专题06 二次根式章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

**基本信息** 聚焦二次根式8大核心题型，以"概念-运算-应用"为逻辑主线，通过56道压轴题系统构建"方法提炼-典例解析-规律探究"的三阶训练体系，强化数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |非负性综合|7题/双重非负性应用|定义法+方程思想|从概念本质到多变量综合| |混合运算|7题/有理化因式|公式法+整体代换|运算规则到代数变形| |化简求值|7题/配方与裂项|分类讨论+因式分解|代数化简到求值技巧| |比较大小|6题/平方法与作差法|转化思想+放缩法|数感培养到逻辑推理| |分母有理化|7题/裂项相消模型|逆向思维+规律归纳|分式运算到数列求和| |规律探究|6题/归纳猜想|从特殊到一般|观察发现到数学建模| |综合应用|6题/几何与实际问题|数学建模+应用意识|知识整合到实践创新|

专题06 二次根式章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 二次根式非负性综合 题型二 二次根式混合运算 题型三 含二次根式的代数式化简求值 题型四 二次根式比较大小 题型五 分母有理化（裂项相消） 题型六 二次根式的化简求值 题型七 二次根式规律探究题 题型八 二次根式的综合应用 【经典例题一 二次根式非负性综合】 1．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2)7或3 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 2．（24-25八年级下·河南安阳·月考）二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的．已知实数m满足等式．请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小智的答案正确，理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的双重非负性，绝对值的化简，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题的关键． （1）根据二次根式的双重非负性得到即可得到答案； （2）根据题意得到，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， 故m的取值范围为：； （2）解：小智的答案正确， 理由如下：， ， ， 原式可变形为：， ， ， ， 的值为2026， 小智的答案正确． 3．（24-25八年级下·山东日照·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为__________； (2)若，为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)的值为2或8 (3) 【分析】本题考查的非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解性质的含义，在中考中经常出现． （1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得的值为； （2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得的值； （3）根据得出，然后化简得出，求出a的值，然后再求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， 且，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴且， ∴且， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 答：的值为2或8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴方程可变为， ∴， ∴， 解得：， ∴． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可； （2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可； （3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0， 解得，a=-6，b2-2b=3， ∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9； （2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0， 解得，b=1， ∴a2=4， 解得，a=±2， ∴a＋b=﹣1或3； （3）∵|2a-4|+|b+2|++4=2a， ∴（a-3）b2≥0， 解得，a≥3， 原式变形为：2a-4+|b+2|＋=2a-4， ∴|b+2|+=0， 则b+2=0，a-3=0， 解得，b=-2，a=3， 则a+b=1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 6．（24-25九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． 7．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们知道，平方具有非负性，所以可以得到如下结论： ∵，∴，∴． 对于任意实数，，不等式均成立，当且仅当时等号成立，此时取得最小值．特别地，若，，由，可得，当且仅当时，即当时等号成立，此时取得最小值． 请利用上述结论，解决下列问题： (1)当时，代数式的最小值为________； (2)已知代数式，当时，的最小值等于，求实数，的值； (3)已知实数，及正整数同时满足下列两个条件：①，②，若为整数，求代数式的最小值． 【答案】(1)． (2)或， (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、分式的混合运算的应用． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）把原式变形为，根据题干的方法计算即可； （3）把原式变形后分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，， 解得，，的最小值为． （2）由可得，， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，成立， 解得或， 即或，的最小值． （3）∵， ∴，即． ∵， ∴，， 又∵为整数， ∴，或者，， 即，或者，， ①当，时， ∵， ∴， ∴． 令， ∴， ∴， 当时，， 解得：，，符合题意，的最小值为； ②当，时， ∵，且， ∴，与矛盾（舍）． 综上所述，的最小值为． 【经典例题二 二次根式混合运算】 8．（25-26八年级下·北京·期中）已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）运用完全平方公式计算即可； （）根据无理数的估算得到的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴ ． （2）解：∵，， ∴， ∴小数部分， ，， ∴小数部分， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·四川泸州·期中）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______； (2)计算： ； (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)；理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）分母有理化求得，，，得到，进而可得． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解：；理由如下； ∵，，， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）先阅读材料，再解答下列问题、由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是__________；化简__________； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）可证明，将括号内每一项进行化简，再相加可得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ； （2）解：∵（n为正整数） ， ∴ ， ． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． (1)化简：________，________（为正整数）； (2)比较大小：________（填“”、“”或“”）； (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，分子分母分别乘以，即可求解； （2）利用分子有理化，再比较大小，即可求解； （3）根据题意，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）解：； ； ∵， ∴， ∴； （3）解：原式 . 12．（2026·贵州铜仁·一模）解答 (1)计算： (2)下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式    第一步     第二步         第三步 ①小涵同学的化简过程从第________步开始出现错误： ②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值． 【答案】(1) (2)①二；②，当时，原式 【分析】（1）根据零指数幂的意义，绝对值的意义，负整数指数幂的意义，二次根式的性质等计算即可； （2）①根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可； ②先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有意义的条件，得出的值，最后将的值代入进行计算即可； 【详解】（1）解 ： ； （2）①解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小涵同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； ②解：原式 ， ， ， 取，则原式． 13．（25-26八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得出结果； （2）将被开方数，变形为，再结合二次根式的性质化简即可； （3）由，得出，再将根号里面的变成完全平方式，最后根据二次根式的性质化简即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 14．（25-26八年级下·浙江金华·月考）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①; ② 【分析】（1）结合题意进行分母有理化即可得解； （2）分母有理化后推得， ①将原式化为后代入求解即可； ②将原式化为，代入推得原式后，再代入即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 【经典例题三 含二次根式的代数式化简求值】 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简时，特别要关注字母的取值范围，若字母的取值范围不确定，往往需要分类讨论．例如，化简：． (1)当时，原式______；当时，原式______；当时，原式______． (2)由（）可知，此代数式的值随实数取值的变化而变化，当为任意实数时，化简此代数式． 【答案】(1)；；； (2)当时，原式；当时，原式；当时，原式． 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （）把的值代入求解即可； （）当时，当时，当时三种情况分析即可求解． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 故答案为：；；； （2）解：当时， 原式 ； 当时， 原式 ； 当时， 原式 ； ． 16．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一．用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 【答案】(1)34 (2) 【分析】（1）由配方公式得到，进而代值求解即可； （2）由配方公式得到，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 17．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． (1)______，______； (2)若，求n的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子的每一项分母有理化，再解方程即可； （3）将整理可得，再将整理，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：方程左边， 由题意得：， ∴， ， ； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， 代入得：． 18．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：___________； (2)①的有理化因式是___________， ②请利用的有理化因式化简：； (3)比较大小：___________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1) (2)①；② (3)> 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）①利用有理化因式的定义求解即可； ②根据二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴的有理化因式是． 故答案为：． ②． 故答案为：． （3）解：∵ ， ， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． 19．（25-26九年级上·四川内江·期中）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)直接写出化简结果：① ，② ； (2)化简：； (3)已知有理数、满足，求、的值． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键． （1）①分子、分母都乘以；②分子、分母都乘以． （2）将式子变形成…… 然后再分母有理化，最后再计算即可； （3）将等式左边分母有理化，得到，根据a、b都是有理数，即可求解． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解： …… …… ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是有理数， ∴，， 解得，． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题，请仔细阅读，并完成相应的任务． 题目：若代数式的值是1，求m的取值范围． 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）； 所以，m的取值范围是． 任务： (1)当时，化简：_____________． (2)若代数式的值是3，求m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质以及绝对值的化简求解； （2）根据二次根式的性质进行化简，然后根据的取值范围分段进行验证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）； ∴m的取值范围是． 21．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是________（写出一个即可），的有理化因式是________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：________． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化，比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．（写出比较大小的过程） 【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一），的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）； （2） ； （3）， ， ， ， ． 【经典例题四 二次根式比较大小】 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）现有面积都是的长方形、正方形和圆各一个，其中长方形的长是宽的2倍．试比较它们周长的大小．通过比较，你有什么发现？（取3.14，可借助计算器进行计算） 【答案】圆的周长最小，正方形的周长次之，长方形的周长最大；发现：在面积相等的情况下，圆的周长最小，长方形的周长最大（当长宽比为时） 【分析】本题考查二次根式的化简及大小比较，掌握二次根式的性质是解答的关键．先求出各个周长，然后再比较大小即可． 【详解】解：设长方形的宽为，则长为， 根据题意，得，解得， ∴长方形的周长为； 设正方形的边长为，则，解得， ∴正方形的周长为； 设圆的半径为，则，解得， ∴圆的周长为， ∵， ∴圆的周长最小，正方形的周长次之，长方形的周长最大； 发现：在面积相等的情况下，圆的周长最小，长方形的周长最大． 23．（2025八年级上·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）利用 “平方法” 比较二次根式的大小即可； （2）利用 “平方法” 进行比较即可． 【详解】（1）解：根据平方法，分别计算与的平方， ∵，且 ∴当两个正数的平方大时，数本身也大， 故答案为：． （2）解： ∵ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 【点睛】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键， 24．（24-25八年级下·青海海东·月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25八年级下·浙江温州·期中）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由． (2)化简（n为正有理数）． (3)请比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】(1)是互为有理化因式 (2) (3) 【分析】（1）计算出的结果即可得到答案； （2）结合分母有理化进行运算化简； （3）可通过比较两个式子倒数的大小，来判断原式的大小，即可作答． 【详解】（1）解：与互为有理化因式，理由如下： ∵， ∴与互为有理化因式； （2）解：依题意，； （3）解：依题意，； ， ∵， ∴ 故 ∴． 26．（24-25八年级下·河南商丘·月考）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 【答案】(1)，7，， (2)，过程见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键． （1）根据完全平方式计算，与比较大小，即可求解， （2）根据完全平方式分别计算和，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴， ∴， 故答案为：，7，，； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴ ∴． 27．（25-26八年级上·河北保定·月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键． （1）运用穿墙术进行比较即可； （2）运用作差法进行比较即可． 【详解】解：（1）因为， ， 而， 则， 所以； （2） ， 因为，，， 所以，， 所以，， 即， 所以，． 28．（25-26八年级上·河北保定·期中）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： ； ． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3)44 (4) 【分析】本题主要考查分母有理化、二次根式的运算及大小比较，熟练掌握分母有理化、二次根式的运算及大小比较是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化进行化简，然后问题可求解； （3）根据题意可直接代入进行求解即可； （4）由题意得，，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， ； 故答案为，； （2）解： ； （3）解：由题意得： ； （4）解：∵， ， ∴，即， ∴． 【经典例题五 分母有理化（裂项相消）】 29．（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把所求分式的分子和分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）把两个式子的倒数进行分母有理化，比较出两个式子的倒数的大小，由于两个式子都是正数，则可比较出这两个数的大小． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 30．（25-26八年级上·上海·寒假作业）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式化简，掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可； （2）分子分母直接乘以分母的有理化因式，化简即可； （3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：， ， 故． 31．（24-25八年级上·广东佛山·月考）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用，具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和． 例如： 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项． 例如：． (1)模仿材料中的计算方法，化简： ． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子 ． (3)利用极式裂项求解：． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据材料中的解法求解即可； （2）根据材料中的解法求解即可； （3）根据材料中的解法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： 【点睛】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． 32．（25-26八年级下·重庆·期中）在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如（为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化： 请根据以上方法解决下列问题： (1)计算： ①______； ②______． (2)求出的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）利用分母有理化的方法，给分式的分子分母同乘分母的有理化因式，将分母中的根号去掉，进而化简二次根式； （）先根据分母有理化的结论，将每一项裂项为两个根式相减的形式，再通过裂项相消法，让中间项相互抵消，最后得到首尾两项的差，完成计算； （）先对进行分母有理化，再通过移项、两边平方的操作，构造出含和的代数式的值，最后整体代入所求的代数式，计算出结果． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：根据题干结论，每一项可裂项为：， ； （3）解：， 移项得：， 两边平方：， ， ， 两边同乘得：， 代入所求代数式：． 33．（25-26八年级上·江西九江·月考）某同学在解决问题：“已知，求的值”时，他是这样分析的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化把化简，计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由（1）知， ，， ， ； 34．（25-26八年级上·河南郑州·月考）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式 （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简： [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），（2）（3） 【分析】本题考查了分母有理化，找到有理化因式是解题关键； （1）根据，即可求解； （2）根据即可求解； （3）分子有理化得，，即可比较； 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； （2）∵， ∴ （3），， ∵， ∴， 即： 35．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应任务． 关于二次根式的化简概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”． 例如：；． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)化简______． (2)直接写出计算结果． ______． (3)结合典例1和典例2归纳猜想． ______（n为正整数）． (4)计算： ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理化因式和分母有理化的概念，熟练掌握有理化因式和分母有理化的概念是解决本题的关键． （1）进行分母有理化即可． （2）先进行分母有理化，结合裂项相消求和，再使用平方差公式求解即可． （3）将分母变为，再结合分母有理化的概念，求解即可． （4）先化简各式，然后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， ， ∴ ， ∴ ． （3）解： ； 故答案为：． （4）解： ； 【经典例题六 二次根式的化简求值】 36．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查利用完全平方公式与二次根式的性质化简复合二次根式，解题关键是将被开方数凑成完全平方式，最后根据根式结果的非负性去掉绝对值符号． （1）将被开方数凑成的形式，再开方化简； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，开方后合并同类二次根式计算结果． 【详解】（1）解：； （2）原式 ． 37．（25-26八年级下·北京·期中）在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意将写成的形式，即可得出，的值； （2）将转化为的形式，即可化简； （3）将转化为的形式，转化为，化简，并解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ，． （2）解：． （3）解：， ， ． ∴原方程转化为，解得． 38．（2025八年级下·江西上饶·模拟预测）像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）先将凑成完全平方式，逐步对内部被开方数化简，计算即可． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：设，两边平方可得： ， 所以． 则． 又因为， 所以． （3）∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴原式． 39．（24-25八年级下·福建莆田·期中）阅读材料： （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为______； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简______； 应用： （3）解方程； 推广： （4）若，求． 【答案】（1）④，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意得到即可进行解答； （2）根据（1）得到，即可解答； （3）把变形为即可求出答案； （4）把原式变形为，即可求出，即可求出的值． 【详解】解：（1）① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为， 故答案为：④，； （2） ； （3）， ， ， ， ∴或， 即（舍去）或， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， 所以，原方程的解为：； （4）∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 40．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）①将原式转成，转化成完全平方式，化简即可求得答案． ②将原式转化成，转成完全平方式，化简即可求得答案． 【详解】（1）解： ； 故答案为：，； （2）解：① ， ② ． 41．（24-25九年级上·吉林长春·月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简? 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，． 那么便有：， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ． 模型应用1：利用上述解决问题的方法进行化简： （1）； （2）小张同学在化简时，解决这个问题的过程如下． ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第_______步出现了错误，化简的正确结果为_______． 模型应用2： （3）在中，，，，那么边的长为_______（结果化成最简）． 【答案】（1）；（2），，；；（3） 【分析】（1）理解题干中问题解决的解题步骤，结合完全平方公式，以及二次根式的混合运算，即可解题； （2）与（1）解题思想类似，写出该题解题步骤，再根据步骤判断其解题过程错误的地方，以及给出正确答案，即可解题； （3）先利用勾股定理表示出，再利用平方差公式将其化为，最后用类似于前面2问的解题思路求解，即可解题． 【详解】解：（1）， ，， 即，， ； （2）① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第1步不应该为除而是加，第步完全平方公式运用错误，第步二次根式化简错误，最后化简的正确结果为． 故答案为：，，；． （3），，， 根据勾股定理可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，平方差公式，勾股定理，解题的关键在于理解题干中的化简步骤． 42．（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： 任务： (1)分母有理化：___________； 化简“理想二次根式”：___________． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分子分母同乘以进行分母有理化即可；将变形为求解即可； （2）先代入，然后进行分母有理化和化简“理想二次根式”，再进行加减计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． ． ． 【经典例题七 二次根式规律探究题】 43．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）观察下列各式： ①； ②； ③． (1)请根据以上规律，写出第4个式子： ． (2)请根据以上规律，写出第n个式子 ； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】(1) (2)（的整数） (3)44 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化的应用，发现计算规律，掌握分母有理化和合并同类二次根式是解题的关键． （1）利用题中等式的规律求解； （2）利用题中等式的规律求解； （3）根据（1）中规律去分母，然后合并即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：第4个式子为： ． 故答案为：． （2）解：第个式子为：（的整数）， 故答案为：（的整数）； （3）解： ． 44．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 45．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． （1）根据前三个特例的表述及计算规律，即可写出答案； （2）找出前四个特例的表述及计算规律，即可写出答案； （3）根据二次根式的性质即可证明结论． 【详解】（1）解：特例4：； 故答案为：； （2）解：特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：； 根据以上各式的规律，可得：； 故答案为：； （3）证明：是正整数， ， ． 46．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 等式； 等式； 等式； 等式　　　； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为　　　，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据前面三个等式中各数字与序号数的关系写出第4个等式； （2）先根据数字变化规律得到为正整数），然后根据二次根式的性质进行证明． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 【详解】（1）解：根据题意可得等式； 故答案为：； （2）解：为正整数，猜想等式可表示为． 证明如下： ． 故答案为：． 47．（24-25八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究： （1）根据已有等式，写出第4个等式即可； （2）根据二次根式的性质结合已知，进行求解即可； （3）根据二次根式的性质，结合相关规律，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，第个等式为：； 故答案为：； （2）； 故答案为： （3）由题意，可知第个式子为：， ∴ ． 48．（24-25八年级下·广西南宁·期中）小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律. （1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含n的式子表示为：， 故答案为：； （3）解：． 49．（24-25八年级下·云南昭通·月考）观察以下式子的化简过程： ①， ②， ③， ④， …… 根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题： (1)如果n为正整数，那么的值为______； (2)根据以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分母有理化： （1）根据题干给定的等式，化简即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）原式 ． 【经典例题八 二次根式的综合应用】 50．（25-26八年级下·云南曲靖·月考）小明的爸爸准备用一块面积为的正方形木板制作一个无盖的长方体收纳箱．他先裁去四个角的小正方形，然后折起边沿．若裁去的小正方形的边长为，则制成的收纳箱底面边长为，高为．请解答： (1)当时，求收纳箱的容积； (2)若要使收纳箱的表面积为，求x的值（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方体体积公式进行求解； （2）根据总体面积减去四个小正方形的面积列出等式，然后利用平方根进行求解． 【详解】（1）解：当时，底面边长为， 容积为； （2）解：由题意， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 51．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积． 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求正方形的边长，得出两个阴影部分的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为，； （2）解：． 52．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 53．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探索完成任务. 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为. 素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装. 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由. 【答案】（1）；（2）该长方体盒子的长为，高为；（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是正确理解题意，化简二次根式． （1）设该圆形团扇的半径为，根据扇形面积公式即可求解； （2）可设长为，高为，再由长方体的正面的面积为建立方程求解即可； （3）先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可． 【详解】解：（1）设该圆形团扇的半径为 团扇面积为， ∴， 解得（舍负） 故答案为：9． （2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装 ∴可设长为，高为， ∵， 解得（舍负）， ∴该长方体盒子的长为，高为； （3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下： 圆形团扇的直径为，总高度为， ∵，， ∴这个长方体盒子能装得下这面团扇． 54．（25-26九年级上·福建泉州·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设，（其中均为正整数） 则有． ． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，，得_____，_____； (2)若，且均为正整数，求的值． 【答案】(1)，； (2)46或14. 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【详解】（1）解：若， 则有， ∴，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， 均为正整数， 或， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的值为46或14． 55．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在该区域中间放置一个边长为米的正方形宣传栏（阴影部分）． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置宣传栏的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元/平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用： （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：， 即的周长为； （2）解： （元） 即购买装饰画需要花费元． 56．（24-25八年级下·北京·期中）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，；（2） ，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）理由如下： 当，时，， ， ， ． （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次根式章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 二次根式非负性综合 题型二 二次根式混合运算 题型三 含二次根式的代数式化简求值 题型四 二次根式比较大小 题型五 分母有理化（裂项相消） 题型六 二次根式的化简求值 题型七 二次根式规律探究题 题型八 二次根式的综合应用 【经典例题一 二次根式非负性综合】 1．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 2．（24-25八年级下·河南安阳·月考）二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的．已知实数m满足等式．请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 3．（24-25八年级下·山东日照·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为__________； (2)若，为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 6．（24-25九年级上·福建漳州·期中）阅读材料： 已知为非负实数，∵， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，函数取到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ 7．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们知道，平方具有非负性，所以可以得到如下结论： ∵，∴，∴． 对于任意实数，，不等式均成立，当且仅当时等号成立，此时取得最小值．特别地，若，，由，可得，当且仅当时，即当时等号成立，此时取得最小值． 请利用上述结论，解决下列问题： (1)当时，代数式的最小值为________； (2)已知代数式，当时，的最小值等于，求实数，的值； (3)已知实数，及正整数同时满足下列两个条件：①，②，若为整数，求代数式的最小值． 【经典例题二 二次根式混合运算】 8．（25-26八年级下·北京·期中）已知． (1)求的值； (2)若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 9．（25-26八年级下·四川泸州·期中）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______； (2)计算： ； (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 10．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）先阅读材料，再解答下列问题、由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是__________；化简__________； (2)计算：． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． (1)化简：________，________（为正整数）； (2)比较大小：________（填“”、“”或“”）； (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：________． 12．（2026·贵州铜仁·一模）解答 (1)计算： (2)下面是小涵同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式    第一步     第二步         第三步 ①小涵同学的化简过程从第________步开始出现错误： ②请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择喜欢的数代入求值． 13．（25-26八年级下·浙江金华·期中）阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：，善于思考的小敏进行了以下探索： 当a、b、m、n均为整数时，若，则有．，．这样小敏就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 例如：化简． 解：因为， 所以． 请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，则： ， ； (2)化简：； (3)已知，化简：． 14．（25-26八年级下·浙江金华·月考）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【经典例题三 含二次根式的代数式化简求值】 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简时，特别要关注字母的取值范围，若字母的取值范围不确定，往往需要分类讨论．例如，化简：． (1)当时，原式______；当时，原式______；当时，原式______． (2)由（）可知，此代数式的值随实数取值的变化而变化，当为任意实数时，化简此代数式． 16．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一．用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 17．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． (1)______，______； (2)若，求n的值； (3)若，求的值． 18．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：___________； (2)①的有理化因式是___________， ②请利用的有理化因式化简：； (3)比较大小：___________．（填“>”“<”或“=”） 19．（25-26九年级上·四川内江·期中）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)直接写出化简结果：① ，② ； (2)化简：； (3)已知有理数、满足，求、的值． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题，请仔细阅读，并完成相应的任务． 题目：若代数式的值是1，求m的取值范围． 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）； 所以，m的取值范围是． 任务： (1)当时，化简：_____________． (2)若代数式的值是3，求m的取值范围． 21．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是________（写出一个即可），的有理化因式是________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：________． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化，比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．（写出比较大小的过程） 【经典例题四 二次根式比较大小】 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）现有面积都是的长方形、正方形和圆各一个，其中长方形的长是宽的2倍．试比较它们周长的大小．通过比较，你有什么发现？（取3.14，可借助计算器进行计算） 23．（2025八年级上·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)猜想之间的大小，并说明你的猜想． 24．（24-25八年级下·青海海东·月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 25．（24-25八年级下·浙江温州·期中）形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由． (2)化简（n为正有理数）． (3)请比较大小： （填“>”或“<”）． 26．（24-25八年级下·河南商丘·月考）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 27．（25-26八年级上·河北保定·月考）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 28．（25-26八年级上·河北保定·期中）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： ； ． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【经典例题五 分母有理化（裂项相消）】 29．（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 30．（25-26八年级上·上海·寒假作业）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 31．（24-25八年级上·广东佛山·月考）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用，具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和． 例如： 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项． 例如：． (1)模仿材料中的计算方法，化简： ． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子 ． (3)利用极式裂项求解：． 32．（25-26八年级下·重庆·期中）在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如（为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化： 请根据以上方法解决下列问题： (1)计算： ①______； ②______． (2)求出的值． (3)已知，求的值． 33．（25-26八年级上·江西九江·月考）某同学在解决问题：“已知，求的值”时，他是这样分析的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 34．（25-26八年级上·河南郑州·月考）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式 （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简： [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小． 35．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应任务． 关于二次根式的化简概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”． 例如：；． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)化简______． (2)直接写出计算结果． ______． (3)结合典例1和典例2归纳猜想． ______（n为正整数）． (4)计算： ． 【经典例题六 二次根式的化简求值】 36．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如：． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 37．（25-26八年级下·北京·期中）在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 38．（2025八年级下·江西上饶·模拟预测）像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 39．（24-25八年级下·福建莆田·期中）阅读材料： （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为______； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简______； 应用： （3）解方程； 推广： （4）若，求． 40．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 41．（24-25九年级上·吉林长春·月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简? 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，． 那么便有：， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ． 模型应用1：利用上述解决问题的方法进行化简： （1）； （2）小张同学在化简时，解决这个问题的过程如下． ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第_______步出现了错误，化简的正确结果为_______． 模型应用2： （3）在中，，，，那么边的长为_______（结果化成最简）． 42．（25-26九年级上·山西临汾·月考）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： 任务： (1)分母有理化：___________； 化简“理想二次根式”：___________． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值． 【经典例题七 二次根式规律探究题】 43．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）观察下列各式： ①； ②； ③． (1)请根据以上规律，写出第4个式子： ． (2)请根据以上规律，写出第n个式子 ； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 44．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 45．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1：； 特例2：； 特例3：； 特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）； (2)观察归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______； (3)证明猜想，确认正确． 46．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 等式； 等式； 等式； 等式　　　； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为　　　，并证明你的猜想． 47．（24-25八年级下·广东惠州·期中）观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式： …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第个等式： ； (2)计算： ； (3)利用这一规律计算：． 48．（24-25八年级下·广西南宁·期中）小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 49．（24-25八年级下·云南昭通·月考）观察以下式子的化简过程： ①， ②， ③， ④， …… 根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题： (1)如果n为正整数，那么的值为______； (2)根据以上规律计算：的值． 【经典例题八 二次根式的综合应用】 50．（25-26八年级下·云南曲靖·月考）小明的爸爸准备用一块面积为的正方形木板制作一个无盖的长方体收纳箱．他先裁去四个角的小正方形，然后折起边沿．若裁去的小正方形的边长为，则制成的收纳箱底面边长为，高为．请解答： (1)当时，求收纳箱的容积； (2)若要使收纳箱的表面积为，求x的值（结果保留根号）． 51．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积． 52．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 53．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探索完成任务. 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为. 素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装. 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由. 54．（25-26九年级上·福建泉州·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设，（其中均为正整数） 则有． ． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，，得_____，_____； (2)若，且均为正整数，求的值． 55．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在该区域中间放置一个边长为米的正方形宣传栏（阴影部分）． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置宣传栏的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元/平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 56．（24-25八年级下·北京·期中）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $