专题03 逆命题和逆定理与直角三角形重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测）-2026-2027学年浙教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

**基本信息** 聚焦逆命题与直角三角形核心考点，以"概念辨析-性质应用-综合提高"三级训练体系构建知识网络，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个核心概念+即时训练|逆命题定义与垂直平分线性质判定|从命题结构分析到线段垂直平分线的性质与判定互逆关系| |基础题型|7类基础题型（含例1-例7）|逆命题改写、互逆命题判断、直角三角形性质应用|覆盖概念辨析到性质应用，形成"定义-判定-性质"逻辑链| |提高题型|1类辅助线专题|垂直平分线辅助线添加策略|从静态性质到动态构造，培养空间观念与推理能力| |自我检测|综合题组|中考高频考点整合|融合逆命题与直角三角形知识，强化知识迁移与应用意识|

专题03 逆命题和逆定理与直角三角形重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、写出命题的逆命题 1 题型二、判断是否为互逆命题 2 题型三、互逆定理 3 题型四、线段垂直平分线的判定 4 题型五、直角三角形的两个锐角互余 5 题型六、斜边的中线等于斜边的一半 6 题型七、锐角互余的三角形是直角三角形 7 第二部分·练提高题型 题型一、垂直平分线常见辅助线添加问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题。 【即时训练】 1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 2．（2026·江苏盐城·三模）已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 知识点02 垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 2．（24-25八年级上·内蒙古兴安·期末）如图，，，直线为线段_____的垂直平分线． 【基础题型一 写出命题的逆命题】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【例2】（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 1．（25-26八年级下·广东茂名·期中）下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 2．（25-26七年级下·上海普陀·期末）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 3．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）（1）写出命题“等腰三角形底边上的中线也是底边上的高”的逆命题． （2）请结合所给图形，写出已知，求证并证明该逆命题成立． 【基础题型二 判断是否为互逆命题】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【例2】（25-26八年级下·全国·课前预习）题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【基础题型三 互逆定理】 【例1】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 1．（25-26八年级上·辽宁·期中）下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 2．（2025八年级上·全国·专题练习）互为逆定理的两个定理中，一个定理的_________和_________恰好是另一个定理的_________和_________． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【基础题型四 线段垂直平分线的判定】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 1．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 2．（25-26七年级下·福建漳州·期末）将一张长方形纸片，按下列步骤进行折叠： 第一步：如图①，点在边上，沿折叠，使点落在点处； 第二步：如图②，沿折叠，使点落在延长线上的点处，折痕延长线交于点， 下列结论中一定正确的是__________．（只填序号） ①是等边三角形 ② ③垂直平分 ④ 3．（2026·四川乐山·二模）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 【基础题型五 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（26-27八年级上·浙江温州·期中）如图，直线，直线，若，则（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）如图，已知在 中， ，D 是 边上任意一点，于点 F，E 在边上，于 D，，则等于__________． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，为测量旗杆的高度，李林在地面上选取一点，使得米，并测得；随后，在点处竖立一根高为2米的竹竿，在地面上的点处测得，并用皮尺量得米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，则旗杆的高度为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）解决问题 (1)【问题初探】如图，在中，高，交于点，且，试说明与有怎样的数量关系； (2)【拓展延伸】如图，某校为教室配备等腰直角三角形课桌防滑支架，，，在边上设置卡扣，边上设置卡扣，连杆用于加固，从支架端点伸出支撑杆，，垂足为，且，在线段上安装卡扣，连接，且，将，延长相交于点，请求出与的数量关系，并说明理由． 【基础题型六 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 1．（25-26八年级下·云南德宏·期末）课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建莆田·二模）如图，中，，D为上一点，直尺的一边与重合，若点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，，则的长度为_______． 3．（26-27八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)连接，，若°，求的度数． 【基础题型七 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【例2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，，点是的中点，点为内一点，，若已知的面积，则一定可以求出（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．的面积 D．的面积 2．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，为的中线，点是边上一点，连接，点是线段的中点．已知，． 【问题探究】 (1)如图1，与全等吗？请说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，过点作于点，若，，，，求的长度．（用含、的式子表示） 【提高题型一 垂直平分线常见辅助线添加问题】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，，是的中点，利用该图（不再添加辅助线）可以证明的定理是（　　） A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 B．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．到角的两边距离相等的点在角平分线上 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________． ①作的平分线交于点 ②过点作于点且 ③取中点，连接 ④过点作，垂足为 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ． (2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． (3)如图（3），在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．若，，求的长度． 2．（25-26八年级下·山东德州·期中）下面是证明直角三角形的一个性质的两种辅助线添加方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，是斜边的中线． 求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使得，连接． 方法二 证明：如图，取的中点，连接． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在四边形中，，，和交于点O，，，和交于点E． (1)如图1，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图2中的四个平行四边形． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列命题，逆命题是真命题的有（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．是3的平方根 C．无理数是无限小数 D．若，则 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川攀枝花·模拟预测）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 4．（26-27八年级上·天津河西·期中）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，，则___________，是___________三角形． 8．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 9．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）在你所学过的知识内容中，有没有原命题与它的逆命题都正确的例子？试举出几对． 12．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的角平分线，延长至点，点在上，连结，．若，，求证：为直角三角形． 13．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）已知：是等边三角形． (1)如图1，点D是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，点F在的右侧，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点E在边上且是等边三角形，与边交于点M，，，求的长度； (3)如图3，当点D是内任意一点，连接，以为边作等边，点F在的右侧，连接并延长交射线于点E（点E与点F不重合），请直接写出与之间的数量关系． 14．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E． (1)观察猜想：线段，，之间的数量关系是________． (2)类比探究：如图2所示，当点B，C在直线m的同侧，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用：如图3所示，在（2）的条件下，若，．点F是边的中点，连接，． ①判断的形状； ②求的面积． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 逆命题和逆定理与直角三角形重难点题型专训（2个知识点+7大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、写出命题的逆命题 1 题型二、判断是否为互逆命题 2 题型三、互逆定理 3 题型四、线段垂直平分线的判定 4 题型五、直角三角形的两个锐角互余 5 题型六、斜边的中线等于斜边的一半 6 题型七、锐角互余的三角形是直角三角形 7 第二部分·练提高题型 题型一、垂直平分线常见辅助线添加问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题。 【即时训练】 1．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 2．（2026·江苏盐城·三模）已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】将原命题的条件与结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 知识点02 垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题． 【详解】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． ∴不一定是等腰三角形， ∴A，C，D错误，B正确， 故选：B． 2．（24-25八年级上·内蒙古兴安·期末）如图，，，直线为线段_____的垂直平分线． 【答案】/ 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴直线垂直平分，即直线为线段的垂直平分线； 故答案为． 【基础题型一 写出命题的逆命题】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 【例2】（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）请你写出一个真命题，使其逆命题为假命题．真命题是______，它的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】 对顶角相等 假 【分析】写出一个真命题，交换命题的条件与结论得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”是真命题； 交换原命题的条件和结论，得到逆命题：相等的角是对顶角； 等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角，因此该逆命题不成立，是假命题． 1．（25-26八年级下·广东茂名·期中）下列命题中，逆命题是真命题的为（     ） A．全等三角形的对应边相等 B．若，则 C．对顶角相等 D．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】A 【分析】先分别写出每个选项的逆命题，再逐项判断真假即可． 【详解】解：A．原命题的逆命题为“如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等”，根据全等三角形的判定定理，三边对应相等的三角形全等，∴该逆命题是真命题，符合题意； B．原命题的逆命题为“若，则”，反例：当，时，，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意； C．原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，∴该逆命题是假命题，不符合题意； D．原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”，反例：∵和的绝对值相等，但，∴该逆命题是假命题，不符合题意． 2．（25-26七年级下·上海普陀·期末）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________． 【答案】 一个三角形的三条边相等 这个三角形是等边三角形 【分析】明确逆命题的构造方法，交换原命题的题设与结论即可得到所求逆命题． 【详解】将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横线处填这个三角形是等边三角形． 3．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）（1）写出命题“等腰三角形底边上的中线也是底边上的高”的逆命题． （2）请结合所给图形，写出已知，求证并证明该逆命题成立． 【答案】（1）如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； （2）已知：中，是边上的中点，， 求证：是等腰三角形； 证明：是边上的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题是考查了全等三角形的判定与性质、命题与互逆命题等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意写出原命题的逆命题即可； （2）根据逆命题的题设和结论写出已知、求证，且证，得，即可得出结论． 【详解】解：（1）原命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的中线也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； （2）略 【基础题型二 判断是否为互逆命题】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 【例2】（25-26八年级下·全国·课前预习）题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 2．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）回答以下问题 (1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格： ∵（已知）， ∴ （ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）． (2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】(1)1；两直线平行，内错角相等；1；等量代换；；；内错角相等，两直线平行 (2)两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，证明，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据互逆命题的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）解：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 是互逆的真命题． 【基础题型三 互逆定理】 【例1】（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角，因此逆命题不成立，故没有逆定理． 【详解】解：定理“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 然而，相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角； 或者，两直线平行时同位角相等，但它们也不是对顶角． 因此，逆命题不成立，所以原定理没有逆定理． 故答案为：没有． 1．（25-26八年级上·辽宁·期中）下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识．根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，正确，故本选项不符合题意； D、互逆定理中的两个命题都是真命题，正确，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）互为逆定理的两个定理中，一个定理的_________和_________恰好是另一个定理的_________和_________． 【答案】 条件 结论 结论 条件 【分析】本题考查了逆定理．根据逆定理的定义，互为逆定理的两个定理中，一个定理的条件和结论分别是另一个定理的结论和条件． 【详解】解：设原定理为“若，则”，其逆定理为“若，则”． 因此，原定理的条件和结论恰好是逆定理的结论和条件． 故答案为：条件、结论、结论、条件 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 【基础题型四 线段垂直平分线的判定】 【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及线段垂直平分线的判定，首先根据等角对等边得出，再利用全等三角形的判定与性质逐一判断各个结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，只有当时，，题目未给出的度数，故不一定是等腰三角形，即错误； ∵，， ∴，即，即正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即正确； ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上，即垂直平分，即正确； 综上所述，正确的结论有，共个． 【例2】（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期中）如图，在中，，，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，，，先得出的最小值为的长，再得出当时，的长最小，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， ∴此时有， ∵， ∴， 解得， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，将两点线段和的最小值问题进行转化，进而利用两点之间线段最短和垂线段最短确定最小值． 1．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）以及线段垂直平分线的判定定理，对各个选项进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， 是等腰三角形 ， 是底边上的中线 ，即，故A正确； B、， 点在线段的垂直平分线上 ， 点在线段的垂直平分线上 直线是线段的垂直平分线， ，故B正确； C 、， 是等腰三角形 ， 是顶角的平分线 ，即，故C正确； D、在和 中，已知 ，，， 这是“边边角”关系，无法判定，也就无法推出或， 因此无法得出，故D不正确． 2．（25-26七年级下·福建漳州·期末）将一张长方形纸片，按下列步骤进行折叠： 第一步：如图①，点在边上，沿折叠，使点落在点处； 第二步：如图②，沿折叠，使点落在延长线上的点处，折痕延长线交于点， 下列结论中一定正确的是__________．（只填序号） ①是等边三角形 ② ③垂直平分 ④ 【答案】①③④ 【分析】只要证明，即可推出是等边三角形；只要证明也是等边三角形即可判断③；再根据补角的定义求出，然后由同位角相等，两直线平行即可判断④，由的长度不确定，无法判断与的大小关系． 【详解】解：如图， 由折叠可知：， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确， 由折叠可知也是等边三角形， ∴，， ∴垂直平分，故③正确， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 由于的长度不确定，所以不一定等于，故②错误， 综上：①③④正确． 3．（2026·四川乐山·二模）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明： 是由沿方向平移得到的， ， ， 由（1）可知， ． 为等边三角形， ，， ， ， ． 又， ∴是的垂直平分线， ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及三线合一的性质求出的度数，再根据直角三角形的性质即可求出的度数． （2）根据平移的性质和平行线的性质求出的度数，再利用等边三角形的性质和直角三角形的性质，利用角的和差关系求出的度数，进而推出，根据，利用线段垂直平分的判定即可推出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 是的中点 ． 又， ， ． （2）略 【基础题型五 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（26-27八年级上·浙江温州·期中）如图，直线，直线，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余和两直线平行同位角相等求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 【例2】（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）如图，已知在 中， ，D 是 边上任意一点，于点 F，E 在边上，于 D，，则等于__________． 【答案】/70度 【分析】根据邻补角的性质可得，再由直角三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，为测量旗杆的高度，李林在地面上选取一点，使得米，并测得；随后，在点处竖立一根高为2米的竹竿，在地面上的点处测得，并用皮尺量得米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，则旗杆的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而证明，再利用三角形全等的性质即可求解. 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，进而证明，得出，，，根据得出，进而证明，得出，进而得出，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期末）解决问题 (1)【问题初探】如图，在中，高，交于点，且，试说明与有怎样的数量关系； (2)【拓展延伸】如图，某校为教室配备等腰直角三角形课桌防滑支架，，，在边上设置卡扣，边上设置卡扣，连杆用于加固，从支架端点伸出支撑杆，，垂足为，且，在线段上安装卡扣，连接，且，将，延长相交于点，请求出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵，是的高， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)，理由： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（１）由已知条件可证，则可得 （２）先证明，可得，，因为，则可证，进而可证，得，所以． 【详解】（1）略； （2）略． 【基础题型六 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再利用等边对等角求解即可． 【详解】解:，点为的中点， ， ， ， ． 【例2】（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【答案】1.2 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵公路与互相垂直，即， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为， ∴，即，两点间的距离为． 1．（25-26八年级下·云南德宏·期末）课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 2．（2026·福建莆田·二模）如图，中，，D为上一点，直尺的一边与重合，若点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】由题意可得，再结合直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵点A，D，B对应直尺的刻度分别为，，， ∴，， ∴， ∵中，， ∴． 3．（26-27八年级上·陕西宝鸡·期中）如图，在锐角三角形中，、分别是边，上的高，、分别是线段，的中点． (1)求证：； (2)连接，，若°，求的度数． 【答案】(1)证明：连接和，如图， ∵、分别是边，上的高， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴为等腰三角形， ∵是线段的中点， ∴； (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接和，由题意知，结合直角三角形斜边中线的性质得，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得，由（1）知，，结合中点得，即，根据等腰三角形的性质得和，利用三角形内角和定理和平角的定义即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：∵°， ∴， 由（1）知，， ∵线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵ ． ∴的度数是． 【基础题型七 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ，， ∴， ∴①②正确， 若，则，题目中没告知与的位置关系， ∴无法求出的大小； 若， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴④正确． 【例2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，，，点是的中点，点为内一点，，若已知的面积，则一定可以求出（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．的面积 D．的面积 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，直角三角形的判定，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 过点作，交延长线于点，先由同角的余角相等得，再通过三角形内角和定理，等边对等角，证明，则，即可证，则，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴若已知的面积，则一定可以求出线段的长． 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，为的中线，点是边上一点，连接，点是线段的中点．已知，． 【问题探究】 (1)如图1，与全等吗？请说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，过点作于点，若，，，，求的长度．（用含、的式子表示） 【答案】(1)全等，理由如下： ∵是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）证明是直角三角形，由是的中线，可得，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【提高题型一 垂直平分线常见辅助线添加问题】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，，是的中点，利用该图（不再添加辅助线）可以证明的定理是（　　） A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 B．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．到角的两边距离相等的点在角平分线上 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线，角平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，角平分线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解 【详解】解：．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，条件结论倒置，不能证明．故本选项不符合题意； ．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，条件满足即可证明，故本选项符合题意； ．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，和不满足到角两边的距离，不能证明，故本选项不符合题意； ．到角的两边距离相等的点在角平分线上，和不满足到角两边的距离，不能证明，故本选项不符合题意． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________． ①作的平分线交于点 ②过点作于点且 ③取中点，连接 ④过点作，垂足为 【答案】①③④ 【分析】利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可． 【详解】解：①、利用SAS判断出△PCA≌△PCB， ∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确； ②、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误； ③、利用SSS判断出△PCA≌△PCB， ∴∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确； ④、利用HL判断出△PCA≌△PCB， ∴CA=CB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键． 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ． (2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． (3)如图（3），在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．若，，求的长度． 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，延长至，使得，连接， 在中 ∴ ∴， ∵， ∴ 又∵． ∴ ∴ ∴，即平分 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理，垂直平分线的判定和性质； （1）利用证明； （2）证明，得出，，根据已知可得，则，等量代换可得，即可得证； （3）延长至，使得，连接，同理可得，则，进而可得，勾股定理求得，根据是的垂直平分线，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图所示，延长至，使得，连接， 同理可得， ∴， ∵在中，， ∴ ∴ 在中， 又∵，， ∴是的垂直平分线， ∴ 2．（25-26八年级下·山东德州·期中）下面是证明直角三角形的一个性质的两种辅助线添加方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，是斜边的中线． 求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使得，连接． 方法二 证明：如图，取的中点，连接． 【答案】 解：方法一：如图，延长至点，使得，连接， 是斜边的中线， ， 又∵， 四边形是平行四边形，． ， 四边形是矩形， ， ； 方法二：如图，取的中点，连接， 点是的中点， 是的中位线， ， 是的垂直平分线， ，． ． 【分析】方法一：可证明四边形是矩形，得到，根据得到； 方法二：由三角形中位线定理得到则可证明是的垂直平分线，进而可证明，．根据可证明． 【详解】略 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在四边形中，，，和交于点O，，，和交于点E． (1)如图1，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图2中的四个平行四边形． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． (2)，，， 【分析】（1）先根据垂直平分线的判定得出垂直平分，则，再根据，，证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据平行四边形的判定方法，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据解析（1）可知，四边形是平行四边形； ∵， ∴，， 根据解析（1）可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形； 同理可得：四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定，平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列命题，逆命题是真命题的有（　　） A．全等三角形的对应角相等 B．是3的平方根 C．无理数是无限小数 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，解题的关键是先写出每个命题的逆命题，再根据相关数学概念判断逆命题的真假． 先写出每个选项中原命题的逆命题，再结合全等三角形、平方根、无理数、立方根的性质，逐一判断逆命题的真假． 【详解】解：逆命题是将原命题的条件和结论互换得到的新命题，依次分析个选项： A、原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”．对应角相等的三角形仅相似，不一定全等，故逆命题为假命题； B、原命题“是3的平方根”的逆命题是“3的平方根是”． 3的平方根是，并非只有，故逆命题为假命题； C、原命题“无理数是无限小数”的逆命题是“无限小数是无理数”．无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数），故逆命题为假命题； D、原命题“若，则“”的逆命题是“若，则”．故逆命题为真命题． 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2026·四川攀枝花·模拟预测）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 4．（26-27八年级上·天津河西·期中）如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图方法可得垂直平分，则O点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，由等边对等角得出，最后由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴， ∴为中线， 又中，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分，与交于点M，于点D，于点E，与交于点F，若，则为（     ） A．2.5 B．2 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】取的中点G，连接，设，，再利用x、y表示、，列方程即可得到x的值． 【详解】解：取的中点G，连接， 设，， 可得， ∵，， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题______． 【答案】两锐角相等的三角形是直角三角形 【分析】先确定原命题的条件与结论，再将条件和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】原命题“直角三角形两锐角相等”的逆命题为：两个锐角相等的三角形是直角三角形． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，，则___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 8．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 【答案】10 【分析】由折叠可得，点是的中点，再根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点，交于点，过点作，交于点，连结．给出下面四个结论：①；②；③平分；④是等腰三角形．上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据同角的余角相等得到； 对于②，通过证明，进而得到； 对于④，通过证明垂直平分，得到，，，进而得到，是等腰三角形； 对于③，根据平行线的性质和，是等腰三角形，若平分，则是等边三角形，由于题目中无条件可以证明是等边三角形，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， 由②知， ∵是的角平分线， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰三角形，故④正确； 由④知，是等腰三角形， ∴， 若平分，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，题目中无条件可以证明是等边三角形，故③错误． 综上，正确结论的序号是①②④． 11．（26-27八年级上·全国·课后作业）在你所学过的知识内容中，有没有原命题与它的逆命题都正确的例子？试举出几对． 【答案】有，以下是几对符合要求的例子： （1）原命题：两直线平行，内错角相等．逆命题：内错角相等，两直线平行． （2）原命题：全等三角形的对应边相等．逆命题：三边对应相等的两个三角形全等． （3）原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等．逆命题：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上． 【分析】原命题：若，则．逆命题：若，则． 【详解】见答案 12．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的角平分线，延长至点，点在上，连结，．若，，求证：为直角三角形． 【答案】证明：是的角平分线， ， 又，， ， ， ． 【详解】略 13．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）已知：是等边三角形． (1)如图1，点D是边上一动点，连接，以为边作等边三角形，点F在的右侧，连接，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点E在边上且是等边三角形，与边交于点M，，，求的长度； (3)如图3，当点D是内任意一点，连接，以为边作等边，点F在的右侧，连接并延长交射线于点E（点E与点F不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)证明：与是等边三角形 ，， (2) (3)或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得到，推出，证明，三线合一，即可得出结果； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：同（1）法可得； ∴， ①当点在线段上时，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图： ∵， ∴， ∴. 14．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E． (1)观察猜想：线段，，之间的数量关系是________． (2)类比探究：如图2所示，当点B，C在直线m的同侧，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用：如图3所示，在（2）的条件下，若，．点F是边的中点，连接，． ①判断的形状； ②求的面积． 【答案】(1) (2)解：不成立，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴； (3)①等腰直角三角形 ②4 【分析】（1）根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）仿照（1）根据“角角边”证明，可得，再根据解答； （3）①连接，再根据“边角边”证明，可得，然后说明是等腰直角三角形， ②先求出，然后根据勾股定理求出，最后根据可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①连接， ∵，且点F是的中点， ∴， ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②由（2）， 在中，， 即， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ①证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【分析】（1）根据平角的定义和，求出，结合平分，即可求解． （2）①根据，得出，结合，即可得，得证；②根据，，得出，结合，，，证出，即可证，得出，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $