专题15 利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理解决折叠问题，构建“通法+题型+挑战”三阶训练体系，以几何直观为核心，强化推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心方法|折叠性质→设元→勾股定理列方程|折叠性质与勾股定理的应用逻辑链| |题型归纳|6题型（各含1典例+3变式）|分图形（长方形/直角三角形）、折痕位置（对角线/顶点/任意点）细化方法|从基础模型到复杂变式的递进关系| |压轴挑战|16题（选择/填空/解答）|综合折叠与多知识点（面积/动点）的方程构建|中考高频考点的综合应用迁移|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长方形中折痕过对角线模型 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 题型六、直角三角形中过任意两，点所在直线（落在其中一边）翻折模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆ 夙解题通法一明晰核心解法，动力能力迁移 题型特征：将图形沿某直线折叠，使部分边或点重合，求折痕长、某边长度或面积等。 -解题方法：找出折叠前后的对应边与对应角（相等关系），设所求线段为x,用含x的式子表示其他相关 边，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解。 -易错提醒：找错对应边和对应角；未考虑折叠后点落在特殊位置（如中点、顶点）；列方程时忽略已知 边与设未知数边之间的数量关系：方程解出后未检验是否符合题意。 夙题型归纳一精讲典型题法，寿夫解题根基 题型一、长方形中折痕过对角线模型 典例1.(25-26八年级上福建泉州阶段检测)如图，在长方形ABCD中，BC=2AB=4,将△ABC沿AC 翻折，得到△AEC,其中，AD与CE相交于点F,则DF为 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：长方形折叠后折痕经过对角线的端点或中点，求折痕长度或折叠后的边长关系。 2方法：利用折叠前后对应边角相等，结合矩形对边平行且相等、勾股定理，设未知数建立方程求解。 变式1-1.(25-26八年级下·新疆克拉玛依期末)如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落 在C处，BC交AD于点E.若AB=4,AD=8,则线段BE=」 变式1-2.(25-26八年级上重庆奉节期末)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.将△ABD沿 折叠，使点落在点'处，PD交CB于点D.C0 BD 交 于点，则的长为 变式1-3.(25-26八年级下·广东东莞期中)如图，将长方形ABCD沿AC折叠，使△ABC落在△AEC的 位置，且CE与AD相交于点F. 2/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (①)求证：EF=DF； AB=23 BC=6 (2)若 求AP 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 典例2.(25-26八年级上：全国课后作业)如图，长方形ABCD中，AB=3,BC=4,E是BC边上一点， 连接AE.把∠B沿AE折叠，使点B落在点B处，连接B'C.当∠CBE=90°时，BE的长为一 B 题型模版 1.特征：长方形折叠时折痕经过一个顶点，求折痕长度或折叠后某边长度，常结合勾股定理。 2方法：利用折叠前后对应边相等，确定折叠后的直角三角形，设未知数，用勾股定理列方程求解。 变式2-1.(25-26八年级上山西运城期中)如图，在长方形纸片ABCD中，AB=5,AD=3.将这张纸 片沿过点A的直线翻折，使点D落在长方形内的点E处，折痕交CD边于点H.若直线HE恰好经过点B, 则AH的长为 D H B 变式2-2.(2026河北邯郸模拟预测)如图，矩形ABCD中，AD=10,CD=6,点E为射线AB上的一个 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 动点，将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为 D E B （山若点落在8C边上，则4B ∠ADC=30° AA (2)若 则线段的长为 变式2-3.(25-26八年级上江苏常州期中)在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=CD=10,BC=AD=8 E B 图(1) 图(2) 备用图 B B (I)如图(I),P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）· ①如图(2)，当点E落在边CD上时，利用尺规作图，在图(2)中作出折痕AP,画出△AEP,(不写做 法，保留作图痕迹)并直接写出此时DE= ②在①的条件下，求BP的长 (②)已知Q为射线DC上的一个动点，将△ADO沿直线AQ翻折，点D落在直线B巴上的点D处，求D卫的长， 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 典例3. (2025八年级上·吉林长春专题练习)如图，长方形纸片ABCD,AD川BC,将长方形纸片折叠， 使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF,若AB=4,AD=6,则AE的长为 E B 题型模版 1特征：长方形折叠时折痕连接边上任意两点（非顶点），求折痕长或重叠部分面积，形式多样。 2方法：设未知数表示折叠前后对应边，利用全等（折叠）及勾股定理建立方程，结合矩形边长关系求解。 变式3-1.(25-26八年级上浙江湖州阶段检测)如图，长方形ABCD中，AB=8,4D=12,将其沿EF折 叠，点A,B分别落到点A与点B处，恰好点C在A'B上，且EG=CG,则线段CF的长度为 E 变式3-2.(2025八年级上全国专题练习)如图，长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点M,N分别在 边AB,CD上，沿着MN折叠长方形ABCD,使点B,C分别落在G,F处. M B(M) 图1 图2 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN=_: (2)如图2，若点M与点B重合，连接DF,当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为_. 变式3-3.(25-26八年级上浙江金华期中)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=5,BC=AD=3. D 图① 图② 图③ (I)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长： (2)如图②，将△ABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E,求△BDE的面积： (3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△A'BP,A'B,AP分别交CD边于点E,F,且 DF=AF,求CE的长. 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 典例4.(25-26八年级下·安徽合肥期中)有一块直角三角形纸片： B VB' 图1 图2 (1)如图1，若两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好在斜边AB上，且 点C与点E重合，则CD的长为一： (2)如图2，若两直角边AC=6,BC=8,点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB'D,边 AB与边BC交于点E.若△DEB为直角三角形，则BD的长为 题型模版 1特征：直角三角形沿过顶点的直线翻折，使某边落在另一边上，求折痕长或角度。 2.方法：利用翻折前后对应边角相等，构造新直角三角形，结合勾股定理或三角函数列方程求解。 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式41.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D是 BC上的一动点，将△ACD沿AD折叠得到△ADE，设AE与BC相交于点F,当△EFD为直角三角形时， CD= 变式42.(25-26八年级上广东佛山期中)如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,将△ACE沿 AE折叠得△ADE,点D在AB边上 B (I)判断△BDE的形状？并说明理由； (2)求△ABE的面积. 变式43.(25-26八年级上陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AB=5,BC=12,AC=13,D是 边BC上一点，把△ABC沿AD折叠，使AC落在直线AB上，点C的对应点为点C'. B. (I)试判断△ABC的形状，并说明理由： (2)求BD的长. 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 典例5.(25-26八年级上：上海宝山~阶段检测)如图，己知Rt△ABC中，∠C=90°，4C=8cm,BC=6cm 现将△ABC进行折叠，使顶点A,B重合.则线段DE= cm D 题型模版 1特征：直角三角形沿过斜边中点的直线翻折，使直角顶点落在某边上，求折痕或角度。 2方法：利用斜边中线等于斜边一半及折叠对应边相等，构造等腰三角形，结合勾股定理或中垂线性质求 解。 变式5-1.(2026江苏徐州一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,将点A沿DE折叠，恰 好可以落在点B处，则CD= E D 变式5-2.(25-26八年级上广东揭阳期末)如图，一张三角形纸片ABC,己知，AB=10,AC=8, BC=6,将该纸片折叠，若折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D,与边AB交于点E. D B (I)求△ABC的面积. 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求折痕DE的长. 变式5-3.(25-26八年级上江西九江·期中)综合与实践 某数学兴趣小组以“三角形的折叠”为主题开展探究活动，具体探究过程如下：现有一张直角三角形ABC 纸片，∠ACB=90°，AC=12,BC=16,小新用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠∠B,折痕为 DE,顶点B的对应点是点B' A(B) 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点B与点C重合时，则BE的长为_ (2)如图2，当点B与点A重合时，求△ACE的面积. (3)当点B落在AC的三等分点处，求BE的长， 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 典例6. (25-26九年级上·北京开学考试)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在边BC,AB上， 连接DE,将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为R,点”刚好落在MC边上.若BC=5,CF=V5 则 BD的长为 D 题型模版 1.特征：直角三角形沿连接边上两点的直线翻折，使某顶点落在另一边上，求折痕或线段长。 2方法：设未知数表示折叠前后对应边，利用全等关系及勾股定理建立方程，结合已知边长求解。 变式6-1.(25-26八年级上陕西汉中阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点M、N分别在边 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC、AB上，连接MN,将aMMN沿直线MN折叠，点A恰好落在BC边上的点D处，且BD=3BC,若 AC=10,AB=8 BN 则线段的长为 M D 变式6-2.(25-26八年级上陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中，AC=8,BC=15,AB=17,D,E 分别是边AB和边CB上的点.把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点B刚好落在边AC的中点上， B (I)试判断△ABC的形状，并说明理由： (2)求CE的长度. 变式6-3.(25-26八年级上江苏镇江期中)综合与实践， 课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动.已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点 D、F分别是BC、AB上的一点，连接DF. A F F E ■ D B D D 图1 图2 图3 (I)如图1，将△BDF沿直线DF折叠，点B恰好与点C重合，则CF AF(填“<”、“=”或“ >”); (②)如图2，将△BDF沿直线DF折叠，点B落在AC的中点E处，若AC=6,BC=9,求线段CD的长； (3)如图3，将△BDF沿直线DF折叠，点B落在AC延长线上的点E处，EF平分∠AED,求∠EFA的度数」 10/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 一、单选题 1.(25-26八年级上四川遂宁·期末)如图，长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处， BC 与D 交于 E,AD=8,AB=4,则DE的长是() DE C' D A.4.5 B.5 c.5.5 D.6 2.(25-26八年级下湖北武汉期中)如图，一张三角形纸片ABC,∠C=90°，BC=6cm,AB=10cm 将纸片沿直线DE折叠，使点A与点B重合，则CD的长是() A E B 9 7 A. 4cm B.2cm C.cm D.3cm 3.(25-26八年级下湖南衡阳期末)如图，在长方形ABCD中，CD=6,AD=8.将长方形ABCD沿CE 折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF的长为() D A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级下·安徽池州期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,将它的锐角A 翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E,交AB边于点F,则DE的长为() D B 3 25 A.2 B.3 C.3 D.8 A 5.(25-26八年级上广东深圳期中)如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方 式进行两次折叠，第一次折叠折痕为AE,点B落在线段AD上的点B处，第二次折叠折痕为AF,点E与 点D恰好重合，此时CF与AB的比是() B B'D B'D(E) B 1 c.2 A.2 B.√2-1 D.5 二、填空题 6.(25-26七年级下陕西西安阶段检测)如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A两点重合， 点D落在点G处.已知AB=4,BC=8.则线段FD的长是 D B E 7.(2026吉林长春·一模)如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸 片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E,则 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE的长是 B. E 8.(25-26九年级上湖北十堰期中)如图，三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=5.沿过 点C的直线m将纸片折叠，使点A落在边AB上的点D处；再沿直线将纸片折叠，使点B与点D重合， 若直线n与BC的交点为E,则CE的长是一 E n' D m 9.(25-26八年级上山西晋中期中)如图，在长方形纸片ABCD中，AD=14cm,AB=24cm,点E为 边BC的中点，连接DE,点F在边AB上，连接DF,将△ADF沿DF翻折得到△DFA.若点A恰好落在 线段DE上，则线段AF的长为 cm B E D 10.(25-26八年级上辽宁沈阳期末)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=1,点D为AB边上 的动点，连接C”,将1CD铅直线CD每折，行到△D,点的对应省为4，当B=5时，的 CD CD 长为 三、解答题 11.(2026八年级下·全国·专题练习)如下图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点B落在 点B处，折痕EF分别与AB,DC交于点E,F. 13/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B B (I)求证：△ADF≌△AB'E (2)若AD=12,DC=18,则△AEF的面积为. 12.(25-26八年级下四川绵阳期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,D、E分别是斜边 AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B. A(B) D B D E B 图1 图2 (I)如图1，如果点B和顶点A重合，求CE的长： (2)如图2，如果点B落在直角边AC的中点上，求CE与折痕DE的长. 13.(25-26八年级上河南郑州期末)学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张 长方形纸片，进行如下操作： B E 图① 图② 操作一：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,如图①，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在 斜边AB上，点C与点E重合，请求出CD的长： 操作二：如图②，在长方形ABCD中，AB=10,BC=6,在BC边上取一点P,将△DPC沿直线DP折叠， 点C恰好与AB边上的点E重合，求BP的长 14.(25-26八年级上·江西吉安·阶段检测)如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点 B位置，AB与CD交于点E. 14/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E/H P B ()试说明：△AED≌△CEB': (2)若AB=8,AD=4,求△ACE的面积： (3)在(2)的条件下，若点P为线段AC上任一点，PG⊥AE于G,PH⊥EC于H.求PG+PH的值. 15.(25-26八年级下·山东淄博期中)在四边形ABCD中， ∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10,BC=AD=8 D D C B 图① 图② 备用图 (I)若P为边BC上一点，如图①将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置，当点B落在CD边上点E处时， 求PB的长； (2)如图②，点O为射线DC上的一个动点，将△ADO沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D处，求 D0的长 16.(25-26八年级上：贵州贵阳阶段检测)如图，长方形ABCD中，点E是AD上的一点，将△ABE沿BE 折叠后得到△OBE,且点O在长方形MBCD， 内部.已知 AB=4,BC=42 15/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图1 图2 图3 G (I)如图1，若BE=2AE,求AE的长， (2)如图2，延长BO交DC于F,连接EF,将△DEF沿EF折叠，当点D的对称点恰好为点O时，求四边 形ABFE的面积. (3)如图3，在(2)的条件下，延长EO交BC于点G,连接FG,将△CGF沿GF折叠，当点C的对称点 恰好为点O时，求四边形BEFG的面积. 16/16 专题15 利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长方形中折痕过对角线模型 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：将图形沿某直线折叠，使部分边或点重合，求折痕长、某边长度或面积等。 - 解题方法：找出折叠前后的对应边与对应角（相等关系），设所求线段为x，用含x的式子表示其他相关边，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解。 - 易错提醒：找错对应边和对应角；未考虑折叠后点落在特殊位置（如中点、顶点）；列方程时忽略已知边与设未知数边之间的数量关系；方程解出后未检验是否符合题意。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长方形中折痕过对角线模型 典例1．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为_____ 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后可得，则可设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在长方形中，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为． 题型模版 1.特征：长方形折叠后折痕经过对角线的端点或中点，求折痕长度或折叠后的边长关系。 2.方法：利用折叠前后对应边角相等，结合矩形对边平行且相等、勾股定理，设未知数建立方程求解。 变式1-1．（25-26八年级下·新疆克拉玛依·期末）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段_________． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 变式1-2．（25-26八年级上·重庆奉节·期末）如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为______________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 变式1-3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 题型二、长方形中折痕过一顶点模型 典例2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形中，，，是边上一点，连接．把沿折叠，使点落在点处，连接．当时，的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理；由折叠得，则、、三点共线，设，则，，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：由长方形得， 由折叠得：，， ， ， 、、三点共线， ， ， 设，则，， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 题型模版 1.特征：长方形折叠时折痕经过一个顶点，求折痕长度或折叠后某边长度，常结合勾股定理。 2.方法：利用折叠前后对应边相等，确定折叠后的直角三角形，设未知数，用勾股定理列方程求解。 变式2-1．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，在长方形纸片中，，．将这张纸片沿过点的直线翻折，使点落在长方形内的点处，折痕交边于点．若直线恰好经过点，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键．通过折叠得到对应边相等，结合长方形的边长，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 【详解】解：如图，连接， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 在中，． 故答案为：． 变式2-2．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，矩形中，，点为射线上的一个动点，将沿翻折，点的对应点为． （1）若点落在边上，则______． （2）若，则线段的长为______． 【答案】 2 10或． 【分析】（1）设，则，利用勾股定理计算即可． （2）根据，分点在射线内侧和外侧两种情况计算即可． 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握折叠的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则， 矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ，， ， 解得， 故答案为：2． （2）当点在射线内侧时， 矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ，， ， ， 是等边三角形， ； 当点在射线外侧时， 矩形中，，，沿翻折，点的对应点为， ∴ ，， ， ， ， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴ ，， ， ； 故答案为：10或． 变式2-3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)①图形见解析，；② (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得； ②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知=，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 题型三、长方形中折痕过任意两点模型 典例3．（2025八年级上·吉林长春·专题练习）如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为________． 【答案】/ 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， 四边形是长方形，，， ，， 在中，， ，解 得． 故答案为：． 题型模版 1.特征：长方形折叠时折痕连接边上任意两点（非顶点），求折痕长或重叠部分面积，形式多样。 2.方法：设未知数表示折叠前后对应边，利用全等（折叠）及勾股定理建立方程，结合矩形边长关系求解。 变式3-1．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，折叠性质，全等三角形判定及性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 根据题意设，，证明和全等，再利用勾股定理得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴，， 根据折叠性质得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 故答案为：. 变式3-2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； 当共线时，的值最小，为的长，线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得，设，由折叠的性质得，，从而得到，在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， 为线段的中点， ， 由折叠的性质，得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：． （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长， 此时，点在上的点处，点在点处，如图， ， 在中，由勾股定理得， 设， 由折叠的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 线段的值最小时，的长度为． 故答案为：． 变式3-3．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 典例4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 题型模版 1.特征：直角三角形沿过顶点的直线翻折，使某边落在另一边上，求折痕长或角度。 2.方法：利用翻折前后对应边角相等，构造新直角三角形，结合勾股定理或三角函数列方程求解。 变式4-1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点F，当为直角三角形时，________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 分三种情况：当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；②时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或， 故答案为：或． 变式4-2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，将沿折叠得，点 D在边上． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)直角三角形，理由见详解 (2)15 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及逆定理等知识， （1）首先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后由折叠的性质可得，易知，即可证明结论； （2）由折叠的性质可得，进而可得，设，则，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵将沿折叠得， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）∵将沿折叠得， ∴， ∴， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴， ∴． 变式4-3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，是边上一点，把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形．见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形折叠的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件，利用勾股定理逆定理即可证明三角形的形状； （2）根据折叠的性质得到，，然后得到的长度，在中根据勾股定理求出的长． 【详解】（1）解： 是直角三角形．理由如下： ， ． 是直角三角形，且． （2）由（1）得是直角三角形，且． 把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点， ． ． ， ， 解得． 题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 典例5．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段________． 【答案】 【分析】本题考查通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，根据实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系；在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ ∵将进行折叠，使顶点重合 ∴， 设，在中， ∴ 解得： 则 ∴在中， 故答案为：． 题型模版 1.特征：直角三角形沿过斜边中点的直线翻折，使直角顶点落在某边上，求折痕或角度。 2.方法：利用斜边中线等于斜边一半及折叠对应边相等，构造等腰三角形，结合勾股定理或中垂线性质求解。 变式5-1．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 变式5-2．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 变式5-3．（25-26八年级上·江西九江·期中）综合与实践 某数学兴趣小组以“三角形的折叠”为主题开展探究活动，具体探究过程如下：现有一张直角三角形纸片，，，，小新用这张直角三角形纸片进行折纸操作，折叠，折痕为，顶点的对应点是点． (1)如图，当点与点重合时，则的长为 ． (2)如图，当点与点重合时，求的面积． (3)当点落在的三等分点处，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据翻折的性质即可解决问题； （2）设，则，然后根据勾股定理求出，利用三角形的面积公式即可解决问题； （3）由点落在的三等分点，分两种情况，分别根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，当点与点重合时， ∵， ∴， 即的长为， 故答案为：； （2）解：如图，当点与点重合时， 设，则， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：当点落在的三等分点时，分两种情况： 如图， ∵点落在的三等分点，，， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：； 如图， ∵点落在的三等分点， ∴， ∵折叠，折痕为，顶点的对应点是点， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上所述：的长为或． 题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 典例6．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 题型模版 1.特征：直角三角形沿连接边上两点的直线翻折，使某顶点落在另一边上，求折痕或线段长。 2.方法：设未知数表示折叠前后对应边，利用全等关系及勾股定理建立方程，结合已知边长求解。 变式6-1．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 变式6-2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据中点的定义得到，设，根据折叠的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 即是直角三角形； （2）解：∵刚好落在边的中点上， ∴， 设， ∵把沿着直线折叠，顶点的对应点落在边中点上， ∴， ∴中，， ∴， 解得：． 变式6-3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践． 课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接． (1)如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则________（填“”、“”或“”）； (2)如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段的长； (3)如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，角平分线性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到 （2）由点是的中点，，得到，根据折叠的性质的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （3）根据角平分线的定义得到．由折叠的性质得到．等量代换得到，根据三角形的内角和定理得到结论． 【详解】（1）将沿直线折叠，点恰好与点重合， 故答案为： （2）点是的中点，， 将沿直线折叠，点落在的中点处， （3）平分， ∴∠AEF=∠DEF 由折叠可知：． 又， 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故选：B． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得 ，利用折叠的性质得，设，则，再利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 3．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 4．（25-26八年级下·安徽池州·期中）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得， ， 解得：， ． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处．已知，．则线段的长是_______． 【答案】 【分析】设 ，根据折叠性质可得 ， ，在 中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设， 四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 线段的长是． 7．（2026·吉林长春·一模）如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 8．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点C的直线m将纸片折叠，使点A落在边上的点D处；再沿直线n将纸片折叠，使点B与点D重合，若直线n与的交点为E，则的长是________．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形翻折．熟练掌握直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 设，由折叠性质得到，，，，，根据，得到，得到，根据，运用根据勾股定理得到，，即得根据勾股定． 【详解】设， 由折叠知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用、翻折的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据翻折的性质可得，，，再根据勾股定理可得，连接，设，根据勾股定理可求出，最后在中运用勾股定理可列出方程求解即可． 【详解】解：∵纸片是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，如下图： 设， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到，点的对应点为，当时，的长为__________． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，矩形的判定和性质．画出图形，并过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，先求出的长，进而求出，，的长，再在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：分两种情况： ①在内部时，如图， 过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点，   ，，， ， 由勾股定理，得， 四边形是矩形， ，， 设， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ，， ，， 在中， 由勾股定理，得， ②在的外部时，如图，    过点作交的延长线于点，过点作交延长线与点， 类似①的方法可求出， 故答案为：或． 三、解答题 11．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． (1)求证：． (2)若，，则的面积为__________． 【答案】(1) 解：四边形是长方形， ，， ． 由折叠的性质，得，，， ，，， ． 在和中， ． (2)78 【分析】（1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用即可判定； （2）设未知数，将问题转化到中利用勾股定理建立方程求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠的性质，得． 设，则． 在中，， ，解得． ， ， ． 12．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 【答案】操作一∶；操作二：的长为． 【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程． (1)求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶ (2)求出，设，可得，即可解得的长． 【详解】操作一：在中，，，， ， 由翻折可得，，， ， 设，则，， 在中，，由勾股定理得：， 解得： ， ∴； 操作二：在长方形中，，， 根据折叠的性质得，， 在中，， 根据勾股定理可得，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 的长为． 14．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 【答案】(1) 证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ (2) (3)4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）先利用勾股定理求出，再根据列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 16．（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，长方形中，点是上的一点，将沿折叠后得到，且点在长方形内部．已知． (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，延长交于，连接，将沿折叠，当点的对称点恰好为点时，求四边形的面积． (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，将沿折叠，当点的对称点恰好为点时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，在中根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质可得，设 在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据三角形面积公式计算，由计算得出结果即可； （3）根据折叠的性质可得△CGF≌△OGF，可得，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据计算得出结果即可； 【详解】（1）四边形ABCD是长方形，， ， ， ， ， ． （2）由题意可知，， ∴， 又∵将沿折叠，点D的对称点恰好点O， ∴， ∴， ∴， 设则， 在中，根据勾股定理得， ∴ 解得x＝2． ∴ ∴四边形ABFE的面积是； （3）由(2)知， ∴ ∵将沿折叠，点C的对称点恰好为点O， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∵， 在中， 解得 即 ∴ ∴四边形BEFG的面积是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $