6.3 角 导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦人教版七年级上册“角”，涵盖概念、记法、度量、比较、和差、平分线、余角补角、方向角及尺规作图。通过“五格刻度”学习支架衔接直线射线线段知识，引导学生从识角到画角逐步深入。 以生活实例（钟面、三角尺）培养几何直观，分层练习与自查表强化运算能力和推理意识，突出易错点（单位换算、记法规范）助力抽象能力提升，结构化设计与核心素养培养结合，适合自主学习与课堂教学。

人教版数学七年级上册 · 第六章 几何图形初步 · 6.3 角（导学案） 第六章 几何图形初步 6.3 角 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 七年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第六章 几何图形初步 · 第 3 节 · 3 课时 · 教材 P170—P178 一、【对零 · 本节导览】学习目标 · 三课时 · 五格刻度 上一节认清了直线、射线、线段这三种线。这一节把两条有公共端点的射线凑在一起，就得到初中几何里第二个最基本的图形——角。角与前面学的那些图形很不一样：它会张开得大一些、小一些，所以能度量、能比较、能加能减；它还会被一条射线平均分成两半，也能被两条射线分成三份。正因为这样，角的知识几乎要跟着我们走完整个初中几何。 这一节分量比较重，课本安排了三个课时。第一课时认角：把角的样子、名字（记法）和度量单位"度、分、秒"弄清楚，顺带学会用方向角描述一条射线指的方向；第二课时量角：用度量法和叠合法比大小，学会两个角的和与差，再认识把角平均分的两条特殊射线——角平分线与三等分线；第三课时补角：弄清"互为余角""互为补角"这层关系，并用"同角（等角）的余角相等、补角相等"去说明两个角为什么相等。 这一节最容易翻车的地方其实不在难题，而在"名称和单位"。比如把 ∠AOC 写成 ∠O、把 180° - 53°17′ 算成 127°17′、把 1° 当成 100′、把"互为补角"说成"补角相等"。所以每做完一题，都回头做一次"回头读"：度数读出来了吗？单位带上了吗？分和秒有没有超过 60？把这三问过一遍，本节多数失分都能躲开。 （一）本节导览 · 五格刻度 如图6.3-1，量角器上有五格刻度，本节就把这五格依次走一遍：识角、量角、分角、补角、画角。五格走完，角这一节的主干就立住了。 图6.3-1 量角器上的五格刻度（识角 / 量角 / 分角 / 补角 / 画角） 五格之间有先后：不认角，就量不准角；不会比大小与算和差，就算不出平分线；不懂余角补角，方向角里的角就算不出来。所以这一节从头往后顺着走，不要跳格。 （二）三课时与教材页码 课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾 第 1 课时　角的概念 P170—P172 角的概念与顶点、边；角的四种记法；度、分、秒与六十进制；方向角（北偏东 30° 这类说法）；课本 P171 练习 ○ 第 2 课时　角的比较与运算 P173—P175 度量法与叠合法比较角的大小；角的和与差；角平分线与三等分线；度分秒的加减与乘除（周角 7 等分的除法）；课本 P174 练习 ○ 第 3 课时　余角和补角 P176—P177 余角与补角的概念；同角（等角）的余角相等、补角相等；用方向角读图与算夹角；课本 P177 练习 ○ （三）学习目标 1. 知道角是由两条有公共端点的射线组成的图形，能指出角的顶点和两条边，也能说出"一条射线绕它的端点旋转形成角"这种说法。 2. 会用 ∠AOB、∠O、∠1、∠α 四种方式表示角，知道顶点处有两个或更多角时不能写成 ∠O。 3. 掌握度、分、秒的换算（1° = 60′、1′ = 60″），会做度分秒的加减与乘除，记牢"满 60 进 1、借 1 当 60"。 4. 会用度量法和叠合法比较两个角的大小，会做角的和与差，知道不给图时要分"射线在角的内部还是外部"两种情况。 5. 理解角平分线与三等分线的含义，会用几何语言正着、反着各写一遍，并能用它们做计算。 6. 理解余角、补角的概念，掌握"同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等"，并能用它说明两个角相等。 7. 知道方向角的规范读法，会算两条方向相反附近的射线所成的角；会用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角。 （四）学习重点与难点 项目 内容 学习重点 角的概念与四种记法；度分秒的换算与运算；比较角的大小；角的和差与角平分线；余角与补角的概念与性质；方向角的读法 学习难点 度分秒运算中的进率（满 60 进 1、借 1 当 60）；角的和差中的分类讨论；把"互余、互补"与"相等"分清；尺规作角时作图痕迹的保留 （五）起跑热身 1. 填一填：一条射线绕着它的端点旋转，可以得到 ____________；钟面上 3 时整，时针与分针所成的角是 ____________ 度。 2. 填空：1 个周角 = ____________°，1 个平角 = ____________°，1 个直角 = ____________°；1° = ____________′，1′ = ____________″。 3. 用字母表示：顶点是 O、两边分别经过点 A 和点 B 的角，记作 ____________；如果顶点 O 处只有这一个角，还可以记作 ____________；也可以在角的内部标一个数字，记作 ____________。 4. 判断对错（对的填"对"，错的填"错"）：① 角的两条边画得越长，这个角就越大。（　）② 平角就是一条直线。（　）③ 两个角的和等于 180°，这两个角互为补角。（　） 5. 一个角是 35°，它的余角是 ____________°，它的补角是 ____________°。 6. 不用量角器，只把两个角叠在一起，怎样判断哪个角大？用一句话把你的办法写出来。 7. 说一说：地图上说的"北偏东 30°"是什么意思？它和"东偏北 60°"说的是不是同一个方向？ 我的热身答案: 【预习提醒】热身第 1 题：射线绕端点旋转就得到角；钟面上 3 时整，分针指 12、时针指 3，两针正好把钟面分成四份，所以是 90°。第 2 题：周角 360°、平角 180°、直角 90°；1° = 60′、1′ = 60″，是六十进制而不是十进制。第 4 题只有③对：①错，角的大小与边画得长短无关；②错，平角是有顶点的角，不是直线；③对。第 5 题：余角 90° - 35° = 55°，补角 180° - 35° = 145°。第 7 题：方向角有规矩，先说北（或南），再说偏东（或偏西），所以"东偏北 60°"这种说法不规范；方向相同时应说成"北偏东 30°"。 二、【第一格 · 识角】角的概念 · 四种记法 · 度分秒 第一格先解决"角是什么、怎么叫它、怎么量它"这三件事。角的样子到处都有：钟面上的时针与分针、屋顶的两个斜面、一把三角尺的两个边。把它抽象出来，就只剩两样东西——一个公共端点和从它出发的两条射线。名字记不对，后面算出来的角就说不清是哪一个；单位换算错一步，后面所有计算都会跟着错。所以这一格看着简单，却要过得格外扎实。 （一）角长什么样（课本 P170） 如图6.3-2，钟面上时针与分针张开的形状、棱锥侧面与底面夹出的形状、三角尺的两个边夹出的形状，都可以看成角。 图6.3-2 身边的角（钟面 / 棱锥 / 三角尺） 角的说法有两种，都要会说。一种说：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。另一种说：一条射线绕着它的端点旋转，就形成一个角。 名称 指的是什么 注意 顶点 两条射线的公共端点 一个角只有一个顶点 边 组成角的两条射线 边是射线，可以无限延长 角 有公共端点的两条射线组成的图形 用符号 ∠ 表示，读作"角" 要想清楚的一点：角的大小只与两条边张开的程度有关，和边画得长短没有关系。把同一个角的两条边都画长一倍，画出来的还是同样大的角。判断"边越长角越大"这类说法时，抓住"张开程度"这四个字就错不了。 （二）角的四种记法（课本 P170） 如图6.3-3，同一个角可以有四种记法：用三个大写字母记作 ∠AOB（顶点字母必须写在中间）；顶点处只有这一个角时，可以只用顶点字母记作 ∠O；也可以在角的内部靠近顶点处画一段弧，标上数字记作 ∠1，或标上希腊字母记作 ∠α。 图6.3-3 角的四种记法（∠AOB / ∠O / ∠1 / ∠α） 记法 怎么写 什么时候能这么写 三个字母 ∠AOB 或 ∠BOA 任何情况下都能用，顶点字母必须夹在中间 一个字母 ∠O 只有顶点 O 处确实只有一个角时才能用 数字 ∠1 在角的内部靠近顶点处画弧并标上数字 希腊字母 ∠α 在角的内部靠近顶点处画弧并标上希腊字母 什么时候不能用 ∠O：如果顶点 O 处有两个或两个以上的角，写 ∠O 就分不清指的是哪一个，这时必须用三个字母（或者数字、希腊字母）把话说清楚。∠AOB 与 ∠BOA 指的是同一个角，因为顶点字母都在中间。 （三）度、分、秒（课本 P171） 如图6.3-4，量一个角的大小要用量角器。度、分、秒是角的度量单位：把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度，记作 1°；把 1° 60 等分，每一份就是 1 分，记作 1′；把 1′ 60 等分，每一份就是 1 秒，记作 1″。 图6.3-4 度、分、秒与量角器（1° = 60′，1′ = 60″） 换算的口诀只有两句：大化小乘 60，小化大除以 60。例如 0.5° = 0.5 × 60′ = 30′；1.45° = 1.45 × 60′ = 87′；反过来 12′ = 12 ÷ 60° = 0.2°。 要做什么 怎么算 例子 度化成度分秒 小数部分乘 60 得分，再乘 60 得秒 36.34° = 36°20′24″ 度分秒化成度 秒除以 60 得分，分除以 60 得度 65°28′45″ ≈ 65.479° 加法 分与分相加，满 60 进 1 度 48°39′ + 67°31′ = 116°10′ 减法 不够减就借 1 度当 60 分 90° - 37°28′ = 52°32′ 乘法 分乘倍数后满 60 进 1 度 21°17′ × 5 = 106°25′ 除法 先分度，余下的度化成分再分 143°16′ ÷ 4 = 35°49′ 把上面两个方向各走一遍：36.34° 化成度分秒，先看小数部分 0.34°，0.34 × 60′ = 20.4′，再看 0.4′，0.4 × 60″ = 24″，所以 36.34° = 36°20′24″；反过来 65°28′45″ 化成度，45″ = 45 ÷ 60′ = 0.75′，28′ + 0.75′ = 28.75′，28.75 ÷ 60 ≈ 0.479°，所以约等于 65.479°。 度分秒的加减最容易错在"借位"和"进位"上。算 90° - 37°28′ 时，要先把 90° 看成 89°60′ 再去减，得 52°32′；如果直接写成 53°28′ 或者 52°72′，都是错的。算完一定回头检查两件事：分和秒的数值有没有超过 60；有没有哪一位忘了借位。 （四）练一练 1. 课本 P171 练习请照课本逐题作答，题号照课本写。这一组题分三类：一是用量角器量角的度数，二是度分秒的换算，三是判断角的记法对不对。（图形见课本 P171 练习） 作答提示：用量角器时先把中心对准角的顶点、零刻度线与角的一条边重合，再看另一条边落在哪一格，读数要顺着刻度从零那边读起；换算题先判断是"大化小"还是"小化大"，再决定乘 60 还是除以 60。 我写课本 P171 练习: 2. 补充同型练习： 　　(1) 填空：1 个周角 = ____________°，1 个平角 = ____________°，1 个直角 = ____________°；1° = ____________′，1′ = ____________″。 　　(2) 把 平角化成度，结果是 ____________°；把 直角化成度，结果是 ____________°；把 周角化成度，结果是 ____________°。 　　(3) 换算并填表：0.4° = ____________′；12′ = ____________°；7.8° = ____________°____________′。 　　(4) 计算：48°39′ + 67°31′ = ____________；90° - 37°28′ = ____________。 　　(5) 下列说法正确的是（　）　A. 角的两条边越长，这个角就越大　B. 平角就是一条直线　C. 顶点处有两个角时不能写成 ∠O　D. 1° = 100′ 　　(6) 从点 O 引出三条射线 OA、OB、OC，图中共可以数出 ____________ 个角，把它们分别写出来：____________。 　　(7) 时钟从 2 时整走到 2 时 30 分，分针转了 ____________ 度，时针转了 ____________ 度。 我的练习答案: 【方法小结】第 2(2) 题要把"几分之几的平角（直角、周角）"看成乘法： × 180° = 45°， × 90° = 60°， × 360° = 60°。第 2(3) 题 0.4° 是大化小，乘 60 得 24′；12′ 是小化大，除以 60 得 0.2°；7.8° 先拆成 7° 与 0.8°，0.8° = 0.8 × 60′ = 48′，所以是 7°48′。第 2(5) 题选 C。第 2(6) 题从一点引出三条射线，两两配对共 3 个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC。第 2(7) 题分针 30 分转过 180°，时针 30 分转过 15°。 三、【第二格 · 量角】角的大小比较 · 角的和与差 会认角之后，第二格开始"动"角：比大小、做加减。比较两个角的大小，办法和上一节比较线段长短一模一样，只是把刻度尺换成了量角器、把线段的端点换成了角的边。至于角的和与差，本质上就是"把两个角接起来"或"从一个角里切掉一块"，画一张图就能看明白——但一旦题目不给图，就多了一个要小心的坑：那条射线到底在角的里面还是外面。 （一）比较角的大小：度量法与叠合法（课本 P173） 如图6.3-5，比较两个角的大小有两套办法，和比较线段长短的两套办法是一回事。 图6.3-5 比大小的两种办法（度量法 / 叠合法） 度量法：用量角器分别量出两个角的度数，再把度数比大小。叠合法：把两个角的顶点重合、一条边重合，并且让两条边都落在重合边的同一侧，然后看另一条边的位置。 另一条边落在哪里 两个角的大小关系 读法 落在第一个角的内部 第一个角较大 ∠1 大于 ∠2 与第一条边完全重合 两个角一样大 ∠1 等于 ∠2 落在第一个角的外部 第一个角较小 ∠1 小于 ∠2 两个角的度数很接近时，光用眼睛看最容易看走眼。这时候必须动工具：要么量出度数再比，要么把两个角叠起来看哪条边在外侧。判断"看起来一样大"的两个角时，不要凭眼睛下结论。 （二）角的和与差（课本 P174） 如图6.3-6，从同一个顶点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC，如果射线 OB 落在 ∠AOC 的内部，那么这三个角之间有下面的关系。 图6.3-6 两个角接在一起（∠1、∠2 与它们的和） 三个式子：∠AOC = ∠AOB + ∠BOC；∠AOB = ∠AOC - ∠BOC；∠BOC = ∠AOC - ∠AOB。这三个式子说的是同一件事，会写一个就会写三个。 要留神"边在哪里"。上面三式只在射线 OB 落在 ∠AOC 内部时才成立；如果射线 OB 落在 ∠AOC 的外部，∠AOC 反而等于 ∠AOB 与 ∠BOC 的差。题目不给图时，先自己画图把射线的位置摆清楚，再动笔算。 （三）例题精讲（导学案配套，同类题见课本 P173—P175） 例1　已知 ∠AOB = 70°，∠BOC = 40°，求 ∠AOC 的度数。 例1 的关键在于题目没有给图，所以要先想"射线 OC 落在哪里"。第一种情况，OC 在 ∠AOB 的内部，这时 ∠AOC = 70° - 40° = 30°；第二种情况，OC 在 ∠AOB 的外部，这时 ∠AOC = 70° + 40° = 110°。两种情况都要写，漏掉一种就少一半分。 例2　点 O 是直线 AB 上一点，∠AOC = 53°17′，求 ∠BOC 的度数。 例2 的思路：O 在直线 AB 上，说明 ∠AOC 与 ∠BOC 合起来正好是一个平角，所以 ∠BOC = 180° - 53°17′。减的时候把 180° 看成 179°60′，得 179°60′ - 53°17′ = 126°43′。常见的错法是直接写成 127°17′，那是忘了借位。 例3　把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角（精确到分）？ 如图6.3-7，周角是 360°，7 等分就是把 360° 平均分成 7 份，用除法：360° ÷ 7。除不尽时按题目要求"精确到分"取近似值。 图6.3-7 周角分成七份（七条射线把周角平均分成七份） （四）练一练 1. 课本 P174 练习请照课本逐题作答。（图形见课本 P174 练习） 作答提示：比大小的题先量再比，写清"量得多少度、谁大谁小"；和差题先看清哪条射线在里面。 我写课本 P174 练习: 2. 补充同型练习： 　　(1) 填空：比较两个角的大小，常用的方法是 ____________ 法和 ____________ 法。 　　(2) 已知 ∠AOB = 80°，射线 OC 在 ∠AOB 的内部，且 ∠AOC = 30°，则 ∠BOC = ____________°。 　　(3) 已知 ∠AOB = 80°，∠BOC = 30°，求 ∠AOC 的度数。（想一想：要不要分情况？） 　　(4) 计算：35°45′ + 72°19′ = ____________；12°31′ × 3 = ____________。 　　(5) 一副三角尺上的角分别是 90°、60°、30° 和 90°、45°、45°。用它们可以拼出的角最大是 ____________°，最小是 ____________°。 　　(6) 把 平角与 平角接在一起，所成的角是 ____________°。 我的练习答案: 【方法小结】第 2(3) 题要分情况：OC 在 ∠AOB 内部时 ∠AOC = 80° - 30° = 50°；OC 在 ∠AOB 外部时 ∠AOC = 80° + 30° = 110°，所以是 50° 或 110°。第 2(4) 题 35°45′ + 72°19′，分相加 45′ + 19′ = 64′，满 60 进 1，得 108°4′；12°31′ × 3，分相乘 31′ × 3 = 93′，满 60 进 1，得 37°33′。第 2(5) 题最大是 90° + 90° = 180°（两个直角拼成平角），最小是 60° - 45° = 15°。第 2(6) 题 × 180° = 90°， × 180° = 60°，接起来是 150°。 四、【第三格 · 分角】角平分线 · 三等分线 第三格给角"分家"。当一个角被一条从顶点出发的射线平均切成两半时，这条射线就叫这个角的平分线；被两条射线平均切成三块时，这两条射线就叫这个角的三等分线。这类题的做法很固定：先看"平分"带来的倍数关系，再顺着图形的和差一段一段地算，或者反过来由整角求其中的一块。 （一）角平分线（课本 P174） 如图6.3-8，从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 图6.3-8 角平分线（射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角） 几何语言要正着、反着都会写。正着写：因为射线 OC 是 ∠AOB 的平分线，所以 ∠AOC = ∠BOC = ∠AOB，也可以写成 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC。反着写：因为 ∠AOC = ∠BOC，所以射线 OC 是 ∠AOB 的平分线。 已知什么 能得到什么 OC 是 ∠AOB 的平分线 ∠AOC = ∠BOC = ∠AOB；∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC OC 在 ∠AOB 内部，且 ∠AOC = ∠BOC OC 是 ∠AOB 的平分线 反着写时有个大前提千万不能丢：射线 OC 必须落在 ∠AOB 的内部。如果只说 ∠AOC = ∠BOC，而射线跑到 ∠AOB 外面去了，那就不能说它是平分线。做判断题时把"射线在内部"当成一个必查项。 （二）角的三等分线（课本 P174—P175） 如图6.3-9，从一个角的顶点出发的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线叫做这个角的三等分线。此时每一份都等于 ∠AOB。 图6.3-9 角的三等分线（两条射线把角分成三个相等的角） 算法和平分线完全一样，只是份数变了：三等分用 ，四等分用 ，n 等分就用 。求"几分之一是多少度"，就用角的度数乘这个分数；反过来已知其中的一份求整角，就用这一份的度数除以分数，也就是乘它的分母。 （三）例题精讲 例4　从同一个顶点 O 依次引出射线 OA、OC、OE，且射线 OC 落在 ∠AOE 的内部。已知 OB 是 ∠AOC 的平分线，OD 是 ∠COE 的平分线，∠AOE = 140°，∠COD = 30°，求 ∠AOB 的度数。 例4 的思路是从"平分"倒推。第一步：OD 平分 ∠COE，且 ∠COD = 30°，所以 ∠COE = 2∠COD = 60°。第二步：由和差得 ∠AOC = ∠AOE - ∠COE = 140° - 60° = 80°。第三步：OB 平分 ∠AOC，所以 ∠AOB = ∠AOC = 40°。最常见的错法是拿 × 140° = 70°，那是把 ∠AOE 当成了 ∠AOC——用平分线之前，一定要先确认"平分的到底是指哪一个角"。 例5　已知把一个 60° 的角三等分，求每一份的度数；如果把这个角四等分，每一份又是多少度？ （四）练一练 1. 补充同型练习： 　　(1) 填空：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的 ____________，叫做这个角的平分线；若 OC 是 ∠AOB 的平分线，则 ∠AOC = ____________ ∠AOB。 　　(2) 已知 ∠AOB = 96°，射线 OC 是 ∠AOB 的平分线，则 ∠AOC = ____________°。 　　(3) 已知射线 OC 是 ∠AOB 的平分线，∠AOC = 27°18′，则 ∠AOB = ____________。 　　(4) 把 45° 的角三等分，每一份是 ____________°；把 108° 的角四等分，每一份是 ____________°。 　　(5) 已知 ∠AOB = 120°，射线 OC 是 ∠AOB 的平分线，射线 OD 是 ∠BOC 的平分线，求 ∠AOD 的度数。 　　(6) 判断：射线 OC 满足 ∠AOC = ∠BOC，则射线 OC 一定是 ∠AOB 的平分线。（　） 我的练习答案: 【易错提醒】第 (2) 题 ∠AOC = × 96° = 48°。第 (3) 题是"已知一块求整角"：∠AOB = 2∠AOC = 2 × 27°18′ = 54°36′。第 (5) 题要先分层：∠BOC = × 120° = 60°，再由 OD 平分 ∠BOC 得 ∠BOD = 30°，所以 ∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 120° - 30° = 90°；也可以算成 ∠AOC + ∠COD = 60° + 30° = 90°，两条路都对。第 (6) 题错在漏了"射线 OC 在 ∠AOB 内部"这个前提。 五、【第四格 · 补角】余角与补角 · 方向角 第四格换一种眼光看角：不再问"这个角多大"，而是问"两个角凑在一起能凑成什么"。凑成直角（90°）的两个角互为余角，凑成平角（180°）的两个角互为补角。这一格还会把角用到地图上——用方向角描述一条射线的方向，再算两条射线夹出的角。 （一）余角与补角（课本 P176） 如图6.3-10，两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角；两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角。 图6.3-10 余角与补角（互余两角拼成直角 / 互补两角拼成平角） 名称 两个角相加等于 两角之间怎么说 余角 90°（直角） 这两个角互为余角，一个角是另一个角的余角 补角 180°（平角） 这两个角互为补角，一个角是另一个角的补角 用式子表达：若 ∠α + ∠β = 90°，则 ∠α 是 ∠β 的余角，∠β 也是 ∠α 的余角；若 ∠α + ∠β = 180°，则两个角互为补角。由此还能直接写出来：一个角 α 的余角是 90° - α，它的补角是 180° - α。 例6　若 ∠α = 53°16′，求 ∠α 的余角与补角。 例6 的算法：余角 = 90° - 53°16′，把 90° 看成 89°60′，得 36°44′；补角 = 180° - 53°16′，把 180° 看成 179°60′，得 126°44′。三个容易混的地方要记牢：一是"互为"两个字不能丢，余角、补角说的都是两个角之间的关系；二是 90° 与 180° 不要记反，余角对着直角、补角对着平角；三是同一个角的补角总比它的余角大 90°，因为 (180° - α) - (90° - α) = 90°。 （二）同角（等角）的余角、补角（课本 P176—P177） 性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 这条性质最常见的用法，是去说明"两个角相等"。比如已知 ∠AOC = ∠BOD = 90°，那么 ∠AOB 与 ∠COD 都等于 90° 减去同一个 ∠BOC，由"同角的余角相等"就得到 ∠AOB = ∠COD。 把理由写完整：因为 ∠AOC = ∠BOD = 90°，所以 ∠AOB + ∠BOC = 90°，∠COD + ∠BOC = 90°；又因为 ∠AOB 与 ∠COD 都是 ∠BOC 的余角，所以 ∠AOB = ∠COD（同角的余角相等）。写这一步的关键是点明"两边减掉的是同一个角"。 用这条性质时，括号里要写清"同角的余角相等"或"同角的补角相等"，不能只写"等量代换"。前者说的是角与角的关系，后者说的是数量上的替换，理由不一样。 （三）方向角（课本 P177） 如图6.3-11，方向角用"北偏东多少度"这样的说法描述一条射线的方向：先看这条射线靠近正北还是正南，再说它向东或向西偏转了多少度。 图6.3-11 方向角（北偏东 30° 与 南偏西 40°） 读法有两条规矩：一是"先南北、后偏东偏西"，所以应说"北偏东 30°"而不说"东偏北 60°"；二是"西南方向""西北方向"其实就是南偏西 45°、北偏西 45°。 算两条射线夹出的角，把正北与正南看成一条直线（一个平角）去想最快。例如南偏东 15° 与北偏东 30° 两条射线所成的角是 180° - 15° - 30° = 135°；如果两条射线都偏向同一侧，就用两角相减。 （四）练一练 1. 课本 P177 练习请照课本逐题作答。（图形见课本 P177 练习） 作答提示：余角补角的题先写"和等于多少"这个式子，再求角；方向角的题先在图上把正北、正南画出来，再标偏转的度数。 我写课本 P177 练习: 2. 补充同型练习： 　　(1) 填空：两个角的和等于 90°，就说这两个角互为 ____________；两个角的和等于 180°，就说这两个角互为 ____________。 　　(2) 若 ∠α = 27°，则 ∠α 的余角是 ____________°，补角是 ____________°。 　　(3) 若一个角的补角是它的余角的 3 倍，求这个角的度数。 　　(4) 已知 ∠AOC = ∠BOD = 90°，说明 ∠AOB = ∠COD 的理由，并写出括号里的依据。 　　(5) 甲地在乙地的北偏东 40° 方向上，那么乙地在甲地的 ____________ 方向上。 　　(6) 南偏西 20° 与北偏西 50° 两条射线所成的角是 ____________°。 我的练习答案: 【方法小结】第 (2) 题余角 90° - 27° = 63°，补角 180° - 27° = 153°。第 (3) 题设这个角为 α，则补角 180° - α，余角 90° - α，依题意 180° - α = 3(90° - α)，解得 α = 45°。第 (4) 题的依据是"同角的余角相等"，因为 ∠AOB 与 ∠COD 都是 ∠BOC 的余角。第 (5) 题两个方向正好相反，所以是南偏西 40°。第 (6) 题两条射线都在西侧，中间的角是 180° - 20° - 50° = 110°。 六、【第五格 · 画角】用尺规作一个角 第五格把前面算出来的角"画"到纸上。画角不只用量角器一种办法：只用一把无刻度的直尺和一副圆规，也能作一个角，使它精确地等于已知的角。这种做法叫尺规作图，它的妙处在于把"度数相等"变成"两段弧一交叉"——不靠读数，靠工具本身把长度搬来搬去。 （一）用尺规作一个角等于已知角（课本 P175） 如图6.3-12，只用无刻度的直尺和圆规，可以作一个角等于已知的 ∠AOB。口诀可以记成"两弧一交点"：先用一段弧把原角两条边上的两个截点"量"下来，再把这段弧搬到新的射线上，最后用圆规把两个截点之间的距离搬过去，交出一个点，把这个点与顶点连起来，就得到所求的角。 图6.3-12 用尺规作一个相等的角（弧与弧相交，再把交点与顶点连起来） 具体作法分五个步骤：① 作射线 O′A′；② 以点 O 为圆心、任意长为半径画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；③ 以点 O′ 为圆心、OC 长为半径画弧，交 O′A′ 于点 C′；④ 以点 C′ 为圆心、CD 长为半径画弧，与第 ③ 步画的弧交于点 D′；⑤ 过点 O′、D′ 作射线 O′B′。这时 ∠A′O′B′ 就是所求作的角。 为什么这样作出来的角一定相等？因为第 ② 步与第 ③ 步的弧半径一样（都是 OC），第 ④ 步的弧半径又是 CD，所以新图上三角形 O′C′D′ 的三条边与原图上三角形 OCD 的三条边分别相等，两个角自然一样大。这一步不要求写在作业上，但想明白它，作图就不是死记步骤了。 作图的两条规矩：一是圆规张开后的宽度不许改变，每一次"搬家"都要保持原样，中途拧动了圆规，作出来的角就不准了；二是弧痕一定要留在图上，弧痕就是作图过程的证据，擦掉弧痕等于没有作图。 （二）动手做一做 1. 用量角器画一个 60° 的角，再用量角器量一量，看画得准不准。 2. 用尺规作一个角，使它等于已知的 ∠AOB，保留作图痕迹，并把作法按 ①②③④⑤ 的顺序写下来。 3. 用尺规作一个角，使它等于 2∠AOB。做法是：先作一个与 ∠AOB 相等的角，再在这个角的外部紧挨着接一个同样大的角。 4. 想一想：如果只用圆规、不用直尺，能把一个角"搬"到另一处去吗？说说你的理由。 我的作图与说明: 【做法提醒】第 2 题的作法要按五个步骤写全，其中第 ② 步"任意长为半径"是允许的，因为这一步只是要在两条边上各留下一个截点；第 ③ ④ 步的半径就不能随便取了，必须与第 ② 步的 OC、CD 一样，否则作出来的角会偏大或偏小。三题都要求保留弧痕，弧痕画得越清楚，越容易检查自己哪一步做错了。 七、【回头读 · 自查】本节知识图与三级自查 五格刻度走完了，现在把量角器放下来，回头把刻度再读一遍。这一节的骨架其实很整齐：先识角（样子、名字、单位），再量角（比大小、算和差），然后分角（平分线与三等分线），接着补角（互余、互补与它们的性质），最后画角（尺规作图与方向角）。 回头读的时候不要只看"会不会算"，还要看"说不说得清"。本节真正拉开差距的地方是三件事：一是角的名字有没有说清楚（顶点处有多个角时还敢不敢写 ∠O）；二是单位有没有管好（分与秒有没有满 60）；三是关系有没有分清（互余、互补说的是两个角的和，相等说的是两个角的大小）。下面用一张知识图加三级自查，把这三点逐个过一遍。 （一）本节知识图 如图6.3-13，这张图把本节的知识串在一起。可以照着它口头复述一遍，看自己能不能说顺；说不顺的地方，就是还没过关的那一格。 图6.3-13 本节知识图（角的记法与度分秒 / 大小比较与和差 / 角平分线与三等分线 / 余角与补角 / 用尺规作角 / 方向角） （二）填一填：把本节串起来 1. 角是由两条 ____________ 组成的图形，这两条射线的公共端点叫做角的 ____________。 2. 角的四种记法是 ____________、____________、____________ 和 ____________。 3. 1 个周角 = ____________°，1 个平角 = ____________°，1 个直角 = ____________°；1° = ____________′，1′ = ____________″。 4. 比较两个角的大小，可以用 ____________ 法，也可以用 ____________ 法。 5. 若射线 OC 是 ∠AOB 的平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = ____________ ∠AOB。 6. 两个角的和等于 90°，就说这两个角互为 ____________；两个角的和等于 180°，就说这两个角互为 ____________。 我填的答案: 【回看提醒】这六题就是本节的骨架题，哪一题卡住了，就回到对应的那一格再看一眼配图：第 1、2 题看图6.3-2 和图6.3-3，第 3 题看图6.3-4，第 4 题看图6.3-5，第 5 题看图6.3-8，第 6 题看图6.3-10。 （三）自查第一层（基础） 1. 判断对错（对的填"对"，错的填"错"）：① 角的两条边画得越长，这个角就越大。（　）② 1° = 60′。（　）③ 两个角互余，它们的和一定是 180°。（　）④ 平角是一条直线。（　） 2. 填空：35°24′ 的余角是 ____________，补角是 ____________。 3. 下列说法正确的是（　）　A. 顶点处有两个角时可以把角记作 ∠O　B. 角的大小与两条边画得长短有关　C. 若 ∠1 + ∠2 = 90°，则 ∠1 与 ∠2 互为余角　D. 两个角互补，是指它们的和是 90° 我的答案: 【对答案前先自查】第 1 题只有②对：①错，角的大小与边画得长短无关；③错，互余的两个角和是 90°，互补才是 180°；④错，平角有顶点，不是直线。第 2 题余角 90° - 35°24′ = 54°36′，补角 180° - 35°24′ = 144°36′，两题都要借位。第 3 题选 C。 （四）自查第二层（应用） 4. 已知 ∠AOB = 90°，射线 OC 在 ∠AOB 的内部，射线 OD 是 ∠AOC 的平分线，射线 OE 是 ∠BOC 的平分线，求 ∠DOE 的度数。 5. 计算：90° - 47°38′ = ____________；23°15′ × 4 = ____________。 6. 已知 ∠α = 40°。甲说"∠α 的余角是 50°"，乙说"∠α 的补角比它的余角大 90°"。两人的说法对不对？说明理由。 我的答案: 【对答案前先自查】第 4 题要会用"两半各取一半"：∠DOE = ∠DOC + ∠COE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC + ∠BOC) = × 90° = 45°。第 5 题 90° - 47°38′，把 90° 看成 89°60′，得 42°22′；23°15′ × 4，度相乘 92°，分相乘 60′ 满 60 进 1，得 93°。第 6 题两人都对：∠α 的余角是 50°；补角 140°，140° - 50° = 90°。 （五）自查第三层（拓展） 7. 已知 ∠AOB = 100°，射线 OC 从 OA 出发绕点 O 旋转。当 ∠AOC = 40° 时，求 ∠BOC 的度数（要分两种位置算）。 8. 一个角的补角是它的余角的 4 倍，求这个角的度数。 9. 用一副三角尺（90°、60°、30° 与 90°、45°、45°）拼角，除了 15°、75°、105°、135°、150°，还能不能拼出 165°？写出你的拼法。 我的答案: 【对答案前先自查】第 7 题分两种情况：射线 OC 在 ∠AOB 的内部时 ∠BOC = 100° - 40° = 60°；射线 OC 在 ∠AOB 的外部时 ∠BOC = 100° + 40° = 140°。第 8 题设这个角为 α，则补角 180° - α，余角 90° - α，依题意 180° - α = 4(90° - α)，解得 α = 60°。第 9 题可以：90° + 30° + 45° = 165°，把三个角紧挨着拼在同一个顶点上就得到 165°。 八、【收尺 · 作业与自评】 收尺之前先做两件事：把这一节的知识按板块梳理成一张表，看看每一格的关键结论和最容易出错的地方；再对着自评表诚实地打勾，凡是有"还不会"的地方，就翻回对应的一格重新看配图。作业按"必做、选做、挑战"三层布置，题面照课本，凡是提到图形的地方都注明了图形在课本的哪一题。 （一）本节知识梳理 板块 要弄清的问题 关键结论 最容易在哪里出错 识角 角由什么组成、怎么称它 角由两条有公共端点的射线组成，公共端点是顶点，两条射线是边 以为边越长角越大；顶点处有多个角还写 ∠O 识角 角的大小用什么量 度、分、秒，六十进制；1° = 60′、1′ = 60″ 把 1° 当成 100′；度分秒加减忘了满 60 进 1、借 1 当 60 量角 怎么比两个角的大小 度量法（量出度数再比）与叠合法（顶点与一边重合再看另一边） 两个角很接近时凭眼睛判断 量角 角的和与差怎么写 射线 OB 在 ∠AOC 内部时 ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC 不给图时漏掉"射线在角的外部"那一种情况 分角 平分线、三等分线是什么 平分线把角分成两个相等的角，∠AOC = ∠BOC = ∠AOB 丢掉"射线在角的内部"这个前提；拿整角的一半当所求的角 补角 余角、补角是什么关系 和为 90° 互余，和为 180° 互补；同角（等角）的余角相等、补角相等 把 90° 与 180° 记反；把"互为"说成"相等" 画角 怎样作一个相等的角 只用量角器读数，或尺规作图作一个角等于已知角 尺规作图不留弧痕；中途改变了圆规张开的宽度 （二）本节自评 自评项目 能说清 基本会 还不会 说出角的顶点、边与四种记法 ○ ○ ○ 进行度、分、秒的换算与加减乘除 ○ ○ ○ 用度量法和叠合法比较两个角的大小 ○ ○ ○ 做角的和、差计算，并会分类讨论 ○ ○ ○ 用角平分线、三等分线进行角度的计算与说理 ○ ○ ○ 说明同角（等角）的余角相等、补角相等 ○ ○ ○ 读出方向角，并算两条射线所成的角 ○ ○ ○ 用尺规作一个角等于已知角，并保留作图痕迹 ○ ○ ○ （三）作业：《习题6.3》（教材 P178） 本节作业是课本《习题6.3》，共 15 题。题面请照课本，各题的原图也都在课本 P178 上，凡题面中提到图形的地方都注明了它的图形在课本上的哪一题；本资料按"必做、选做、挑战"三层布置，参考答案放在板块九。 【必做 · 第 1、2、4、6、7、8、9 题】 1. 数角题：写出以 OC 为边的角，一共有几个，把它们全写出来。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 1 题） 2. 判断说法的对错（共 5 小题）：逐条从"顶点、边、单位、记法"四个方面各想一遍，不要凭感觉下笔。 4. 余角计算题：先写出"余角等于 90° 减去这个角"这个式子，再算出结果。 6. 时钟问题：求时针 1 h 转过的度数、1 min 转过的度数，以及 3 时 25 分时时针与分针所成的角。 7. 说理题：说明 ∠AOB 与 ∠COD 为什么相等，并把括号里的依据写清楚。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 7 题） 8. 求角题：先用和差求出与 ∠AOB 相关的角，再用平分关系求 ∠AOB 的度数。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 8 题） 9. 分类讨论题：求 ∠BOC 的度数，注意题目给出的两种位置都要算，不能只写一个。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 9 题） 我写必做部分: 【选做 · 第 3、5、10 题】 3. 度分秒的换算与计算：按"大化小乘 60、小化大除以 60"逐小题做，注意满 60 进 1、借 1 当 60。 5. 作图题：按课本要求画出图形，保留作图痕迹。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 5 题） 10. 角的和差综合题：先按图把各角之间的关系列清楚，再把各空填全。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 10 题） 我写选做部分: 【挑战 · 第 11—15 题】 11. 判断关系题：分别判断每一小题中的两个角是互余、互补还是相等。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 11 题） 12. 齿轮问题：求相邻两齿中心线间的夹角，除不尽时按要求取近似值，精确到分。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 12 题） 13. 方向角作图：按题目给出的方向画出射线，确定船所在的位置。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 13 题） 14. 动手探究：按课本要求画图并用量角器测量，看看所画四边形的另一个角是多少度，四个内角的和又是多少度。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 14 题） 15. 拓展探究：分别画出三角形与四边形，量出各个外角，求出外角的和，再猜想一般的结论。（图形见课本 P178 的《习题6.3》第 15 题） 我写挑战题: 【作业提醒】做题前先把课本翻到 P178，对着课本的图读题，答案写在本页留白处。三处最容易丢分的地方要盯住：第 2 题别凭感觉，逐条对"顶点、边、单位、记法"；第 9 题是最容易漏解的一题，两种位置都要算；第 3 题的换算务必要写过程，换算过程写出来才看得见自己错在哪一步。 （四）作业自查登记表 做完一题就在表里打一个"○"，有疑问的写进右栏，第二天带到课堂上解决。 题号 完成 我的疑问 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 6 ○ 7 ○ 8 ○ 9 ○ 10 ○ 11 ○ 12 ○ 13 ○ 14 ○ 15 ○ 九、【参考答案】 以下答案按前面板块的顺序排列。请先独立完成，再逐条对照。对不上的地方，不要只改一个数，要在题目旁边把错因写清楚——是"名字没写清"（顶点处有多个角还写 ∠O），是"单位没管好"（分或秒超过了 60，或者忘了借位），还是"关系没分清"（把互为余角说成互为补角）。找出错在哪一步，比改一个答案有用得多。 下面（八）里的《习题6.3》答案，供做完之后自查用。其中需要作图、画图、换算过程的题目，答案里只写"照课本作图""按换算逐题完成"这类提示，具体的过程要自己动手写一遍再看提示——亲手写过的过程，才是自己的。 【对照提醒】对照答案时留意四类地方：一类是记法（∠AOB 与 ∠BOA 是同一个角，但顶点处有多个角时不能写 ∠O）；一类是单位（度分秒是六十进制，加减要满 60 进 1、借 1 当 60）；一类是分类（不给图又有"射线在角内还是角外"的问题，两种情况都要算）；还有一类是理由（"同角的余角相等"是角与角的关系，不能写成"等量代换"）。 （一）对零　本节导览与起跑热身 题号 参考答案 热身1 一条射线绕着它的端点旋转，可以得到角；钟面上 3 时整，时针与分针所成的角是 90 度。 热身2 1 个周角 = 360°，1 个平角 = 180°，1 个直角 = 90°；1° = 60′，1′ = 60″。 热身3 记作 ∠AOB（也可以记作 ∠BOA）；顶点 O 处只有这一个角时还可以记作 ∠O；在角的内部靠近顶点处标上数字，可以记作 ∠1。 热身4 ①错（角的大小与边画得长短无关）；②错（平角是有顶点的角，不是直线）；③对。 热身5 余角 = 90° - 35° = 55°；补角 = 180° - 35° = 145°。 热身6 把两个角的顶点重合、一条边重合，并且让两条边都落在重合边的同一侧，再看另一条边；另一条边落在外侧的那个角就大。 热身7 "北偏东 30°"是指从正北方向开始向东偏转 30° 的那个方向；"东偏北 60°"的说法不规范，方向角的规矩是先说北（或南），再说偏东（或偏西），所以同一个方向要写成"北偏东 30°"。 （二）第一格　角的概念 · 四种记法 · 度分秒 题号 参考答案 课本 P171 练习 按课本逐题作答。用量角器读角时，把中心对准角的顶点、零刻度线与角的一条边重合，读数从零那边顺着读；换算题先判断是"大化小"还是"小化大"，再决定乘 60 还是除以 60。 练一练 2(1) 周角 360°；平角 180°；直角 90°；1° = 60′，1′ = 60″。 练一练 2(2) 平角 = × 180° = 45°； 直角 = × 90° = 60°； 周角 = × 360° = 60°。 练一练 2(3) 0.4° = 0.4 × 60′ = 24′；12′ = 12 ÷ 60° = 0.2°；7.8° = 7° + 0.8 × 60′ = 7°48′。 练一练 2(4) 48°39′ + 67°31′：45′ + 19′ 中分相加为 64′，满 60 进 1，得 116°10′；90° - 37°28′：把 90° 看成 89°60′，得 52°32′。 练一练 2(5) 选 C。A 错在角的大小与边画得长短无关；B 错在平角是有顶点的角；D 错在 1° = 60′，不是 100′。 练一练 2(6) 3 个，分别是 ∠AOB、∠AOC、∠BOC。按"从一个端点出发、依次与后面的点相连"去数，2 + 1 = 3（个）。 练一练 2(7) 分针 30 分转过 180°（分针每分钟转 6°）；时针 30 分转过 15°（时针每分钟转 0.5°）。 （三）第二格　角的大小比较 · 角的和与差 题号 参考答案 课本 P174 练习 按课本逐题作答。比大小的题要写清"量得多少度、谁大谁小"；和差题先看清哪条射线落在角的内部。 例1 要分两种情况。射线 OC 在 ∠AOB 的内部时，∠AOC = 70° - 40° = 30°；射线 OC 在 ∠AOB 的外部时，∠AOC = 70° + 40° = 110°。所以 ∠AOC 的度数是 30° 或 110°。 例2 因为点 O 在直线 AB 上，所以 ∠AOC 与 ∠BOC 合起来是一个平角，∠BOC = 180° - 53°17′ = 126°43′（把 180° 看成 179°60′ 再减）。 例3 360° ÷ 7 = 51°25′43″，精确到分得 51°26′。答：每一份约为 51°26′。 练一练 2(1) 度量法；叠合法。 练一练 2(2) ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 80° - 30° = 50°。 练一练 2(3) 分两种情况：射线 OC 在 ∠AOB 内部时 ∠AOC = 80° - 30° = 50°；射线 OC 在 ∠AOB 外部时 ∠AOC = 80° + 30° = 110°。所以 ∠AOC 的度数是 50° 或 110°。 练一练 2(4) 35°45′ + 72°19′：45′ + 19′ = 64′，满 60 进 1，得 108°4′；12°31′ × 3：31′ × 3 = 93′，满 60 进 1，得 37°33′。 练一练 2(5) 最大 180°（两个直角拼成平角）；最小 15°（60° - 45°）。 练一练 2(6) × 180° = 90°， × 180° = 60°，接起来是 90° + 60° = 150°。 （四）第三格　角平分线 · 三等分线 题号 参考答案 例4 因为 OD 是 ∠COE 的平分线，且 ∠COD = 30°，所以 ∠COE = 2∠COD = 60°；由和差得 ∠AOC = ∠AOE - ∠COE = 140° - 60° = 80°；又因为 OB 是 ∠AOC 的平分线，所以 ∠AOB = ∠AOC = 40°。答：∠AOB 是 40°。 例5 60° 三等分，每一份是 × 60° = 20°；60° 四等分，每一份是 × 60° = 15°。 练一练 (1) 射线；。 练一练 (2) ∠AOC = × 96° = 48°。 练一练 (3) 这是"已知一块求整角"：∠AOB = 2∠AOC = 2 × 27°18′ = 54°36′。 练一练 (4) 45° 三等分，每一份是 15°；108° 四等分，每一份是 27°。 练一练 (5) 先算第一层：∠BOC = × 120° = 60°；再算第二层：∠BOD = ∠BOC = 30°；所以 ∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 120° - 30° = 90°。（也可以写成 ∠AOC + ∠COD = 60° + 30° = 90°。） 练一练 (6) 错。还必须有"射线 OC 在 ∠AOB 的内部"这个条件；只凭 ∠AOC = ∠BOC，射线可能落在 ∠AOB 的外部，那时它就不是平分线。 （五）第四格　余角与补角 · 方向角 题号 参考答案 课本 P177 练习 按课本逐题作答。余角、补角的题先写出"两个角的和等于 90°（或 180°）"这个式子，再求角；方向角的题先在图上把正北、正南画出来，再标偏转的度数。 例6 余角 = 90° - 53°16′ = 36°44′；补角 = 180° - 53°16′ = 126°44′。（两题都要把 90°、180° 看成 89°60′、179°60′ 再减。） 练一练 (1) 互为余角；互为补角。 练一练 (2) 余角 = 90° - 27° = 63°；补角 = 180° - 27° = 153°。 练一练 (3) 设这个角为 α，则它的补角是 180° - α，余角是 90° - α。依题意 180° - α = 3(90° - α)，解得 α = 45°。答：这个角是 45°。 练一练 (4) 因为 ∠AOC = ∠BOD = 90°，所以 ∠AOB + ∠BOC = 90°，∠COD + ∠BOC = 90°；说明 ∠AOB 与 ∠COD 都是 ∠BOC 的余角，所以 ∠AOB = ∠COD（同角的余角相等）。 练一练 (5) 乙地在甲地的南偏西 40° 方向上。（两个方向正好相反，只把南北、东西各反过来。） 练一练 (6) 两条射线都在西侧：180° - 20° - 50° = 110°。 （六）第五格　用尺规作一个角 题号 参考答案 动手做一做 1 把量角器的中心对准角的顶点、零刻度线与角的一条边重合，在 60° 的刻度处点一个点，再把顶点与这个点连起来；画完再量一次，检查读数是否仍是 60°。 动手做一做 2 作法：① 作射线 O′A′；② 以点 O 为圆心、任意长为半径画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D；③ 以点 O′ 为圆心、OC 长为半径画弧，交 O′A′ 于点 C′；④ 以点 C′ 为圆心、CD 长为半径画弧，与第 ③ 步的弧交于点 D′；⑤ 过点 O′、D′ 作射线 O′B′。∠A′O′B′ 就是所求作的角。（保留弧痕。） 动手做一做 3 先用上面的五个步骤作一个 ∠A′O′B′ = ∠AOB；再以 O′B′ 为一边，在 ∠A′O′B′ 的外部用同样的五个步骤接作一个 ∠B′O′D′ = ∠AOB。这时 ∠A′O′D′ = 2∠AOB。（保留弧痕。） 动手做一做 4 不能。圆规只能"搬运"长度、画出弧，不会画直线；连接顶点与新交点这一步必须用直尺才能完成。 （七）回头读　知识图与三级自查 题号 参考答案 填一填 1 有公共端点的两条射线；公共端点是角的顶点。 填一填 2 ∠AOB（三个字母）、∠O（一个字母）、∠1（数字）、∠α（希腊字母）。 填一填 3 周角 360°；平角 180°；直角 90°；1° = 60′，1′ = 60″。 填一填 4 度量法；叠合法。 填一填 5 ∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。 填一填 6 互为余角；互为补角。 第一层 1 ①错；②对；③错；④错。 第一层 2 余角 = 90° - 35°24′ = 54°36′；补角 = 180° - 35°24′ = 144°36′。 第一层 3 选 C。A 错在顶点处有多个角时不能写 ∠O；B 错在角的大小与边画得长短无关；D 错在互补的两个角和是 180°。 第二层 4 因为 OD 平分 ∠AOC、OE 平分 ∠BOC，所以 ∠DOE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC + ∠BOC) = × 90° = 45°。答：∠DOE 是 45°。 第二层 5 90° - 47°38′：把 90° 看成 89°60′，得 42°22′；23°15′ × 4：度相乘 92°，分相乘 60′ 满 60 进 1，得 93°。 第二层 6 两人都对。∠α = 40°，余角 = 90° - 40° = 50°；补角 = 180° - 40° = 140°，比余角大 140° - 50° = 90°。 第三层 7 分两种情况：射线 OC 在 ∠AOB 的内部时 ∠BOC = 100° - 40° = 60°；射线 OC 在 ∠AOB 的外部时 ∠BOC = 100° + 40° = 140°。所以 ∠BOC 的度数是 60° 或 140°。 第三层 8 设这个角为 α，则 180° - α = 4(90° - α)，解得 α = 60°。答：这个角是 60°。 第三层 9 能。把 90°、30°、45° 三个角紧挨着拼在同一个顶点上，就得到 90° + 30° + 45° = 165°。 （八）收尺　《习题6.3》（教材 P178） 题号 参考答案 1 以 OC 为边的角有 3 个，分别是 ∠BOC、∠COD、∠AOC。 2 (1) 错；(2) 错；(3) 对；(4) 对；(5) 错。 3 这是度分秒的互化与计算：按"大化小乘 60、小化大除以 60"逐小题做，满 60 进 1、借 1 当 60。每一小题都要把换算过程写下来，再与同伴互查，结果以课本和教师的批改核对。 4 这个角的余角是 60°，即 90° - 30° = 60°。 5 照课本要求作图（图略），必须保留作图痕迹。 6 (1) 时针 1 h 旋转 30°；(2) 时针 1 min 旋转 0.5°；(3) 3 时 25 分时，时针与分针所成的角是 47.5°。 7 ∠AOB = ∠COD。理由：因为 ∠AOC = ∠BOD = 90°，所以 ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠BOC；又因为 ∠AOB 与 ∠COD 都是 ∠BOC 的余角，所以 ∠AOB = ∠COD（同角的余角相等）。 8 ∠AOB 的度数是 140°。 9 ∠BOC 的度数为 102° 或 38°。两种位置都要算，只写一个是不完整的。 10 (1) ∠COE；(2) ∠AOD、∠AOC；(3) ∠COD、∠COE、∠AOB；(4) 120；把周角 n 等分时，相邻两条射线所成的角是 360° ÷ n。 11 在 (1) 中 ∠α 与 ∠β 互余；在 (4) 中 ∠α 与 ∠β 互补；在 (2)(3) 中 ∠α 与 ∠β 相等。 12 24 个齿的齿轮，相邻两齿中心线间的夹角是 360° ÷ 24 = 15°；22 个齿的齿轮，相邻两齿中心线间的夹角约为 360° ÷ 22 ≈ 16°22′。 13 按题目给出的方向分别画出射线，两条射线的交点就是船的位置（图略，保留作图痕迹）。 14 按课本要求画图并测量，可以发现所画四边形另一边上的角都是 135°，四个内角的和是 360°。 15 (1) 三角形的三个外角的和是 360°；(2) 四边形的四个外角的和是 360°；(3) 由此可以猜想：任意三角形、四边形的外角之和都是 360°。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $