专题14 利用勾股定理解决实际问题的八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建勾股定理实际应用体系，通过八类生活场景题型实现从模型抽象到问题解决的能力迁移，培养数学眼光与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|抽象为直角三角形模型，画图列方程，逆定理验证|从勾股定理原理到实际问题转化| |题型归纳|8类（每类1典例+3变式）|每题型特征+具体解法（如梯子问题双直角三角形方程）|生活场景→模型构建→方程求解→解的取舍| |压轴挑战|18题|综合应用与拔高|多情境融合，提升复杂问题解决能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14利用勾股定理解决实际问题的八类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、勾股定理应用之梯子滑落高度 题型二、勾股定理应用之旗杆高度 题型三、勾股定理应用之大树折断前的高度 题型四、勾股定理应用之水杯中的筷子问题 题型五、勾股定理应用之航海问题 题型六、勾股定理应用之汽车是否超速问题 题型七、勾股定理应用之是否受台风影响问题 题型八、勾股定理应用之选址距离相离问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突玻思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 -题型特征：源于生活场景（如梯子滑动、芦苇出水、航海方位、最短路径、判断直角），需将实际问题 抽象为直角三角形模型。 解题方法：画出示意图，标出已知边和未知数：直接应用勾股定理列方程求距离：判断是否垂直或直角 时用逆定理验证三边平方关系。 -易错提醒：忽略实际背景对解的取舍（如边长、距离须为正）；方位问题中混淆夹角方向：未将非直角 三角形通过作高转化为直角三角形。 ◆ 刁题型到归纳一精讲来型题法，奔夹解题振基 1/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、勾股定理应用之梯子滑落高度 典例1.(25-26八年级下·四川广元期中)如图，一架长25m的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位 于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为7m, A mO书g (1)求这架云梯顶端A处的高度： (2)当这架云梯的顶端下滑4m时，底端也沿OB的向外移动4m吗？ 题型模版 1.特征：梯子顶端下滑，底端外移，求顶端下滑高度或底端移动距离，梯长不变。 2方法：利用勾股定理分别表示移动前后两个直角三角形，梯长为斜边，列方程求解位移差值。 变式1-1.(25-26八年级下·福建厦门期中)综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙 上，这时云梯底端距墙角的距离BC=7m,∠C=90°. B B rrrirre (I)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A'位置上（云梯长度不改变）， AA'=4m,那么梯子的底端下滑的距离BB是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高24m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的5，则云梯和消防员相对安全.在相对安全的前 提下，云梯的顶端能否到达24m高的墙头去救援被困人员？ 变式1-2.(25-26八年级上江苏泰州期末)如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车 身的高度（云梯连接点A到地面的距离）AG=3.5米，云梯最大伸展长度为40米.某居民楼发生火灾，楼 体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点.若以云梯与车身接连点为基准确 定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米. B B 居 楼 楼 C A 000 E 地面GF E地面HGF 图1 图2 (I)求点B到地面的距离； (②)如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至CH处，消防车至少向 居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 变式1-3.(25-26八年级上河南南阳期末)消防队的云梯是一种伸缩梯，它通过液压系统驱动，能够快 速调整高度，方便消防员迅速到达高层建筑进行灭火或救援.如图，一架伸缩梯AB斜靠在墙上，此时它 伸长至最长，达17米，量得它在地面上的位置A与墙的距离(OA的长)为15米. B (I)求B处与地面的距离： (2)若此伸缩梯向墙面靠近6米到点C处，其上端到达B处上方4米的点D处，求此时伸缩梯CD的长度： (3)现有一辆高4米的消防车，它上面的新型云梯最多伸长到25米.一天，某栋楼高24米处一老人需要救 援，消防员将此云梯伸到最长，要想顺利救下老人，则此云梯底端应距离高楼米。（不考虑其他因 素) 3/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、勾股定理应用之旗杆高度 典例2.(25-26八年级下·甘肃张掖期末)小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆 底部的地面上.他借助这条绳子测量旗杆高度.如图，线段AB为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末 端落在宜传栏上的点D处时（即AB=AD)，点D到地面的距离CD=2m,地面上B、C两点之间的距离 BC=8m,且A、B、C、D四点在同一竖直平面内.求旗杆的高度AB. D 77777777777777 C B 题型模版 1特征：旗杆被拉绳或影子，已知部分长度和角度，求旗杆高度，常构造直角三角形。 2方法：根据题意画直角三角形，用勾股定理或三角函数，将已知线段与未知高度建立方程，解方程求高 度。 变式2-1.(25-26八年级下·山东日照·期末)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明和同学放学后 起放风筝，牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.7m,为了测得风筝的垂直高度CE,小明想到利用 “勾股定理”的知识来进行计算，为此他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为20m;②根据手 中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为52m, D E (I)求风筝的垂直高度CE长： 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如果想让风筝沿CD方向下降33m,则应该往回收线多少m? 变式2-2.(2425八年级下广东汕头期末)【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践.小组成员来到学 校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段 长为2米. 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆AB左边，将绳子AC的下端C拉开8米，此时，下端C刚好接触地面，且绳子 AC处于绷直状态.小组成员据此很快就计算出旗杆AB的高度， 思考：你是否也能计算出旗杆AB的高度？请写出你的解答过程， 图① 图② 变式2-3.(25-26八年级下江西上饶期中)【问题情境】如图，某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度. 【实践发现】该数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳 子的长度未知. 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量绳子比旗杆多出部分的长度，测得绳子多出部分的长度是12米： 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C,再测量点C与旗杆底部点B之间的距离，测 得距离为5.4米. 地面 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度， (1)依题意知BC=_米，用含有x的式子表示AC的长为米： 5/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请你求出旗杆的高度， 题型三、勾股定理应用之大树折断前的高度 典例3.(25-26八年级下·四川德阳期中)如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断， 顶部B着地且离旗杆底部A处4m. (I)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆 从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 题型模版 1特征：大树折断后项端触地，己知折断点高度和项端距根部距离，求原树高。 2方法：折断部分为斜边，未断部分为一直角边，地面距离为另一直角边，用勾股定理求斜边，再加未断 部分得原高。 变式3-1.(25-26八年级下·甘肃张掖期中)由于大风，山坡上的甲树在A点处被拦腰折断，如图所示， 其中甲树顶端恰好落在乙树的根部C处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.己知AB=4m,BC=13m,两棵 树之间的水平距离为12m,求甲树折断前的高度.（图中点均在同一平面内） 甲树 树 变式3-2.(25-26八年级上江苏泰州阶段检测)如图，一根直立的旗杆高9m,因刮大风，旗杆从点C处 折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为3m. 6/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求旗杆在距地面多高处折断： (2)在折断点C的下方1的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离 旗杆底部5m处是否有被砸到的风险？ 变式3-3.(25-26八年级下·重庆期中)如图1，有两棵树，一棵高10米(AB=10米)，另一棵高2米( CD=2米)，两树相距6米(BD=6米) 10米 M 2米 2米 BK6米 D BK 6米D() (图1) (图2) (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折断处M距离地面 多少米？ 题型四、勾股定理应用之水杯中的筷子问题 典例4，(25-26八年级下内蒙古鄂尔多斯期末)寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶.现用搪瓷茶缸 制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为l2cm,高为l6cm.老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的 长度太短了，不能搅拌到底部. 图① 图② (I)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2C才合适.请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少 7/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 需要cm; (2)如图②，老师新买的一根长为25cm的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为hcm,你能求出h的取值 范围吗？ 题型模版 1特征：筷子一端在杯底，另一端露出杯口，求筷子长度范围或露出的最大/最小长度。 2方法：竖直时最短（杯高），斜着到杯口边缘时最长（勾股定理），最大长度为(sqt{高2+直径 2})0 变式4-1.2425八年级下广东江门期中)如图，一根长18cm的牙刷放置于底面半径是2.5cm,高为 l2cm的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm,求h. B 变式42.(25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测)如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为 10W3 8cm、6cm和 cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？ 变式43.(23-24八年级下北京朝阳期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生 其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈， 芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺.将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与 水面平齐，即OC=OE,求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺). 8/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求水池的深度OD: (②)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现 代符号语言可以表示为：若己知水池宽4B=2a,芦苇高出水面的部分 D=n(n<a) 则水池的深度OD (OD=b)可以通过公式b=4-元 2m计算得到.请证明刘徽解法的正确性. 题型五、勾股定理应用之航海问题 典例5.(25-26八年级上·山西长治期末)春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海 捕捞.如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西57°方向上，与C的 距离是600海里，B在C的南偏西33°方向上，与C的距离是450海里. (1)求渔船A与渔船B之间的距离. (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速 度为每小时25海里.求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 题型模版 1.特征：船沿两个方向航行，已知速度和时间，求两船距离或方位角，形成直角三角形。 9/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：以出发点为直角顶点，两船航行为直角边，用勾股定理求斜边（两船距离）或通过距离列方程求 时间。 变式5-1.(25-26九年级下·全国单元复习)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿 北偏西30°方向航行10km至C港， (1)求A,C两港之间的距离（结果精确到0.1m); (2)确定C港在A港的什么方向， 变式5-2.(2425八年级下·河北邢台阶段检测)如图，小岛A位于港口C北偏西39°方向上，小岛B位 于港口C的北偏东51°方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里. 北 东 (1)求小岛A与港口C的距离： (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距 离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A? 变式5-3.(25-26八年级下陕西西安期中)如图，某日两艘渔船A和渔船B与灯塔C的位置如图所示， 其中渔船A在灯塔C的北偏西57°方向上，与灯塔C的距离是400海里，渔船B在灯塔C的南偏西33°方向 上，与灯塔C的距离是300海里. 北 B (I)求渔船A与渔船B之间的距离AB; (2)若灯塔C发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船B沿AB所在直线向渔船A靠拢的过程中，BD 段可以接收到信号，AD段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线 段BD的长)是多少？ 10/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六、勾股定理应用之汽车是否超速问题 典例6.(25-26八年级下·重庆南川期末)如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中 心A到公路的垂直距离为1200米.一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶.用红外线 测距仪测得：此时车辆正在公路B处，距A处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的D处，距A处1300 米 西 B C公路东 (1)求外来车辆的平均速度： (2)监控中心A到景观公路只有一条长为1500米的小路AC.监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员， 当外来车辆到达D处时，安保人员同时开车从A出发，沿小路AC进行拦截，若安保人员车速为30m/s, 能否成功在C处拦截外来车辆？请通过计算进行说明 题型模版 1.特征：汽车通过测距点，己知两次测距长度和时间，求车速并与限速比较。 2方法：利用勾股定理求两次位置间的路程（直角边已知），除以时间得速度，再与限速对比判断是否超 速。 变式6-1.(24-25八年级下·福建厦门期中)为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定 自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h调整 为80kmh、大型汽车限速值由8Okmh调整为70kmh,如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻 刚好行驶到车速检测仪A处的正前方120m的C处（即AC=120m),过了8s小汽车到达B处，此时测得 小汽车与车速检测仪间的距离为200m. 小汽车 小汽车 B0----------0C 检测仪 (1)求BC的长： 11/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由.（参考数据：lm/s=3.6km/h) 变式6-2.(25-26八年级上·吉林长春·期末)如图，已知某高速公路限速100km/h,一辆大巴车在这条公 路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点C处有一车速检测仪.某一时刻，大巴车刚好行驶到车速 检测仪C处正前方50m的B处，经过4s后，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离 AC为130m 检测仪 (I)求AB的距离： (②)通过计算说明这辆大巴车是否超速.（参考数据lm/s=3.6km/h) 变式6-3.(2425八年级上河南郑州阶段检测)如图所示，A点装有一车速检测仪，它到公路边的距离 AW=90米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达N点时开始计时，离开M点时停止计时，己知 AM=150米. 知识窗 1m/s=3.6km/h M 车速超过 120km/h即为 超速 ()若一辆汽车以l08km/h的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由. 题型七、勾股定理应用之是否受台风影响问题 典例7.(25-26八年级下·广西南宁·期中)如图，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C 为一海港，AC=150km,BC=200km,AB=250km,经测量，以台风中心为圆心周围125km及以内的 地区会受到影响. 12/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (1)求证：∠ACB=90°， (2)请通过计算说明海港C会受台风影响： (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成.若台风中心每小时移 动l5km,请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 题型模版 1.特征：已知台风中心移动路径和速度，判断某地是否受影响及影响时长。 2方法：构造直角三角形，用勾股定理求台风中心到某地的最短距离，若小于影响半径则受影响，再求路 径长度算时间。 变式7-1.(25-26八年级上：广东肇庆期中)广东省7~9月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平 洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流 使台风更容易向广东沿海移动.如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台 风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，己知城市A到BC的距离AD为l60km, B (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心20Okm的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小 时？ 变式7-2.(25-26八年级上广东深圳期中)森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、 经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式.如图，有一台救火飞机沿东西 方向，由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知AB=1000m, AC=600m,BC=800m,飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响. 13/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离： (2)若该飞机的速度为20m/s,要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机 扑灭 变式7-3.(25-26九年级下·重庆·阶段检测)某市规划修建铁路BD,并将火车始发站定于B处.已知始 发站B位于小区A的东北方向，位于商场C的北偏西60°方向，且BC距离为200米，小区A位于商场C 75° 80W10 的南偏西⊙方向.火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为 米的范围内都会受到噪音干扰 火车从始发站B出发，以30米/秒的速度沿铁路BD低速行驶. D B 601 45o 75 西 东 ()请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？（结果保留整数，参考数据： √15≈3.87) (②)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米/秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪 音影响？ 题型八、勾股定理应用之选址距离相离问题 典例8.(25-26八年级下·广西南宁·期中)如图，在一条东西走向的街道1上有两个快递投放点B,C.快 递投放点C的正北方向3km处有一小区A,小区A到快递投放点B的距离为5km. 14/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求快递投放点B,C之间的距离： (2②)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道1上增设一个快递自提柜D,并且使得自提柜D到 小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离. 题型模版 1特征：已知两点的位置关系，求到两点距离相等或满足特定距离的点，常结合垂直平分线。 2方法：设未知点坐标，利用勾股定理表示到两点距离，建立方程求解；或找垂直平分线与目标线的交点。 变式8-1.(25-26八年级上四川成都阶段检测)如图甲，笔直的公路上A,B两点相距20m,C,D为 两村庄，DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=IOm,CB=5km,现在计划在公路的AB段上建 一个土特产收购站E. D D C Ay E E B 图甲 图乙 (I)若规划C,D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2②)若规划C,D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短 距离。 变式8-2.(25-26八年级上·重庆·阶段检测)某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公 路相距8km的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地.如图，DALAB于点A,CB⊥AB于B. 己知DA=2km,CB=4km, A D B 图1 图2 15/23 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和DE+CE最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求 出DE+CE的最小值. 变式83.(25-26八年级上·重庆沙坪坝期末)为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快 “天然气入户”工程建设.天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区A, B的天然气管道接入任务.农户聚集区A,B的位置如图所示，A区到公路I的距离AC=0.8千米，B区到 公路I的距离BD=0.6千米，且CD=1.4千米.工程需在主管道上选择一个接气点P,铺设支线管道PA, PB √2≈1.4 已知每米天然气管道费用为20元.（参考数据： ☒1 备用图 (1)如图1，若PA=PB,求P,C两点之间的距离： (②)为节约建设成本，接气点P应满足PA+PB最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） ◆◆ 同 压轴挑战一攻克高难压轴，突政思维上限 一、单选题 1.(25-26八年级下湖北孝感期末)如图，池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上 点，测得AC=60m,BC=100m.则A、B两点间的距离为() 20W34m B.10W34m C.80m D 40m 16/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下·广东广州期末)如图，点0是一港口，渔船A从0出发沿北偏东53°方向以6海里 /时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东37°方向以5海里时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的 距离为()· 北 西O -东 南 B A 2v11 √61 2√61 海里 B. 海里 3而海里 D 海里 3.(25-26八年级下·内蒙古乌兰察布期末)近年来，内蒙古抢抓低空经济发展机遇，将无人机快递试点、 配送网络建设等纳入《内蒙古自治区低空经济高质量发展实施方案(2024-2027年)》.2026年，内蒙古 将继续深化无人车、无人机等在行业试点应用.某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行 1.2m后，再向北飞行0.9m到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、 正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线飞行，则从仓库到社区配送点的最短路程比原来少() 北 社区配送点 仓库 A.0.6km B.1.5km C.1.8km D.2.1km 4.(25-26七年级下四川绵阳·期末)如图，村庄C在新修的村道B端北偏西35°方向100米处，同时在新 修的村道A端南偏西55°方向240米处，村道AB长为260米.现需在村道AB上修建一个公交车停靠站 D,要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是() 17/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1200 1300 A.88米 B.90米 C.13米 D.12米 5.(25-26八年级下·四川南充期中)如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一 个小圆孔，则一条长10的直吸管露在罐外部分α的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是 () 4 A.2≤a≤3 B.3≤a≤4 C.4≤a≤5 D.5≤a≤6 二、填空题 6.(25-26八年级下广东东莞阶段检测)有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中 央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面， 则水的深度为 尺 7.(25-26八年级下·安徽池州：期末)某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在BC 上有一处古建筑，使得BC的长不能直接测出，于是工作人员在BC上取一点D,测得AD=I20米， BD=50米后，又测得AB=130米，AC=150米，则BC的长为米. D 8.(25-26八年级上·全国·期末)在某海防观测站的正东方向l2 nmile处有A,B两艘船，A船以l2 nmile/h 18/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的速度往正南方向航行，B船则以3 nmile/h的速度向正北方向漂流，则经过h后，观测站及A,B两船 恰好成一个直角三角形， 9.(25-26八年级下山东济宁·期末)如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小 时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P 岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东」 度方向航行， 北 M 60° →东 P 10.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一 边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离B0为0.7m.如果将梯子底端沿 OB向外移动0.8m,那么梯子顶端沿墙AO下滑 m B 三、解答题 11. (26-27八年级上·全国课后作业)折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远.求折 断后竹子离地面的高度。 19/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26八年级下·内蒙古通辽·期中)如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取 水点A、B,道路AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A,H,B 在同一条直线上)，并新修一条道路CH,已知CB=5干米，CH=2千米，B=1千米. B (I)求证：CH⊥AB: (②)已知新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，求新路CH比原路CA少多少千米. 13.(25-26八年级下·江西南昌·期末)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉 伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上.初始时，AC⊥BC, AC=80cm BC=60 cm 绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计， 绳子 绳子 B B B 图1 图2 (1)求初始状态下细绳的总长度： (2)如图2，若物体C竖直升高70cm,求此时滑块B向左滑动的距离. 20/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄M,从村庄M到 公路原有两个出口A、B,其中AB=1.4km,MB=1.3km,由于暴雨导致M到A的小路路面塌陷，现已 不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路MC(A,C,B在同一条直线上)，测得 MC=1.2km,BC=0.5km 公 路 B C M村庄 (I)从村庄M到公路，请通过计算说明MC是否为距离最近的路： (2)求新修的路MC比原来的路MA短多少？ 15.(25-26八年级上湖南长沙期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节， 某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下 操作： ①测得水平距离BD的长为5米： ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为13米： ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为1.7米. (1)根据以上操作，求风筝的垂直高度CE: (2)如果该学生保持原地不动，想让风筝沿CD方向下降7米到点M,那么他应该往回收线多少米？（结果 保留根号) 16.(25-26八年级下·广东河源：阶段检测)【问题情境】如图①，在△ABC中，AD为BC边上的高. 斜梁 竖梁 D 横梁 图① 图② 图③ 21/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【特例研究】 (I)若CD=1,AD=2,BD=4,求证：AB1AC: 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，己知斜梁BD⊥AC，斜梁 AC=4.2m,BD=2.4m,横梁BC=4m.若横梁BC与竖梁AB不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计 的房梁是否安全？并说明理由 17.(25-26八年级下山西大同期中) 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 路灯维修工人使用一架长2.5m的绝缘梯AC,斜靠在路灯杆上.此 项目背景 时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面. A A 说明：点A、B、C、D在同一竖直平 测量示意图 面内 B 问题解决： ()初始时，工人测量梯子底端C到灯杆底部B的距离BC=0.7m,梯子顶端A离地高度AB=2.4m,请你 判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由： (②)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端A下移到，底端C则沿射线BC方向移动到点C, 量得CC'=0.8m,求A4的长. 18.(25-26八年级下·安徽六安·阶段检测)勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路.下面是基于 “两个全等的直角三角形拼接”的证明. a D D Bb B 图1 图2 22/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【证法再现】如图1，把两个全等的直角△ADE和△ABC按图放置，己知AB=AD=a,BC=AE=b, AC=DE=C,∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE (1)请用含a,b,c的式子表示下列图形的面积： S梯形ABCD= (用含a,b的代数式表示)； SAEBC= (用含a,b的代数式表示)； S四边形ABCD= (用仅含C的代数式表示)； (2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程. (3)【知识运用】如图2，南淝河北岸边有A,B两点（看作直线上的两点）相距160米，C,D为河两岸的两 个便民取水点（看作两个点），AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B,AD=70m,BC=50m,现要在 AB C.D 上确定一个抽水点，使得抽水点到两个取水点的距离和最短.请在图中确定点的位置，并 求出该最短距离和. 23/23 专题14 利用勾股定理解决实际问题的八类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、勾股定理应用之梯子滑落高度 题型二、勾股定理应用之旗杆高度 题型三、勾股定理应用之大树折断前的高度 题型四、勾股定理应用之水杯中的筷子问题 题型五、勾股定理应用之航海问题 题型六、勾股定理应用之汽车是否超速问题 题型七、勾股定理应用之是否受台风影响问题 题型八、勾股定理应用之选址距离相离问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：源于生活场景（如梯子滑动、芦苇出水、航海方位、最短路径、判断直角），需将实际问题抽象为直角三角形模型。 - 解题方法：画出示意图，标出已知边和未知数；直接应用勾股定理列方程求距离；判断是否垂直或直角时用逆定理验证三边平方关系。 - 易错提醒：忽略实际背景对解的取舍（如边长、距离须为正）；方位问题中混淆夹角方向；未将非直角三角形通过作高转化为直角三角形。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、勾股定理应用之梯子滑落高度 典例1．（25-26八年级下·四川广元·期中）如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【答案】(1)； (2)底端沿向外移动距离不是 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端A处的高度是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 底端沿向外移动了，不是． 题型模版 1.特征：梯子顶端下滑，底端外移，求顶端下滑高度或底端移动距离，梯长不变。 2.方法：利用勾股定理分别表示移动前后两个直角三角形，梯长为斜边，列方程求解位移差值。 变式1-1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高24的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1)24米 (2)8米 (3) 解：能，理由如下： ∵云梯底端离墙不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于． ∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴， 所以云梯的顶端能到达高的墙头救援被困人员． 【分析】（1）根据勾股定理可得答案； （2）先求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； （3）先求出相对安全的距离为不小于，再根据高的墙头有求救声，云梯的长为时梯子底端离墙的距离，比较得出答案． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 所以这架云梯顶端到地面的距离为； （2）解：∵， ∴， ∴； 所以梯子的底端下滑的距离是8米； （3）略 变式1-2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图1，将某型号消防车救援场景进行数学抽象：消防车车身的高度（云梯连接点A到地面的距离）米，云梯最大伸展长度为40米．某居民楼发生火灾，楼体B处有老人需要救援，救援时云梯已伸展至最大长度并精准抵达B点．若以云梯与车身接连点为基准确定消防车的停放位置，则此时点A与居民楼之间的水平距离为32米． (1)求点B到地面的距离； (2)如图2，消防员发现在B处的上方8米的D处还有一名受困人员，便立即前进至处，消防车至少向居民楼方向前进多少米，才能实施救援？ 【答案】(1)点B到地面的距离为米； (2)消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． （1）过点A作于点H，根据勾股定理求得，，进而可得出结论； （2）连接并延长交于点H，由勾股定理求得，，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点A作于点H， 由题意得米，米，米， ∵在中，，即， ∴， ∴（米）， 答：点B到地面的距离为米； （2）解：连接并延长交于点H，则，又，故A、C、H三点共线， ∵，， ∴， ∵当云梯伸至最长40米时，前进的距离最小， 此时，在中，即， 解得， ∴（米）， 答：消防车至少向居民楼方向前进8米，才能成功实施救援． 变式1-3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）消防队的云梯是一种伸缩梯，它通过液压系统驱动，能够快速调整高度，方便消防员迅速到达高层建筑进行灭火或救援．如图，一架伸缩梯斜靠在墙上，此时它伸长至最长，达17米，量得它在地面上的位置A与墙的距离（的长）为15米． (1)求处与地面的距离； (2)若此伸缩梯向墙面靠近6米到点处，其上端到达处上方4米的点处，求此时伸缩梯的长度； (3)现有一辆高4米的消防车，它上面的新型云梯最多伸长到25米．一天，某栋楼高24米处一老人需要救援，消防员将此云梯伸到最长，要想顺利救下老人，则此云梯底端应距离高楼_____米．（不考虑其他因素） 【答案】(1)B处与地面的距离是8米 (2)伸缩梯的长度是15米 (3)15 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）直接根据勾股定理在中求解即可； （2）先求出，，再根据勾股定理在中求解即可； （3）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， ∴（米）， 答：处与地面的距离是8米． （2）解：由题意得米，米， ∴（米）， （米）， ∴在中，（米）， 答：此时伸缩梯的长度是15米． （3）解：如图， 由题意可得米，米，米，， ∴（米）， ∴在中，（米）． 答：此云梯底端应距离高楼15米． 故答案为：15． 题型二、勾股定理应用之旗杆高度 典例2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为. 【分析】作，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作，则，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得； 答：旗杆的高度为. 题型模版 1.特征：旗杆被拉绳或影子，已知部分长度和角度，求旗杆高度，常构造直角三角形。 2.方法：根据题意画直角三角形，用勾股定理或三角函数，将已知线段与未知高度建立方程，解方程求高度。 变式2-1．（25-26八年级下·山东日照·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明和同学放学后一起放风筝，牵线放风筝的手到地面的距离为．为了测得风筝的垂直高度，小明想到利用“勾股定理”的知识来进行计算，为此他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． (1)求风筝的垂直高度长； (2)如果想让风筝沿方向下降，则应该往回收线多少？ 【答案】(1)风筝的垂直高度长为 (2)应该往回收线 【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据计算即可； （2）设风筝下降到点F，得到的长，连接，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，在中，，，， ∴， ∴． 答：风筝的垂直高度长为． （2）解：设风筝下降到点F，即， ∴， 连接， ∴在中，， ∴， 答：应该往回收线． 变式2-2．（24-25八年级下·广东汕头·期末）【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 【答案】解：设旗杆高度为x米，则绳子长度为米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即旗杆的高度为15米． 【分析】设旗杆高度为x米，则绳子长度为米，利用勾股定理解即可． 【详解】略 变式2-3．（25-26八年级下·江西上饶·期中）【问题情境】如图，某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】该数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量绳子比旗杆多出部分的长度，测得绳子多出部分的长度是米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量点C与旗杆底部点B 之间的距离，测得距离为米． 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． (1)依题意知 米，用含有x的式子表示的长为 米； (2)请你求出旗杆的高度． 【答案】(1)， (2)米 【分析】（1）直接根据题意即可解答； （2）利用勾股定理列关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：米，的长为米． （2）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意可得：，即， 解得：米． 答：旗杆的高度为米． 题型三、勾股定理应用之大树折断前的高度 典例3．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 题型模版 1.特征：大树折断后顶端触地，已知折断点高度和顶端距根部距离，求原树高。 2.方法：折断部分为斜边，未断部分为一直角边，地面距离为另一直角边，用勾股定理求斜边，再加未断部分得原高。 变式3-1．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 变式3-2．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 变式3-3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型四、勾股定理应用之水杯中的筷子问题 典例4．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 题型模版 1.特征：筷子一端在杯底，另一端露出杯口，求筷子长度范围或露出的最大/最小长度。 2.方法：竖直时最短（杯高），斜着到杯口边缘时最长（勾股定理），最大长度为 \(\sqrt{高^2+直径^2}\)。 变式4-1．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，一根长的牙刷放置于底面半径是，高为的圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据勾股定理求出的值，进而即可得出答案． 【详解】解：如图，在中，， 根据勾股定理得 ． 变式4-2．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？ 【答案】 【分析】先分析出细木棒在盒子内倾斜时露在外面最短的位置，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：如图所示进行标注，当木棒在上时露在盒外面的长度最短， ∴由题意可得：，，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴细木棒露在盒外面的最短长度为：． 变式4-3．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）略 题型五、勾股定理应用之航海问题 典例5．（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解． （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 题型模版 1.特征：船沿两个方向航行，已知速度和时间，求两船距离或方位角，形成直角三角形。 2.方法：以出发点为直角顶点，两船航行为直角边，用勾股定理求斜边（两船距离）或通过距离列方程求时间。 变式5-1．（25-26九年级下·全国·单元复习）一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港． (1)求A，C两港之间的距离（结果精确到）； (2)确定C港在A港的什么方向． 【答案】(1) (2) 港在港北偏东的方向上 【分析】（1）利用方位角和平行线的性质推出，用勾股定理计算的长度，再取近似值即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，结合方位角计算出港相对港的方向即可． 【详解】（1）解：根据题意作图： ，，，， ， ， 在中，， 答：两港之间的距离约为． （2） ，， 是等腰直角三角形， ， ， 答：港在港北偏东的方向上． 变式5-2．（24-25八年级下·河北邢台·阶段检测）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里 (2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点C作于点D，首先利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． 在中，， ∴． 答：小岛A与港口C的距离为150海里； （2）解：过点C作于点D， 当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（小时）． 答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A． 变式5-3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 题型六、勾股定理应用之汽车是否超速问题 典例6．（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 题型模版 1.特征：汽车通过测距点，已知两次测距长度和时间，求车速并与限速比较。 2.方法：利用勾股定理求两次位置间的路程（直角边已知），除以时间得速度，再与限速对比判断是否超速。 变式6-1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． 变式6-2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 变式6-3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 题型七、勾股定理应用之是否受台风影响问题 典例7．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； (2) 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； (3) 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型模版 1.特征：已知台风中心移动路径和速度，判断某地是否受影响及影响时长。 2.方法：构造直角三角形，用勾股定理求台风中心到某地的最短距离，若小于影响半径则受影响，再求路径长度算时间。 变式7-1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 变式7-2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C不能被飞机扑灭，计算说明解解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； （2）解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 变式7-3．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 (2)小明出发4秒后会受到噪音影响 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 【详解】（1）解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 题型八、勾股定理应用之选址距离相离问题 典例8．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 题型模版 1.特征：已知两点的位置关系，求到两点距离相等或满足特定距离的点，常结合垂直平分线。 2.方法：设未知点坐标，利用勾股定理表示到两点距离，建立方程求解；或找垂直平分线与目标线的交点。 变式8-1．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图-应用设计作图，勾股定理，轴对称-最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程求出x的值即可求解； （2）作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站E应建在离A点处； （2）解：如图，作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点F， 则， 即最短距离为． 变式8-2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． (1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 【答案】(1)基地E距A为 (2)基地E距A为，图见解析，的最小值为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由勾股定理得，，则，设为，则，得，求解即可； （2）作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值为的值，即的长，过点作于点，交于点，过点作于点，根据平行线间距离相等，得到，，证明，得到，从而求出，再过点作，交的延长线于点F，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵C、D两村庄到基地E点的距离相等， ∴， 在和中，， ∴． 设，则， ∴， 解得：， 答：基地E距A为； （2）解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为的长， ∴， 过点作于点，交于点，过点作于点， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，即基地E距A为， 过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形， ∴，， ∴， 在中，． ∴的最小值为． 变式8-3．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 【答案】(1)0.6千米 (2)4万元 【分析】（1）设，由，得，根据，得 ，由，得，解方程即可； （2）作B关于l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P，此时，的值最小，根据，，得，即支线管道最少千米，求出费用为（万元）． 【详解】（1）解：设， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故，两点之间的距离为0.6千米； （2）作点B关于直线l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P， 则， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即支线管道最少千米， 费用为（万元）， 故管道费用需要4万元． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，，， ． 2．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 3．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）近年来，内蒙古抢抓低空经济发展机遇，将无人机快递试点、配送网络建设等纳入《内蒙古自治区低空经济高质量发展实施方案（2024-2027年）》．2026年，内蒙古将继续深化无人车、无人机等在行业试点应用．某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞行后，再向北飞行到达社区配送点，如图，由于中央区域有信号塔障碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行．若升级后的导航系统支持直线飞行，则从仓库到社区配送点的最短路程比原来少（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过勾股定理计算两点之间的距离，再作差计算即可． 【详解】解：由题意，得最短路程为， 故从仓库到社区配送点的最短路程比原来少． 4．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离，根据的面积求出即可． 【详解】解：由题意得米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，． ∴（平方米）． 过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离． ∵， ∴， ∴米， ∴最近的距离是米． 5．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况：当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长；当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短；结合勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，当直吸管下端位于底面圆周上时，罐内的部分最长， 最大值为， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最小，最小值为； 由垂线段最短可知，当直吸管与圆柱形饮料罐的底面垂直时，直吸管在饮料罐内的部分最短，最小值等于圆柱形饮料罐的高， ∴此时直吸管露在罐外部分的长度最大，最大值为； 综上，的范围是． 二、填空题 6．（25-26八年级下·广东东莞·阶段检测）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为______尺． 【答案】12 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，，， 由得， 解得， 则水的深度为12尺． 7．（25-26八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 【答案】140 【分析】先在中，利用三边关系判断是否为直角，若，则在中用勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 即． 在中，，， 由勾股定理得： ， （米）． 8．（25-26八年级上·全国·期末）在某海防观测站的正东方向处有A，B两艘船，A船以的速度往正南方向航行，B船则以的速度向正北方向漂流，则经过____h后，观测站及A，B两船恰好成一个直角三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设经过x小时后，观测站O及A、B两船构成直角三角形，根据勾股定理，建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，O为观测站， 设经过x小时后，观测站O及A、B两船构成直角三角形， 由题意得：，，， ∴， 在中，， 在中，； 在中，； ∴， 解得（舍去负值）； 故答案为2． 9．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 【答案】30 【分析】首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， 海里， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东， 即乙船沿南偏东30度方向航行． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑__________m． 【答案】 【分析】根据勾股定理，可得，，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴梯子顶端沿墙下滑． 三、解答题 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【答案】4.55尺 【分析】设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：1丈=10尺 设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴． 答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺． 12．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米． (1)求证：； (2)已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路比原路少多少千米． 【答案】(1)见解析 (2)千米 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，则； （2）由（1）可知是直角三角形，再利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】（1）证明：千米，千米，千米， ，． ． 是直角三角形． ，H，B在同一条直线上， ． （2）解：由（1）知， ． （千米）． （千米）． 答：新路比原路少千米． 13．（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 14．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【答案】(1)解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级学生在学习了“勾股定理”后，开展了测量风筝高度的实践活动，如图所示，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的学生手离地面的距离为米． (1)根据以上操作，求风筝的垂直高度； (2)如果该学生保持原地不动，想让风筝沿方向下降米到点，那么他应该往回收线多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）由题意可得，，，根据勾股定理求出，即可； （2）由题意可得，，求出，根据勾股定理求出，即可得到他应该往回收线的距离． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值已舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， ∴（米）， 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）， 答：他应该往回收线米． 16．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不安全，理由见解析 【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 17．（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： (1)初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； (2)在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】(1)灯杆与地面垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长． 【详解】（1）解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ． 是直角三角形． ， 即灯杆与地面垂直； （2）解：由题意得（）． ∵， ∴在中，（）， （）． 答：的长为． 18．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图1，把两个全等的直角和按图放置，已知 ． (1)请用含a，b，c的式子表示下列图形的面积： _________（用含a，b的代数式表示）； ________（用含a，b的代数式表示）； ________（用仅含的代数式表示）； (2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． (3)【知识运用】如图2，南淝河北岸边有两点（看作直线上的两点）相距160米，为河两岸的两个便民取水点（看作两个点） ，垂足分别为 ，现要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个取水点的距离和最短．请在图中确定点的位置，并求出该最短距离和． 【答案】(1)，， (2) 证明：由（1）得，，，， ∵， ∴ ∴ 整理得； (3)，最短距离为米 【分析】（1）根据图形中数据进行列式计算即可； （2）因为，将（1）中各式代入整理即可得勾股定理； （3）作点关于的对称点，连接，与的交点即为，作交的延长线于，在利用勾股定理求得即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ； （2）证明：略； （3）解：作点关于的对称点，连接，与的交点即为，长度即为所求最短距离，作交的延长线于， 在中，米，（米）， 由勾股定理得：（米． 答：该最短距离和为200米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $