专题3.6 函数的概念与性质专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.6 函数的概念与性质易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 已知函数值求自变量或参数】 1．已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【分析】中令，结合可得答案. 【详解】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 2．（多选）已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的图象与x轴有两个交点 D．点在函数的图象上 【答案】AD 【分析】运用函数的定义与性质逐一判断. 【详解】解：选项A：由，可得，解得，故选项A正确； 选项B：由，可得，所以，故选项B错误； 选项C：因为，所以函数的图象与轴没有交点，故选项C错误； 选项D：因为，所以点在函数的图象上，故选项D正确. 故选：AD. 3．已知函数，当时，______． 【答案】/ 【分析】根据求解即可. 【详解】由题得，解得． 故答案为：. 4．已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 【答案】(1)1， (2)6 【分析】（1）分别令，可得答案； （2）由，解方程可得答案. 【详解】（1）令时，得： ， 令时，得： ， 因此，，. （2）由，得： 解得：， 因此，当 时，. 【易错必刷二 具体函数的定义域】 5．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，要使函数有意义，需满足被开方数大于0， 即，综上所述，，C正确. 6．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为R， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：AD. 7．函数的定义域为_____________ 【答案】 【分析】根据根式与分式有意义列不等式组求解即可. 【详解】函数要有意义则：， 所以函数的定义域为. 8．求下列函数的定义域． (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶次根式的要求，列出不等式组即可求解； （2）根据偶次根式，分式有意义的条件，列出不等式组即可求解. 【详解】（1）要使此函数有意义，应满足，即，所以此函数的定义域是. （2）要使此函数有意义，则，且， 所以的定义域为． 【易错必刷三 抽象函数的定义域】 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数定义域可得即可求解. 【详解】令， ∵函数的定义域为， ，即， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：B． 10．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若函数定义域为，则函数的定义域为 B．，不是同一函数 C．函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个 D．存在函数，满足条件：值域相同，对应关系相同，但定义域不同 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数定义域的求法可知A正确；根据相等函数的定义可判断B错误；根据函数的定义可知C，D正确； 【详解】对A，由可得，所以函数的定义域为，A正确； 对B，函数和的定义域都为，对应关系也一样，所以它们是同一函数，B错误； 对C，根据函数的定义可知，对，函数最多只有一个值与之对应，所以函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个，C正确； 对D，比如函数，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同． 故选：ACD． 11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法，内层函数必须包含于外层函数的定义域之中. 【详解】令，则， 因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12．已知的定义域为，求的定义域. 【答案】 【分析】根据的定义域求出的定义域，再求出的定义域即可. 【详解】的定义域为 ， 即的定义域为； ，即 所以的定义域 【易错必刷四 求分段函数解析式或求函数的值】 13．已知函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入计算求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 14．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．函数与表示同一函数 B．函数与是同一函数 C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点 D．函数，则0 【答案】BC 【分析】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可判断D. 【详解】对于A：，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误； 对于B：函数与定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B正确； 对于C：根据函数的定义可知，函数的图象与直线的图象至多有一个交点，故C正确； 对于D：因为，所以， 则，故D错误. 故选：BC 15．已知函数则__________. 【答案】10 【分析】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可. 【详解】由题知. 所以 故答案为：10. 16．某公司生产的某种电子仪器定价为每台400元，如果批量购买，超过50台的部分可以打九折． (1)求购买台该电子仪器所需要花费的金额元之间的函数解析式； (2)已知一实验室计划今年新购买该电子仪器80台，求该实验室需要申请多少经费？ 【答案】(1) (2)30800元 【分析】（1）利用分段函数定义即可求得该函数解析式； （2）将代入解析式即可求得该实验室需要申请的经费. 【详解】（1）当时，； 当时，， 故购买台该电子仪器与需要花费的 金额元之间的函数解析式为 （2）当时，，所以实验室需要申请30800元经费． 【易错必刷五 求分段函数值】 17．已知函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由函数，所以. 18．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分段函数求解，在已知未知数取值的时候，代入验证即可；复合函数，先求内层函数值，再代入求解. 【详解】A. ，，满足； B. ，，满足； C. ，，不满足； D. ，，满足. 故选：ABD. 19．设函数，则________ 【答案】3 【分析】由分段函数解析式代入计算即可. 【详解】， ， 故答案为：3. 20．已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)4，4； (2)或0 【分析】（1）根据分段函数解析式直接计算可得； （2）分，，三种情况求解即可. 【详解】（1）由题知， 因为， 所以. （2）当时，由得； 当时，由得； 当时，由得（舍去）. 综上，或. 【易错必刷六 定义法判断或证明函数的单调性】 21．若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【分析】利用给定条件结合函数单调性的定义求解即可. 【详解】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 22．（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，由函数单调性定义得在上单调递减；B选项，变形得到，故，在上单调递增；C选项，变形得到，在上单调递增，D选项，易得或，不是单调函数. 【详解】A选项，，有， 由函数单调性定义得在上单调递减，A正确； B选项，， 因为，故，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，B正确； C选项，，故， 由函数单调性定义得在上单调递增，C正确； D选项，由题意得或，不是单调函数，D错误. 故选：ABC. 23．已知函数的定义域为，若满足：对任意的，当时，总有成立，则称为单函数．给出下列四个结论： （1）不是单函数； （2）是单函数； （3）若为单函数，则在定义域上一定是单调函数； （4）若为单函数，则对任意的，当时，总有成立．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】（1）（2）（4） 【分析】取特殊值，根据新定义判断（1），根据新定义推理可判断（2），举反例判断（3），反证法判断（4）. 【详解】对（1），因为，，不满足单函数定义，所以不是单函数，故（1）正确； 对（2），，当时，可得，即，所以是单函数，故（2）正确； 对（3），为单函数，可取，但是在定义域上不单调，故（3）错误； 对（4），当时，假设，则由单函数定义，可得，矛盾，故，故（4）正确. 故答案为：（1）（2）（4） 24．根据定义，研究函数的单调性. 【答案】 当时，在R上单调递增，当时，在R上单调递减. 【分析】利用单调性的定义分类讨论即可. 【详解】函数的定义域是R. 且， . 由，得. 所以①当时，. ， 即. 这时是增函数. ②当时，. ， 即. 这时是减函数. 综上当时，在R上单调递增，当时，在R上单调递减. 【易错必刷七 利用函数单调性求最值或值域】 25．函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数单调性，再求最大值. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时取最大值为. 故选：C． 26．（多选）下列关于函数，的说法正确的是（    ） A．当时，此函数的最大值为1，最小值为 B．当时，此函数的最大值为，最小值为1． C．当时，此函数的最大值为1，最小值为 D．当时，此函数的最大值为最小值为1 【答案】AD 【分析】根据一次函数的单调性求出最值即可. 【详解】解：当时，函数为减函数， 所以当时，，当时，，故A正确，B错误； 当时，函数为增函数， 所以当时，，当时，，故C错误，D正确. 故选：AD. 27．函数在区间上的最大值与最小值的和为_____. 【答案】 【分析】由函数单调性确定最大值和最小值，即可求解. 【详解】由函数解析式可知在上单调递减， 所以最大值为，最小值为， 所以最大值与最小值的和为， 故答案为： 28．已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) 任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【详解】（1）略 （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 【易错必刷八 分段函数的值域或最值】 29．函数的值域是（　　） A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由函数的解析式，即可得到其值域. 【详解】当时，；当时，，所以函数的值域是． 故选：B 30．（多选）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】求出二次函数部分的对称轴，再讨论a与对称轴的大小，求出a的取值范围即可得到答案 【详解】解： 图象的对称轴方程为， ①当，时，有最大值，又，所以，所以此时有最大值1； ②当，时，有最大值， 当时，在单调递减，所以， 所以要有最大值，得，解得，与矛盾，舍去， 综上，当时，有最大值， 故选：BCD． 31．设，则函数的值域为______________. 【答案】 【分析】分类讨论，去绝对值，即可求解. 【详解】当时，， 当,, 当时，, 综上可得,故值域为， 故答案为： 32．已知函数，求： (1)求的值； (2)当时，求的值域. 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）根据分段函数解析式运算求解；（2）根据分段函数的条件进行分类讨论，将各段值域取并集. 【详解】（1）. 所以. 故. （2）当时，. 因，所以，即. 当时，. 当时，. 因，所以，即. 综上，当时，的值域为. 【易错必刷九 函数奇偶性的定义与判断】 33．下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶函数的定义判断即可． 【详解】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A 34．（多选）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为， ，即函数为奇函数，B满足要求； 对于C选项，函数的定义域为， ，即函数为奇函数，C满足要求； 对于D选项，函数的定义域为， 且，即函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：BC. 35．已知函数是奇函数，则________． 【答案】 【详解】解：设， ， 又函数是奇函数， ，即，， ，， 解得． 36．判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 【易错必刷十 抽象函数的奇偶性】 37．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可. 【详解】因为， 所以令，可得， 令，则， 所以， 则既不是奇函数又不是偶函数， 且， 所以是奇函数. 故选：C 38．（多选）已知函数对任意实数x，y都满足，且，则（   ） A．或1 B．是偶函数 C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法进行求解即可，选项A：令，选项B：，选项C:令，选项D：利用函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】令，可得，故A错； 令，可得，即，故B对； 令，可得，即，再令，得，所以对； 又是偶函数，所以有， 函数是以2为周期的周期函数，，故D错. 故选：BC. 39．设函数的定义域为,对任意,恒有成立,且,则是______（填“奇”或“偶”）函数. 【答案】偶 【分析】利用赋值法令,求出,再令,求出与之间的关系即可得到结论. 【详解】因为对任意,恒有成立, 令,,得到, 于是, 而,因此. 令,得, 所以, 得, 即. 所以函数是偶函数. 故答案为：偶 40．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数， 因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）略 【易错必刷十一 求幂函数的解析式】 41．若幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义进行求解即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，即，所以，解得． 故选：A 42．（多选）若幂函数在上单调递减，则的值可能是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】AB 【分析】根据函数值，求幂函数的解析式，再结合幂函数的性质，对各项逐一验证即可. 【详解】设幂函数， 若，则，，在上单调递减，符合题意； 若，则，，在上单调递减，符合题意； 若，则，，定义域为，不符合题意； 若，则，，在上单调递增，不符合题意； 故选：AB 43．若幂函数的图像经过点，则的值为______． 【答案】/ 【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得. 44．（1）求函数的定义域； （2）已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由根式性质以及分母不为零，即可求得定义域； （2）设出幂函数解析式并代入点坐标即可求得结果. 【详解】（1）由可得，即， 因此函数的定义域为； （2）设幂函数，代入点可得，解得； 所以其解析式为. 【易错必刷十二 求幂函数的定义域】 45．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】因为，则，可得， 故函数的定义域为. 故选：D. 46．（多选）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，再结合奇偶性的定义求解. 【详解】A,定义域为，不关于原点对称，A错误； B，定义域为，定义域关于原点对称， 又，故为奇函数，B错误； C，定义域为，定义域关于原点对称， 又，故为偶函数，C正确； D，定义域为，定义域关于原点对称， 又，故为偶函数，D正确. 故选：CD 47．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义域的知识确定正确答案. 【详解】解：由于， 所以，，解得 所以函数的定义域是. 故答案为： 48．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用幂指数为分数的意义即为根式，来求定义域. 【详解】（1）由幂函数，可知定义域为； （2）由幂函数，可知定义域为； （3）由幂函数，可知定义域为. 【易错必刷十三 由幂函数的单调性比较大小】 49．已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 50．（多选）设，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由幂函数的单调性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为，则，又因为，所以，故A正确； 对于B，因为函数在单调递增，所以，故B错误； 对于C，因为函数在单调递增，所以，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递减，所以，故D正确； 故选：AD 51．若，则的大小关系为______． 【答案】 【分析】由幂函数性质即可分析求解. 【详解】因为幂函数在上单调递增，， 所以即，又， 所以. 故答案为： 52．比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数在上的单调性即可求得； （2）利用幂函数在上的单调性和函数为偶函数的特征分析判断即得. 【详解】（1）幂函数在上是严格减函数，又，则． （2）∵幂函数在上是严格增函数，且图象关于轴对称， ∴，又，则． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 函数的概念与性质易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 已知函数值求自变量或参数】 1．已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 2．（多选）已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．函数的图象与x轴有两个交点 D．点在函数的图象上 3．已知函数，当时，______． 4．已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 【易错必刷二 具体函数的定义域】 5．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．函数的定义域为_____________ 8．求下列函数的定义域． (1)； (2). 【易错必刷三 抽象函数的定义域】 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若函数定义域为，则函数的定义域为 B．，不是同一函数 C．函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个 D．存在函数，满足条件：值域相同，对应关系相同，但定义域不同 11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 12．已知的定义域为，求的定义域. 【易错必刷四 求分段函数解析式或求函数的值】 13．已知函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 14．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．函数与表示同一函数 B．函数与是同一函数 C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点 D．函数，则0 15．已知函数则__________. 16．某公司生产的某种电子仪器定价为每台400元，如果批量购买，超过50台的部分可以打九折． (1)求购买台该电子仪器所需要花费的金额元之间的函数解析式； (2)已知一实验室计划今年新购买该电子仪器80台，求该实验室需要申请多少经费？ 【易错必刷五 求分段函数值】 17．已知函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 18．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 19．设函数，则________ 20．已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 【易错必刷六 定义法判断或证明函数的单调性】 21．若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 22．（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，的定义域为且，下列选项可判断为单调函数的是（    ） A． B． C． D． 23．已知函数的定义域为，若满足：对任意的，当时，总有成立，则称为单函数．给出下列四个结论： （1）不是单函数； （2）是单函数； （3）若为单函数，则在定义域上一定是单调函数； （4）若为单函数，则对任意的，当时，总有成立．其中所有正确结论的序号是______． 24．根据定义，研究函数的单调性. 【易错必刷七 利用函数单调性求最值或值域】 25．函数在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 26．（多选）下列关于函数，的说法正确的是（    ） A．当时，此函数的最大值为1，最小值为 B．当时，此函数的最大值为，最小值为1． C．当时，此函数的最大值为1，最小值为 D．当时，此函数的最大值为最小值为1 27．函数在区间上的最大值与最小值的和为_____. 28．已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【易错必刷八 分段函数的值域或最值】 29．函数的值域是（　　） A．R B． C． D． 30．（多选）若函数存在最大值，则实数a可能的值是（    ） A． B． C．1 D．2 31．设，则函数的值域为______________. 32．已知函数，求： (1)求的值； (2)当时，求的值域. 【易错必刷九 函数奇偶性的定义与判断】 33．下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 34．（多选）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 35．已知函数是奇函数，则________． 36．判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【易错必刷十 抽象函数的奇偶性】 37．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 38．（多选）已知函数对任意实数x，y都满足，且，则（   ） A．或1 B．是偶函数 C． D． 39．设函数的定义域为,对任意,恒有成立,且,则是______（填“奇”或“偶”）函数. 40．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【易错必刷十一 求幂函数的解析式】 41．若幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D． 42．（多选）若幂函数在上单调递减，则的值可能是（    ） A． B．4 C． D．8 43．若幂函数的图像经过点，则的值为______． 44．（1）求函数的定义域； （2）已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式. 【易错必刷十二 求幂函数的定义域】 45．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 46．（多选）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 47．函数的定义域为______． 48．求下列幂函数的定义域． (1)； (2)； (3)． 【易错必刷十三 由幂函数的单调性比较大小】 49．已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 50．（多选）设，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 51．若，则的大小关系为______． 52．比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与． 学科网（北京）股份有限公司 $