专题3.8 函数的概念与性质60道计算题专项训练 （6大题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.8 函数的概念与性质60道计算题专项训练 （6大题型） 题型一 求函数值 题型二 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型三 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型四 已知f(g(x))求解析式 题型五 求分段函数值 题型六 根据函数是幂函数求参数值 【经典计算题一 求函数值】 1．已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 【答案】(1)，，， (2) 猜想： 证明：由， 可得：， 则即证猜想． 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）利用代入法进行判断证明即可. 【详解】（1），，，； （2）略 2．（1）定义在上的函数满足，求和； （2）定义在上的函数满足，，求． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）令、得到方程组，即可求对应函数值； （2）利用赋值法可求的值，再求出，从而可求的值. 【详解】（1）令，则①， 令，则②， 联立①②，解得； （2）， 而即， 故，故， 3．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将分别代入与的解析式即可得解； （2）利用（1）中结论，将，的值分别代入与的解析式，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）由（1）知， . 4．已知函数. (1)求； (2)判断是否为定值，并求出的值. 【答案】(1)3； (2)6067.5. 【分析】（1）根据给定的函数，代入计算即得. （2）先求出是定值3，再借助此定值及规律，利用加法运算律求值即得. 【详解】（1）函数，则，， 所以. （2）依题意，， 所以是定值3， . 5．已知函数（且）． (1)求的值； (2)求证：是定值； 【答案】(1) (2) 证明：， （且） 【分析】（1）根据函数解析式将和代入计算可得； （2）将化简计算即可得出，即可证明是定值. 【详解】（1）由可知， 代入计算可得； （2）略 6．已知函数，. (1)求，，及的值. (2)求，并证明为常数. 【答案】(1)，，， (2)， ，为常数. 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）计算，再计算即可. 【详解】（1）， ， ， . （2）因为，则 ， 所以，为常数. 7．已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明:因为， 取都为时，所以. (2) 【分析】（1）取都为时，代入题中关系式即可证明； （2）令，分析可得，进而可求，令，分析可得，整理得，即可得结果. 【详解】（1）略 （2）令，则，可得或， 当时，令，则，即与矛盾， 所以， 因为， 令，则，可得， 令，则， 即， 即， 可得， 用代可得， 可得，即， 所以. 8．已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【答案】(1) (2) 为定值； (3) 【分析】（1）根据函数解析式代入运算可得解； （2）根据函数解析式列式运算可得证； （3）由（2）的结论，组合运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）略 （3）由（2）可知，，， 所以 ． 9．已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【答案】(1)； (2)；证明如下： ＝++. (3) 【分析】（1）利用 ，代入计算，求得与，与的值； （2） ，利用，即可证明； （3）利用，可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴，＝， ， ＝. （2）由（1）发现，证明略； （3）. 由（2）知， ， … ， ∴原式. 10．已知函数． (1)求，的值； (2)由（1）中求得的结果，你发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求的值． 【答案】(1)，=1 (2)，证明见解析 (3)2021.5 【分析】（1）由解析式代入运算即可得解； （2）代入计算，即可得解； （3）结合（2）的结论运算即可得解. 【详解】（1）； ． （2）由（1）可发现，证明如下： 当时，． （3）由（2）知， 所以 ． 【经典计算题二 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 11．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求，的值域. 【答案】(1)，； (2)，； (3)值域是，值域是． 【分析】（1）直接根据解析式代入自变量值计算； （2）由（1）根据解析式分别代入和计算； （3）利用二次函数和反比例函数的性质求解． 【详解】（1）； （2），； （3）因为，所以，所以值域是， ，值域是， 12．求下列函数的值域： (1)，； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据定义域即可求出函数的值域； 【详解】（1）由题意， 在中，， ， ，，，， ∴这个函数的值域为. （2）由题意， 在中，， ∵， ∴这个函数的值域为. 13．已知，. (1)求，，的值； (2)求，的值域. 【答案】(1)；； (2)的值域为；的值域为. 【分析】（1）将数值代入对应方程即可； （2）利用不等式的性质，从有的某部分范围求出对应函数的范围，得出值域即可. 【详解】（1），， （2）由，即，所以的值域为； 对于，，即，所以的值域为. 14．求下列函数的值域： （1）f（x）=3x+1， （2）f（x）=2x，（） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将自变量的取值代入函数解析式即可求解； （2）利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）因为f（x）=3x+1，， 所以时，，时，，时，， 时，，时，， 所以函数的值域为； （2）因为f（x）=2x，（），对称轴为， 所以在上单调递减，在单调递增， 又，，， 所以函数的值域为. 15．已知函数． （1）求的值； （2）当的定义域为时，求的值域； 【答案】（1）-2；（2）. 【解析】（1）根据，直接代入求解.. （2）将函数变形为，由，利用反比例函数的性质求解. 【详解】（1）∵， . （2）函数 当时， 所以 所以值域为． 16．求下列函数的值域： （1），； （2），. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），结合定义域，求出的最大值和最小值即可； （2）分和两段，根据反比例函数的单调性即可得值域. 【详解】（1）， ∵，∴当时，取得最小值； 当时，取得最大值5， ∴函数的值域为. （2）当时，单调递增，； 当时，单调递增，， ∴函数的值域为. 17．已知函数 （1）当，时，求函数的值域 （2）求实数a的取值范围，使在区间上是单调函数. 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）当时，函数，再利用二次函数的性质求得函数在上的最值； （2）根据的对称轴为，且在区间上是单调函数，可得或，由此求得的范围. 【详解】（1）当时，函数， 再由，可得当时，函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为15， 即函数的值域为. （2）∵函数的对称轴为， 且在区间上是单调函数， 可得或，解得或， 故的范围为或. 【点睛】本题主要考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题. 18．试求下列函数的定义域与值域： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1），（2） ，（3） ，（4） 【分析】（1）将代入解析式,求出值,即可得函数的值域， （2）由完全平方式的非负性进行求解， （3）分离常数,可得，从而可求出的范围， （4）利用换元法，令，则,代入原函数可得关于的二次函数,通过配方法求出函数的值域. 【详解】（1）函数的定义域为， 则，，，，， 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为， 因为 ，所以， 所以函数的值域为． （3）函数的定义域是， ， 因为，所以， 所以函数的值域为． (4)要使函数式有意义，需，即， 故函数的定义域是， 令，则, 所以， 因为，所以 所以函数的值域是. 19．求下列函数的值域： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）用换元法、配方法，求该函数的值域； （2）用平方法、配方法，求该函数的值域. 【详解】（1）函数，定义域为， 令，则， 所以， 对称轴方程为， 所以时，函数， 故值域为； （2）由题意得，解得， 则， 由可得， ， 由y的非负性知，， 故函数的值域为. 20．求下列函数的值域. （1）y＝－1(x≥4)； （2）y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}； （3）y＝x＋； （4）y＝x2－2x－3(x∈[－1，2]). 【答案】（1）[1，＋∞)；（2）{3，5，7，9，11}；（3）；（4）[－4，0]. 【分析】（1）根据不等式性质求解； （2）根据定义域，代入解析式直接求出函数值，得到值域； （3）换元法求出函数值域； （4）根据二次函数性质求解值域. 【详解】（1）因为x≥4， 所以≥2， 所以－1≥1， 所以y∈[1，＋∞). （2）因为x∈{1，2，3，4，5}，y＝2x＋1， 所以y＝{3，5，7，9，11}. （3）设u＝，则u≥0，且x＝， 于是，y＝＋u＝ (u＋1)2≥， 所以y＝x＋的值域为. (4)因为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，x∈[－1，2]， 所以当时，， 当时，， 所以函数值域为[－4，0]. 【经典计算题三 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 21．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用换元法将函数表示成，需要注意确定参数的取值范围，再利用基本不等式求解范围； （2）利用换元法及配方法将函数表示成，利用二次函数的性质求值域即可． 【详解】（1）解：设，则， 因为，所以， 所以． 因为，所以， 故函数的值域为． （2）解：设，则，， 所以， 显然的最大值是4， 所以函数的值域为． 22．求函数的值域. 【答案】 【分析】由变形得，当时，此方程无解；当时，利用方程有实根即列不等式求解值域. 【详解】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，因为，所以， 解得，又，所以， 所以函数的值域为. 23．求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）∵，∴， ∴的值域为. （2）设，则，且， 所以， 由，结合函数的图象得原函数的值域为. 24．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【分析】（1）由，进而求得函数的值域； （2）根据二次函数的图象与性质，结合函数的单调性，求得函数的最值，即可求解； （3）化简函数，结合反比例函数的性质，即可求解； （4）令，则，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，所以，所以函数的值域为. （2）解：由，可得其对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 又由当时，；当时，，所以函数的最大值为， 所以函数在区间上的值域为. （3）解：由函数，可得其定义域为， 则，即，所以函数的值域为且. （4）解：令，则， 则， 根据二次函数的性质，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，，所以函数的值域为. 25．已知函数和，设． (1)若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由； (2)求的值域． 【答案】(1)和不是同一函数；理由见解析 (2) 【分析】（1）根据同一函数概念即可判断和不是同一函数； （2）利用换元法求解值域即可. 【详解】（1）和不是同一函数， ． ∵的定义域为，的定义域为， ∴的定义域为与的定义域的交集，即． ∴，． 虽然函数解析式相同，但是定义域不同，前者定义域为，后者定义域为． 所以和不是同一函数． （2），． 令，则， 所以原式转化为， 其值域为． 故的值域为． 26．求下列函数的值域 (1)，； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分离参数法求解即可. （2）利用换元法求解即可. 【详解】（1）， 令，则， 因为在为增函数， 所以，，值域为 （2），令，， 所以， 因为在为减函数， 所以，值域为. 27．求下列函数值域. （1）f(x)＝3x－1，x∈[－5，2)； （2）； （3）. 【答案】（1）[－16，5)；（2）y∈R|y≠}；（3）[，2]． 【分析】（1）根据一次函数直接求出值域； （2）分离常数求解值域； （3）利用平方处理求解值域. 【详解】（1）∵x∈[－5，2)，∴－15≤3x<6， ∴－16≤3x－1<5，∴函数f(x)＝3x－1，x∈[－5，2)的值域是[－16，5)． （2）, ∴y≠， ∴函数的值域为{y∈R|y≠}． （3）由题意可得，x∈[2，4]，因为, ， 所以f2(x)∈[2，4]，故函数f(x)的值域为[，2]． 28．求下列函数的值域： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合基本不等式得出值域； （2）由换元法结合二次函数的性质得出值域. 【详解】（1）解：，故. 当且仅当时“”成立，值域为. （2）设, 则. ， 对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为. 29．求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用常数分离法将函数变形为，即可求得函数值域； （2）采用换元法，结合二次函数的性质，即可求得函数值域. 【详解】（1）因为， 则，所以，故函数的值域是. （2）令，则且， 故， 结合二次函数的性质可知，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减， 当时，函数取得最大值，没有最小值， 故值域为. 30．知且，． （1）求的解析式； （2）求的值域 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将，代入，解方程组即可； （2）由，令，则，，求二次函数值域即可. 【详解】（1）由，解得， 所以； （2）， 令，则， 因为，所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以的值域为. 【经典计算题四 已知f(g(x))求解析式】 31．（1）函数是一次函数，且，求的函数解析式. （2）已知，求的函数解析式. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用换元法求解即可. 【详解】（1）设， 则， 则，解得或， 所以或. （2）令，则， 所以， 则. 32．已知，求的解析式． 【答案】 【分析】先利用换元法求得函数的解析式，进而求得的解析式，注意定义域. 【详解】令，则，， 因为，则， 所以， 所以，并令，解得， 所以． 33．（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由换元法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设，则. ，解得，或， 或. （2）令，则，， 即. 34．求下列函数的解析式. (1)已知函数，求； (2)已知是一次函数，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法，设，代入已知式求解； （2）设，代入已知条件求得参数值得解． 【详解】（1）因为函数， 令则， 因为，所以， 所以. （2）设，由得，则， 又因为，所以，解得， 所以． 35．（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，得到，对照系数得到方程组，求出，得到解析式； （2）换元法求解，令，得到，求出解析式. 【详解】（1）设，故， 所以，解得， 所以； （2）令，则， 故， 故. 36．（1）已知是一次函数，且满足； （2）已知，求的解析式. 【答案】（1），（2） 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由换元法求解即可. 【详解】（1）设， ， ，即， 可得，解得， 所以. （2）设，则， ，化简得， . 37．（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 【答案】（1）；（2）；（3），值域为 【分析】（1）化简函数，即可求得的解析式； （2）设一次函数，利用待定系数法，即可求解； （3）令，化简 求得，即可求解. 【详解】解：（1）由函数， 所以函数的解析式为； （2）设一次函数，可得 因为， 因为，所以，解得， 所以函数的解析式为； （3）因为，令，可得且， 因为，可得， 所以函数的解析式为， 又单调递增，所以函数的值域为. 38．求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：利用换元法即可求解，注意自变量的范围；法二：利用配凑法即可求解，注意自变量的范围； （2）利用配凑法即可求解. 【详解】（1）法一：（换元法）令，则，， 所以， 所以的解析式为. 法二：（配凑法）. 因为，所以的解析式为 （2）， 所以 39．（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【答案】（1），（2），（3） 【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【详解】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 40．求下列函数的解析式. (1)已知函数，求； (2)已知是一次函数，且，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令可得，即可求； （2）设，则有，利用列方程求解即可. 【详解】（1）因为函数， 令则， 因为，所以， 所以. （2）设， 则有， 因为， 所以， 解得或， 所以或 【经典计算题五 求分段函数值】 41．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据分段函数的表达式，代入即可求解， （2）根据函数值为3，换元得，分类求解得的值，即可根据求解即可. 【详解】（1）由题可得， 因为， 所以； . 所以. （2）设，当时，若，不符合. 当时，若， 当时，若，不符合. 综上所述，的值为0，即. 当时，若，不符合. 当时，若，不符合. 当时，若， 综上所述. 42．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)， (2)或或 【分析】（1）根据分段函数解析式直接代入求解； （2）令，分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】（1）因为，则， 又因为，所以. （2）令，则， 当时，则，解得：， 即，可得或，解得； 当时，则，解得：或2，即或， 可得或或或，解得或； 综上所述：或或. 43．已知 (1)求 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)根据分段函数解析式计算即可; (2)分情况讨论,代入求解,再验证后得出实数的值 【详解】（1） （2）若，则，由得，解得 若，则，由得， 解得或，由于， 综上或 44．已知函数． (1)求，的值； (2)若，求实数a的值 【答案】(1)， (2)1或 【分析】（1）由解析式计算即可； （2）分类讨论的值，结合解析式得出实数a的值. 【详解】（1）解： （2）① ② ③ 综上，实数a的值为1或． 45．已知函数 (1)求的值； (2)对函数，若存在点，使得，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，分别求得，即可得解； （2）根据分段函数的解析式，分三种情况讨论，即可得解. 【详解】（1）解：由， 得， 所以 （2）解：由， 当时，则，解得（舍去）， 当时，则，解得， 当时，则恒成立， 综上所述，实数的值为或. 46．已知函数且. (1)求； (2)若，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入求解即可； （2）根据分段函数解方程即可. 【详解】（1）得， ， ， ； （2）当时，由得解得； 当m＜0时，由得，无实数解， 综上所述，. 47．已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)-2 (2). 【分析】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，然后从内到外计算； （2）分，分别求解，注意检验. 【详解】（1），由于，故，解得 故， 所以. （2）当时，，解得，舍去； 当时，，解得或-1， 其中不符合题意，舍去； 综上所述，. 48．已知函数. (1)求及的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据函数的解析式，求得，，进而得到的值. （2）根据函数的解析式，分，和三种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数， 可得，， 所以. （2）当时，可得，解得，符合． 当时，可得，解得，符合； 当时，可得，解得，不符合． 综上可得：或． 49．已知函数的解析式. (1)求； (2)若，求的值； 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）直接根据解析式代入求解； （2）根据分段函数的解析式，分别列方程即可解得. 【详解】（1）函数的解析式． ，； （2）因为且， 所以，解得； 或，解得（舍去）； 或，解得. 综上：或． 50．已知函数 （1）求的值； （2）若在上恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）21；（2） 【分析】（1）代入求值即可； （2）若在上恒成立，则，求出的最大值即可求解 【详解】（1） 函数， ， ， ； （2）若在上恒成立， 则， 当时，在单调递增，， 当时，在单调递减， 在单调递增，， 所以在上， 所以 【经典计算题六 根据函数是幂函数求参数值】 51．已知幂函数的图象经过第三象限． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解， （2）由幂函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为幂函数，所以，解得或． 当时，，此时的图象经过第三象限，符合题意； 当时，，此时的图象不经过第三象限，不符合题意． 故． （2）因为，所以不等式等价于， 又为增函数，所以，解得， 所以原不等式的解集为． 52．已知幂函数的定义域为． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 【答案】(1) (2) 在上单调递增，理由如下： 由（1）可得， 且， 所以， 因为，，所以， 又，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 【分析】（1）由已知可得，求解结合定义域可得，可求； （2）在上单调递增，利用单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或， 当，幂函数的定义域为，符合题意； 当，幂函数的定义域为，不符合题意； 所以，所以． （2）略 53．已知幂函数是奇函数． (1)求的解析式； (2)根据定义证明函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)由题意得， 设，且， 则 ， 由，得，，，得， ．所以，即，故在上单调递增． 【分析】（1）根据幂函数的定义得到，结合，即可确定的值，再结合函数的奇偶性即可得解； （2）首先写出解析式，再由单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由题意得，得． 当或时，是偶函数，不符合题意； 当时，是奇函数，符合题意． 故； （2）略 54．已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若，求实数a的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由幂函数的定义求得或，再检验即可求得函数表达式，代入求值即可； （2）由偶函数性质可得，由此解方程即可得解. 【详解】（1）由题意知，解得或， 当时，为奇函数，不满足题意； 当时， ，满足题意， ∴，∴. （2）由和可得，即或， ∴或. 55．已知幂函数 (1)求的解析式； (2)若图像不经过坐标原点，判断奇偶性并证明； 【答案】(1)或 (2)当时，的图像经过坐标原点，不满足要求， 当，的图像不经过坐标原点，所以  , 奇函数. 证明：定义域为，关于原点对称, , 为奇函数. 【分析】（1）由幂函数的定义即可求解 （2）按定义即可证明奇偶性 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或2， 故或 （2）略 56．已知是幂函数，且的定义域为. (1)求的值； (2)根据定义证明函数在上单调递增. 【答案】(1) (2) ， 设， 因为， 故， 所以函数在上单调递增 【分析】（1）由幂函数的定义和定义域直接求出； （2）用定义证明函数的单调性即可. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以解得或， 当时，，定义域不是，故舍去， 所以 （2）略 57．已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求解即可； （2）根据偶函数及单调性将不等式化为，两边平方化简得，求解即可. 【详解】（1）幂函数为偶函数， 所以，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意，舍去； 当时，，为偶函数，满足题意； 所以. （2）由（1）知， 为偶函数，且在上单调递增， 所以不等式，可化为， 所以，两边平方得， 化简得，解得或， 所以不等式的解集为. 58．已知幂函数是偶函数. (1)求的解析式； (2)设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程，求出的值，再代入检验即可； （2）首先得到当时的解析式，再根据奇函数的性质求出时的解析式，即可得解. 【详解】（1）因为为幂函数，所以， 解得或， 当时，为非奇非偶函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意； 综上可得：的解析式为. （2）因为是定义在上的奇函数，所以， 且当时，， 设，则，则， 所以， 综上可得. 59．已知幂函数在区间内是减函数． (1)求实数的值； (2)求方程的解集． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由幂函数的定义可得，从而得，从而根据单调性进行取舍最值得符合的实数的值； （2）根据幂函数解析式列方程求解即可得解集. 【详解】（1）得，，解得或， 当时，，在区间内是增函数，舍去， 当时，，在区间内是减函数，符合， 故. （2）由（1）得，则就是， 等价于， 解得或，故方程的解集是. 60．已知幂函数，且． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2)． 【分析】（1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果； （2）利用函数的奇偶性与单调性可得，求解即可. 【详解】（1）函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上是减函数，不满足，舍去； 当时，，满足， 所以； （2）由（1）知，定义域为， 因为，所以为偶函数， 由幂函数的性质可知在上单调递增， 又，则， 可得，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.8 函数的概念与性质60道计算题专项训练 （6大题型） 题型一 求函数值 题型二 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型三 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型四 已知f(g(x))求解析式 题型五 求分段函数值 题型六 根据函数是幂函数求参数值 【经典计算题一 求函数值】 1．已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 2．（1）定义在上的函数满足，求和； （2）定义在上的函数满足，，求． 3．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 4．已知函数. (1)求； (2)判断是否为定值，并求出的值. 5．已知函数（且）． (1)求的值； (2)求证：是定值； 6．已知函数，. (1)求，，及的值. (2)求，并证明为常数. 7．已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 8．已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 9．已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 10．已知函数． (1)求，的值； (2)由（1）中求得的结果，你发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求的值． 【经典计算题二 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 11．已知，. (1)求，的值； (2)求，的值； (3)求，的值域. 12．求下列函数的值域： (1)，； (2). 13．已知，. (1)求，，的值； (2)求，的值域. 14．求下列函数的值域： （1）f（x）=3x+1， （2）f（x）=2x，（） 15．已知函数． （1）求的值； （2）当的定义域为时，求的值域； 16．求下列函数的值域： （1），； （2），. 17．已知函数 （1）当，时，求函数的值域 （2）求实数a的取值范围，使在区间上是单调函数. 18．试求下列函数的定义域与值域： （1）； （2）； （3）； （4）. 19．求下列函数的值域： （1）； （2）； 20．求下列函数的值域. （1）y＝－1(x≥4)； （2）y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}； （3）y＝x＋； （4）y＝x2－2x－3(x∈[－1，2]). 【经典计算题三 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 21．求下列函数的值域： (1)； (2)． 22．求函数的值域. 23．求下列函数的值域： (1)； (2). 24．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4). 25．已知函数和，设． (1)若函数，试判断与是否为同一函数，并说明理由； (2)求的值域． 26．求下列函数的值域 (1)，； (2). 27．求下列函数值域. （1）f(x)＝3x－1，x∈[－5，2)； （2）； （3）. 28．求下列函数的值域： (1) (2) 29．求下列函数的值域： (1)； (2). 30．知且，． （1）求的解析式； （2）求的值域 【经典计算题四 已知f(g(x))求解析式】 31．（1）函数是一次函数，且，求的函数解析式. （2）已知，求的函数解析式. 32．已知，求的解析式． 33．（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； 34．求下列函数的解析式. (1)已知函数，求； (2)已知是一次函数，，求. 35．（1）已知是一次函数，且，求的表达式； （2）已知，求的表达式； 36．（1）已知是一次函数，且满足； （2）已知，求的解析式. 37．（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 38．求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求. 39．（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 40．求下列函数的解析式. (1)已知函数，求； (2)已知是一次函数，且，求. 【经典计算题五 求分段函数值】 41．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值. 42．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值. 43．已知 (1)求 (2)若，求实数的值 44．已知函数． (1)求，的值； (2)若，求实数a的值 45．已知函数 (1)求的值； (2)对函数，若存在点，使得，求实数的值． 46．已知函数且. (1)求； (2)若，求实数m的值. 47．已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 48．已知函数. (1)求及的值； (2)若，求的值. 49．已知函数的解析式. (1)求； (2)若，求的值； 50．已知函数 （1）求的值； （2）若在上恒成立，求m的取值范围． 【经典计算题六 根据函数是幂函数求参数值】 51．已知幂函数的图象经过第三象限． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 52．已知幂函数的定义域为． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 53．已知幂函数是奇函数． (1)求的解析式； (2)根据定义证明函数在上单调递增． 54．已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若，求实数a的值. 55．已知幂函数 (1)求的解析式； (2)若图像不经过坐标原点，判断奇偶性并证明； 56．已知是幂函数，且的定义域为. (1)求的值； (2)根据定义证明函数在上单调递增. 57．已知幂函数 是偶函数. (1)求的值； (2)解不等式. 58．已知幂函数是偶函数. (1)求的解析式； (2)设是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式. 59．已知幂函数在区间内是减函数． (1)求实数的值； (2)求方程的解集． 60．已知幂函数，且． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $