专题3.5勾股定理章末42道压轴题型专训（7大题型）-2026-2027学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

**基本信息** 聚焦勾股定理7大核心题型，以题载法构建从基础计算到综合应用的方法体系，逻辑覆盖定理应用、图形构造与实际建模，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段相关问题|6题|方程思想求线段关系|勾股定理直接应用，建立边长与高的数量关系| |弦图背景计算|6题|面积割补法与代数变形|结合赵爽弦图、青朱出入图，体现数形结合| |构造直角三角形|6题|辅助线添加（作高、补形）|将非直角图形转化为直角三角形，发展空间观念| |逆定理应用|6题|三边关系判定直角|从性质到判定的逻辑递进，强化推理意识| |实际应用|6题|数学建模（航海、测量等）|将实际问题抽象为几何模型，培养应用意识| |折叠问题|6题|轴对称性质与方程求解|结合图形变换，综合运用勾股定理与方程思想| |解三角形|6题|旋转、翻折等综合构造|多知识点融合，提升综合解题能力|

专题3.5勾股定理章末42道压轴题型专训（7大题型） 目录 【经典例题一 利用勾股定理解决线段相关问题】 1 【经典例题二 以弦图为背景的计算】 1 【经典例题三 构造直角三角形并用勾股定理解决问题】 8 【经典例题四 勾股定理逆定理解决问题】 16 【经典例题五 勾股定理的实际应用】 21 【经典例题六 勾股定理与折叠问题】 28 【经典例题七 勾股定理解三角形】 36 【经典例题一 利用勾股定理解决线段相关问题】 1．（25-26八年级上·广东东莞·期中）设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理和直角三角形等面积法推导a，b，h的数量关系，即可得到正确答案． 【详解】解：设该直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理可得 ， ∵直角三角形的面积可表示为，也可表示为， ∴ ，即， ∴ ， 两边同时平方得， 等式两边同时除以得，即． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江西·课后拓展）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 3．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【答案】60 【分析】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：60． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 6．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵点为直角边的中点， ∴， ∵在中，为斜边， ∴， ， 在中，， ∴， 即， ∴， 即； （2）骑行小道的长度是为定值，定值为650米 【分析】本题考查了利用勾股定理进行推理，熟知勾股定理并根据条件进行代换是解题关键﹒ （1）先证明，证明，即可得到，，再进行代换得到，变形即可证明； （2）先证明，得到，根据即可得到，根据点M为的中点，即可证明米，问题得解﹒ 【详解】解：（1）略 （2）观景小道的长度是为定值，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴观景小道的长度是为定值，定值为650米． 【经典例题二 以弦图为背景的计算】 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可． 【详解】设中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解． 8．（2025八年级上 江苏南京·阶段测试）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键． 设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，如图2，设，则可以用x表示出，又由于，，所以可以得到m与x的关系式，在直角中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，最后根据等量代换进行运算即可． 【详解】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n， 设图2：设， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为_______． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用表示后计算即可． 【详解】解∶如图2， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ， 朱入与朱出的三角形全等， ， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ， ， 阴影部分面积为 ， ∵，正方形和正方形的面积之和为25， ∴， ， 即阴影部分的面积为8， 故答案为∶8． 10．（25-26八年级上·江苏南通·课后拓展）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n．若小正方形面积为1，，则大正方形面积为______．    【答案】5 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，完全平方公式在几何图形中的应用．根据题意，得是大正方形的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，， ∴． 故答案为：5． 11．（23-24八年级上·江苏南京·期中）阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． (1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； (2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； (3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． (4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． (5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 【答案】(1)5：9 (2)28 (3)24 (4) (5) 结论：． 由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得：， ∴ ∴． 【分析】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可； （3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）∵，b＝2a， ∴c＝a， ∴小正方形面积：大正方形面积＝(a)2：(3a)2＝5：9， 故答案为：5：9； （2）根据题意可求， ∵空白部分的面积为=小正方形的面积-两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为=52-2××4×6＝28． 故答案为：28； （3）根据题意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3． 设AC＝x，则OA＝3+x，AB＝6-x． 在中，，即， 解得x＝1， ∴OA=4， ∴该风车状图案的面积=； （4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40， ∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40， ∴x+4y＝， ∴S2＝x+4y＝． 故答案为：； （5）略 【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1) 解：根据题意得， ， 则； (2)120 (3)9 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题三 构造直角三角形并用勾股定理解决问题】 13．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴绳索的长是． 14．（23-24八年级上·山东聊城·期中）△ABC中，，，高，则△ABC的面积为（   ） A．66 B．126 C．54或44 D．126或66 【答案】D 【分析】把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况，如图1，2，利用勾股定理求出BC的长，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意知，分两种情况求解： ①如图1，在内部 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴； ②如图2，在外部 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴； 综上所述，的面积为66或126； 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况． 15．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，图形的拼接，合理做出辅助线结合正方形的性质是解题的关键． 过点作于点，证出四边形是长方形，利用勾股定理求出的长，设正方形的边长为，利用图形的拼接方法求出的值，结合勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴，四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为，则， 根据拼图可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·江苏镇江·课后拓展）如图，在中，，点在射线上，且，则_______． 【答案】90 【分析】设，则，根据题意可得，求得，根据勾股定理计算即可； 【详解】∵， 设，则， 又∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案是90． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 17．（23-24八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的BC为12m，宽AB为3m，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高8m，宽2.3m，则这辆货运卡车能否通过该隧道？ 【答案】能通过 【分析】在AD上取G，使OG=2.3m，过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆E，利用勾股定理求得EG，再根据车的宽求此时隧道壁离地面的高度，最后与车高比较即可． 【详解】解：能通过， 如图：在AD上取G，使OG=2.3m，过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆E， 则GF=AB=3m,圆的半径OE=AD=6m， 由勾股定理，得EG==5.54， E点与BC的距离为5.54+3=8.54＞8； 所以能通过． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形成为解答本题的关键． 18．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明，，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 【经典例题四 勾股定理逆定理解决问题】 19．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中，   ， ， 在中，，， ， ， （平方米）， 故答案为：C． 20．（23-24八年级上·江苏宿迁·课后拓展）如图，在一块地中，已知米，米，，米，米，则这块地的面积为（    ） A．24平方米 B．26平方米 C．28平方米 D．30平方米 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理及其逆定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积． 【详解】解：连接AC， ∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3， ∴AC2=AD2+CD2=42+32=25， 又∵AC＞0， ∴AC=5， 又∵BC=12，AB=13， ∴AC2+BC2=52+122=169， 又∵AB2=169， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°， ∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=24（平方米）． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 21．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝___． 【答案】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】 如图，在中，，，， ，即, 是直角三角形， ， ，即，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积．先根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】24 【分析】在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，然后根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴图中阴影部分的面积为． 23．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】(1) 解：是直角三角形，理由如下， 已知，，， ∵，即， ∴是直角三角形； (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 24．（25-26八年级上·四川巴中·期中）解决下列问题 (1)【阅读材料】在等边的内部有一点，若点到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 如图1，为了解决本题，我们可以将绕顶点按逆时针方向旋转得到，连接，此时，易证为等边三角形，再利用旋转的性质及等边三角形的性质，将线段转化到中，利用勾股定理的逆定理求出的度数，从而求出______． (2)【类比探究】如图2，在中，为边上的点，且．求证：． (3)【迁移应用】如图3，在中，，点在的内部，连接．若，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，，再由等边三角形的性质与判定得，根据勾股定理逆定理得，，进而求解即可； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，证明，得到；再证明，由勾股定理得到，则； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，证明是等边三角形，推出，证明，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，，，， ∵是等边三角形， ， ，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴点C、O、、在一条直线上， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴． 【经典例题五 勾股定理的实际应用】 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题． 构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险． 【详解】解：如图所示， ，， 由勾股定理得：， ∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险， 故选：B． 26．（25-26八年级上·湖北·阶段检测）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（    ） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】C 【分析】过点B作，垂足为M，根据题意知，可推知，，分别在与中依据已知的特殊角、已知边，可逐一求出的长，于是的长度可求出．先依据的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时间，最后求得甲船此段航行的速度． 【详解】（1）解：如图，过点B作，垂足为M， 由题意得，，°， 设指示南北方向，点N在线段上，则， ∴． 由题意知，， ∴ 在中，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， ∴ （海里）， ∴乙船行驶的时间为小时， ∴甲船从B处行至小岛C的时间为（小时）． ∴甲船从B处行至小岛C的速度为（海里/时）． 27．（25-26八年级上·江苏盐城·课后拓展）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为__米（旋梯宽度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、平移的性质等知识点，灵活运用勾股定理是解题的关键． 如图，此时B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，，，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值，再利用勾股定理求出的长，进而完成解答． 【详解】解：如图，B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，由题意可得：米， 将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，则，， 所以旋梯底部A到顶部B的扶手长度 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值， ∵油罐底面圆半径约为米，高为12米， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴旋梯的扶手长度的最小值为米． 故答案为：． 28．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，点在边上，，动点在边上，连接、，当的结果为整数时，此时点的个数为________． 【答案】 【分析】作，点在线段上，且，连接，连接交于点，根据两点之间线段最短，结合勾股定理，求出“当点、、在同一直线上时，即点运动到时的最小值”，从向两端运动，逐渐变大，利用勾股定理，分别求出“当点运动到和点重合时”和“当点运动到和点重合时”，的值，根据的数值变化范围，分析得出当的结果为整数时，此时点的个数即可． 【详解】解：如图，作，点在线段上，且，连接，连接交于点， ∵在中，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 当点、、在同一直线上时，即点运动到时最小， 当点运动到和点重合时，， 当点运动到和点重合时，， ∵，， ∴，， ∴， ∵大于并小于等于的整数有“，”这个， 大于并小于的整数有“，，，，，，”这个 ∴线段上有个点的位置，使得的结果为整数；线段上有个点的位置，使得的结果为整数， ∴，即当的结果为整数时，此时点的个数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点与最小路径问题，结合勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握知识点、分类讨论、数形结合是解题的关键． 29．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 30．（25-26八年级上·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) ∵ ， 整理得： (2) (3) 点P即为所求， 的距离为16千米 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值. （3）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简，即可作答． 【详解】（1）解：略； （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得. （3）解：如图，连接，作的垂直平分线交于P， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ， 解得 【经典例题六 勾股定理与折叠问题】 31．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 32．（23-24八年级上·浙江宁波·课后拓展）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（　　） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝3，即可求解． 【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c， ∴ABa，ACb，BCc， ∵∠BAC＝90°， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴2a2+2b2＝2c2， ∴a2+b2＝c2， ∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC， ∴BG＝GH＝a， ∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9， ∴（a+c）（c﹣a）＝9， ∴c2﹣a2＝18， ∴b2＝18， ∴b＝3， ∴ACb＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键． 33．（25-26八年级上·江苏扬州·课后拓展）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，因为折叠后点在边上，当点与点重合时，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长度；当点与点重合时，可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的取值范围． 【详解】解：如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则； 如下图所示，当点与点重合时， 由折叠的性质可知且； 综上所述，． 故答案为：． 34．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，作于点，连接，设与交于点，则，又四边形是正方形，所以，，，根据平行线间的距离相等得，又将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，则，然后证明，所以，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，连接，设与交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 根据平行线间的距离相等得， ∵将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：． 35．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在四边形中，． (1)P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． ①如图1，当点B落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时______； ②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且，求BP的长； (2)如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点B′处，求的长． 【答案】(1)①3；②BP＝ (2)BQ的长为2或8 【分析】（1）①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，作的垂直平分线交于点P，连接，再由翻折的性质和勾股定理求出DE即可； ②由翻折得：，设,则,再证，得，,则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，证，再由勾股定理得，则； ②点Q在BA延长线上时，由勾股定理得DB'=3，设则，，然后在，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，作的垂直平分线交于点P，连接即为所求的三角形， ②由翻折得：， ∴∠E＝∠C， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 解得： ,即 （2）解：分两种情况： ①点Q在线段上时，如图3所示： 由翻折的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点Q在延长线上时，如图4所示： 由翻折的性质得：， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即； 综上所述，的长为2或8． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论以及尺规作图等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质和翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型． 36．（2026八年级上·江苏无锡·阶段测试）如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 【答案】(1)长为6 (2)或或或 【分析】（1）证明是等边三角形，根据折叠的性质可得是等边三角形，即可得出结论； （2）分四种情况讨论，结合图形解答即可， 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为边的中点， ∴， 由翻折的性质得：， 如图： ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：分四种情况讨论： 情形一：，如图，延长交于点，如图： 则， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由翻折得，， 在中，，， 则，，， ∵，即， 解得：， 即； 情形二：，此时，如图， 由折叠得， 过点作于点， 在等边三角形中，，，则， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得：，即． 情形三：，如图， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 情形四：当点在的延长线上时，，如图， 则， 由折叠得：，，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或或或． 【经典例题七 勾股定理解三角形】 37．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接、，直线交于点．则的最大值为(    ) A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】勾股定理求得，则，过A点作，交的延长线于点E，证明，得出，则为的中点，进而证明，取中点，连接，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，，即可求解． 【详解】解：在中，，，，将绕点顺时针旋转得到， ∴， 如图1，过A点作，交的延长线于点E， 设旋转角，则， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即为的中点， 如图2，连接， ∵ ∴ ∴如图3，取中点，连接，连接 ∵， ． 38．（25-26八年级上·江苏连云港·课后拓展）设，为上一点，，为上一点，，为上任一点，是上任一点，那么折线的长最小值是（    ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、等边三角形的性质与判定、勾股定理，利用轴对称的性质将折线的长进行转化是解题的关键． 先分别作A、D关于、的对称点、，连接、、，，，根据轴对称的性质可得，，，，则，再由勾股定理求出的长，由两点之间线段最短可得的长即为折线的长的最小值． 【详解】解：如图，分别作A、D关于、的对称点、，连接、、，，， 则，，，， ∴， ∴当共线时，有最小值， 由轴对称的性质得，， ∴， 取的中点，连接， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故折线的长的最小值为． 故选：B． 39．（2026八年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，在中，，，，点是的中点，，垂足为，连接，则线段的长度为_______． 【答案】 【分析】先在 中利用勾股定理求出，利用等面积法求出，再利用勾股定理求得，如图：过点 E 作 交 于点 F，利用等面积法可求得，进而求得，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即 ，解得：， ∴， 如图：过点 E 作 交 于点 F， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 40．（2026八年级上·江苏苏州·阶段测试）如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，其中点在边上，连接的延长线与相交于点，则______． 【答案】 【分析】利用旋转的性质可得，，，，，进而可得 ，得到，即得，又利用余角性质得，即得，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，由旋转可得，，，，，， ∴ ，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ， , ∴, ∴， ∴，即点为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．（23-24八年级上·江苏南通·阶段检测）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为，现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长． 【答案】或或 【分析】根据题意画出图形，分三种情况进行讨论，利用勾股定理，列方程等进行求解． 【详解】解：①如图1所示，当时， 此时，令， 根据勾股定理得， ∵，且， ∴， ∴扩充后等腰三角形绿地的周长为； ②如图2所示，当时， 此时，令， 由勾股定理得， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴扩充后等腰三角形绿地的周长为； ③如图3所示，当时， 此时，令， 由勾股定理得， 设， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴扩充后等腰三角形绿地的周长为； 综上，扩充后等腰三角形绿地的周长为或或． 42．（25-26八年级上·江苏南通·课后拓展）如图，在中，，点为边上的一动点（不与点重合），，交于点，将沿折叠得，连接． (1)求证； (2)若为等腰三角形，求的长； (3)过点作，交于点，连接，判断之间的数量关系并证明． 【答案】(1) 证明：连接，根据折叠的性质，得， 故直线是线段的垂直平分线， 故． (2)或2 (3) 解：之间的数量关系为．理由如下： 过点A作于点A，且，连接， 则，， 根据折叠的性质，得，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ． 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的判定和性质证明即可； （2）分类计算即可； （3）过点A作于点A，且，连接，利用等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 当时，过点E作于点H，过点D作于点Q， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ，， ， 当时， 点E与点B重合，点D与点C重合，不符合题意； 综上所述，的长为或2． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5勾股定理章末42道压轴题型专训（7大题型） 目录 【经典例题一 利用勾股定理解决线段相关问题】 1 【经典例题二 以弦图为背景的计算】 1 【经典例题三 构造直角三角形并用勾股定理解决问题】 8 【经典例题四 勾股定理逆定理解决问题】 16 【经典例题五 勾股定理的实际应用】 21 【经典例题六 勾股定理与折叠问题】 28 【经典例题七 勾股定理解三角形】 36 【经典例题一 利用勾股定理解决线段相关问题】 1．（25-26八年级上·广东东莞·期中）设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江西·课后拓展）设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 3．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 6．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在中，为斜边，点为直角边的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图2，是某公园的局部示意图，、是两条人行步道，该公园的规划部门计划在的上方找一点，连接，使得、，并沿修一条观景小道，经测量，，点为的中点，于点米，问观景小道的长度是否为定值？若是，请求出的长；若不是，请说明理由． 【经典例题二 以弦图为背景的计算】 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 8．（2025八年级上 江苏南京·阶段测试）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连接四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（   ） A． B． C． D．2 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为_______． 10．（25-26八年级上·江苏南通·课后拓展）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n．若小正方形面积为1，，则大正方形面积为______．    11．（23-24八年级上·江苏南京·期中）阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． (1)【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； (2)【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ； (3)【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． (4)【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． (5)【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【经典例题三 构造直角三角形并用勾股定理解决问题】 13．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·山东聊城·期中）△ABC中，，，高，则△ABC的面积为（   ） A．66 B．126 C．54或44 D．126或66 15．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 16．（23-24八年级上·江苏镇江·课后拓展）如图，在中，，点在射线上，且，则_______． 17．（23-24八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的BC为12m，宽AB为3m，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高8m，宽2.3m，则这辆货运卡车能否通过该隧道？ 18．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 【经典例题四 勾股定理逆定理解决问题】 19．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·江苏宿迁·课后拓展）如图，在一块地中，已知米，米，，米，米，则这块地的面积为（    ） A．24平方米 B．26平方米 C．28平方米 D．30平方米 21．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高为＝___． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 23．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 24．（25-26八年级上·四川巴中·期中）解决下列问题 (1)【阅读材料】在等边的内部有一点，若点到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 如图1，为了解决本题，我们可以将绕顶点按逆时针方向旋转得到，连接，此时，易证为等边三角形，再利用旋转的性质及等边三角形的性质，将线段转化到中，利用勾股定理的逆定理求出的度数，从而求出______． (2)【类比探究】如图2，在中，为边上的点，且．求证：． (3)【迁移应用】如图3，在中，，点在的内部，连接．若，则的值为______． 【经典例题五 勾股定理的实际应用】 25．（25-26八年级上·全国·课后作业）一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 26．（25-26八年级上·湖北·阶段检测）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（    ） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 27．（25-26八年级上·江苏盐城·课后拓展）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为__米（旋梯宽度忽略不计）． 28．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，点在边上，，动点在边上，连接、，当的结果为整数时，此时点的个数为________． 29．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 30．（25-26八年级上·河南焦作·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，，，，请依据图1推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为，求的长． (3)如图3，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，现要在上建造一个供应站，使得，请用尺规作图在图中作出点的位置并直接写出的距离．（不写作法，保留作图痕迹） 【经典例题六 勾股定理与折叠问题】 31．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 32．（23-24八年级上·浙江宁波·课后拓展）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（　　） A．2 B． C．4 D．6 33．（25-26八年级上·江苏扬州·课后拓展）如图，在中，，，，、分别是和边上的点，把沿着直线折叠，若点落在边上，则的取值范围是______． 34．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为．若的长为，则的长为______． 35．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在四边形中，． (1)P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． ①如图1，当点B落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时______； ②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且，求BP的长； (2)如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点B′处，求的长． 36．（2026八年级上·江苏无锡·阶段测试）如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 【经典例题七 勾股定理解三角形】 37．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接、，直线交于点．则的最大值为(    ) A． B．5 C． D． 38．（25-26八年级上·江苏连云港·课后拓展）设，为上一点，，为上一点，，为上任一点，是上任一点，那么折线的长最小值是（    ） A．12 B． C．8 D． 39．（2026八年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，在中，，，，点是的中点，，垂足为，连接，则线段的长度为_______． 40．（2026八年级上·江苏苏州·阶段测试）如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，其中点在边上，连接的延长线与相交于点，则______． 41．（23-24八年级上·江苏南通·阶段检测）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为，现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长． 42．（25-26八年级上·江苏南通·课后拓展）如图，在中，，点为边上的一动点（不与点重合），，交于点，将沿折叠得，连接． (1)求证； (2)若为等腰三角形，求的长； (3)过点作，交于点，连接，判断之间的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $