精品解析：贵州遵义航天高级中学2027届高三上学期第一次模拟考试数学试题

遵义航高2027届第一次模拟考试题 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 3. 若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 18 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数最小值为2的是（ ） A. ， B. ， C. D. 10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是以周期为4的函数 C. D. 11. 若正实数，满足，则（ ） A. B. 有序数对有4个 C. 的最大值为 D. 的最小值为24 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于点对称，则_______________． 13. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围为____． 14. 对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. （2）已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 16. 已知数列是等差数列，且，，数列满足，. （1）求的通项公式，并证明数列是等比数列； （2）若数列满足，求的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性与极值点； （2）当时， （i）证明：曲线关于中心对称； （ii）若过点可以作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 19. 已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航高2027届第一次模拟考试题 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】存在量词命题的否定：（1）将存在量词改为全称量词； （2）取值范围保持不变，仍为； （3）否定结论：的否定为， 综上，原命题的否定为，. 2. 已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【详解】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 3. 若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误， 由偶函数的性质验证C，D选项 选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确， 选项D：​，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解分式不等式得到集合，再求出集合在实数集上的补集，最后逐一判断选项中集合的关系与运算是否正确 【详解】集合： 对不等式移项通分，得，等价于，解得或，因此， 集合： 对不等式移项通分，得，等价于且，解得，因此， 所以， 选项A：不含元素，含元素，故，A错误； 选项B：中所有元素均属于，故，B正确； 选项C：集合均有元素，故，C错误； 选项D：，D错误. 5. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分，两种情况，结合复合函数单调性知识可得答案. 【详解】当时，, 因此时在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，则的单调递减区间为， 单调递增区间为，可得在上单调递增； 当时，, 因此时在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，则的单调递减区间为， 单调递增区间为．若在上单调递增，有． 综上可得． 故选：A. 6. 已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数值域求出的关系，再利用一元二次不等式的解集与对应方程实根关系列式求解. 【详解】由函数的值域为， 得，即， 不等式， 由不等式的解集为， 得是方程的两个实根， 因此，解得， 所以实数的值为9. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和在上的单调性，再利用函数性质转化不等式求解的取值范围即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，故为奇函数， 对求导得， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 又， 因此，故在上为单调递增函数， 因为等价于， 由奇函数性质得， 因为在上为单调递增函数，所以，所以， 所以实数的取值范围是. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数最小值为2的是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】可通过函数单调性、指数函数性质、绝对值的非负性分别求解各选项函数的最小值，判断是否为2 【详解】 选项A：函数中，和在时均为增函数， 故该函数在上单调递增，最小值为，不符合要求； 选项B：，时，，则， 故，当时取到最小值2，符合要求； 选项C：，指数函数为单调递减函数， 故，最大值为1，不可能取到最小值2，不符合要求； 选项D：由绝对值的非负性得， 当时，此时，故函数最小值为2，符合要求. 10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，（且），若，则下列结论正确的有（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是以周期为4的函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义可判断AB，利用赋值法结合对数运算判断C，根据周期性判断D. 【详解】由为奇函数得， 即，所以的图象关于点中心对称，故A正确； 因为为偶函数得， 用替换可得， 在中将替换为，得， 进而有，则， 所以的周期为4，故B正确； 在中令可得，所以， ，，由， 即，解得，进而，所以当时，， 且， 所以，其中，所以， 所以. 在中令可得，又， 所以， 所以，故D正确. 11. 若正实数，满足，则（ ） A. B. 有序数对有4个 C. 的最大值为 D. 的最小值为24 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值. 【详解】由正实数，满足，得. 对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确； 对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确； 对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于点对称，则_______________． 【答案】2 【解析】 【详解】，关于点对称， 由题意可知函数关于点对称，所以解得. 13. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数a的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】由题函数是单调减函数；则，解得a的取值范围． 【详解】对任意x1≠x2，都有成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则，解得 . 即答案为. 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键． 14. 对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为函数与都是实数集上的增函数， 所以函数在R上单调递增，且， 当时，，所以当时，， 当时，， 由，即当时，恒成立， 即当时，，即恒成立， 设，则， 当且仅当，即，即时，等号成立， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）设函数是定义域在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. （2）已知当时，函数（其中）的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性对解析式进行求解即可； （2）由题意，化简后，使用换元法进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，，∴ 又∵为奇函数，∴当时，， 又∵是定义域在上的奇函数，∴， 综上所述，函数的解析式为. 【小问2详解】 当时，，， ∴ 令，当时，， 设，， ∵，∴由二次函数知识知，当时，最小值为， 令，解得（舍）或， ∴当时，函数（其中）的最小值为， 则实数的值为. 16. 已知数列是等差数列，且，，数列满足，. （1）求的通项公式，并证明数列是等比数列； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1） ， 由得，即， 又， 所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足 ，.根据等比数列的定义可证明数列是等比数列； （2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，， 得，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，所以. 所以. 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：连接， 是菱形，是对角线， ， 又平面平面， ， 又平面平面， 平面， 又平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直以及线面垂直的性质，通过线面垂直的判定定理证明平面，进而得到； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及向量，再根据线面角的向量公式（其中为直线的方向向量，为平面的法向量，为直线与平面所成角）求出线面角的正弦值。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，则， 以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系， 令，则， ， 设平面的法向量为， 由，得，得， . 18. 已知函数． （1）讨论的单调性与极值点； （2）当时， （i）证明：曲线关于中心对称； （ii）若过点可以作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增，无极值点；当时，在单调递增，在单调递减，是极大值点，是极小值点；当时，在单调递增，在单调递减，是极大值点，是极小值点 （2）（i）证明：当时, ，故. 因为， 所以曲线关于中心对称. （ii） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论求出函数单调性及极值点； （2）（i）根据函数图象中心对称的定义式证明即可； （ii）利用导数写出函数切线方程，根据过点有三条切线，代入坐标，则新的方程有三个解，构造函数，求函数单调性和极值点，推断有三个解的条件. 【小问1详解】 ， 当时，，在上单调递增，无极值点； 当时，由可得或，所以在单调递增， 由可得，所以在单调递减， 故是极大值点，是极小值点； 当时，由可得或，所以在单调递增， 由可得，所以在单调递减， 故是极大值点，是极小值点. 综上，当时，在上单调递增，无极值点； 当时，在单调递增， 在单调递减，是极大值点，是极小值点； 当时，在单调递增，在单调递减， 是极大值点，是极小值点. 【小问2详解】 （i）略 （ii）， 设切点坐标为，切线的斜率为. 则切线方程为，将点代入并整理得， 记， ，令，得或， 当或时，单调递减， 当时，单调递增， 所以时，的极大值为，当时，的极小值为， 当时，，时，， 由题意得，直线与曲线有三个不同的交点， 所以. 19. 已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）（ⅰ）； （ⅱ）此时在上有唯一零点．在上单调递增， 故当时，，即； 当时，，即， 故在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点. 方法一：由上分析，，又，故； 方法二：因为，由，得， 则， 令，则（）， 所以在上递减， 所以，即，所以. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导后讨论导数的正负即可； （2）（ⅰ）将问题转化为导函数的变号零点，结合零点存在定理即可求解；（ⅱ）方法一：由（ⅰ）可知是的极小值点，则，结合即可证明；方法二：由（ⅰ）可知，然后构造函数，结合函数的单调性可证得结论. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得． 即在上单调递增，上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点． 令，即在上有变号零点． 当时，显然在区间上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时，在区间上恒成立. 所以在上单调递增. 令，解得. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $