微专题02 函数的基本性质及其应用（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题02函数基本性质及其应用 题型一 函数单调性判断 1 题型二 求函数单调区间 4 题型三 根据函数的单调性求参 6 题型四 函数奇偶性判断 8 题型五 根据函数奇偶性求参 11 题型六 根据函数奇偶性和周期性求值（求解析式） 13 题型七 根据函数奇偶性和单调性解不等式 15 题型一 函数单调性判断 1. 定义法：任取定义域内，比较；若则单调递增，若则单调递减。题干条件 等价于函数单调递增。 2. 基础函数记忆 一次函数：递增，递减； 二次函数：看开口与对称轴，对称轴划分单调区间； 反比例函数在分别递减，不能说在整个定义域递减； 对勾函数：递减，递增。 3. 复合函数 “同增异减”：内外函数单调性相同则复合后增，内外相反则复合后减。 4. 图像法：图像上升为增，图像下降为减。 易错提醒：间断函数（反比例等），不能把断开区间并起来说在定义域单调。 【经典例题】 1．下列函数中，在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列一次函数中，随的增大而减小的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列函数中，满足在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）下列函数中，满足对任意，的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）下列说法正确的是（ ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为 7．（多选）（多选）下列说法正确的是（    ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为0 8．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 9．（多选）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 10．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数在上递增 D． 【巩固练习】 1．下列函数在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在和上单调递减 D．在上单调递减 9．设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 10．（多选）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调递减区间为 题型二 求函数单调区间 1. 图像法（优先）：画出函数图像，直接读出上升、下降区间；适合绝对值函数、分段函数、对勾函数。 2. 复合函数同增异减 ①先求函数定义域； ②拆分内外函数； ③分别求内外函数单调区间； ④同增异减得到结果。 3. 二次函数：先找对称轴，结合开口方向写单调区间。 4. 反比例 / 分式型函数：分离常数，转化平移后的反比例图像，写出单调区间。 易错提醒 单调区间不能随便用并集连接，多个区间之间用逗号隔开； 必须优先写定义域，单调区间一定是定义域的子集。 【经典例题】 1．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）   A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 2．设，则的单调递减区间为 _____  ． 3．函数的单调减区间为______. 4．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 6．函数的单调递增区间是________. 7．函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 8．函数的单调递增区间是__________. 9．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 10．若定义在上的函数满足则的单调递增区间为__________. 【巩固练习】 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 4．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5．函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 6．已知函数，则的单调增区间为________；若则的值域为________． 7．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 8．函数的单调递增区间是__________. 9．定义．设函数，则的单调递增区间为______． 10．已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 题型三 根据函数的单调性求参 1. 二次函数型：利用对称轴位置。 若二次函数在某区间单调，则对称轴要在给定区间的左侧或者右侧。 2. 分段函数在上单调（高频考点） 满足 3 个条件： ①每一段自身满足单调性； ②左右两段的斜率 / 开口满足单调性要求； ③分段点处，左边函数的端点值要≤（递增）或≥（递减）右边端点值。 3. 复合函数求参： ①求定义域； ②利用同增异减，转化内层函数的单调性； ③注意内层函数必须大于 0（对数函数真数 > 0）。 4. 已知恒成立：直接翻译为函数单调递增。 5. 逻辑条件（充分、必要条件）：算出参数范围，再判断集合之间的包含关系。 易错：分段函数，很多同学会漏掉分段点函数值大小比 【经典例题】 1．“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 3．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 5．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 7．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 8．已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 9．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 【巩固练习】 1．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________. 3．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 5．“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 10．（多选）设函数是上的单调函数，且，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 题型四 函数奇偶性判断 1. 前提条件：定义域必须关于原点对称！定义域不关于原点对称，直接判定非奇非偶。 2. 定义法 (1) 奇函数：定义域关于原点对称，且，图像关于原点对称； (2) 若奇函数在有定义，则必有。 (3) 偶函数：定义域关于原点对称，且，图像关于y轴对称。 3. 运算性质记忆 (1) 同奇则奇；一奇一偶则奇；同偶则偶 (2) 奇 ± 奇 = 奇；偶 ± 偶 = 偶；奇 × 偶 = 奇；奇 × 奇 = 偶；偶 × 偶 = 偶。 (3) 图像法：看图是否关于 y 轴（偶）、原点（奇）对称。 4. 变换函数：一定是偶函数；不一定是偶函数。 【经典例题】 1．下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 2．下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 4．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　） A． B． C．－1 D． 5．（多选）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 6．若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 7．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 8．若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 10．已知函数同时具有下列两个性质：是偶函数；②在上单调递增，则的解析式可以为___________ 【巩固练习】 1．函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．（多选）下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，图像关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数既是奇函数，又在其定义域上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 6．下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 8．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 10．（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 题型五 根据函数奇偶性求参 1. 定义域优先：奇函数、偶函数定义域必须关于原点对称，据此直接求参数（定义域端点互为相反数）。 2. 定义恒等式法 偶函数：对所有x恒成立，整理式子，对应同类项系数相等求参； 奇函数：对所有x恒成立，对应系数相等；若有定义，可利用快速求参，求出参数后最好带回检验。 3. 图像特征：偶函数图像关于y轴对称，二次函数为偶函数则对称轴为。 提醒：只是奇函数在 0 处有定义的必要条件，不是充分条件，求出参数后最好验证。 【经典例题】 1．设 是定义在上的奇函数，则______ 2．若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 3．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 4．若定义在 上的函数为奇函数，则__ 5．若函数是上的偶函数，则的值为______． 6．已知函数，若函数为奇函数，则________． 7．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．已知函数为奇函数，则___________． 9．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 10．能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【巩固练习】 1．若函数是奇函数，则实数______． 2．若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 3．已知函数为偶函数，则__________. 4．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数为奇函数，则的最小值为_________． 6．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D． 7．若函数为奇函数，则__________. 8．已知函数为奇函数，则________. 9．已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 10．已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六 根据函数奇偶性和周期性求值（求解析式） 1. 求解析式表达式，求解析式） (1) 设，则，代入已知区间解析式； (2) 利用奇偶性： 奇函数：；偶函数：。 2. 周期性综合求值 （1）周期推导公式 ；；； （2）奇偶性 + 对称轴 / 对称中心组合，推导周期： 奇，偶；两个对称中心 / 两条对称轴也可推出周期 【经典例题】 1．函数，为常数，若，则的值为______． 2．已知是奇函数，且当时，，则＝________ 3．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 5．已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（） A． B． C． D． 8．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 9．已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 10．已知函数，则（   ） A．15 B．16 C．30 D．31 【巩固练习】 1．设是上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______ 3．已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 5．已知函数满足，且，，则（   ） A． B．1 C． D．3 6．已知定义在R上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则______． 7．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当时，，则_________ . 8．已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（    ） A．1 B．5 C．9 D．10 9．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D．3 10．定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n，__________. 题型七 根据函数奇偶性和单调性解不等式 1. 判断奇偶性； 2. 判断单调性； 3. 利用奇偶性变形不等式（偶函数优先转成绝对值形式）； 4. 去掉f，写出自变量不等式； 5. 不要忘记函数本身的定义域，解集要和定义域取交集。 【经典例题】 1．已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 4．设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 7．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02函数基本性质及其应用 题型一 函数单调性判断 1 题型二 求函数单调区间 9 题型三 根据函数的单调性求参 16 题型四 函数奇偶性判断 22 题型五 根据函数奇偶性求参 31 题型六 根据函数奇偶性和周期性求值（求解析式） 36 题型七 根据函数奇偶性和单调性解不等式 44 题型一 函数单调性判断 1. 定义法：任取定义域内，比较；若则单调递增，若则单调递减。题干条件 等价于函数单调递增。 2. 基础函数记忆 一次函数：递增，递减； 二次函数：看开口与对称轴，对称轴划分单调区间； 反比例函数在分别递减，不能说在整个定义域递减； 对勾函数：递减，递增。 3. 复合函数 “同增异减”：内外函数单调性相同则复合后增，内外相反则复合后减。 4. 图像法：图像上升为增，图像下降为减。 易错提醒：间断函数（反比例等），不能把断开区间并起来说在定义域单调。 【经典例题】 1．下列函数中，在区间上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市河东区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题 【详解】对A：在上是减函数，故A错误；对B：在上是增函数，故B正确；对C：的定义域为，故C错误；对D：的定义域为，故D错误.故选：B. 2．下列一次函数中，随的增大而减小的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省深圳市桃源居中澳实验学校普高部2024-2025学年高一新生上学期入学数学试题（一） 【详解】在一次函数中， ，随着增大而增大，故A不符合题意；在一次函数中，，随着增大而增大，故B不符合题意；在一次函数中，，随着增大而增大，故C不符合题意；在一次函数中，，随着增大而减小，故D符合题意，故选：． 3．（多选）下列函数中，满足在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】吉林省辽源市实验高级中学校2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题 【详解】对于A：为开口向上的二次函数，对称轴为y轴，所以满足上单调递增；对于B：为反比例函数，在上单调递减；对于C：当时，，显然单调递增； 对于D：为一次函数，且斜率大于0，所以满足上单调递增，故选：ACD. 4．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，在R上单调递减，故A错误；对于B，易知开口向上，对称轴为，所以在区间上单调递增，故B正确；对于C，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D，开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，故D错误． 5．（多选）下列函数中，满足对任意，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】浙江省金华市金东区金华市曙光学校2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题 【详解】由题意可知，在上单调递增，对于C选项，在上单调递减， 对于ABD选项，在上均单调递增.故选：ABD. 6．（多选）下列说法正确的是（ ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为 【答案】ACD 【来源】海南省东方市东方中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷 【详解】因为，所以函数是减函数，故A正确；函数在上单调递增，且此时有，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 由对勾函数的性质可知在上单调递增，故C正确；函数的图象的对称轴为直线且，又函数的图象开口向上，所以在上的最小值为，故D正确．故选：ACD 7．（多选）（多选）下列说法正确的是（    ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为0 【答案】AC 【详解】因为，所以函数是减函数，故A正确；函数在上单调递增，且此时有，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 由对勾函数的性质可知在上单调递增，故C正确；函数的图象的对称轴为直线且，又函数的图象开口向上，所以在上的最小值为，故D错误．故选：AC 8．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】D 【来源】山东省潍坊市市区2025-2026学年高一上学期11月期中检测数学试题 【详解】对于选项AB：在内单调递减，在内单调递增，故AB错误； 对于选项CD：因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故D正确；故选：D. 9．（多选）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】ABC 【来源】课时7 函数的单调性与最值 【详解】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误；对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误；对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误；对于D，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，对于，则有，即，则在上为减函数，故D正确．故选：ABC. 10．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1 C．函数在上递增 D． 【答案】CD 【来源】福建省泉州市第五中学2025-2026学年高一上学期第二次测试数学试题 【详解】对于A、B：根据定义，表示不超过的最大整数，所以当是整数时，，，当不是整数时，设，其中，，所以，所以，故A错误，B错误；对于C：当时，，是增函数，C正确；对于D：因为，所以，D正确；故选：CD. 【巩固练习】 1．下列函数在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省济宁市实验中学2026届高三上学期开学考试数学试题 【详解】在上单调递增；在单调递减，单调递减，但，，所以函数不在定义域内单调递减；在单调递减，单调递增，不在定义域内单调递减；函数在内为减函数，，函数在内为增函数，所以函数在定义域内为减函数，故选：C. 2．下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在单调递减，故A错误；定义域为，且在上单调递增，故B正确；在上单调递减，故C错误；在上单调递减，故D错误． 故选：B 3．下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山西省忻州市第一中学校2024-2025学年高一上学期期初考试数学试题 【详解】选项：可看作是反比例函数向左平移一个单位得到的，在和上都是增函数，但不能说在整个定义域内随的增大而增大，因为在处函数不连续，不符合条件. 选项：是一次函数，在定义域上是减函数，随的增大而减小，不符合条件.选项：是反比例函数，在和上都是减函数，不符合条件.选项：是正比例函数，在定义域上是增函数，随的增大而增大，符合条件.故选：. 4．下列函数中，在区间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省汕头市潮阳区河溪中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；对于B，函数在上单调递减，B不是；对于C，函数定义域为，则该函数在上不单调，C不是； 对于D，函数在上单调递增，D是.故选：D 5．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，故，在区间上单调递减，A正确；对于B，当时，，令，则该函数在区间上单调递减，而在R上单调递增，故在区间上单调递减，B正确；对于C，当时，，且在区间上单调递减，故在区间上单调递增，C错误；对于D，当时，，令，则该函数在区间上单调递减，函数在上单调递增，故在区间上单调递减，D正确，故选：ABD 6．（多选）下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为对任意，，且，都有，所以在区间上单调递增，对于选项A，因为在区间上单调递减，所以选项A错误，对于选项B，由反比函数的性质知，在区间上单调递增，所以选项B正确，对于选项C，因为的对称轴为，所以在区间上单调递增，故选项C正确， 对于选项D，易知在区间上单调递增，故选项D正确，故选：BCD. 7．（多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【来源】浙江省温州市浙南名校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题 【详解】对于A，因为，所以函数在上单调递减，故A正确；对于B，显然双勾函数在上单调递减上单调递增，故B正确；对于C，显然在单调递减，在上单调递减，但，所以该分段函数整体在上不单调递减，故C错误；对于D，是复合函数，外函数单调递增，内函数在上单调递增，在上单调递减，所以该函数在上单调递增，在上单调递减，故D错误；故选：AB 8．下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在和上单调递减 D．在上单调递减 【答案】C 【来源】第三章函数的概念与性质第3节函数的单调性与最值 【详解】的图象开口向上，对称轴为直线，故在上单调递减，在上单调递增，A错误；当时，，单调递减，B错误；的图象是由的图象向右平移2个单位长度得到的，故在和上单调递减，C正确；因为和均在上单调递增，由增函数+增函数＝增函数，D错误．故选：C 9．设，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【详解】因为函数在区间上均单调递增，所以当时，单调递增，所以A正确，B错误；令，任取，则，当时，，，故在区间内单调递减；当时，，故在上单调递增，C错误，D错误．故选：A. 10．（多选）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若在区间上，随着自变量的减小，函数值反而增大，则在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数在定义域内为增函数 D．函数的单调递减区间为 【答案】AB 【详解】对于A.由题意，任意取若，则，由函数单调性知在上是减函数，故A正确；对于B，因函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线，故函数在上单调递增，即B正确；对于C，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递增，但不能说在定义域内单调递增，故C错误；对于D，因函数的图象为双曲线，在和上分别单调递减，单调递减区间为和，故D错误． 故选：AB. 题型二 求函数单调区间 1. 图像法（优先）：画出函数图像，直接读出上升、下降区间；适合绝对值函数、分段函数、对勾函数。 2. 复合函数同增异减 ①先求函数定义域； ②拆分内外函数； ③分别求内外函数单调区间； ④同增异减得到结果。 3. 二次函数：先找对称轴，结合开口方向写单调区间。 4. 反比例 / 分式型函数：分离常数，转化平移后的反比例图像，写出单调区间。 易错提醒 单调区间不能随便用并集连接，多个区间之间用逗号隔开； 必须优先写定义域，单调区间一定是定义域的子集。 【经典例题】 1．设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）   A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【详解】选项，由图象可知，，，，所以当，，时，函数无意义，错误；选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确；选项，由函数在处无意义，错误；选项，由函数在处无意义，错误. 2．设，则的单调递减区间为 _____  ． 【答案】 【来源】福建省莆田第八中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】因为 所以，函数的图象如下： 由图象可知，函数的单调递减区间为.故答案为：. 3．函数的单调减区间为______. 【答案】和 【来源】江苏省南京市金陵中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】由题意得定义域为，，由反比例函数的单调性可知： 函数的单调递减区间为.故答案为：和 4．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】山东省潍坊市某校2025-2026学年高一上学期第二次段考数学试题 【详解】设，可知函数在上单调递增，设，可作出函数图像：可知函数在上单调递减，在上，则的定义域为.根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 5．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【详解】由于函数，当时，，由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增，当时，，由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增，故函数的单调增区间是和.故选：A 6．函数的单调递增区间是________. 【答案】 【来源】江西省南昌市行知中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 【详解】由作图：可得函数的单调递增区间是，故答案为： 7．函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【来源】浙江省杭州市杭高贡院、杭高钱江、杭高钱塘2025-2026学年高一上学期期中数学试题 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 8．函数的单调递增区间是__________. 【答案】和 【来源】福建省龙岩第一中学2025-2026学年高一上学期第八次周考数学试卷 【详解】当时，，为双勾函数，此时单调增区间为；当时，，为增函数，单调增区间为，故答案为：和. 9．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】贵州省名校协作体2025-2026学年高一上学期质量监测（二）数学试题 【详解】对数的真数大于0，，即，解得， 令，则，的底数，时，单调递减， 函数是开口向下的二次函数，对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，复合函数的单调性满足同增异减，在上单调递减，在上单调递增，故D正确．故选：D． 10．若定义在上的函数满足则的单调递增区间为__________. 【答案】 【来源】天津市耀华中学2025-2026学年高一上学期期中学情调研数学试卷 【详解】当时，，，所以在上单调递增；当时，，所以，所以，所以在上单调递增，综上所述：的单调递增区间为，故答案为：. 【巩固练习】 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为.故选：C 2．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】天津市静文高级中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题 【详解】函数的定义域需满足，解得或，的定义域为，设，当时，，且关于单调递增，当时，，且关于单调递减，在定义域上单调递减，的单调递减区间为，故D正确．故选：D． 3．（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【来源】广东深圳市新安中学（集团）高中部2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】将整理得： ，该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的.当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减，因此在上单调递减，A正确、B错误.当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减，因此在上单调递减，C正确、D错误. 4．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知函数满足，解得或，即函数定义域为，令，则的图象开口向上，且对称轴为直线，则在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，故的单调递减区间是.故选：B 5．函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【详解】由题可知，，解得.令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”，所以在上单调递减.故选：C. 6．已知函数，则的单调增区间为________；若则的值域为________． 【答案】 【来源】山东省济宁市曲阜市2025-2026学年高一上学期期中检测数学试题 【详解】当时，，单调增区间为， 当时，，单调增区间为，又因为是连续函数，所以的单调增区间为，当时，；当时，；所以当时，的值域为；故答案为：； 7．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省广州市天天向上联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】由题设，且函数连续，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以单调递减区间为.故选：C 8．函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【来源】重庆市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】因为，所以对勾函数的单调递增区间是.故答案为： 9．定义．设函数，则的单调递增区间为______． 【答案】和 【来源】四川省泸州高级中学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】当即时，解得，所以，因为二次函数的对称轴为，开口向下，所以递增区间为，一次函数在定义域上为递增函数，综上，的单调递增区间为.故答案为：和. 10．已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减，对于，令，解得，令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大，因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间，所以的单调递增区间是.故选：A. 题型三 根据函数的单调性求参 1. 二次函数型：利用对称轴位置。 若二次函数在某区间单调，则对称轴要在给定区间的左侧或者右侧。 2. 分段函数在上单调（高频考点） 满足 3 个条件： ①每一段自身满足单调性； ②左右两段的斜率 / 开口满足单调性要求； ③分段点处，左边函数的端点值要≤（递增）或≥（递减）右边端点值。 3. 复合函数求参： ①求定义域； ②利用同增异减，转化内层函数的单调性； ③注意内层函数必须大于 0（对数函数真数 > 0）。 4. 已知恒成立：直接翻译为函数单调递增。 5. 逻辑条件（充分、必要条件）：算出参数范围，再判断集合之间的包含关系。 易错：分段函数，很多同学会漏掉分段点函数值大小比 【经典例题】 1．“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】天津市和平区2025-2026学年高三年级第一次质量调查数学试题 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增. 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 2．（多选）已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【来源】江西上饶市民校考试联盟2025-2026学年高一上学期阶段测试（二）数学试题 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足，故选：AC. 3．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【来源】浙江省嘉兴市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】任取，且， 则， 若函数在上单调递增，则恒成立， 因为，可得，则，即恒成立， 又因为且，可得，则，所以， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【来源】2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 5．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D 6．（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】河北沧州市南皮县第一中学2026届高三模拟预测数学试题 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 7．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【来源】天津市第一百中学2025-2026学年高二第二学期过程性诊断（2） 数学试卷 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知，在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递增，根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减，则函数也要在区间上单调递减，且，所以，所以 8．已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【详解】因为是R上的减函数，所以，可得,所以的取值范围为． 9．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】内蒙古鄂尔多斯市第一中学东胜校区2026-2027学年高二上学期期初考试数学试题 【详解】对任意实数，都有成立，所以在上单调递增，当时，若使单调递增，则需满足；当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：，若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 10．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【来源】山西现代双语学校学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题 【详解】题干中条件对任意不等实数恒成立，则函数在R上是严格单调递减函数，故是开口向上的抛物线，其对称轴为，即： ; 在上递减的充要条件是系数，且 整理得, 综合三个条件，得的取值范围是. 【巩固练习】 1．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省平阳中学等校2025-2026学年高一下学期开学数学练习 【详解】 对于函数 ，其零点为 ，由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，又因为 在区间 上单调递减，因此 必须包含在的单调递减区间内，即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 2．若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【来源】上海市浦东新区2025-2026学年高一上学期期末练习数学试题 【详解】因为函数在单调递减，在单调递增，又已知函数在区间上是严格增函数，所以，故答案为：. 3．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【来源】命题点4 函数的单调性【练】高考命题点（2026届） 【详解】，由反比例函数性质知当，即时，在单调递增，又在单调递增，所以，所以.综上，即实数的取值范围是故答案为：. 4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【来源】广东省潮州市2025-2026学年高一上学期期末教学质量检测数学试题 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上，在区间上单调递减，对称轴是在区间的右侧或对称轴为，.故答案：. 5．“函数在上单调递增”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数为开口向上，对称轴为的抛物线，由在上单调递增，可得，所以“函数在上单调递增”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁辽阳市2025-2026学年高二下学期7月期末学情评估数学试题 【详解】由题意知，在上单调递增，当时，，满足题意； 当时，得，所以． 7．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】甘肃省临洮中学2025-2026学年高二下学期期末数学试卷 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有，说明在上严格单调递减. 已知，可知是一个斜率为的一次函数， 在上单调递减，是一个开口向下的二次函数， 对称轴为轴，在上单调递减， 故满足即可实现在上严格单调递减.，，则，解得. 8．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 9．已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 【答案】 【详解】因为函数在定义域上是单调函数，且，则存在唯一的常数，使得，，也即，于是，由，解得，故， 所以. 10．（多选）设函数是上的单调函数，且，则（    ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】ACD 【来源】甘肃省天水市2025-2026学年高一上学期1月月考阶段性检测数学试卷 【详解】设，则，，所以，即. 因为函数在上单调递增，，所以，则， 则，A正确. ，B错误. ，C正确.易得在上单调递增，D正确. 故选：ACD. 题型四 函数奇偶性判断 1. 前提条件：定义域必须关于原点对称！定义域不关于原点对称，直接判定非奇非偶。 2. 定义法 (1) 奇函数：定义域关于原点对称，且，图像关于原点对称； (2) 若奇函数在有定义，则必有。 (3) 偶函数：定义域关于原点对称，且，图像关于y轴对称。 3. 运算性质记忆 (1) 同奇则奇；一奇一偶则奇；同偶则偶 (2) 奇 ± 奇 = 奇；偶 ± 偶 = 偶；奇 × 偶 = 奇；奇 × 奇 = 偶；偶 × 偶 = 偶。 (3) 图像法：看图是否关于 y 轴（偶）、原点（奇）对称。 4. 变换函数：一定是偶函数；不一定是偶函数。 【经典例题】 1．下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，函数，定义域关于原点对称，且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称，而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称，而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数.故选：A 2．下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】黑龙江哈尔滨市第十二中学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 【详解】对于A，函数，其定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，且在上单调递减，所以A符合题意； 对于B，函数，则满足，即函数的定义域为， 所以函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，且，可得函数为偶函数，所以C不符合题意； 对于D，函数，根据幂函数的性质得，函数在上单调递增，所以D不符合题意. 4．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（　　） A． B． C．－1 D． 【答案】A 【详解】由函数图象可知，函数为奇函数，而选项C是偶函数，排除C;选项B，当,,与图象矛盾，排除B. 若函数为则时，，排除D，故选A. 5．（多选）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数， 对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意；对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意；对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到，又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意；对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意. 6．若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【来源】山西省部分普通高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则，. 对于A：因为，可知为奇函数，故A错误；对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误；对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误；对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 7．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏徐州市第一中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性测试数学试卷 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 8．若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川2026届高三下学期5月检测数学试题 【详解】由题意，在上且恒成立，若为奇函数或非奇非偶函数，则任意奇函数不能保证即恒成立，若为偶函数，则，此时对于任意奇函数都有，即恒成立， 所以为偶函数，A，且定义域为，为非奇非偶函数， B，且定义域为，为偶函数， C，且定义域为，为奇函数， D，且定义域为，为非奇非偶函数. 9．（多选）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】CD 【详解】将函数去掉绝对值得，画出函数的图象，如图，观察图象可知，函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数，且在上单调递减，在上单调递增，故CD正确． 10．已知函数同时具有下列两个性质：是偶函数；②在上单调递增，则的解析式可以为___________ 【答案】（答案不唯一）. 【来源】广东广州市部分校2025-2026学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题 【详解】取，函数定义域为，因为，所以函数是偶函数， 对称轴为轴且开口向上，所以在上单调递增，符合题设条件. 【巩固练习】 1．函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【详解】∵的定义域为，，所以是奇函数. 2．（多选）下列函数中，是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】安徽淮北市第十二中学2025-2026学年第一学期期中教学质量检测高一数学试题 【详解】A选项中，，定义域为，关于原点对称，且， 符合奇函数定义，是奇函数，B选项中，，定义域为，但，是偶函数，不是奇函数，C选项中，，定义域为，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不是奇函数，D选项中，，定义域为，关于原点对称，且，符合奇函数定义，是奇函数. 3．下列函数中，图像关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】陕西省渭南市澄城县2025-2026学年高一上学期期末文化课测试数学试题 【详解】的定义域关于原点对称，，是偶函数，关于轴对称，故A错误，的定义域关于原点对称，，是偶函数，关于轴对称，故B错误，的定义域关于原点对称，因为，，是奇函数，关于原点对称，故C正确，的定义域关于原点对称，，，，，，是非奇非偶函数，故D错误，故选：C 4．下列函数既是奇函数，又在其定义域上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】四川省宜宾市第一中学校2024-2025学年高一上学期期中联合考试数学试题 【详解】对于A，函数为偶函数，不满足题意；对于B，函数是奇函数，且单调递增，满足题意；对于C，函数为非奇非偶函数，不满足题意；对于D，函数为奇函数，但在定义域上不单调，不满足题意. 5．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山西长治市长子县第一中学校2025-2026学年高二下学期三月份自测（开学）数学试题 【详解】对于A项，函数为偶函数，故A项错误；对于B项，函数在R上单调递减，故B项错误；对于C项，，函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数，故C项正确； 对于D项，函数在上单调递减，在上单调递减，故D项错误． 6．下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误；函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误；令，函数的定义域为，，，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数，故在上为增函数，故C正确；，当时，，此时函数在为减函数，故D错误.故选：C. 7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二下学期5月期中检测数学试卷 【详解】对于A，为偶函数，且在上单调递减，A符合题意；对于B，的定义域为，，所以为偶函数，当时，，故在上单调递增，B不符合题意；对于C，的定义域为，，所以为奇函数，在上单调递增，C不符合题意；对于D，的定义域为，，所以为偶函数，因为，所以在上不是单调函数，D不符合题意． 8．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为，C选项排除.，为奇函数.又，，B，D选项排除，故A选项正确. 9．已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【来源】北京市西城区2026届高三5月模拟测试试卷数学 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以,所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减,因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减，综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 10．（多选）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【详解】设，，由题意得，即①，，即②，②除以①得，即为奇函数，A正确；由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误，当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数，满足为奇函数，为偶函数，当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数，不满足为奇函数，故C，D正确. 题型五 根据函数奇偶性求参 1. 定义域优先：奇函数、偶函数定义域必须关于原点对称，据此直接求参数（定义域端点互为相反数）。 2. 定义恒等式法 偶函数：对所有x恒成立，整理式子，对应同类项系数相等求参； 奇函数：对所有x恒成立，对应系数相等；若有定义，可利用快速求参，求出参数后最好带回检验。 3. 图像特征：偶函数图像关于y轴对称，二次函数为偶函数则对称轴为。 提醒：只是奇函数在 0 处有定义的必要条件，不是充分条件，求出参数后最好验证。 【经典例题】 1．设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即，故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数，所以. 2．若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【来源】湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年下学期第一次质量检测试卷高一数学 【详解】函数的定义域为.由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立，因此，即． 方法二：函数的对称轴为.因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以.当时，，定义域为R，且满足，是偶函数.因此，. 3．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【来源】四川省泸州市合江县2025-2026学年高一下学期6月期中数学试题 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 4．若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【来源】湖南师范大学附属中学2026届高三考前自测数学试题 【详解】由题可知，，所以，又，即，即对任意恒成立，所以，所以 5．若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【来源】第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版 【详解】函数是定义在上的偶函数，，即．，，，． 6．已知函数，若函数为奇函数，则________． 【答案】 【来源】山东省青岛第九中学2026届高三5月适应性检测数学试题 【详解】，由奇函数性质得二次项系数为0，即，解得，验证：，为奇函数，故． 7．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【来源】第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版 【详解】函数是定义在上的偶函数，，即，， ，，，． 8．已知函数为奇函数，则___________． 【答案】 【来源】贵州遵义市南白中学2025-2026学年高三下学期第五次考试数学试题 【详解】因为为奇函数，所以对任意都有．由函数解析式，因此，当时，．取，得． 指数函数在上单调递增，所以，即．验证：当时，，所以满足题意． 9．已知函数为奇函数，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【来源】重庆市西南七校联考2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 【详解】已知函数为奇函数，则，解得. 因为，所以，解得.因此. 10．能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【答案】 1 0 1 【来源】北京市中国人民大学附属中学2026届高三下学期5月热身练习数学试题 【详解】因为是上奇函数，所以，当时，，，则，由得，所以满足的即为奇函数，所以可取． 【巩固练习】 1．若函数是奇函数，则实数______． 【答案】0 【来源】广西南宁市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 【详解】由题意，即，所以，经检验，当，满足奇函数定义，符合题意. 2．若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】C 【来源】湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2026年5月高三模拟测试数学试题 【详解】，， 为奇函数，，，，，，对于任意的恒成立，，，故选项C正确. 3．已知函数为偶函数，则__________. 【答案】5 【来源】四川省宜宾市第一中学校2024-2025学年高一上学期期中联合考试数学试题 【详解】因为函数为偶函数，所以，则，解得，所以. 4．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南湘潭市2026届高三下学期学情检测数学试题 【详解】由奇函数的性质可知，解得. 5．已知函数为奇函数，则的最小值为_________． 【答案】 【来源】云南大理下关一中教育集团2025~2026学年高二年级下学期期中考 【详解】因为函数为奇函数， 所以， 因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 6．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江苏常州市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷 【详解】已知函数的定义域为，所以 ， 又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确. 7．若函数为奇函数，则__________. 【答案】 【来源】河北沧州市泊头市交河中学2026届高考备考压轴巩固训练（一）数学试题 【详解】由题意得，则且，因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故，又，即，所以，则. 8．已知函数为奇函数，则________. 【答案】 【来源】黑龙江哈尔滨市第三中学校2026届高三第三次模拟考试数学试题 【详解】因为函数为奇函数，则 因为 ，所以， 则，解得. 9．已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【来源】湖南长沙市长郡中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题 【详解】若，则，所以， 所以，，. 10．已知函数为奇函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 题型六 根据函数奇偶性和周期性求值（求解析式） 1. 求解析式表达式，求解析式） (1) 设，则，代入已知区间解析式； (2) 利用奇偶性： 奇函数：；偶函数：。 2. 周期性综合求值 （1）周期推导公式 ；；； （2）奇偶性 + 对称轴 / 对称中心组合，推导周期： 奇，偶；两个对称中心 / 两条对称轴也可推出周期 【经典例题】 1．函数，为常数，若，则的值为______． 【答案】 【详解】因为，所以，则， 可得，而，得到，解得. 2．已知是奇函数，且当时，，则＝________ 【答案】 【来源】广东汕头市潮阳区2025-2026学年高一上学期期末质检数学试卷 【详解】因为是奇函数，且当时，，所以. 3．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省杭州师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 【详解】由题可知，时，，取，则，， 由奇函数性质可得：. 4．已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【来源】安徽淮北市第十二中学2025-2026学年高三上学期期中检测数学试卷 【详解】由是奇函数，则， 所以，所以的图象关于对称，则， . 5．已知是定义在R上的奇函数且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】广东汕头市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，即.所以. 又因为，所以.所以. 当时，，所以.所以. 6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以.又因为函数周期，因此，，且，则 因此. 7．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】云南迪庆州2025-2026学年上学期期末教学质量检测高一数学试题 【详解】由题意，是定义在上的奇函数，有 又，令替换得： 则所以是周期为的周期函数， 计算一个周期内的值：， ，， 一个周期和， 因为，所以.故选：B 8．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】吉林长春市十一高中2025-2026学年高二下学期第三学程考试数学试题 【详解】因为为奇函数，则，又因为为偶函数，所以，则有，故得，即得，故4是函数的一个周期.又是上的奇函数，故，解得，即当时，， 所以. 9．已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【来源】安徽省临泉第二中学2026届高三下学期二模模拟数学试卷 【详解】因为关于对称，所以，用替换可得①， 因为关于对称，所以，又，用替换可得，用替换可得，两式相加可得，用替换可得②，由①－②可得， 用替换可得，因为，在中令，得，故， ，因此. 10．已知函数，则（   ） A．15 B．16 C．30 D．31 【答案】D 【来源】河北沧衡八县2025-2026学年高一第一学期期末质量检测数学试题 【详解】由 可得， 于是， 所以令，得， 令，得， 令，得， 令，得， 令，得， 所以， . 故选：D 【巩固练习】 1．设是上的奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【来源】江苏省南通市海安市2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题 【详解】因为是上的奇函数，所以.故选：A. 2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______ 【答案】1 【来源】贵州遵义市第二中学2025-2026学年第一学期期末质量监测高一数学 【详解】因为，，所以，又是定义在R上的奇函数，故，. 3．已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省实验中学2026届高三下学期4月高考模拟考试数学试题 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，， 可得. 4．已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（   ） A．-2 B．2 C．-3 D．3 【答案】B 【来源】四川成都市盐道街外国语学校2025-2026学年高一上学期期末检测数学试卷 【详解】根据函数平移的性质，函数的图象可由函数向右平移1个单位得到， 因为函数关于对称，所以函数关于对称，即是奇函数，满足.，即，，所以，所以是周期为8的周期函数.， 又时，，所以，所以.故. 5．已知函数满足，且，，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【来源】广东省深圳市南山区2025-2026学年度高一年级第一学期期末检测数学试题 【详解】在中，将替换为，可得，故，因此，因此是以6为周期的周期函数，故，在中令，则，在中令，则，故，可得.故选：C 6．已知定义在R上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则______． 【答案】2 【来源】湖南永州市新田县第一中学2025-2026学年下学期高一入学检测试题数学（一） 【详解】因为函数是偶函数，所以，因为函数是奇函数， 所以，即，取可得，所以，， 所以，所以函数为周期函数，是该函数的一个周期，所以. 故答案为：2. 7．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当时，，则_________ . 【答案】 【来源】福建厦门市杏南中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷 【详解】因为是偶函数，所以，所以，即，又因为是定义在上的奇函数，所以， 即，所以，所以函数是以4为周期的函数, ，， ，所以.故答案为：. 8．已知函数是定义在区间上的偶函数，且，则（    ） A．1 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【来源】江苏省常州市正行中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】因为是偶函数，所以即，解得：或. 又，所以，所以函数.所以. 9．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D．3 【答案】A 【来源】江西上饶市民校考试联盟2025-2026学年高一上学期阶段测试（二）数学试题 【详解】法一：因分别是定义在上的偶函数和奇函数，，有，所以. 法二：因分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，令，则，令，则，则，又， 解得.故选：A. 10．定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n，__________. 【答案】 【来源】安徽合肥市蜀山区区域联盟校2025-2026学年上学期期末考试高一年级数学试卷 【详解】因为函数为偶函数，所以——①， 又因为，所以，即——②. 因为，所以——③. 将②③代入①得，， 所以，即，所以， 两式相减得，所以4是函数的一个周期. 由，得， 所以， 再由②，得，且. 所以，即， ，所以函数是偶函数. 所以，且，所以. 所以. 故答案为： 题型七 根据函数奇偶性和单调性解不等式 1. 判断奇偶性； 2. 判断单调性； 3. 利用奇偶性变形不等式（偶函数优先转成绝对值形式）； 4. 去掉f，写出自变量不等式； 5. 不要忘记函数本身的定义域，解集要和定义域取交集。 【经典例题】 1．已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河北沧州部分高中2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题 【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示： 对于不等式，若，则，可得或或，解得或或，此时；若，则，可得，解得，此时.显然满足不等式.综上所述，不等式的解集为. 2．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增，所以在上单调递减，又，所以，或，解得或． 3．已知是定义域为的奇函数，且单调递增，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】北京市中关村中学2026-2027学年高三上学期8月练习数学试题 【详解】 是定义域为的奇函数，，且由题可知在上单调递增， 对原不等式变形：等价于，根据奇函数性质可得，因此不等式化为， 在上单调递增，，移项解得，即不等式解集为 4．设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁大连市第二十四中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以，又因为在上单调递减，所以，所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 5．已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为，又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【来源】安徽合肥市第四中学2025-2026学年第二学期高二年级期末学情调研数学试题 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以．又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增．所以等价于,即，解得． 7．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即，由①得；由②得或，故 的解集为. 8．已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河北沧州市多校2025-2026学年高二下学期第三次阶段总结数学试题 【详解】因为对任意且，都有，则在上单调递减，又是定义在上的奇函数，则在上单调递减，又，则，即，当或时，，当或时，，对于不等式，当时，则，即，当时，则，即，所以不等式的解集是. 9．已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】天津市咸水沽第一中学2025-2026学年第二学期第二次月考高二数学试题 【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数，则，解得，因为，当时，有,所以函数在区间上单调递减，则由，得,解得，即，所以不等式的解集是 10．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，设函数，，则在上单调递增，又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式，又因为，所以，所以不等式的解集为. 【巩固练习】 1．若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西九江市六校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试卷 【详解】由上的偶函数满足，得，不等式，化为或，而函数在区间上单调递减，则或，解得或，所以原不等式的解集为. 2．若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且，因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 3．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】浙江省杭州市西湖区绿城育华2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则函数在上单调递增，又，所以，即当时，，当或时，， 又不等式可转化为或，即或，即不等式的解集为. 4．已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】上海市闵行区2025-2026学年高三下学期学业质量调研（二模）数学试卷 【详解】定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则有，所以，解得 5．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山西晋中市榆次区第二中学2026届高三模拟预测数学试题 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 6．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】贵州省部分学校2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又因为在上单调递增，且，可得， 画出和的图象，如图所示， 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，不符合题意， 综上可得，不等式的解集为. 7．已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】贵州贵阳市2026年高三年级适应性考试（二）数学试卷 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减，又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增，故， 两边取平方得，即，解得或，故不等式的解集为. 8．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北武汉市重点中学5G联合体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 9．已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】安徽宿州市皖北十三校2025-2026学年第二学期期末教学质量检测高二数学试题 【详解】由，得， 因为，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 10．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】云南丽江市2025-2026学年下学期期末教学质量检测高一数学试卷 【详解】因为对任意的且，都有不等式，所以函数在单调递增，因为是奇函数，所以对，，且，即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得;由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $