6.3.1 角的概念 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦角的概念、表示方法、度分秒换算及方位角，通过钟表等生活情境导入，联系射线知识引入角的静态与动态定义，搭建从生活实例到数学概念再到实际应用的学习支架。 资料特色在于以生活情境培养数学眼光，合作探究与典型例题发展数学思维，错误诊所与达标检测提升数学语言表达能力，结合数学文化与中考链接增强应用意识，助力学生系统掌握知识并解决实际问题。

6.3.1 角的概念 一、学习目标 1. 理解角的概念，掌握角的四种表示方法； 2. 认识度、分、秒，会进行度、分、秒之间的换算； 3. 了解方位角的概念，能利用方位角描述物体的位置； 4. 能运用角的概念解决实际问题（如钟表角度、方位角等）。 二、学习重难点 【重点】角的概念和表示方法，度分秒的换算。 【难点】角的表示方法的正确使用，度分秒的换算及方位角的应用。 三、情境导入 【生活情境】钟表上的学问 我们每天都要看时间，钟表上的时针和分针形成了各种各样的角。 比如：3时整，时针和分针成直角；6时整，时针和分针成平角。 那么： • 2时整，时针和分针所成的角是多少度呢？ • 你还能说出哪些时刻时针和分针成特殊的角？ 在生活中，角无处不在：建筑的屋顶、剪刀的开合、楼梯的坡度…… 今天我们就来系统地学习角的概念和度量方法。 四、合作探究 探究点1：角的概念 【活动1】观察生活中的角，说说角是怎样形成的？ 图1：角的概念 【概念】角的定义 定义1（静态定义）：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两边。 定义2（动态定义）：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫做角。 起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。 特别地： • 当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角（180°）； • 当终边旋转一周，和始边重合时，所成的角叫做周角（360°）； • 我们现在所学的角都是指大于0°且小于180°的角。 【注意事项】 1. 角的两边是射线，不是线段，因此角的大小与边的长短无关； 2. 角的大小由两条边张开的程度决定，张开得越大，角就越大； 3. 平角的两边成一条直线，但不能说直线就是平角； 4. 周角的两边重合，但不能说射线就是周角。 探究点2：角的表示方法 【活动2】阅读教材，说说角有哪几种表示方法？各有什么注意事项？ 图2：角的四种表示方法 【知识梳理】角的四种表示方法 1. 用三个大写字母表示：如∠AOB（O是顶点，A、B分别是两边上的点）； 注意：顶点字母必须写在中间。 2. 用一个大写字母表示：如∠O； 注意：只有当以这个字母为顶点的角只有一个时，才能这样表示。 3. 用阿拉伯数字表示：如∠1； 注意：要在靠近顶点处加上弧线并标注数字。 4. 用希腊字母表示：如∠α（阿尔法）、∠β（贝塔）、∠γ（伽马）； 注意：要在靠近顶点处加上弧线并标注希腊字母。 【易错提醒】 • 用一个大写字母表示角时，一定要确保顶点处只有一个角； • 用三个大写字母表示角时，顶点字母一定要写在中间； • 数字或希腊字母表示的角，通常用于表示单独的、较小的角。 探究点3：角的度量——度分秒 【活动3】测量角的大小需要什么工具？角的度量单位有哪些？ 图3：度、分、秒的换算关系 【知识梳理】角的度量 1. 度量工具：量角器（半圆仪） 2. 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″） 3. 换算关系： 1° = 60′ （1度等于60分） 1′ = 60″ （1分等于60秒） 反之：1′ = (1/60)°，1″ = (1/60)′ 4. 特殊角： 1周角 = 360°，1平角 = 180°，1直角 = 90° 1° = 周角，1° = 平角，1° = 直角 【方法技巧】度分秒换算方法 • 度化分：乘以60；分化秒：乘以60；（大化小，乘进制） • 秒化分：除以60；分化度：除以60；（小化大，除进制） 例如： • 0.25° = 0.25 × 60′ = 15′ • 2700″ = 2700 ÷ 60′ = 45′ = 45 ÷ 60° = 0.75° 探究点4：方位角 【活动4】在航行、测绘等工作中，经常用到方位角来描述物体的位置。 什么是方位角？如何用方位角描述方向？ 图4：方位角示意图 【知识梳理】方位角 1. 定义：方位角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角。 2. 表示方法： • 北偏东α：从正北方向向东偏转α度； • 北偏西α：从正北方向向西偏转α度； • 南偏东α：从正南方向向东偏转α度； • 南偏西α：从正南方向向西偏转α度。 3. 特殊方位： • 东北方向：北偏东45°； • 西北方向：北偏西45°； • 东南方向：南偏东45°； • 西南方向：南偏西45°。 注意：方位角的起始方向是正南或正北，不是正东或正西。 五、典型例题 题型一：钟表上的角度计算 【例1】（2024·广西中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（　　） A．20°　　　B．40°　　　C．60°　　　D．80° 例1图 【解析】钟面被平均分成12个大格，每个大格的角度为： 360° ÷ 12 = 30° 2时整，时针指向2，分针指向12，它们之间有2个大格， 所以夹角为：2 × 30° = 60° 【答案】C 【方法技巧】钟表角度计算方法 1. 钟表一圈为360°，共12个大格，每个大格30°； 2. 时针每分钟走0.5°，（30°÷60）； 3. 分针每分钟走6°，（360°÷60）； 4. 求某时刻时针与分针的夹角，可分别计算它们的角度再相减。 题型二：方位角的认识与应用 【例2】（2024·河南中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（　　） A．60°　　B．50°　　C．40°　　D．30° 例2图 【解析】根据题意，甲、乙两地的正北方向线是互相平行的。 根据两直线平行，内错角相等的性质，可得：∠1 = 50° 【答案】B 【方法技巧】方位角问题解题关键 1. 所有正北方向线都是互相平行的，正南方向线也是； 2. 利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等）来找等角； 3. 方位角都是从正南或正北方向开始度量的。 题型三：度分秒的换算 【例3】计算： （1）3.5° = ______′ = ______″ （2）2400″ = ______′ = ______° （3）72°20′的角等于多少度？（结果保留两位小数） 【解析】根据度、分、秒之间的换算关系：1° = 60′，1′ = 60″ （1）度化分，乘以60；分化秒，乘以60： 3.5° = 3.5 × 60′ = 210′ 210′ = 210 × 60″ = 12600″ （2）秒化分，除以60；分化度，除以60： 2400″ = 2400 ÷ 60′ = 40′ 40′ = 40 ÷ 60° ≈ 0.67° （3）20′ = 20 ÷ 60° ≈ 0.33° 所以72°20′ ≈ 72.33° 【答案】（1）210，12600；（2）40，0.67；（3）约72.33° 【方法技巧】度分秒换算口诀 大化小，乘60；小化大，除60。 从高到低依次化，每步都要细心算。 题型四：角的表示方法 【例4】如图，下列说法正确的是（　　） 图4 角的表示方法 A．∠BAC和∠CAB是两个不同的角 B．∠ABC可以用∠B表示 C．图中共有3个角：∠ABC、∠ACB、∠BAC D．∠ACB可以用∠C表示 【解析】逐个分析： A错误：∠BAC和∠CAB顶点都是A，两边相同，是同一个角； B错误：以B为顶点的角不止一个，不能用∠B表示； C错误：图中不止3个角，还有∠BAD、∠CAD等； D正确：以C为顶点的角只有一个，可以用∠C表示。 【答案】D 【方法技巧】用一个大写字母表示角的条件 当且仅当以该点为顶点的角只有一个时，才能用一个大写字母表示角。 如果顶点处有多个角，必须用三个大写字母或数字/希腊字母表示。 六、错误诊所 【易错点1】角的大小与边的长短有关 【错例】小明说：角的边越长，角就越大。 【诊断】角的两边是射线，可向一方无限延伸，角的大小与边的长短无关， 只与两条边张开的程度有关。张开得越大，角就越大。 【正解】角的大小与边的长短无关，只与两边张开的程度有关。 【易错点2】度分秒换算时搞错进制 【错例】1.5° = 150′ 【诊断】度与分之间的进率是60，不是100。把度化成分要乘以60。 【正解】1.5° = 1.5 × 60′ = 90′ 【错例】30′ = 0.3° 【诊断】分化度要除以60，不是除以100。 【正解】30′ = 30 ÷ 60° = 0.5° 【易错点3】方位角的起始方向搞错 【错例】北偏东60°也可以说成东偏北60°。 【诊断】方位角通常从正南或正北方向开始描述， 北偏东60°等于东偏北30°（90°-60°=30°）。 【正解】北偏东60° 等同于 东偏北30°。 【易错点4】平角就是直线，周角就是射线 【错例】平角是一条直线，周角是一条射线。 【诊断】平角和周角都是角，具有角的特征：有顶点和两条边。 平角的两边成一条直线，但不能说直线就是平角； 周角的两边重合，但不能说射线就是周角。 【正解】平角的两边成一条直线，周角的两边互相重合。 七、达标检测 【基础题】 1. 下列关于角的说法正确的是（　　） A．角的两边是线段 B．角的大小与边的长短无关 C．有公共点的两条射线组成的图形叫做角 D．角的大小由顶点的位置决定 2. （2024·广西中考改编）3时整，钟表上时针与分针的夹角为（　　） A．30°　　B．60°　　C．90°　　D．120° 第2题图 3. 下列换算正确的是（　　） A．0.5° = 30′　　　　B．1.5° = 150′ C．30°15′ = 30.15°　　D．1800″ = 30° 4. 西北方向是指（　　） A．西偏北30°　　B．北偏西45° C．西偏北45°　　D．北偏西30° 5. 周角 = ______°，平角 = ______°，直角 = ______°。 6. 如图，用量角器测量角的度数，这个角的度数是______。 第6题图 【提升题】 7. 计算： （1）1.25° = ______′ = ______″ （2）5400″ = ______′ = ______° （3）23°30′ = ______° （4）36.45° = ______°______′ 8. 如图，学校的图书馆在北偏西30°方向，操场在南偏东45°方向，请在图中标出图书馆和操场的位置。 第8题图 9. 时钟在8时30分时，时针与分针所成的角是多少度？ 10. 已知点A在点O的北偏东35°方向，点B在点O的南偏东25°方向， 求∠AOB的度数。 八、中考链接 【中考真题1】（2024·广西中考）2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（　　） A．20°　　B．40°　　C．60°　　D．80° 中考真题1图 【中考真题2】（2024·河南中考）如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（　　） A．60°　　B．50°　　C．40°　　D．30° 中考真题2图 【中考真题3】（2024·北京中考改编）下列说法正确的是（　　） A．平角是一条直线 B．周角是一条射线 C．角的两边越长，角越大 D．1周角 = 2平角 = 4直角 【中考真题4】（2024·四川雅安中考改编）计算：0.5°等于（　　） A．30′　　B．50′　　C．30″　　D．50″ 九、数学文化 【数学史话】角度的起源与发展 角度的概念起源于古代文明对天文观测的需要。早在公元前3000年左右， 古巴比伦人就开始使用60进制来划分圆周。 为什么是360度？ 一种说法是古巴比伦人认为一年大约有360天，太阳每天在黄道上走一度； 另一种说法是360有很多因数（1、2、3、4、5、6、8、9、10、12……）， 便于将圆周等分成很多份。 60进制的由来： 古巴比伦人使用60进制进行计算。60是一个很特别的数， 它能被1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60整除， 在进行分数运算时非常方便。 中国古代的角度： 中国古代将一周天分为365.25度（与一年的天数对应）， 这是一种独特的角度划分方法，在古代天文历法中广泛使用。 【生活中的角】 • 建筑设计：房屋的屋顶角度、楼梯的坡度、门窗的开合角度； • 交通导航：航海、航空中的方位角导航； • 体育比赛：足球射门角度、篮球投篮角度； • 艺术创作：绘画中的透视角度、摄影的构图角度； • 机械制造：齿轮的齿形角、螺丝的螺纹角。 角无处不在，它是我们认识世界的重要工具！ 十、小结与反思 【知识梳理】 本节课我们学习了： 1. 角的概念： • 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形； • 动态定义：一条射线绕端点旋转形成的图形。 2. 角的表示方法（4种）： • 三个大写字母：∠AOB（顶点在中间）； • 一个大写字母：∠O（顶点处只有一个角时）； • 阿拉伯数字：∠1； • 希腊字母：∠α。 3. 角的度量： • 单位：度（°）、分（′）、秒（″）； • 换算：1° = 60′，1′ = 60″。 4. 方位角： • 从正南或正北方向开始描述； • 如：北偏东30°、南偏西45°等。 【学习反思】 1. 我对角的概念理解了吗？_________________________________ 2. 我能正确使用四种方法表示角吗？_________________________ 3. 度分秒的换算我掌握了吗？_______________________________ 4. 我会用方位角描述物体的位置吗？_________________________ 5. 本节课我还有哪些疑问？_________________________________ 参考答案 【典型例题答案】 例1：C 例2：B 例3：（1）210′，12600″；（2）40′，0.67°；（3）约72.33° 例4：D 【达标检测答案】 1. B 解析：角的两边是射线，角的大小与边的长短无关。 2. C 解析：3×30° = 90° 3. A 解析：0.5° = 30′；1.5° = 90′；30°15′ = 30.25°；1800″ = 0.5° 4. BC 解析：西北方向即北偏西45°，也可说西偏北45°。 5. 360，180，90 6. 60° 7. （1）75′，4500″ （2）90′，1.5° （3）23.5° （4）36°27′ 8. （图略）图书馆在北偏西30°方向，操场在南偏东45°方向。 9. 解：8时30分时， 时针的角度：8×30° + 30×0.5° = 240° + 15° = 255° 分针的角度：30×6° = 180° 夹角：255° - 180° = 75° 答：时针与分针所成的角是75°。 10. 解：北偏东35° + 南偏东25° = 60° ∠AOB = 180° - 35° - 25° = 120° 答：∠AOB的度数为120°。 【中考链接答案】 真题1：C 解析：2×30° = 60° 真题2：B 解析：两直线平行，内错角相等，∠1 = 50° 真题3：D 解析：1周角 = 360°，1平角 = 180°，1直角 = 90° 真题4：A 解析：0.5° = 0.5×60′ = 30′ 学科网（北京）股份有限公司 $