专题3.3 离差平方和与方差重难点题型专训（2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题3.3 离差平方和与方差重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求离差平方和 题型二 离差平方和的应用 题型三 求方差 题型四 利用方差求未知数据的值 题型五 根据方差判断稳定性 题型六 运用方差做决策 题型七 标准差 题型八 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差) 拓展训练一 方差的综合应用 拓展训练二 标准差的综合应用 知识点一：方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 【即时训练】 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列这组数据6，7，8，9，10的方差是（   ） A．3 B．2.5 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式计算方差，即可得到答案． 【详解】解：∵这组数据为6，7，8，9，10， ∴平均数， 根据方差计算公式 得 ， ∴这组数据的方差是2． 2．（23-24八年级下·上海·月考）一组数据共有5个数据，若同时扩大4倍，则标准差扩大______倍 【答案】4 【分析】本题考查了标准差，当一组数据中每个数据都扩大相同倍数时，标准差也扩大相同的倍数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：设原数据的标准差为，设一组数据的5个数据分别是 故平均数：， ∴ 当每个数据扩大4倍后， 则一组数据的5个数据分别是 故新的平均数：， ∴ 故标准差扩大4倍， 故答案为：4． 知识点二：离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）以下关于组间离差平方和的说法正确的是（    ） A．组间离差平方和越大，说明各组数据的平均值越接近 B．组间离差平方和的计算与每组的平均值无关 C．组间离差平方和不可能为负数 D．组间离差平方和只与每组的最大值和最小值有关 【答案】C 【分析】由于组间离差平方和的定义为：每组平均值与总平均值的差的平方乘以该组样本数，再将所有组的结果相加，据此分析即可． 【详解】解：∵组间离差平方和的定义为：每组平均值与总平均值的差的平方乘以该组样本数，再将所有组的结果相加 ∴选项A中，组间离差平方和越大，说明各组平均值与总平均值的差异越大，即各组平均值差异越大，而非越接近，故A错误 选项B中，由定义可知，组间离差平方和的计算与每组平均值直接相关，故B错误 选项C中，∵平方数为非负数，样本数为正整数，各项相加的结果为非负数，∴组间离差平方和不可能为负数，故C正确 选项D中，组间离差平方和与每组平均值、总平均值及样本数有关，与每组的最大值、最小值无关，故D错误 2．（25-26八年级下·全国·随堂练习）在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分（单位：分）分别为8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛评分的离差平方和为______． 【答案】2.5 【分析】本题考查离差平方和，掌握离差平方和的求法是解题的关键．先求出小华此次演讲比赛得分的平均数，再运用离差平方和的定义即可求解． 【详解】解：小华此次演讲比赛得分的平均数为（分）， 则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为． 故答案为：． 【经典例题一 求离差平方和】 【例1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了离差平方和．先计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值的差的平方和，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵数据：10，11，12，10，12， 则平均值， 依题意， ， 即这组数据的离差平方和为4， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·陕西铜川·期末）已知一组数据的方差，则这组数据的离差平方和的值是_______． 【答案】120 【分析】本题考查离差平方和，方差是离差平方和除以数据个数，已知方差和数据个数，可求离差平方和． 【详解】由方差公式 ，其中 ，，则离差平方和 ． 故答案为： 120． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（   ） A．第一组，第二组 B．第一组，第二组 C．第一组，第二组 D．第一组，第二组 【答案】A 【分析】计算各选项的组内离差平方和总和，总和最小的分组最优． 本题考查了组内离差平方和的计算， 掌握离差平方和的定义是解题的关键． 【详解】解：A、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． B、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． C、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． D、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． ∵选项A的总离差平方和最小， ∴最优分组为A． 故选：A． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某实验将10名同学分为A，B两组（每组各5名），A组平均成绩为80分，B组平均成绩为90分，总平均成绩为85分，则组间离差平方和为______． 【答案】250 【分析】根据组间离差平方和的定义，通过每组人数乘以该组平均数与总平均数差的平方，再将两组结果求和即可求解． 【详解】解：组间离差平方和 = ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 【答案】第一组：65，69，70 第二组：75，76，76，78，80，80，81 【分析】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关键． 先将数据排列，再分9种情况讨论求解即可． 【详解】解：将10个数据按照从小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81，把10个数据分成两组，共有9种情况． ①第一组：65，第二组：69，70，75，76，76，78，80，80，81， 第一组的平均数为65， 第二组的平均数为， 组内离差平方和 ； ②第一组：65，69，第二组：70，75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ③第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为48； ④第一组：65，69，70，75，第二组：76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为76； ⑤第一组：65，69，70，75，76，第二组：76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ⑥第一组：65，69，70，75，76，76，第二组：78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为108； ⑦第一组：65，69，70，75，76，76，78，第二组：80，80，81，同理可得，组内离差平方和为137； ⑧第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，第二组：80，81，同理可得，组内离差平方和为184； ⑨第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，80，第二组：81，同理可得，组内离差平方和为219， 第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81组内离差平方和达到最小． 【经典例题二 离差平方和的应用】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【答案】B 【分析】“组内离差平方和最小”是聚类分析中的核心原则，用于将数据划分为组内相似度高的组，选项B中的学生成绩分组直接应用此原则进行分组优化． 【详解】解：∵“组内离差平方和最小”原则主要用于数据分组，如聚类分析，旨在使组内数据点尽可能相似； A、比较疗效，涉及假设检验而非分组，不符合题意； B、将学生按成绩分组，最适合使用该原则，符合题意； C、分析波动。涉及时间序列分析，不符合题意； D、预测变化，涉及回归分析，均不直接适用分组原则，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了“组内离差平方和最小”的原则，解决本题的关键是熟练掌握“组内离差平方和最小”的原则，核心是在对数据进行分组时，让同一组内的数据差异尽可能小，不同组之间的数据差异尽可能大． 【例2】（25-26八年级下·全国·随堂练习）科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由______到______排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成______种情况． 【答案】 小 大 7 【分析】本题考查组内离差平方和的定义，根据组内离差平方和的定义解答即可． 【详解】解：按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由小到大排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成种情况． 故答案为：小，大，7． 1．（25-26八年级下·山西晋中·期末）下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意； B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意； C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意； D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 【详解】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 3．（25-26八年级下·浙江金华·月考）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【答案】离差平方和为2，乙组同学的比赛成绩更稳定． 【分析】本题考查了求离差平方和，根据离差平方和判断稳定性． 先求出乙组同学进球个数的平均数，再求出乙组同学进球个数的离差平方和，根据离差平方和判断即可． 【详解】解：乙组同学进球个数的平均数为（个）， ∴乙组同学进球个数的离差平方和为． ∵，甲、乙两组人数相同， ∴乙组同学的比赛成绩更稳定． 【经典例题三 求方差】 【例1】（25-26八年级下·山西太原·开学考试）为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（   ） 书籍数量/本 2 3 4 5 6 人数/名 3 4 5 6 2 A．分享的书籍数量的众数是6本 B．分享的书籍数量的平均数是3本 C．分享的书籍数量的中位数是4本 D．分享的书籍数量的方差是2.5 【答案】C 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义，依次计算各统计量，判断选项正误即可． 【详解】解：总人数为，总书籍数量为：， 众数：书籍数量为5本的人数最多，为6人，∴众数为5本，A错误； 平均数：本，∴平均数为4本，B错误； 中位数：20个数据从小到大排列，中位数为第10、第11个数据的平均数，前个数据不超过3本，接下来5个数据为4本，即第8~12个数据均为4本，∴第10、11个数据都是4，中位数为本，C正确； 方差： ， ∴方差为，D错误． 【例2】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）下表是某小组2024年初中学业水平考试理化实验操作考试成绩的统计表，这五个学生成绩的方差为________． 学生姓名 性别 考试科目 成绩 曹明 男 物理 10 崔敏琪 女 物理 7 董子墨 女 化学 9 冯俊杰 男 化学 9 高一心 女 化学 10 【答案】 【分析】本题考查平均数，方差，掌握知识点是解题的关键． 先求出五个学生成绩的平均数，继而求出五个学生成绩的方差，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故答案为：． 1．（2026·八年级下 安徽蚌埠）某校举办的“魅力篮球”活动中，有6位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为7，8，7，5，7，8，则下列说法中不正确的是（　　） A．这6位同学投篮进球次数的平均数是7 B．这6位同学投篮进球次数的众数是7 C．这6位同学投篮进球次数的中位数是6 D．这6位同学投篮进球次数的方差是1 【答案】C 【分析】先对数据从小到大排序，再依次计算平均数、众数、中位数、方差，判断各选项正误，找出错误说法． 【详解】解：将进球次数从小到大排序得，5，7，7，7，8，8， 计算平均数，∵数据总和为， ∴平均数为，A选项说法正确； 求众数，∵7在数据中出现次数最多，共3次， ∴众数是7，B选项说法正确； 求中位数，∵数据共6个，中位数为排序后第3个和第4个数据的平均数， ∴中位数为，C选项说法错误； 计算方差，∵平均数， ∴方差，D选项说法正确． 2．（25-26八年级下·河北唐山）小明在计算某小组的7名学生的月考成绩时，错将一个数据89写成了98，根据数据计算的平均数和方差与实际的平均数与方差相比，下列说法正确的是（    ） A．平均数变大，方差的变化不确定 B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差不变 D．平均数变小，方差变大 【答案】A 【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 错将89写为98，使总和增加9，平均数增加；方差的变化取决于实际数据的分布，可能增大也可能减小，因此不确定． 【详解】解：设实际成绩为，错误成绩为， 错误成绩总和为， 实际成绩总和为， 错误成绩总和比实际成绩总和多， 错误成绩的平均数比实际成绩的平均数多，即平均数变大； 而方差为各数据与平均数之差的平方的平均值，由于平均数变化且一个数据改变，方差可能增大，可能减小，例如当其他数据均为89时方差增大，当其他数据均为100时方差减小， 方差的变化不确定． 故选A． 3．（25-26八年级下·山东威海）某次数学考试中有一道4分的选择题，只有得满分与不得分两种情况，若某班同学作答该题的平均分为2.5，则方差为____． 【答案】3.75/ 【分析】本题考查了方差，设该班共有名同学，得4分的同学有人，得0分的同学有人．先根据平均数的定义表示出得满分与不得分的人数，再利用方差的计算公式代入数据计算即可． 【详解】解：设该班共有名同学，得4分的同学有人，得0分的同学有人． 由平均数公式可得：， 解得，则得0分的同学人数为， 根据方差的计算公式计算： ； 故答案为． 4．（2026·八年级下 广东珠海）第十五届全国运动会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型设计，头顶象征粤港澳三地的木棉花红、紫荆花紫、莲花绿水柱，寓意“三地同心、全民欢庆”．组委会需要定制一批吉祥物玩偶作为官方纪念品，现从A，B两家特许生产工厂中选择一家作为主供应商．组委会对两家工厂此前生产的同类型产品的质量评分（满分10分）进行了抽样调查，分别随机抽取了10个样本数据，并绘制了如图所示的统计图和如下统计表． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空： 厂家 平均分/分 中位数/分 众数分 方差/分 A ______ ②______ 9 B 9 ③______ ④______ (2)你认为组委会应在A，B两个厂家中选择哪一家进行合作？并说明理由； (3)若规定同类型产品质量评分9分及以上的为“优秀”等级，则A厂生产的1000件产品和B厂生产的1500件产品中，估计达到“优秀”等级的产品总数量． 【答案】(1)①；②；③9；④ (2)选择B厂进行合作，理由见解析 (3)1400件 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数和方差的定义求解即可； （2）两个厂家的平均分和众数相同，但是B厂的中位数大于A厂的中位数，据此可得答案； （3）用对应厂家的产品数乘以其样本中达到“优秀”等级的产品占比，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：A厂得6分的有个，得7分的有个，得8分的有个，得10分的有个， ∴A厂得9分的有个， ∴A厂的平均分为分， 把A厂的得分按照从低到高的顺序排列为：6分，7分，7分，8分，8分，9分，9分，9分，9分，10分， 故A厂的中位数为分， B厂的得分分别为：5分，7分，7分，7分，9分，9分，9分，9分，10分，10分， B厂的众数为9分， B厂的方差为； （2）解：选择B厂进行合作，理由如下： 两个厂家的平均分相同，众数也相同，但是B厂的中位数比A厂的大，意味着B厂质量得高分的更多， ∴选择B厂进行合作； （3）解：件， 答：估计达到“优秀”等级的产品总数量为1400件． 【经典例题四 利用方差求未知数据的值】 【例1】（25-26·八年级下 上海）一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求方差，熟知方差的性质是解答的关键．先求出原数据的平均数，再根据方差性质，分析加入数a后方差变小的条件，进而确定a的可能取值． 【详解】解：由题意，原数据的平均数为， 加入一个数a后，原数据的个数变为6，平均数为，要使加入a后方差变得更小，那么a应该更接近原数据的平均数6.6， 在各选项中，∵，，，，又， ∴时最接近平均数6.6，此时方差最小， ∴a最可能为7， 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·广东韶关·期中）对某条路线的长度进行了6次测量，得到的结果为（单位：米），，，，，．如果用x作为这条长度的近似值，当___________米时．的值最小． 【答案】 【分析】根据方差的定义求解即可． 【详解】解：当时， 的值最小． 故答案为：． 【点睛】此题考查了方差，关键是熟悉方差的计算公式． 1．（2025·八年级下 浙江）如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 【答案】A 【分析】本题考查了方差：方差公式…，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 先计算前5次的平均数，要使六次成绩的方差小于5次成绩的方差，则第6次的成绩要等于或接近平均数，据此可得答案． 【详解】解：前5次的平均数为：， ， 小雨的期末数学成绩可能是 故选：A 2．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．若这组数据的平均数为8，方差为，则的值是（    ） A．48 B．50 C．64 D．68 【答案】C 【分析】根据平均数计算公式和方差计算公式可得出，，再变形求解即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数为8， ∴ ∴； ∵这组数据的方差为， ∴． ∴， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】要是主要考查了平均数计算公式和方差计算公式，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 3．（22-23八年级下·北京门头沟）小天收集了五种不同品牌手机的快速充电和普通充电的充电时长数据如下表：    已知这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，则x＝________． 【答案】46或56 【分析】根据数据，，…，与数据，，…，的方差相同这个结论即可解决问题． 【详解】解：∵这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等， ∴数据174，176，178，180，182都减去128后为：46，48，50，52，54， 数据174，176，178，180，182都减去126后为：48，50，52，54，56， 即这组数据可能是46，48，50，52，54或48，50，52，54，56， ∴或， 故答案为：46或56． 【点睛】本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据，，…，与数据，，…，的方差相同解决问题，属于中考常考题型． 4．（2025·八年级下 山东威海）某学校举办“强国有我”主题演讲比赛，分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10位教师评委和40位学生评委给每位选手打分（百分制）．对各位评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．教师评委打分 86  88  89  90  91  92  92  92  94  96 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（分为5组：第1组；第2组；第3组；第4组；第5组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 m n 学生评委 p 90 根据以上信息，回答下列问题： ①直接写出m，n的值：________；________； ②p的值位于学生打分的第________组； (2)决赛由5位专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5位评委给其打分的平均数和方差，平均数大的选手排名靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．5位专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 94 94 94 94 乙 95 92 94 95 94 丙 92 96 93 95 q 若丙在三位选手中排名居中，则三位选手中________排名靠前，表中q（q为整数）的值为________． 【答案】(1)①91；92；②3 (2)乙，94 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）分别求出甲和乙的方差和平均数，再根据丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，得到丙的平均数大于等于甲的平均数小于等于乙的平均数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得； ∵教师评委打分中，打分为92分的人数最多， ∴教师评委打分的众数为92分，即； ②把学生打分的数据按照从低到高的顺序排列，中位数为第20名和第21名这两个数据的平均数， ∵， ∴学生打分的中位数位于第3组，即p的值位于学生打分的第3组； （2）解：甲的平均数为， 乙的平均数为分， 甲的方差为， 乙的方差为， ∵丙在三位选手中排名居中， ∴， ∴， ∵q为整数， ∴当时，丙的平均数为， 丙的方差为， ∵，， ∴此时乙的成绩最好，丙的成绩最差，不符合题意； ∴当时，丙的平均数为， 丙的方差为， ∵，， ∴此时乙的成绩最好，丙的成绩居中，甲的成绩最差，符合题意； 综上所述，三位选手中乙排名靠前，． 【经典例题五 根据方差判断稳定性】 【例1】（2026八年级下·广东清远）二月份阳山月平均气温为，方差约为13.21，佛冈月平均气温为，方差约为8.46，则该月气温比较稳定的县区是（   ） A．阳山 B．佛冈 C．阳山和佛冈一样稳定 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据方差越小，数据波动越小，气温越稳定，比较两个县区气温的方差大小即可得出判断． 【详解】解：∵阳山气温方差为13.21，佛冈气温方差为8.46，且， ∴佛冈的气温更稳定． 【例2】（2026·八年级下 辽宁葫芦岛）学校要从三名候选人中挑选一人参加校园演讲比赛，要求选手整体水平高、发挥稳定．三位选手多次比赛的得分统计如下表，如果让你推荐，你会选________． 甲 乙 丙 平均分 93 95 95 方差 10.2 8.5 9.3 【答案】乙 【分析】先比较平均分选出整体水平更高的选手，再比较方差选出发挥更稳定的选手即可． 【详解】解：根据题意，整体水平高要求平均分较高，发挥稳定要求方差较小，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定． 比较三名选手的平均分可得：． 因此乙和丙的整体水平高于甲． 再比较乙和丙的方差可得：． 因此乙的方差更小，发挥比丙更稳定． 综上，满足整体水平高、发挥稳定的选手是乙． 1．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 【答案】B 【分析】根据样本、中位数、平均数的定义以及方差的意义，逐项分析判断即可． 【详解】解：统计样本是“射击成绩”，故A选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的中位数是8环，故B选项结论不正确，符合题意； 乙同学射击成绩的平均分环，故C选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的平均分环， 甲同学射击成绩的方差， 乙同学射击成绩的方差， ∵, ∴， ∴射击成绩更稳定的是乙同学，故D选项结论正确，不符合题意． 2．（2024八年级下·浙江）超市里有甲、乙、丙、丁四种牌子的酱油，标准质量都是 500 克，从中各抽出 5 袋测得质量如下，根据下列数据 （单位：克） 判断，质量最稳定的是 （   ） A．甲：500 502 499 501 498 B．乙： 493 494 511 494 508 C．丙：501 494 506 490 509 D．丁：497 502 493 507 501 【答案】A 【分析】本题主要考查了平均数、方差的计算以及它们的意义．求出各组数据的方差，方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定．依此判断即可． 【详解】解：A.， ； B.， ； C.， ； D.， ； ∴选项A的方差小， 故选：A． 3．（2026·八年级下 河南周口）西峡猕猴桃是南阳市西峡县的国家地理标志产品，因地处温带与亚热带交界区，其果实口感细腻、维生素C含量高．某外贸公司从甲、乙两个猕猴桃农家各随机抽取个进行检测，平均质量都是克个，公司工作人员根据检测情况制成了下面的散点图，你认为外贸公司会选择______农家．（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】根据散点图可以看出，甲农家的猕猴桃质量更集中，波动更小，说明甲的猕猴桃质量更稳定． 【详解】解：已知甲乙猕猴桃的平均质量都是克个，根据散点图可以看出，甲农家的猕猴桃质量更集中，波动更小，说明甲的猕猴桃质量更稳定， 因此外贸公司会选择甲农家． 4．（25-26八年级下·贵州贵阳）周末小明一家游览黔灵山公园，在通往弘福寺的石阶小路上，小明关注到甲、乙两段台阶的高度如图所示，（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）． 请根据上述信息填写下表： 平均数（cm） 方差 中位数（cm） 众数（cm） 极差（cm） 甲 15 8 乙 15 2 在哪段台阶上行走会比较舒服?为什么？ 【答案】填表见解析；在乙台阶上行走会比较舒服，理由见解析 【分析】根据平均数、中位数、方差、众数的概念以及计算方法，进行解答即可；通过计算甲、乙两段台阶高度数据的方差，且根据方差的大小即可判断． 【详解】解：将甲、乙两段台阶的高度值从小到大排列如下： 甲：10,12,15,17,18,18； 乙：14,14,15,15,16,16； 甲的中位数为， 甲的众数为， 乙的平均数为， 乙的方差为， 乙的众数为14，15，16， 故填表如下： 平均数（cm） 方差 中位数（cm） 众数（cm） 极差（cm） 甲 15 16 18 8 乙 15 15 14，15，16 2 ， 乙的方差远小于甲的方差，台阶高度变化更平缓，行走时更平稳， 在乙台阶上行走会比较舒服． 【经典例题六 运用方差做决策】 【例1】（2026八年级下·北京·专题练习）志志老师要从小凡、小棋、小辰、小珲四位同学中选一位参加田径运动会200米比赛，四位同学最近10次训练成绩的平均数（单位：秒）及方差（单位：秒）如下表所示，志志老师应选的同学是（   ） 小凡 小棋 小辰 小珲 30.4 30.8 30.4 30.8 2.3 2.7 5.5 5.1 A．小凡 B．小棋 C．小辰 D．小珲 【答案】A 【详解】解：因为200米比赛中，平均用时越短，平均成绩越好，方差越小，成绩越稳定， 先比较平均成绩，小凡和小辰的平均用时为30.4秒，短于小棋和小珲的30.8秒，平均成绩更优，再比较小凡和小辰的方差，小凡的方差为2.3，小于小辰的方差5.5，成绩更稳定， 所以小凡的成绩既好又稳定，因此应选小凡． 【例2】（25-26八年级下·湖南永州）两个城市的春季（3-5月）日间平均气温都是，城市A的温度方差小；城市B的温度方差大（比如：今天暖如夏，过两天可能骤降到，然后又快速回升），喜欢稳定舒适的你，宜选择___城市生活．（填A、B） 【答案】 A 【分析】根据方差的意义，方差是衡量一组数据波动程度的统计量，方差越小，数据的波动越小，数据越稳定．结合题意选择稳定的城市即可． 【详解】解：已知城市A的温度方差小，说明其春季日间平均气温波动小，更稳定舒适，所以宜选择城市A生活． 故答案为：A． 1．（2026·八年级下 山西吕梁）某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 【答案】B 【分析】通过计算对应统计量结合统计意义判断选项正误即可． 【详解】A选项：众数仅代表评分中出现次数最多的数值，不能全面反映普遍满意度的高低，A错误； B选项：乙店共10个数据，从小到大排列后，第5和第6个数据均为8， ∵中位数为排序后中间两个数的平均数， ∴乙店中位数为；根据中位数的定义，10个数据中至少有一半数据不小于中位数，因此乙店至少有一半学生的评分不低于8分，B正确； C选项：分别计算三家店的平均数：甲店总分，平均数为； 乙店总分，平均数为； 丙店总分，平均数为； 可知甲店平均数最高，C错误； D选项：方差越小，数据的差异越小，甲店方差比乙店小，说明甲店评分差异比乙店小，D错误． 2．（24-25八年级下·山西）新开业的某鞋店销售各种品牌的运动鞋，近一个月该鞋店甲、乙、丙、丁四种品牌运动鞋日销量的平均数和方差如下表： 统计量 品牌 甲 乙 丙 丁 日销量平均数／双 10 10 12 12 方差 4.5 3.8 4.5 3.8 现要从中选取一个日销量高且稳定的运动鞋品牌进行批量采购，该鞋店应选择品牌（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据平均数和方差做决策，根据题意，需选择日销量高且稳定的品牌，即平均销量高且方差小的品牌．比较各品牌数据，丙和丁的平均数最高均为12，再比较方差，丁的方差更小，故应选择丁． 【详解】解：比较平均数：甲、乙的平均日销量为10双，丙、丁为12双．因要求销量高，优先考虑丙、丁． 比较方差：丙的方差为4.5，丁为3.8．方差越小，销量越稳定，故丁更优． 综合判断：丁的平均数最高且方差最小，满足“销量高且稳定”的要求，因此选择丁 故选：D 3．（2026·八年级下 河南周口）2026年国际射联射击世界杯是由国际射击运动联合会（ISSF）主办的大型射击单项赛事，定于2026年9月10日至19日在中国杭州富阳银湖体育中心举行．甲、乙两名运动员分别进行了10次射击测试，他们的成绩如图所示若要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加此次比赛，则应选择__________． 【答案】甲 【分析】根据方差越小越稳定判断即可； 【详解】根据折线统计图可得出甲运动员的成绩波动较小，所以甲的方差较小，成绩稳定，所以选择甲． 4．（2026·八年级下 江西吉安）为纪念中国工农红军长征胜利90周年，某学校组织开展了以“重走长征路，奋进新征程”为主题的知识竞赛活动．从八、九年级学生中各随机抽取了50名学生的竞赛成绩（成绩为整数，满分10分）进行整理、描述和分析． 分析数据 平均数 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 九年级竞赛成绩 (1)表中的________，________． (2)若规定成绩不低于8分的为优秀，则哪个年级的优秀率高？ (3)若该校八年级有500人，估计该校八年级竞赛成绩不低于8分的人数． (4)现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ 【答案】(1)； (2)九年级的优秀率高 (3)人 (4)应该给九年级颁奖 【分析】（1）根据众数和中位数的定义，即可求解； （2）分别计算两个年级的优秀率，即可求解； （3）根据样本估计总体，用乘以八年级的优秀率，即可求解； （4）分别从众数和方差两方面分析即可求解． 【详解】（1）八年级竞赛成绩中分出现的次数最多，故众数分； 九年级竞赛成绩的中位数为第和个的平均数，即可； （2）解：八年级不低于8分的有个，优秀率为； 九年级不低于8分的有个，优秀率为； ∴九年级的优秀率高； （3）解：（人）； 答：该校八年级不低于8分的人有280人； （4）解：如果从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应该给九年级颁奖； 如果从方差角度看，八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖． 综上所述，应该给九年级颁奖． 【经典例题七 标准差】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查标准差的定义，熟练掌握标准差的定义是解题的关键． 成绩稳定性由方差大小决定，方差小则更稳定，根据标准差的定义，求出方差的算术平方根即可． 【详解】解：小明的成绩比较稳定，则小明的方差较小，为7， 因此小明成绩的标准差为， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·湖南株洲·期中）标准差公式是一种数学公式．标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差．标准差和方差一样，描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大．样本标准差是这样计算的：若某样本数据的方差是，则其标准差为，例如：某样本数据的方差是9，则其标准差为3． 已知：一组数据的方差计算公式为：．现给定一组数据：，，，，，则这组数据的标准差为______． 【答案】 【分析】本题考查了求方差，标准差，根据方差公式进行计算，进而求得标准差，即可求解． 【详解】解：一组数据：，，，，，平均数为：， ∴ ∴标准差为 故答案为：． 1．（22-23八年级下·浙江湖州·月考）已知样本数据1，2，3，4，5，下列说法不正确的是（   ） A．中位数是4 B．平均数是3 C．标准差是 D．方差是2 【答案】A 【分析】根据中位数，平均数，方差，标准差的计算方法，分别判断各选项． 【详解】解：将样本数据从小到大排列得，共个数据， ∵奇数个数据的中位数为排序后中间位置的数，即第个数，为， ∴ A选项说法错误，符合题意； ∵平均数， ∴ B选项说法正确，不符合题意； ∵ 方差， ∴ D选项说法正确，不符合题意； ∵ 标准差是方差的算术平方根，即， ∴ C选项说法正确，不符合题意． 2．（2026·八年级下 浙江）计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据方差、平均数、标准差的定义逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确； ②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确； ③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确； ④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误． 综上，正确的结论共3个，因此选C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数为____，标准差为__．（精确到 【答案】 287.1 14.4 【分析】本题考查了平均数，标准差的概念．掌握平均数，标准差的计算方法是解题的关键． 本题考查平均数和标准差的计算，平均数是一组数据的和除以数据的个数；标准差是方差的算术平方根，方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数． 【详解】解：平均数为：， 方差为：， 标准差为：． 故答案为：，． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是方程组的解，求出数据1，2，5，a，b的标准差． 【答案】数据1，2，5，4，3的标准差为 【分析】根据是方程组的解建立关于，的方程组，求出，的值，再根据标准差的公式计算出标准差即可． 【详解】解：因为是方程组的解， 所以解得 因为数据1，2，5，4，3的平均数为， 所以方差为， 所以数据1，2，5，4，3的标准差为． 【点睛】本题考查了方差与标准差，解题的关键是根据题意建立方程组求出，的值以及熟练掌握标准差的求法公式． 【经典例题八 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差)】 【例1】（25-26八年级下·河北石家庄·月考）李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（   ） A．18，2000 B．19，1900 C．，1900 D．19，1850 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是中位数、用样本估计总体以及算术平均数，解题的关键是熟练掌握中位数、用样本估计总体以及算术平均数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；根据已知数据利用平均数的计算公式求出6棵树上的樱桃的平均产量，然后利用样本估计总体的思想即可求出樱桃的总产量． 【详解】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：17，18，19，19，20，21．位于最中间的两个数是19和19， 所以这组数据的中位数是； 从100棵樱桃树中随机采摘6棵的平均产量为（千克）， 所以估计樱桃的总产量（千克）， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·广西来宾·期末）为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 【答案】3750 【分析】先计算抽取样本的平均月用水量，再乘以社区总户数，即可得到该社区每月总用水量的估计值． 【详解】解：抽取的8户居民的总月用水量为 （立方米）， 样本平均每户月用水量为（立方米）， 估计该社区300户居民每月总用水量为（立方米）． 1．（23-24八年级下·福建漳州）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示：                    根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．核桃树叶长宽比为出现的次数最多 B．枇杷树叶的长宽比最大为 C．小明测量一片枇杷叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片核桃树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体，折线统计图等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A. 10片核桃树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故选项正确，不符合题意； B. 根据折线统计图可得，枇杷树叶的长宽比最大为，故选项正确，不符合题意； C. 枇杷树叶的长宽比大约为，是个估计值，不是准确值，小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D. ∵， ∴该树叶有可能是核桃树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·湖南邵阳）随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量．得到数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7，利用所得的数据估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为（　　　） A．1500 B．10500 C．14000 D．15000 【答案】B 【分析】先求出10户家庭一周内使用环保方便袋的数量总和，然后求得样本平均数，最后乘以总数1500即可解答． 【详解】解：∵某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7， ∴平均每户使用方便袋的数量为：（6+5+7+8+7+9+10+5+6+7）=7（只）， ∴该小区1500户家庭一周内共需要环保方便袋约：7×1500=10500（只）． 故选：B． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 【答案】80775 【分析】此题考查的是加权平均数的求法，用样本平均数估计总体，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 先求出第二组的学生数，再根据加权平均数的计算公式代入计算，然后求出总数即可． 【详解】解：∵第二组的学生数是， ∴该名学生一分钟打字的平均成绩是 （个）， 则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约（个）， 故答案为：． 4．（2026八年级下·江苏·专题练习）某小区冬季用家庭燃气炉取暖，为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从月日起，小强连续八天每晚记录了天然气表显示的读数，如表： 日   期 日 日 日 日 日 日 日 日 天然气表显示的读数 小强的妈妈月日买了一张面值元的天然气使用卡．已知每立方米天然气元，你认为这张卡够小强家用一个月（按天计算）吗？为什么． 【答案】这张卡够小强家用一个月，理由见解析． 【分析】此题主要考查了利用样本估计总体，首先计算出日到日这天的平均用气量，然后计算出一个月的总用气量和气费，再与元相比较即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：8次读数记录的是（天）的总用气量 ， ， ∵， ∴这张卡够小强家用一个月． 【拓展训练一 方差的综合应用】 【例1】（2026 八年级下 山东青岛）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 【例2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【答案】或/或 【分析】根据已知这组数据为相邻的整数，两组数据的方差相同，可得另一组数据也为相邻的整数，即可作答． 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 1．（25-26八年级下·湖南株洲）求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】A 【分析】根据方差算式，数据为6，8，8，6，7，计算平均数、众数、n值，并验证加入数据后的方差变化． 本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，掌握基本概念是解题关键． 【详解】∵ 算式中有五个平方项，对应数据点6，8，8，6，7， A、∵ 数据中6和8均出现2次，7出现1次， ∴ 众数为6和8，并非仅6，故选项A错误． B、∵ 数据总和为，， ∴ 平均数，选项B正确． C、，选项C正确． D、∵ 原始方差， 加入两个7后，数据为6，8，8，6，7，7，7，平均数仍为7， 新方差，， ∴ 方差变小，选项D正确． 故选：A． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·专题练习）下列说法正确的个数是（　　）． ①一组数据的众数只有一个；②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据；④一组数据的众数一定比平均数大；⑤一组数据的方差一定是正数． A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查众数、中位数、方差的基础概念，逐一根据相关概念并结合举例判断每个说法的正误即可． 【详解】解：对于①：一组数据的众数可以不止一个，例如数据，，，的众数为和，故①错误； 对于②：根据方差的性质，样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好，故②正确； 对于③：当数据个数为偶数时，一组数据的中位数是排序后中间两个数的平均数，不一定是这组数据中的某一数据，例如，，，的中位数是，不属于原数据，故③错误； 对于④：一组数据的众数不一定比平均数大，例如数据，，中，众数是，平均数是，众数小于平均数，故④错误. 对于⑤：当一组数据中所有数都相等时，方差为，而不是正数，故⑤错误； 综上，只有1个说法正确． 3．（25-26八年级下·山西晋中·期末）在2026年冬奥会短道速滑500米训练中，甲、乙、丙、丁四位运动员10次训练成绩的平均时间（秒）和方差如下表所示．要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的运动员代表国家参加冬奥会短道速滑比赛，应该选择__________． 甲 乙 丙 丁 秒 12.1 13.1 12.1 13.1 0.6 0.6 0.9 0.5 【答案】甲 【分析】本题考查了平均数与方差的统计意义，利用平均数判断成绩优劣、方差判断数据稳定性． 解题的关键是先通过平均数筛选出成绩优秀的运动员，再通过方差选出其中发挥最稳定的一位． 先对比四位运动员的平均时间，选出用时更短的甲、丙；再比较二者的方差，选出波动更小的甲，即为最终人选． 【详解】解：1．筛选成绩优秀者：对比平均时间，甲和丙的平均时间为12.1秒，小于乙和丁的13.1秒，因此甲、丙成绩更优秀． 2．筛选发挥稳定者：在甲、丙中，甲的方差，小于丙的方差，说明甲的成绩波动更小、发挥更稳定． 故答案为：甲． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）“湘超”联赛截止到12月18日结束后前8名的积分情况如下表：（注：积分与进失球个数无关） 球队名 长沙队 株洲队 常德队 娄底队 永州队 衡阳队 郴州队 岳阳队 场次 13 13 13 13 13 13 13 13 胜/平/负（场） 11/2/0 8/3/2 8/2/3 6/5/2 6/4/3 6/2/5 4/7/2 5/4/4 进/失球（个） 26/4 27/10 26/12 15/8 24/14 24/16 20/16 10/7 积分 35 27 26 23 22 20 (1)表中的值为_____； (2)这8支球队前13轮比赛进球个数的中位数是_____； (3)前13轮长沙队每场的进球个数为：2、4、1、3、1、2、1、5、2、1、2、0、2； 永州队每场的进球个数为：3、3、0、0、4、2、1、3、2、4、0、1、1． 长沙队与永州队前13轮比赛进球个数数据统计表 进球数 平均数 中位数 众数 方差 长沙队 26 2 2 1.69 永州队 24 0/1/3 1.98 ①求出统计表中的及的值； ②在“四强”淘汰赛中，永州队以的比分战胜了长沙队，有人认为这纯属偶然，你是否同意这种说法，请从进球的角度阐述你的理由？ 【答案】(1)19 (2)24 (3)①，；②答案不唯一，合理即可 【分析】本题主要考查了列式计算、方差、中位数、众数，熟练掌握相关定义列式计算是解题的关键． （1）先利用方程组求得：胜1场得3分，平1场得1分，负得0分，则可得郴州队：胜4，平7，负2，则积分；岳阳队：胜5，平4，负4，积分，据此即可解答； （2）依据题意，将8支球队进球个数从小到大排序：10，15，20，24，24，26，26，27，故可得第4、5个数的平均数为其中位数，然后计算即可解答； （3）①依据题意，将长沙队进球个数从小到大排：0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，4，5，根据众数的定义可得；先求得缺少的数据，再将永州队进球个数从小到大排：0，0，0，1，1，1，2，2，3，3，3，4，4，则中位数是第7个：，进而可以得解；②依据题意，分别从平均数、中位数、方差的角度分析判断即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场得x分，平1场得y分，负得z分， 由题意可得：，解得：， ∴胜1场得3分，平1场得1分，负得0分， ∴以郴州：胜4，平7，负2，则积分； 岳阳队：胜5，平4，负4，积分， ∴． 故答案为：19． （2）解：由题意知，将8支球队进球个数从小到大排序：10，15，20，24，24，26，26，27， ∵共8个数， ∴中位数是第4、5个数的平均数：中位数． 故答案为：24． （3）解：①由题意，将长沙队进球个数从小到大排：0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，4，5， ∴2出现5次，此时最多，即众数为； 又∵永州队共比赛13场，总进球数为24，而题干文字部分只给出12个进球数据，其和为23， ∴永州队缺失的一个进球数据为. ∴永州队13场比赛的进球数据排序后为：0，0，0，1，1，1，2，2，3，3，3，4，4， ∴中位数是第7个，即． ②“永州胜长沙纯属偶然”不同意．理由如下： ∵长沙队平均数 2，永州队平均数， ∴两队平均进球非常接近． ∵中位数都是 2， ∴说明两队中间水平一样． ∵永州队方差大于长沙队， ∴永州队发挥波动更大，更容易打出高比分． 又∵单场淘汰赛偶然性本来就存在，但从数据看，两队进攻能力在同一档次， ∴永州队并非完全没有赢球可能．故不能说纯属偶然． 【拓展训练二 标准差的综合应用】 【例1】（2025·八年级下 山东淄博）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法正确的是（    ） A．中位数是31，方差是14 B．众数是31，标准差是 C．平均数是31，方差是 D．极差是4，标准差是 【答案】C 【分析】本题考查了众数、中位数、方差、标准差、极差和平均数，二次根式的性质，根据众数、中位数、方差、极差、标准差（标准差是方差的平方根）和平均数定义即可求解，掌握众数、中位数、方差、标准差和平均数的定义，二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：在数据32，33，31，29，31，29，31，32中， 首先将数据从小到大排列：29，29，31，31，31，32，32，33． 中位数计算：由于有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均值，即； 众数计算：出现次数最多的数是31，出现了3次． 平均数计算：平均数为； 方差为：； 标准差为：； 极差为：； 故选：C． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知一组数据，其平均数为1，方差为，则另一组数据的平均数为________，标准差为________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查平均数，标准差，方差；根据数据的倍数影响平均数，方差，标准差，后面的常数项影响平均数，不影响方差，标准差，进行整体计算即可． 【详解】解：∵一组数据，其平均数为1， ∴另一组数据的平均数为：， ∵一组数据，方差为， ∴另一组数据的标准差为：； 故答案为：3，． 1．（25-26八年级下·江西景德镇·期末）下列命题： ①的算术平方根是4； ②实数和数轴上的点一一对应； ③两点确定一条直线是公理； ④直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边的平方； ⑤标准差是方差的平方根； ⑥对顶角相等． 其中是真命题有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假． 根据算术平方根的定义、实数和数轴的关系、两点确定一条直线、勾股定理、标准差的定义、对顶角相等逐一判断即可． 【详解】解：命题①：，4的算术平方根是2，不是4，命题①错误； 命题②：实数与数轴上的点一一对应是实数基本性质，命题②正确； 命题③：两点确定一条直线是几何公理，命题③正确； 命题④：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边的平方是勾股定理，命题④正确； 命题⑤：标准差是方差的算术平方根而非平方根，命题⑤错误； 命题⑥：对顶角相等是几何定理，命题⑥正确； 真命题有②③④⑥，共5个． 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设有个数，其标准差为．另有个数，其标准差为．其中，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键． 根据平均数与方差的计算公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴ ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·山东东营·期中）已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变．先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差． 【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为， 则原来的方差， 现在的方差 ， 所以方差不变，标准差为2． 故答案为：2． 4．（25-26八年级下·广东深圳·月考）在外打工的王大叔返回家乡创业，他承包了甲、乙两座荒山，各栽100棵青枣树，发现成活率均为，现已挂果，经济效益初步显现．为了分析收成情况，王大叔分别从两座山上随机各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4棵青枣树产量的中位数：______________； (2)分别计算甲、乙两座山青枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计甲、乙两座山青枣的产量总和． 【答案】(1)38 (2)，，甲山样本产量高 (3)7663千克 【分析】（1）根据折线图，得到数据并排列为，根据中位数的定义，得； （2）根据算术平均数的定义计算，比较大小后解答即可； （3）根据各自总产量等于平均产量乘以数量乘以成活率，计算和即可． 本题考查了中位数，平均数，样本估计总体，熟练掌握中位数，平均数是解题的关键． 【详解】（1）解：根据折线图，得到数据并排列为， 根据中位数的定义，得（千克）， 故答案为：38； （2）解：根据题意，得（千克）， （千克） 因为，且两山抽取的样本数量一样， 所以甲山样本产量高． （3）解：（千克） 答：用样本平均数估计甲、乙两座山小枣产量总和为7663千克． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于两组数据和，若数据的离差平方和为，数据的离差平方和为，则下列说法正确的是（   ） A．数据的波动比数据大 B．数据的波动比数据大 C．数据和数据的波动相同 D．无法判断两组数据的波动情况 【答案】D 【分析】本题考查组内离差平方和，掌握离差平方和的意义是解题的关键． 离差平方和反映数据波动，但波动大小需考虑数据个数，题干未给出数据个数，故无法比较波动情况． 【详解】解：∵ 离差平方和的大小受数据个数影响， 题干中未提供数据和的个数， ∴ 无法判断两组数据的波动情况． 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 【答案】D 【分析】离差平方和的计算公式为每个数据与样本平均数的差的平方之和． 从给定的列式可知，每个数据均减去后平方，因此样本平均数为；列式中共有个平方项，因此样本容量为． 本题考查了样本容量和平均数，通过离差平方和公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是离差平方和计算中统一减去的数值． 【详解】解：∵ 离差平方和公式为，其中为样本平均数，为样本容量． 给定列式为， ∴ 每个数据与的差，故． 列式中有个平方项，故． ∴ 这组样本的平均数为，样本容量为， 故选：D． 3．（2026·八年级下 广东深圳）甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．乙的成绩的方差比甲的小 B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好 C．乙的后三次测试成绩都比甲高 D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 【答案】A 【分析】根据方差的运算方法结合题干图逐一判断即可． 【详解】解：甲同学的成绩依次是：7，8，8，8，9， 则总成绩为：，平均数为：，方差为：， 乙同学的成绩依次是：6，7，8，9，10， 则总成绩为：，平均数为：，方差为：， ∴该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高，故D选项正确； ∵， ∴乙的成绩的方差比甲的大，故A选项错误； 由图可知，乙的最好成绩为10个，比甲的最好成绩9个好，故B选项正确； 由图可知，乙的后三次测试成绩都比甲高，故C选项正确． 4．（25-26八年级下·陕西西安）小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的定义．由题意知这组数据为2、4、5、5，再根据平均数、中位数、众数及样本容量的概念求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、4、5、5， 所以这组数据的平均数为，①正确； 中位数为，②错误； 众数为5，③正确； 样本容量为4，④错误； 故选：B． 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经收集整理后得表，某同学根据此表分析得出如下结论： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 甲 55 149 135 191 乙 55 151 135 110 ①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字个为优秀） ③甲班成绩的波动情况比乙班小． 上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】平均数反映平均水平，中位数反映数据中间位置，方差衡量数据波动大小，据此逐一判断即可． 【详解】解∶∵甲，乙两班成绩的平均数相等，都是135， ∴甲，乙两班学生成绩的平均水平相同，结论①正确； ∵两班参赛人数均为55人，中位数为排序后第28个数据，甲班中位数为149，小于150，乙班中位数为151，大于150， ∴乙班每分钟输入汉字个的优秀人数多于甲班，结论②正确； ∵甲班方差为191，乙班方差为110，甲班方差大于乙班方差，方差越大，数据波动越大， ∴甲班成绩的波动比乙班大，结论③错误； 综上，正确结论为①②． 6．（23-24八年级下·吉林延边·期末）某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区里举办的“学科素养大赛”，四名同学平时成绩的平均分（单位：分）均为93分，方差分别如下=0.75，=1.1，=1，=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了根据平均数与方差做决策，熟练掌握它们的意义是解题的关键； 根据平均数和方差的意义求解即可． 【详解】解：∵四名同学的平均数相同， ∴说明他们的成绩一样好，因此需要根据成绩的稳定性来选择， ∵=0.75，=1.1，=1，=0.7， ， ∵方差越小表示成绩越稳定， ∴丁的成绩更稳定， 故选：D． 7．（2024·八年级下 上海奉贤）运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（    ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、标准差，由平均数求出位运动员的总成绩，即可求出运动员的成绩，再根据方差计算公式求出个数据的方差，即可得到标准差，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由表可得，运动员的成绩为， ∴位运动员成绩分别为 ∴个数据的方差为， ∴标准差为， 故选：． 8．（25-26八年级下·广西北海）环保小组抽样调查了某社区10户家庭1周内使用环保方便袋的数量，结果为（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．试估计该社区500户家庭1周内使用环保方便袋约为（    ） A．2500只 B．3000只 C．3500只 D．4000只 【答案】C 【分析】先求出10户家庭一周内使用环保方便袋的数量总和，然后求得样本平均数，最后乘以总数500即可解答． 【详解】解：（6+5+7+8+7+5+8+10+5+9）×500=3500（只）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，求出样本平均数，再用样本平均数求总体是解题关键． 9．（25-26八年级下·山东威海）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 10．（25-26八年级下·河南郑州·月考）把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查离差平方和，为了使组内离差平方和最小，应将数据分成两组，使得每组内部数据尽可能接近，即方差小． 通过计算各选项的组内离差平方和，比较大小即可． 【详解】数据从小到大排序：2， 4， 8， 10， 12，计算各选项组内离差平方和： A、，； ，平均值，； ； B、，平均值； ，平均值； ； C、，平均值，； ，平均值， ； D、 ，平均值； ； ； ∴ 选项B的总组内离差平方和最小，为10， 故选：B． 11．（25-26八年级下·全国·周测）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式为，则该样本的离差平方和是____________． 【答案】14 【分析】由方差计算公式可知，离差平方和即为公式中方括号内的部分，需先计算样本均值，再求各数据与均值之差的平方和． 【详解】解：样本数据为1，2，3，3，6，共5个数据，样本均值， 离差平方和为， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了方差和离差平方和，解决问题的关键是熟练掌握这两个知识点． 12．（24-25八年级下·北京·开学考试）在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式： ，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ________． 【答案】①③④ 【分析】根据方差的概念，得到这组数据为：3，3，4，6，再根据极差，中位数，众数，平均数的概念，得到其大小，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ∴样本的容量是4，故①说法正确； 这组数据为：3，3，4，6， 则中位数为：，故②说法错误； 样本的众数为：3，故③说法正确； 样本平均数为：，故④说法正确； 方差为：，故⑤说法错误； 则上述信息正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了方差，中位数，众数，算术平均数以及总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握相关概念是解答本题的关键． 13．（2025·八年级下 河南平顶山）某市举办的朗诵比赛，由名评委给选手打分（百分制，分数均为整数），比赛结果的评价规则为：平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．下面是名评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分表： 评委 评委 评委 评委 评委 甲 乙 丙 若方差 ，且丙在三位选手中的排序居中，表中的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平均数和方差，先求出甲、乙的平均分，再根据评价规则解得即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：甲的平均分，方差为， 乙的平均分，方差为， ∵方差，丙在三位选手中的排序居中， ， 解得：， 当时， 丙的平均分，方差为， 此时乙在三位选手中的排序居中，不合题意舍去， 当时， 丙的平均分，方差为， 此时丙在三位选手中的排序居中， 故， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·湖南株洲）已知样本数据，，…，的平均数与方差满足如下关系式：．若已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从原15个数中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩下的10个数，，…，的方差为______． （参考公式：） 【答案】8 【分析】本题考查求方差，根据给定的平均数与方差满足的关系式，求出剩余的数据的平均数，以及剩余数据的平方的和，进行求解即可。 【详解】解：∵15个数，，…，的平均数为6，方差为9， ∴，15个数的和为， ∴， ∵剔除的这5个数的平均数为8，方差为5， ∴剔除的这5个数的和为，， ∴， ∴剩余数的平均数为，， ∴， 即：剩下的10个数，，…，的方差为8； 故答案为：8. 15．（24-25八年级下·北京）一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 【答案】和 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂新进了一批直径为12mm的螺丝，从中抽取了10个螺丝，并规定它们的方差大于0.04就可以要求退货．这10个螺丝的直径（单位：mm）如下： 11.8，11.7，12.0，12.1，12.3，12.2，12.0，11.5，12.3，12.1． 该工厂是否可以退货？ 【答案】可以退货 【分析】本题考查了平均数与方差的意义，正确计算是解题的关键． 先求出样本平均数，再根据方差公式：求解即可． 【详解】解：样本平均数为， 方差是． ， ∴该工厂可以退货． 17．（2026·八年级下 安徽宣城）某学校组织了一次“网络安全知识专题”学习，并进行了一次全校2000名学生都参加的测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行统计分析，发现这100份答卷中考试成绩x（单位：分）的最低分为50分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表． 成绩段/分 频数 频率 0.1 18 0.18 35 0.35 12 0.12 请根据图表信息，解答下列问题． (1)填空：_____，______，______． (2)请将频数分布直方图补充完整． (3)请写出中位数落在的成绩段为______． (4)请估计全校2000名学生都参加测试的平均分为多少分．（每组取其组中值，例如：分数在，取55；分数在，取65） 【答案】(1)10；25；0.25 (2)见解析 (3) (4)估计全校2000名学生都参加测试的平均分为77.1分 【分析】（1）由频数和频率的关系式求解即可； （2）由（1）中数据补全统计图即可； （3）根据中位数的定义，找到从小到大排列后第50个和第51个数据所在位置即可求解； （4）求出样本的平均成绩即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：∵，， ∴从小到大排列后第50个和第51个数据在内， 故中位数落在成绩段； （4）解：（分） 答：估计全校2000名学生都参加测试的平均分为77.1分． 18．（25-26八年级下·山东青岛·月考）（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差． （2）某商场统计了去年月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如下表所示： A品牌（台） 15 17 16 13 14 B品牌（台） 10 14 15 16 20 ①分别求出A，B品牌的销售量的平均数； ②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性． 【答案】（1） （2）①A品牌平均数为15台，B品牌平均数为15台；②A品牌方差为2，B品牌方差为，A品牌的销售量更稳定 【分析】此题考查了平均数、方差、标准差的计算，以及方差的意义，熟练掌握相关计算方法是关键． （1）根据先计算平均数，再计算方差，最后将方差开方得到标准差即可； （2）①根据平均数的定义进行解答即可；②分别计算平均数和方差，再比较方差大小即可． 【详解】解：（1）， ∴ 即这组数据的标准差为． （2）①（台），（台）， 答：A品牌平均数为15台，B品牌平均数为15台； ② ∵， ∴A品牌的销售量更稳定 19．（2026·八年级下 江苏南京）快递业促进了社会发展，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．某平台经过了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此市场部收集了10个客户对两家公司的配送速度及服务质量的评分结果，进行整理、描述、分析，信息如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲 6 6 5 9 8 7 9 9 10 7 乙 8 8 6 7 6 10 7 8 10 8 信息二：服务质量得分统计图（满分10分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表 项目 配送速度得分 服务质量得分 统计量快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 b 7 乙 a 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的______， ______． (2)综合上表中的统计量，你认为平台应选择哪家公司合作？请说明理由． (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可） 【答案】(1)8，9 (2)平台应选择甲公司，理由见解析 (3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）． 【分析】（1）根据中位数与众数的定义求解即可； （2）根据方差的意义进行判断即可； （3）根据题意求解即可（言之有理即可）． 【详解】（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为： 6，6，7， 7，8，8，8，8，10，10 一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为8，8， 所以中位数， 甲公司配送速度得分9出现的次数最多，所以众数． （2）解：平台应选择甲公司，理由如下： 从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即； 又服务质量得分的平均分相同，平台应选择甲公司； （3）解：还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 【答案】(1)和 (2)将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性 【分析】将数据从小到大排序后，为使组内离差平方和最小，分组在排序后数据上必然是连续的。故只需考虑将排序后的数据分成两个连续组的5种情况，分别计算其组内离差平方和． 【详解】（1）解：将表中的数据按从小到大排列为75，78，90，105，110，115． 分成两组，共5种情况，分别计算组内离差平方和如表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 {75}和{78，90，105，110，115} 0 933.2 933.2 {75，78}和{90，105，110，115} 4.5 350 354.5 {75，78，90}和{105，110，115} 126 50 176 {75，78，90，105}和{110，115} 558 12.5 570.5 {75，78，90，105，110}和{115} 981.2 0 981.2 由表可知，当分组为和时，组内离差平方和最小． （2）解：将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性． 【点睛】本题考查了组内离差平方和的计算、分组优化及统计分组的实际意义，掌握先排序再枚举分组、计算离差平方和后比较总和是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 离差平方和与方差重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求离差平方和 题型二 离差平方和的应用 题型三 求方差 题型四 利用方差求未知数据的值 题型五 根据方差判断稳定性 题型六 运用方差做决策 题型七 标准差 题型八 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差) 拓展训练一 方差的综合应用 拓展训练二 标准差的综合应用 知识点一：方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 【即时训练】 1．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列这组数据6，7，8，9，10的方差是（   ） A．3 B．2.5 C．1 D．2 2．（23-24八年级下·上海·月考）一组数据共有5个数据，若同时扩大4倍，则标准差扩大______倍 知识点二：离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）以下关于组间离差平方和的说法正确的是（    ） A．组间离差平方和越大，说明各组数据的平均值越接近 B．组间离差平方和的计算与每组的平均值无关 C．组间离差平方和不可能为负数 D．组间离差平方和只与每组的最大值和最小值有关 2．（25-26八年级下·全国·随堂练习）在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分（单位：分）分别为8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛评分的离差平方和为______． 【经典例题一 求离差平方和】 【例1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例2】（25-26八年级下·陕西铜川·期末）已知一组数据的方差，则这组数据的离差平方和的值是_______． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（   ） A．第一组，第二组 B．第一组，第二组 C．第一组，第二组 D．第一组，第二组 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某实验将10名同学分为A，B两组（每组各5名），A组平均成绩为80分，B组平均成绩为90分，总平均成绩为85分，则组间离差平方和为______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 【经典例题二 离差平方和的应用】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 【例2】（25-26八年级下·全国·随堂练习）科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由______到______排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成______种情况． 1．（25-26八年级下·山西晋中·期末）下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 3．（25-26八年级下·浙江金华·月考）学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【经典例题三 求方差】 【例1】（25-26八年级下·山西太原·开学考试）为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，下列结论正确的是（   ） 书籍数量/本 2 3 4 5 6 人数/名 3 4 5 6 2 A．分享的书籍数量的众数是6本 B．分享的书籍数量的平均数是3本 C．分享的书籍数量的中位数是4本 D．分享的书籍数量的方差是2.5 【例2】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）下表是某小组2024年初中学业水平考试理化实验操作考试成绩的统计表，这五个学生成绩的方差为________． 学生姓名 性别 考试科目 成绩 曹明 男 物理 10 崔敏琪 女 物理 7 董子墨 女 化学 9 冯俊杰 男 化学 9 高一心 女 化学 10 1．（2026·八年级下 安徽蚌埠）某校举办的“魅力篮球”活动中，有6位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为7，8，7，5，7，8，则下列说法中不正确的是（　　） A．这6位同学投篮进球次数的平均数是7 B．这6位同学投篮进球次数的众数是7 C．这6位同学投篮进球次数的中位数是6 D．这6位同学投篮进球次数的方差是1 2．（25-26八年级下·河北唐山）小明在计算某小组的7名学生的月考成绩时，错将一个数据89写成了98，根据数据计算的平均数和方差与实际的平均数与方差相比，下列说法正确的是（    ） A．平均数变大，方差的变化不确定 B．平均数变大，方差变小 C．平均数不变，方差不变 D．平均数变小，方差变大 3．（25-26八年级下·山东威海）某次数学考试中有一道4分的选择题，只有得满分与不得分两种情况，若某班同学作答该题的平均分为2.5，则方差为____． 4．（2026·八年级下 广东珠海）第十五届全国运动会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型设计，头顶象征粤港澳三地的木棉花红、紫荆花紫、莲花绿水柱，寓意“三地同心、全民欢庆”．组委会需要定制一批吉祥物玩偶作为官方纪念品，现从A，B两家特许生产工厂中选择一家作为主供应商．组委会对两家工厂此前生产的同类型产品的质量评分（满分10分）进行了抽样调查，分别随机抽取了10个样本数据，并绘制了如图所示的统计图和如下统计表． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空： 厂家 平均分/分 中位数/分 众数分 方差/分 A ______ ②______ 9 B 9 ③______ ④______ (2)你认为组委会应在A，B两个厂家中选择哪一家进行合作？并说明理由； (3)若规定同类型产品质量评分9分及以上的为“优秀”等级，则A厂生产的1000件产品和B厂生产的1500件产品中，估计达到“优秀”等级的产品总数量． 【经典例题四 利用方差求未知数据的值】 【例1】（25-26·八年级下 上海）一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·广东韶关·期中）对某条路线的长度进行了6次测量，得到的结果为（单位：米），，，，，．如果用x作为这条长度的近似值，当___________米时．的值最小． 1．（2025·八年级下 浙江）如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 2．（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）某人5次射击成绩为6，a，10，8，b．若这组数据的平均数为8，方差为，则的值是（    ） A．48 B．50 C．64 D．68 3．（22-23八年级下·北京门头沟）小天收集了五种不同品牌手机的快速充电和普通充电的充电时长数据如下表：    已知这五种手机的普通充电时长的方差与快速充电时长的方差相等，则x＝________． 4．（2025·八年级下 山东威海）某学校举办“强国有我”主题演讲比赛，分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10位教师评委和40位学生评委给每位选手打分（百分制）．对各位评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．教师评委打分 86  88  89  90  91  92  92  92  94  96 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（分为5组：第1组；第2组；第3组；第4组；第5组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 m n 学生评委 p 90 根据以上信息，回答下列问题： ①直接写出m，n的值：________；________； ②p的值位于学生打分的第________组； (2)决赛由5位专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5位评委给其打分的平均数和方差，平均数大的选手排名靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．5位专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 94 94 94 94 乙 95 92 94 95 94 丙 92 96 93 95 q 若丙在三位选手中排名居中，则三位选手中________排名靠前，表中q（q为整数）的值为________． 【经典例题五 根据方差判断稳定性】 【例1】（2026八年级下·广东清远）二月份阳山月平均气温为，方差约为13.21，佛冈月平均气温为，方差约为8.46，则该月气温比较稳定的县区是（   ） A．阳山 B．佛冈 C．阳山和佛冈一样稳定 D．不能确定 【例2】（2026·八年级下 辽宁葫芦岛）学校要从三名候选人中挑选一人参加校园演讲比赛，要求选手整体水平高、发挥稳定．三位选手多次比赛的得分统计如下表，如果让你推荐，你会选________． 甲 乙 丙 平均分 93 95 95 方差 10.2 8.5 9.3 1．（2026八年级下·山东青岛·专题练习）已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 2．（2024八年级下·浙江）超市里有甲、乙、丙、丁四种牌子的酱油，标准质量都是 500 克，从中各抽出 5 袋测得质量如下，根据下列数据 （单位：克） 判断，质量最稳定的是 （   ） A．甲：500 502 499 501 498 B．乙： 493 494 511 494 508 C．丙：501 494 506 490 509 D．丁：497 502 493 507 501 3．（2026·八年级下 河南周口）西峡猕猴桃是南阳市西峡县的国家地理标志产品，因地处温带与亚热带交界区，其果实口感细腻、维生素C含量高．某外贸公司从甲、乙两个猕猴桃农家各随机抽取个进行检测，平均质量都是克个，公司工作人员根据检测情况制成了下面的散点图，你认为外贸公司会选择______农家．（填“甲”或“乙”）． 4．（25-26八年级下·贵州贵阳）周末小明一家游览黔灵山公园，在通往弘福寺的石阶小路上，小明关注到甲、乙两段台阶的高度如图所示，（图中的数字表示每一级台阶的高度，单位：cm）． 请根据上述信息填写下表： 平均数（cm） 方差 中位数（cm） 众数（cm） 极差（cm） 甲 15 8 乙 15 2 在哪段台阶上行走会比较舒服?为什么？ 【经典例题六 运用方差做决策】 【例1】（2026八年级下·北京·专题练习）志志老师要从小凡、小棋、小辰、小珲四位同学中选一位参加田径运动会200米比赛，四位同学最近10次训练成绩的平均数（单位：秒）及方差（单位：秒）如下表所示，志志老师应选的同学是（   ） 小凡 小棋 小辰 小珲 30.4 30.8 30.4 30.8 2.3 2.7 5.5 5.1 A．小凡 B．小棋 C．小辰 D．小珲 【例2】（25-26八年级下·湖南永州）两个城市的春季（3-5月）日间平均气温都是，城市A的温度方差小；城市B的温度方差大（比如：今天暖如夏，过两天可能骤降到，然后又快速回升），喜欢稳定舒适的你，宜选择___城市生活．（填A、B） 1．（2026·八年级下 山西吕梁）某班同学对校园周边3家文具店的满意度情况（评分满分10分）进行调查，收集到的数据如下： 甲店（10人评分）：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10． 乙店（10人评分）：5，6，7，7，8，8，9，9，10，10． 丙店（10人评分）：7，7，7，8，8，8，8，8，9，9． 下列基于统计量的判断，正确的是（　　） A．甲店的众数是8，说明甲店的普遍满意度最高 B．乙店的中位数是8，说明乙店至少有一半学生的评分不低于8分 C．丙店的平均数最高，说明丙店的整体满意度最好 D．甲店的方差比乙店小，说明甲店学生的评分差异比乙店大 2．（24-25八年级下·山西）新开业的某鞋店销售各种品牌的运动鞋，近一个月该鞋店甲、乙、丙、丁四种品牌运动鞋日销量的平均数和方差如下表： 统计量 品牌 甲 乙 丙 丁 日销量平均数／双 10 10 12 12 方差 4.5 3.8 4.5 3.8 现要从中选取一个日销量高且稳定的运动鞋品牌进行批量采购，该鞋店应选择品牌（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（2026·八年级下 河南周口）2026年国际射联射击世界杯是由国际射击运动联合会（ISSF）主办的大型射击单项赛事，定于2026年9月10日至19日在中国杭州富阳银湖体育中心举行．甲、乙两名运动员分别进行了10次射击测试，他们的成绩如图所示若要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加此次比赛，则应选择__________． 4．（2026·八年级下 江西吉安）为纪念中国工农红军长征胜利90周年，某学校组织开展了以“重走长征路，奋进新征程”为主题的知识竞赛活动．从八、九年级学生中各随机抽取了50名学生的竞赛成绩（成绩为整数，满分10分）进行整理、描述和分析． 分析数据 平均数 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 九年级竞赛成绩 (1)表中的________，________． (2)若规定成绩不低于8分的为优秀，则哪个年级的优秀率高？ (3)若该校八年级有500人，估计该校八年级竞赛成绩不低于8分的人数． (4)现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ 【经典例题七 标准差】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【例2】（23-24八年级下·湖南株洲·期中）标准差公式是一种数学公式．标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差．标准差和方差一样，描述了一组数据与平均数的离散程度，反映了一组数据相对于平均数的波动情况，标准差和方差越大，说明这组数据的波动性越大．样本标准差是这样计算的：若某样本数据的方差是，则其标准差为，例如：某样本数据的方差是9，则其标准差为3． 已知：一组数据的方差计算公式为：．现给定一组数据：，，，，，则这组数据的标准差为______． 1．（22-23八年级下·浙江湖州·月考）已知样本数据1，2，3，4，5，下列说法不正确的是（   ） A．中位数是4 B．平均数是3 C．标准差是 D．方差是2 2．（2026·八年级下 浙江）计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）用科学计算器求得271，315，263，289，300，277，286，293，297，280的平均数为____，标准差为__．（精确到 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知是方程组的解，求出数据1，2，5，a，b的标准差． 【经典例题八 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差)】 【例1】（25-26八年级下·河北石家庄·月考）李大伯在承包的果园里种植了100棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获时，从中任意采摘了6棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 产量 17 21 19 18 20 19 这组数据的中位数为m，樱桃的总产量约为n，则m，n分别是（   ） A．18，2000 B．19，1900 C．，1900 D．19，1850 【例2】（25-26八年级下·广西来宾·期末）为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 1．（23-24八年级下·福建漳州）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，并绘制出折线统计图如图所示：                    根据以上信息，下列说法错误的是（    ） A．核桃树叶长宽比为出现的次数最多 B．枇杷树叶的长宽比最大为 C．小明测量一片枇杷叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片核桃树叶 2．（25-26八年级下·湖南邵阳）随机调查某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量．得到数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，9，10，5，6，7，利用所得的数据估计该小区1500户家庭一周内需要环保方便袋约为（　　　） A．1500 B．10500 C．14000 D．15000 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约__________个． 4．（2026八年级下·江苏·专题练习）某小区冬季用家庭燃气炉取暖，为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从月日起，小强连续八天每晚记录了天然气表显示的读数，如表： 日   期 日 日 日 日 日 日 日 日 天然气表显示的读数 小强的妈妈月日买了一张面值元的天然气使用卡．已知每立方米天然气元，你认为这张卡够小强家用一个月（按天计算）吗？为什么． 【拓展训练一 方差的综合应用】 【例1】（2026 八年级下 山东青岛）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【例2】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 1．（25-26八年级下·湖南株洲）求一组数据方差的算式为: ．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．该组数据的众数是6 B．该组数据的平均数是7 C．n的值是5 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 2．（25-26八年级下·浙江宁波·专题练习）下列说法正确的个数是（　　）． ①一组数据的众数只有一个；②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；③一组数据的中位数一定是这组数据中的某一数据；④一组数据的众数一定比平均数大；⑤一组数据的方差一定是正数． A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 3．（25-26八年级下·山西晋中·期末）在2026年冬奥会短道速滑500米训练中，甲、乙、丙、丁四位运动员10次训练成绩的平均时间（秒）和方差如下表所示．要从中选择一名成绩优秀且发挥稳定的运动员代表国家参加冬奥会短道速滑比赛，应该选择__________． 甲 乙 丙 丁 秒 12.1 13.1 12.1 13.1 0.6 0.6 0.9 0.5 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）“湘超”联赛截止到12月18日结束后前8名的积分情况如下表：（注：积分与进失球个数无关） 球队名 长沙队 株洲队 常德队 娄底队 永州队 衡阳队 郴州队 岳阳队 场次 13 13 13 13 13 13 13 13 胜/平/负（场） 11/2/0 8/3/2 8/2/3 6/5/2 6/4/3 6/2/5 4/7/2 5/4/4 进/失球（个） 26/4 27/10 26/12 15/8 24/14 24/16 20/16 10/7 积分 35 27 26 23 22 20 (1)表中的值为_____； (2)这8支球队前13轮比赛进球个数的中位数是_____； (3)前13轮长沙队每场的进球个数为：2、4、1、3、1、2、1、5、2、1、2、0、2； 永州队每场的进球个数为：3、3、0、0、4、2、1、3、2、4、0、1、1． 长沙队与永州队前13轮比赛进球个数数据统计表 进球数 平均数 中位数 众数 方差 长沙队 26 2 2 1.69 永州队 24 0/1/3 1.98 ①求出统计表中的及的值； ②在“四强”淘汰赛中，永州队以的比分战胜了长沙队，有人认为这纯属偶然，你是否同意这种说法，请从进球的角度阐述你的理由？ 【拓展训练二 标准差的综合应用】 【例1】（2025·八年级下 山东淄博）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法正确的是（    ） A．中位数是31，方差是14 B．众数是31，标准差是 C．平均数是31，方差是 D．极差是4，标准差是 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知一组数据，其平均数为1，方差为，则另一组数据的平均数为________，标准差为________． 1．（25-26八年级下·江西景德镇·期末）下列命题： ①的算术平方根是4； ②实数和数轴上的点一一对应； ③两点确定一条直线是公理； ④直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边的平方； ⑤标准差是方差的平方根； ⑥对顶角相等． 其中是真命题有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设有个数，其标准差为．另有个数，其标准差为．其中，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东东营·期中）已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是_______． 4．（25-26八年级下·广东深圳·月考）在外打工的王大叔返回家乡创业，他承包了甲、乙两座荒山，各栽100棵青枣树，发现成活率均为，现已挂果，经济效益初步显现．为了分析收成情况，王大叔分别从两座山上随机各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4棵青枣树产量的中位数：______________； (2)分别计算甲、乙两座山青枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计甲、乙两座山青枣的产量总和． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于两组数据和，若数据的离差平方和为，数据的离差平方和为，则下列说法正确的是（   ） A．数据的波动比数据大 B．数据的波动比数据大 C．数据和数据的波动相同 D．无法判断两组数据的波动情况 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 3．（2026·八年级下 广东深圳）甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．乙的成绩的方差比甲的小 B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好 C．乙的后三次测试成绩都比甲高 D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高 4．（25-26八年级下·陕西西安）小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经收集整理后得表，某同学根据此表分析得出如下结论： 班级 参加人数 中位数 平均数 方差 甲 55 149 135 191 乙 55 151 135 110 ①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； ②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字个为优秀） ③甲班成绩的波动情况比乙班小． 上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 6．（23-24八年级下·吉林延边·期末）某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区里举办的“学科素养大赛”，四名同学平时成绩的平均分（单位：分）均为93分，方差分别如下=0.75，=1.1，=1，=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（2024·八年级下 上海奉贤）运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（    ） 运动员 平均成绩 标准差 时间（秒） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·广西北海）环保小组抽样调查了某社区10户家庭1周内使用环保方便袋的数量，结果为（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．试估计该社区500户家庭1周内使用环保方便袋约为（    ） A．2500只 B．3000只 C．3500只 D．4000只 9．（25-26八年级下·山东威海）由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 10．（25-26八年级下·河南郑州·月考）把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（25-26八年级下·全国·周测）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式为，则该样本的离差平方和是____________． 12．（24-25八年级下·北京·开学考试）在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式： ，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ________． 13．（2025·八年级下 河南平顶山）某市举办的朗诵比赛，由名评委给选手打分（百分制，分数均为整数），比赛结果的评价规则为：平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．下面是名评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分表： 评委 评委 评委 评委 评委 甲 乙 丙 若方差 ，且丙在三位选手中的排序居中，表中的值为______． 14．（25-26八年级下·湖南株洲）已知样本数据，，…，的平均数与方差满足如下关系式：．若已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从原15个数中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩下的10个数，，…，的方差为______． （参考公式：） 15．（24-25八年级下·北京）一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂新进了一批直径为12mm的螺丝，从中抽取了10个螺丝，并规定它们的方差大于0.04就可以要求退货．这10个螺丝的直径（单位：mm）如下： 11.8，11.7，12.0，12.1，12.3，12.2，12.0，11.5，12.3，12.1． 该工厂是否可以退货？ 17．（2026·八年级下 安徽宣城）某学校组织了一次“网络安全知识专题”学习，并进行了一次全校2000名学生都参加的测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行统计分析，发现这100份答卷中考试成绩x（单位：分）的最低分为50分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表． 成绩段/分 频数 频率 0.1 18 0.18 35 0.35 12 0.12 请根据图表信息，解答下列问题． (1)填空：_____，______，______． (2)请将频数分布直方图补充完整． (3)请写出中位数落在的成绩段为______． (4)请估计全校2000名学生都参加测试的平均分为多少分．（每组取其组中值，例如：分数在，取55；分数在，取65） 18．（25-26八年级下·山东青岛·月考）（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差． （2）某商场统计了去年月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如下表所示： A品牌（台） 15 17 16 13 14 B品牌（台） 10 14 15 16 20 ①分别求出A，B品牌的销售量的平均数； ②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性． 19．（2026·八年级下 江苏南京）快递业促进了社会发展，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．某平台经过了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此市场部收集了10个客户对两家公司的配送速度及服务质量的评分结果，进行整理、描述、分析，信息如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲 6 6 5 9 8 7 9 9 10 7 乙 8 8 6 7 6 10 7 8 10 8 信息二：服务质量得分统计图（满分10分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表 项目 配送速度得分 服务质量得分 统计量快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 b 7 乙 a 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的______， ______． (2)综合上表中的统计量，你认为平台应选择哪家公司合作？请说明理由． (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可） 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）某年6个家庭的年用水量如下表所示： 家庭 年用水量/t 105 78 75 115 90 110 (1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？ (2)说明分组的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 $