾股定理求得，求得；利用等边三角形的外心和内心的性质据此即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形且边长为1， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 设的外心为， ∵是等边三角形， ∴点也是的内心，作于点，于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，同理，则， ∴的外心与的外心重合，故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【变式2】．在中，若为三角形外一点，满足，线段与线段交于，且，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，圆周角定理，相似三角形的性质与判定．通过圆周角定理的逆定理证明点为外接圆的圆心，再利用平方差公式计算所求乘积，证明得出，即可求解． 【详解】解：因为线段与线段交于点，所以点与点在线段的同侧（若在两侧则线段与无交点）． 已知，，根据圆周角定理的逆定理（同弧所对的圆心角是圆周角的倍），可得点是外接圆的圆心，的半径为． 设直线与的另一交点为，则， ． ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 因此． 故答案为：． 【变式3】．已知O为的外心，，则________ 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．分圆心与点在的同侧和圆心与点在的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长交于点，连接，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论． 【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图， ； 当圆心与点在的两侧时，如图， 延长交于点，连接， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ． 综上，或． 故答案为：或 题型11 判断确定圆的条件 解题技巧（三点定则判定法）：1. 单点、两点：无数个圆，无法唯一确定；2. 共线三点：无法作圆，无外接圆；3. 不共线三点：有且只有唯一一个圆；4. 辨析选项：优先排查共线、点数不足的错误条件。 【典例11】．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【变式1】．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【变式2】．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 题型12 确定圆心 解题技巧（双垂直平分线法）：1. 在圆上任意取四条点，连接成两条不平行的弦；2. 分别作出两条弦的垂直平分线；3. 两条垂直平分线的交点即为圆心；4. 特殊秒杀：直角三角形外接圆圆心为斜边中点。 【典例12】．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 【变式1】．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解． 【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心， 由图得点D的坐标为． 故该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：B． 【变式2】．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，经过格点，，． （1）的度数是______； （2）请用无刻度的直尺在图中画出圆心，并简要说明是如何找到的（不要求证明）______ 【答案】 图见解析；为直径，故圆心必在上，再做的中垂线，其与交点便为圆心 【分析】本题考查了作图，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，可求出、、的长度，可得其恰好符合勾股定理，得出的度数； （2）因为点，，是圆上三点，故作的外心（即边长中垂线的交点）即可确定圆心； 【详解】解：（1）连接，如下图： 可得，，， ∵，故为直角三角形， ∴， 故答案为：． （2）解：作的中垂线，与的交点即为的外心，故为的圆心，见下图： 由（1）可判断为直径，故圆心必在上，再作的中垂线，其与交点便为圆心． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，． （1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为___________________． （2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过__________格点． 注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（lattice point） 【答案】 （2，0） 8 【分析】（1）根据不共线三点确定圆心，找到的垂直平分线的交点，继而根据点M的位置写出坐标即可 （2）根据平面直角坐标系直接判断即可． 【详解】（1）如图， （2）如图，经过点，共8个格点 故答案为：8 【点睛】本题考查了不共线三点确定圆心，坐标与图形，找到圆心是解题的关键． 题型13 画圆（尺规作图） 解题技巧（标准四步作图法）：1. 定圆心：根据题意确定圆心位置；2. 定半径：量取指定半径长度；3. 固定圆规：圆规针尖固定圆心，两脚间距为半径；4. 旋转画圆：平稳旋转一周，画出完整圆周，保留作图痕迹；5. 三点画圆：先找外心，再定半径画圆。 【典例13】．根据下列条件作圆： (1)以定点为圆心，作半径等于的圆； (2)以定点为圆心作圆，使其过另一个定点； (3)先任作一条线段，再作半径为的圆． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 如图，即为所求． 【分析】根据题意画出圆即可； 先任意画线段，然后作垂直平分线，交于点，再以为半径画圆即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 【变式1】．某校的数学兴趣活动课上，老师正在开展以“用尺规作图法作特殊角”为主题的探究．如图，已知为外一点，请用尺规作图法在上求作一个点，使． 作法说明：①先作线段的垂直平分线，交于点． ②再以点为圆心，的长为半径画圆，分别交于点，． ③点，均满足题意，点，为所求作的点． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【答案】 【分析】根据作图步骤可得为直径，由直径所对的圆周角为直角可得，，进而即可得解． 【详解】略 【变式2】．请用圆规和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹．（可以写出必要作图过程） (1)如图①，点在内．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦被点平分； (2)如图②，在这个外再取一点．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与（1）中所作弦的长度相等． 【答案】(1)解：如图①，直线即为所求； (2)解：如图②，直线即为所求； 【分析】（1）连接，过点作的垂线，即为直线； （2）以为圆心，为半径画圆，连接，作的中垂线，再以为直径画圆，两圆交于点，连接，作直线即可，根据圆周角定理可得，即，又，根据弦心距相等，对应的弦也相等，即可得到直线即为所求. 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】．如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点； ③连接，交的垂直平分线于点． 请依据题意完成作图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】根据步骤作图即可； 【详解】按照题干步骤完成作图，如下： ①连接，作线段的垂直平分线交于点，保留垂直平分线的作图痕迹； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点，保留画圆的痕迹； ③连接，交的垂直平分线于点，作图完成，所有痕迹保留； 如图： 1．的半径为，同一平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，关键是求出点到圆心的距离与半径作比较；根据点与圆的位置关系判定规则，比较点P到圆心O的距离与半径的大小，即可确定的位置． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∴点在内， 故选：A． 2．如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 3．已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系．点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外⇔；②点在圆上⇔；③点在圆内⇔，由此即可判断； 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离是， ， ∴点在外， 故选：A． 4．如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及直角三角形斜边上的中线，连接，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，则点C到圆心的距离等于半径，判断点C在上． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵的半径为5， ∴点C在上． 故选：B． 5．如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 6．下列说法正确的是（     ） A．用反证法证明“”时，应假设“” B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．命题“若，则”的逆命题为“若，则” D．三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】根据反证法证明的步骤判断A；根据等边三角形的判定定理判断B；根据逆命题需将原命题的条件与结论互换判断C；根据角平分线的性质定理判断D． 【详解】解：A、∵反证法证明时需假设结论的否定成立，原结论为，其否定为，∴本选项错误； B、∵有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，仅含一个角的三角形不一定是等边三角形，∴本选项错误； C、∵逆命题需将原命题的条件与结论互换，原命题条件为，结论为，互换后为“若，则”，符合逆命题定义，∴本选项正确； D、∵三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，∴本选项错误． 7．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过三点的圆的半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆圆心的确定，勾股定理等知识，确定圆心坐标是关键；确定外接圆的圆心坐标，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，圆心M的坐标， ∵， ∴， ∴的半径为， 故选：C． 8．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【答案】C 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， B正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故A正确． 故选：C． 9．如图，等边三角形的边长为，点是的中心（即），，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为．上述结论中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外心，三角函数等，连接，证明，可得，，即可判断①；由得 ，即得四边形的面积，可判断③；作，可得，由四边形的面积为定值得，可判断②；由得的周长，可知当时，最小，的周长最小，进而求出可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵点是的中心， ∴，分别平分和， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， ∴四边形的面积，故③正确； 作，如图，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即随的变化而变化，而四边形的面积为定值， ∴，故②错误； ∵， ∴的周长， 当时，最小，的周长最小，此时， ∴周长的最小值，故④错误； 综上，结论正确的个数为个， 故选：． 10． 11．如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 12．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 13．已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 14．经过定点A且半径为的圆的圆心的轨迹是____________________． 【答案】以点A为圆心，为半径的圆 【分析】根据题意可知该圆的圆心到点A的距离为，则该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 【详解】解：∵该圆经过定点A，且该圆的半径为， ∴该圆的圆心到点A的距离为， ∴该圆的圆心在以A为圆心，半径为的圆上， 即该圆的圆心的轨迹是以点A为圆心，为半径的圆． 15．已知在正方形网格中的位置如图所示，点、、、均在格点上，有下列结论：①点在的角平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③点是的外心；④点是的重心．其中正确的有_________．（直接填写序号） 【答案】①②④ 【分析】①取的中点，连接，根据勾股定理解得的长，再证明，由全等三角形对应角相等解得，据此解题即可；②根据中线的性质，即可解题；③根据题意可得，从而得到点P不在的垂直平分线上，即可；④由三角形的重心定义结合中线的性质解题即可． 【详解】解：①取的中点，连接，则点A，P，E三点共线，点B，P，F三点共线， 由图可知，， ， ∵分别是的中点， 又， ， ， 平分 点在的角平分线上，故①正确； ②∵是的中点，点B，P，F三点共线， ∴是的中线， 即直线把分成面积相等的两个部分，故②正确； ③∵，   ∴， ∴点P不在的垂直平分线上， ∴点P不是三边垂直平分线的交点， ∴点不是的外心，故③错误； ④分别是的中点， 分别是的中线， 点P是的重心，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查网格与勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的外心，重心等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 17．【问题探究】 (1)如图1，在四边形中，，连接，，过点C作交的延长线于点E，小力认为：，请你补全以下证明过程： ∴、之间的距离相等， ， 证明过程缺失 ， ， ， ； (2)如图2，半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点，则面积的最大值为________； 【问题解决】 (3)如图3，在中，，，，在内部取一点P，始终等于．过点C作交于点Q，连接，则四边形面积的最大值为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)四边形面积的最大值为． 【分析】（）根据平行线的性质得到，，根据即可证明； （）当时，点到的距离最大，此时面积最大，再根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作交的延长线于点，根据得到四边形为平行四边形，，进而得到，即，根据平行线的性质得到，以为底作等腰直角三角形，使，以O为圆心，为半径画圆，根据圆周角定理可知点在上运动，连接，过点作于，的延长线交于点，过点作于点，可知，根据三线合一得到，根据勾股定理得到，即，得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：缺失过程如下： ∵，， ∴，， ∵； （2）解：如图，当时，点到的距离最大，此时面积最大， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 即面积的最大值为； （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 以为底作等腰直角三角形， ∴， 以O为圆心，为半径画圆， ∴点在上运动， 连接，过点作于，的延长线交于点，过点作于点，可知， ∵，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴ ∴四边形面积的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $