专题06 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）（7大题型+15道拓展培优题）-2026-2027学年浙教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

**基本信息** 聚焦勾股定理7大几何模型，以题型为纲，提炼展开、对称、翻折、旋转等核心方法，构建从基础应用到综合建模的知识逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆柱最短路径|6题|展开侧面为矩形，构造直角三角形用勾股定理|立体转平面，体现空间观念与几何直观| |长方体最短路径|6题|分类展开不同面，比较路径长|多情境应用，培养抽象能力与推理意识| |将军饮马问题|6题|作对称点转化，利用两点之间线段最短|对称思想，发展数学眼光与模型意识| |翻折模型（三角形/长方形）|12题|利用翻折性质（全等、对应边等），结合勾股定理列方程|图形变换与方程思想，提升运算能力| |线段平方和模型|6题|构造垂线或中线，推导平方关系|代数与几何结合，强化数学思维| |旋转模型|6题|利用旋转性质（全等、对应角等），构造特殊三角形|动态几何建模，培养创新意识|

专题06 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）（7大题型+15道拓展培优题） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的旋转模型 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱外侧距下底的A处有一只蚂蚁，它想得到距上底的B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为多少？    2．（25-26八年级上·重庆南岸·期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）    (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？ 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 6．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 8．（25-26八年级下·全国·单元测试）一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm， (1)请问：长为dm的铁棒能放进去吗？ (2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．小明认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1，小王认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5时，请你帮忙他们求出蚂蚁爬过的最短路径长． 11．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 12．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题． 如图1，一个长方体盒子，长，宽，高． 探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？ 探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？      小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形， 在中，． (1)对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法； (2)帮助小明完成探究2． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 13．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 14．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 15．（2026八年级上·四川眉山·模拟预测）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 17．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 18．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 19．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图， 中， ，，点 在 上，且，将 沿折叠得到，连接，求 的长度． 20．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，已知在中，，点D，E分别在边上，连结．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连结． (1)求证：是直角三角形； (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形． 21．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的D点处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)若，，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求的面积． 22．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图①，现有一张三角形纸片，沿边上的高所在的直线翻折，使得点与边上的点重合． (1)填空：是___________三角形； (2)若，求边上的高的长； (3)如图②，若，写出之间的数量关系___________． 23．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，点为边上的一点，，，． (1)试说明； (2)求的长； (3)直线上是否存在一点，使为等腰三角形．若存在，请直接写出此时线段的长度；若不存在，请说明理由； (4)如图1，动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，设运动时间为秒．现把沿着直线翻折，请直接写出当为何值时，点翻折后的对应点恰好落在直线上． 24．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【操作】（1）将纸片沿折叠，使点刚好落在边上的处，展开如图．若，则________； 【思考】（2）如图，作，垂足为，且，求边的长； 【延伸】（3）如图，设为上一点（与、）不重合，是上一个动点，连接、． ①试说明：与大小关系； ②若点是的中点，且．求长． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 25．（25-26八年级上·甘肃兰州·阶段检测）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为多少？ 26．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 27．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图1，将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处． (1)试判断线段与的关系是_________； (2)若，，求的长； (3)如图2，取的中点，连接，，若，求证：． 28．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，将长方形对折，使得边、边重合，折痕与边、边交于点、点，，，点是边上一点，将沿着折叠得到，线段、线段分别交边于点、点． (1)当重合时，线段的长是多少？ (2)当点与点重合时，点是边上一点，将沿着线段折叠，使得点落在边上的点，线段的长是多少？ 29．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）综合与实践 数学兴趣小组用一张长为5，宽为4的长方形纸片（如图1）进行探究活动． 动手操作 如图2，嘉嘉沿虚线裁剪，将该纸片剪成①②③三块，并按图3拼成与原纸片面积相等的正方形．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） （1）根据拼接前后面积不变，可知正方形的面积为__________，进而可得线段的长为__________； 深入探究 （2）观察图2和图3中的③号图形，可知__________（填“”“”或“”），求出线段的长； 创新实践 （3）淇淇说：“将图1的纸片沿着，的中点G，H剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据淇淇的说法设计一种方案，在图4上用虚线画出裁剪线并标注裁剪线的长度． 30．（24-25八年级下·福建厦门·期末）操作与探究：两个边长均为1的正方形纸板按图-1所示位置放置，嘉嘉沿两条虚线将纸板剪开，发现可以拼成一个大正方形，如图-2所示．    变式1：边长为2的正方形纸板与边长为1的正方形纸板按图-3所示位置放置，淇淇沿虚线和另一条虚线将纸板剪开，发现也可以拼成一个大正方形．请在图-3中画出另一条虚线，并直接写出的长． 变式2：边长为3的正方形纸板与边长为1的正方形纸板按图-4所示位置放置，亮亮沿两条虚线将纸板剪开，发现也可以拼成一个大正方形．请在图-4中画出这两条虚线，若其中一条虚线把正方形纸板分割成两块纸板，求较小块纸板的面积． （注：纸板不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）    【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 31．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 32．（25-26八年级下·河南郑州·期中）在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 33．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 34．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）背景材料：在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，这种模型称为“手拉手”模型．现规定：将两个等腰三角形的底角顶点连接起来的两条线段叫做“兄弟”线段． 如图1，两个等边三角形和．此时线段和线段就是一对“兄弟”线段． (1)［材料理解］请判断图1中“兄弟”线段和的大小关系，并说明理由； (2)［深入探究］如图2，点D是外一点，且，请证明； (3)［延伸应用］如图3，若，，．试求的度数． 35．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）已知：在中，，点D在直线上，连接，在的右侧作． (1)如图1， ①点D在边上，线段和线段数量关系是___________，位置关系是___________； ②直接写出线段之间的数量关系___________； (2)如图2，点D在B右侧．之间的数量关系还成立吗？说明理由； (3)在（2）的条件下，若．求出的长． 36．（25-26八年级下·广东韶关·期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)尺规作图：以已知线段为对角线作一个垂美四边形，使其对角线交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知四边形是垂美四边形，且，则它的面积为________； (3)如图，四边形是垂美四边形，，探究a、b、c、d的数量关系； (4)如图，已知D、E分别是中边的中点，，请运用上题的结论，求的长． 【经典例题七 勾股定理中的旋转模型】 37．（24-25八年级上·重庆开州·阶段检测）如图1，是等腰直角三角形，其中，点D是边上一点，以为边向外作正方形，连接，将正方形绕点C顺时针旋转，如图2所示． (1)旋转过程中线段与之间存在怎样的关系，请说明理由． (2)当且时，求的面积． 38．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边AB的中点重合． （1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（）的面积： （2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将绕点D旋转，使交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求DH的长． 39．（25-26八年级下·云南文山·期末）已知和都是等边三角形． (1)如图1，点D在边上，连接、．求证：； (2)如图2，将绕点B顺时针旋转，当点E落在的平分线上（在的内部），连接，求此时的度数； (3)如图3，F是的中点，若等边三角形的边长为6，等边三角形的边长为4，绕点B旋转过程中是否存在某一时刻，使得线段的长度最小？若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由． 40．（25-26八年级上·重庆大渡口·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，，连接并延长与交与点，连接. (1)如图1，求证： (2)如图2，绕着顶点旋转，当、、三点共线时，取的中点，连接，求证：； (3)如图3，若，，连接，当运动到使得时，求的面积. 41．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）【操作发现】 （1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点．在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，． ①求的度数； ②与相等吗？请说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点．在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，，请直接写出探究结果： ①的度数； ②线段，，之间的数量关系． 42．（25-26八年级上·江西赣州·期末）（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：    ①的度数为 ； ②线段、之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．    （3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    ．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 3．（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 5．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下结论：①；②和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到的；③是等腰直角三角形；④．  其中始终成立的有（   ）    A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③ 6．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是________． 7．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 8．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，等腰直角和等腰直角，且，点N，点M分别为，的中点，，，绕点A旋转过程中，的最小值为 __．    9．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，在三角形纸片（）中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图）． （1）若，则________°； （2）若，，则的长为________． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为_____． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知和中，，，，连接．交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，，求证 12．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．    (1)判断与间的数量关系，并说明理由； (2)直接写出线段、、间满足的数量关系． 13．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ (1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 14．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 15．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）（7大题型+15道拓展培优题） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的旋转模型 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 1．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱外侧距下底的A处有一只蚂蚁，它想得到距上底的B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为多少？    【答案】 【分析】将圆柱的侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：沿着点A所在的母线将圆柱的侧面展开，如图，则蚂蚁经过的最短距离是线段的长，    由题意，，，， ∴， 即蚂蚁经过的最短距离为． 【点睛】此题主要考查平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是运用两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 2．（25-26八年级上·重庆南岸·期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）    (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？ (3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？ 【答案】(1)方案2爬行距离更近 (2)方案1爬行距离更近 (3)，两种方式的爬行距离同样远 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理即可得到结论； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）方案1：爬行距离，方案：爬行距离=， ∴方案爬行距离更近； （2）方案1：爬行距离，方案2：爬行距离， ∴方案爬行距离更近； （3）根据题意得， 解得： ∴，两种方式的爬行距离同样远． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 【答案】(1) 证明：∵阴影部分的面积=大正方形面积－4个直角三角形面积， ∴ ∴ ∴ (2)从点A爬到点B的最短路径是厘米 【分析】（1）利用阴影部分的面积=大正方形面积-4直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 本题考查勾股定理证明和求最短路径； 【详解】（1）略 （2）画出圆柱侧面展开图： 根据底面半径为，得出 ∵圆柱的高为， ∴ ∴从点A爬到点B的最短路径是厘米 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 【答案】(1) 共有3条路径，如下图： (2)①；②；③ 【分析】（1）共有3条路径，第一条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面边缘爬行；第二条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面直径爬行；第三条沿圆柱体侧面爬行，即可； （2）①连接，利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；②利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；③利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，连接， 根据题意得：，， ∴， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为； ②i)如图，连接， 根据题意得：，， ∴， ii)此时考虑从A-B-C线路这一情况， 所以这一线路的路程为， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为； ③如图，连接， 根据题意得：，， ∴， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 【答案】（1）①，，1；②，，2；（2）当时，；（3）当时，此时选择路线1路程最短；当时，此时选择路线2路程最短 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、圆柱的侧面展开图及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题关键， （1）①根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案；②根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案； （2）根据勾股定理分别求出，根据即可得出答案； （3）结合（1）（2）结论得出答案即可； 【详解】解：（1）①当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线1路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线2路程最短； （2）由题意得：，，， 当时，， 解得：， 当时，； （3）由题意得：当时，； 此时选择路线1路程最短； 当时，； 此时选择路线2路程最短． 6．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3) ①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）略 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【答案】这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和G点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：（1）如图： 由勾股定理得； （2）如图： 由勾股定理得； （3）如图： 由勾股定理得． ∵， ∴这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 8．（25-26八年级下·全国·单元测试）一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm， (1)请问：长为dm的铁棒能放进去吗？ (2)如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程． 【答案】(1)能 (2)dm 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出的长度，再进行比较即可得； （2）分三种情况将长方体展开，然后进行比较即得结果． 【详解】（1）如图1，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴长为dm的铁棒能放进去； （2）如图2所示，将前面与右侧面展开， dm． 如图3所示，将前面与上面展开， dm， 如图4所示，将下面与右侧面展开， dm， ∵， ∴爬行的最短路程是dm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用之最短路径问题，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    (1)一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 【答案】(1)最短路程是20cm (2)筷子的最大长度是cm 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。 【详解】（1）解：如图1所示：    图1 由题意得：，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴最短路程是20cm； （2）将筷子斜着放，    ∵，， ∴ ∴， 即筷子的最大长度是cm． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活利用勾股定理进行求解。 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．小明认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1，小王认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5时，请你帮忙他们求出蚂蚁爬过的最短路径长． 【答案】最短路径长是． 【分析】根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短． 【详解】解：蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1'，爬过的路径的长是 AC1′； 蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的路径的长是 AC1． 因为：AC1′＞AC1， 所以最短路径长是． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 11．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)解：如图： (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 12．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）阅读小明的探究学习过程，并解答后续的问题． 如图1，一个长方体盒子，长，宽，高． 探究1：在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，求装饰条的最小长度为多少？ 探究2：这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为多少？      小明的解法：探究1：将长方体盒子的两个侧面展开成如图2所示的平面图形， 在中，． (1)对于探究1，小明的做法你认为是否正确？如果不正确，写出你的做法； (2)帮助小明完成探究2． 【答案】(1)小明的做法不正确，正确的做法见解答过程 (2)这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为 【分析】（1）将长方体盒子展开成平面图形，使高和宽展到一条直线上，用勾股定理可得装饰条的最小长度为20cm，从而得到答案； （2）画出图形，用勾股定理可得答案． 【详解】（1） 解：小明的做法不正确，正确的做法如下： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：    ，， 在中， ， ∵小明的结果为，且， ∴装饰条的最小长度为20cm； （2） 解：如图：   ， ， 又， 在中， ， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，能熟练画出图形 是解题关键． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 13．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 【答案】(1)； (2)点C满足、、三点共线时，的值最小；的最小值是； (3)． 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）根据两点之间线段最短可得点C满足、、三点共线时，的值最小，过点作的延长线于点，得到四边形为长方形，利用长方形性质和勾股定理可得的最小值； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ∴，， ； （2）解：点C满足、、三点共线时，的值最小， 过点作的延长线于点， 则四边形为长方形， ，， ， ； （3）解：如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 14．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 【答案】(1)； (2)P点的位置如图所示，的距离为16千米； (3)15． 【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； （3）如图3，，，，，，设， 则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，则点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； （3）解：如图3，，，，，，设， 则， 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E， 则是的最小值，即代数式的最小值， ∵，，， ∴代数式最小值为：， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点． 15．（2026八年级上·四川眉山·模拟预测）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】(1)①、；②5 (2)13 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识， (1)利用勾股定理得到，由题图知，，利用三角形三边的关系得(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出,从而得到即的最小值； (2)如图，设,则,利用勾股定理得到，根据三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值； 掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，, 在中，， 由题图知，, ∴(当且仅当、、共线时取等号), 作交的延长线于,如图, ∵，， ∴四边形为矩形， , 在中，, 的最小值为5, 即的最小值为5； 故答案为：，5； （2）解：如图，，，，设，则， 在中，, 在中，, ∴, 由知，(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，可得四边形为矩形， ,, 在中，, 的最小值为13, ∴的最小值为13. 16．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案； （2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称——最短路线问题得到最小值就是求的值，根据勾股定理计算即可； （3）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）解：如图2，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为， 作交的延长线于F， 由题意得，，， ∴的最小值 故答案为：； （2）构造图形如图3所示，，，，于A，于B，， 则， 代数式的最小值就是求的值， 作点C关于的对称点，过作交的延长线于E． 则，，， ∴所求代数式的最小值是5； （3）解：如图4，作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 17．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 18．（25-26七年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 【答案】（1）75米； （2）①60米； ②不符合，理由：， ， 由①可知，米， ∴在中，， 米， 米， 米， ∴米， 显然，， ∴步道不符合要求． （3）5 【分析】本题考查三角形全等的应用，求最小距离，灵活构造几何图形，借助三角形全等、勾股定理是正确解决本题的关键． （1）根据题意，证明，即可得出结论； （2）①延长至Q，使米，连接．过Q作交AN的延长线于H，过P作于G，当A、Q、E三点共线时有最小值，利用勾股定理即可求出； ②由①可知，米，用勾股定理计算出米，，即可判断步道不符合要求； （3）将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造对应的几何图形即可求出代数式的最小值． 【详解】解：（1）由题可知，，， ， 又∵P、B、D三点在同一条直线上， ， 又米， ， 米 （2）①米 如图3，延长至Q，使米，连接． 过Q作交AN的延长线于H，过P作于G， ∵，即垂直平分， ， ， 当A、Q、E三点共线时有最小值， 即米 ∵， 即， ∴四边形和四边形均为长方形， 米，， ∴米 ∴在中，即米， 米， ②略 （3）由（2）同理可得，， 的最小值为5． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 19．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图， 中， ，，点 在 上，且，将 沿折叠得到，连接，求 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，作于，证明是等边三角形，得出，由折叠的性质可得：，，求出，再由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再求出，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，已知在中，，点D，E分别在边上，连结．将沿翻折，将沿翻折，翻折后，点B，C分别落在点处，且边与在同一直线上，连结． (1)求证：是直角三角形； (2)当为何值时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1) 证明：根据题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)或 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再根据平角的性质可得，从而推算出，最终得到； （2）根据和两种情况展开讨论，当，设可得，折叠的性质得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当，可得是的中点，设设，则，可得，根据折叠的性质得，建立方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：当时，设，则， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴是的中点， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当或时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】此题考查了三角形折叠问题，等腰三角形的性质，解一元一次方程，正确理解三角形的折叠问题及等腰三角形的性质是解题的关键． 21．（25-26八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的D点处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)若，，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，根据勾股定理可得； （3）设，则，根据勾股定理可得，即，求得，即可得出． 【详解】（1）由折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； （3）结合（2），设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得 ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 22．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图①，现有一张三角形纸片，沿边上的高所在的直线翻折，使得点与边上的点重合． (1)填空：是___________三角形； (2)若，求边上的高的长； (3)如图②，若，写出之间的数量关系___________． 【答案】(1)等腰 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠得到，所以是等腰三角形； （2）设，利用勾股定理得到方程解得：，在中，由勾股定理即可解答； （3）由是等腰三角形，又，得到是等腰直角三角形；又是边上的高，所以与都是等腰直角三角形，即可得到．由，即可解答． 【详解】（1）解：∵三角形纸片，沿边上的高所在的直线翻折，使得点与边上的点重合， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：， 在中，由勾股定理得：． （3）解：由（1）得：是等腰三角形， 又， ∴是等腰直角三角形 又是边上的高， ∴，， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，即． ∵， ∴． 23．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，点为边上的一点，，，． (1)试说明； (2)求的长； (3)直线上是否存在一点，使为等腰三角形．若存在，请直接写出此时线段的长度；若不存在，请说明理由； (4)如图1，动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，设运动时间为秒．现把沿着直线翻折，请直接写出当为何值时，点翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1) 证明：， 根据勾股定理的逆定理可得：为直角三角形，且， (2)10 (3)存在，或4或6或16 (4)或 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理即可解答； （3）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点在线段上，且时，根据可得答案；当点在延长线上，且时，根据可得答案；当时，设，则，根据勾股定理可得答案； （4）当点在线段上时，设，则，在中，根据勾股定理可得，进而得出答案； 当点在延长线上时：设，则，在中，根据勾股定理可得，进而得出答案. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得： ， 点为边上的一点， 为直角三角形， 在中，根据勾股定理可得： （3）①当时： 为中点， ②当点在线段上，且时： ③当点在延长线上，且时： ； ④当时： 在左侧，设，则， 在中，根据勾股定理可得： 解得：，   综上所述，线段的长度为或4或6或16． （4）①当点在线段上时： 设，则， 在中，根据勾股定理可得： 解得， ②当点在延长线上时：设，则， 在中，根据勾股定理可得： 解得：， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论，不能丢解． 24．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【操作】（1）将纸片沿折叠，使点刚好落在边上的处，展开如图．若，则________； 【思考】（2）如图，作，垂足为，且，求边的长； 【延伸】（3）如图，设为上一点（与、）不重合，是上一个动点，连接、． ①试说明：与大小关系； ②若点是的中点，且．求长． 【答案】（1）； （2）； （3）①；②． 【分析】（1）根据折叠的性质及三角形的外角性质求解即可； （2）如图，作，垂足为，由题意得，平分，，根据角平分线的性质得，进而根据面积为构造方程求解即可； （3）①根据全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系求解即可； ②连接，证是等边三角形，得，进而得，，最后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作，垂足为， 由题意得，平分，， ∴， ∵， ∴， 解得，． （3）① 连接， 由题意可知， 在和中 ， ∴（）， ∴， ∴； ②连接， 由①得， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的外角性质，三角形的三边关系，熟练掌握等边三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 25．（25-26八年级上·甘肃兰州·阶段检测）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为多少？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设，则，再根据翻折变换的性质勾股定理列出方程求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即，解得：． ∴的长为6． 故答案为：6． 26．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 【答案】10厘米 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意可得，厘米，，由折叠的性质可得厘米，，利用勾股定理求出的长，设厘米，则厘米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，厘米，， 厘米， 厘米， 由折叠知厘米，， 在中，由勾股定理得厘米 设厘米，则厘米， 在中，由勾股定理得 ， 解得， 的长为10厘米． 27．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图1，将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处． (1)试判断线段与的关系是_________； (2)若，，求的长； (3)如图2，取的中点，连接，，若，求证：． 【答案】(1)垂直平分 (2) (3) 证明：设，由折叠的性质可得， ∴，， 又点是的中点， ∴， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ∴． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，从而得出，，即可得解； （2）由矩形的性质可得，由折叠得，，由勾股定理可得，得出，再由勾股定理计算即可得解； （3）设，由折叠的性质可得，由全等三角形的性质可得，，，结合题意可得，求出，结合平行线的性质可得，，由等角对等边可得，从而得出，求出，，即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分． 理由如下： 将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处， ∴， ，， 垂直平分． （2）解：四边形是长方形，， ∴， 由折叠得，， 又∵， 在中，， ∴， ，， ， ； （3）略 28．（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，将长方形对折，使得边、边重合，折痕与边、边交于点、点，，，点是边上一点，将沿着折叠得到，线段、线段分别交边于点、点． (1)当重合时，线段的长是多少？ (2)当点与点重合时，点是边上一点，将沿着线段折叠，使得点落在边上的点，线段的长是多少？ 【答案】(1)的长为； (2)． 【分析】（）由折叠可知，，由勾股定理得，则，设，则，最后由勾股定理即可求解； （）由折叠可知，，，结合，可判定，设设，则，由勾股定理有得解得，在中，由勾股定理可得，最后 即可； 本题考查了勾股定理，轴对称的性质，掌握知识点的应用及结合题意，画出正确的图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 由折叠可知：，， 由勾股定理可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理有：， ∴， 解得：， ∴， ∴当重合时，的长为； （2）解：如图， ∵将沿着线段折叠，使得点落在边上的点， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得：，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中, 由勾股定理有：， ∴， 解得：， 在中，由勾股定理可得， ∴． 29．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）综合与实践 数学兴趣小组用一张长为5，宽为4的长方形纸片（如图1）进行探究活动． 动手操作 如图2，嘉嘉沿虚线裁剪，将该纸片剪成①②③三块，并按图3拼成与原纸片面积相等的正方形．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） （1）根据拼接前后面积不变，可知正方形的面积为__________，进而可得线段的长为__________； 深入探究 （2）观察图2和图3中的③号图形，可知__________（填“”“”或“”），求出线段的长； 创新实践 （3）淇淇说：“将图1的纸片沿着，的中点G，H剪成四块，也可以拼成正方形．”请根据淇淇的说法设计一种方案，在图4上用虚线画出裁剪线并标注裁剪线的长度． 【答案】（1）20；； （2）；； （3）如图所示：裁剪线为； 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据拼接前后面积不变，得正方形的面积等于长方形的面积，求出长方形面积可得结论； （2）根据勾股定理求解即可； （3）在上截取，顺次连接可得裁剪线，再根据所得图形拼接成正方形即可． 【详解】解：（1）∵长方形的面积为， ∴正方形的面积为20， ∴， 故答案为：20；； （2）观察图2和图3中的③号图形，可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （3）略 30．（24-25八年级下·福建厦门·期末）操作与探究：两个边长均为1的正方形纸板按图-1所示位置放置，嘉嘉沿两条虚线将纸板剪开，发现可以拼成一个大正方形，如图-2所示．    变式1：边长为2的正方形纸板与边长为1的正方形纸板按图-3所示位置放置，淇淇沿虚线和另一条虚线将纸板剪开，发现也可以拼成一个大正方形．请在图-3中画出另一条虚线，并直接写出的长． 变式2：边长为3的正方形纸板与边长为1的正方形纸板按图-4所示位置放置，亮亮沿两条虚线将纸板剪开，发现也可以拼成一个大正方形．请在图-4中画出这两条虚线，若其中一条虚线把正方形纸板分割成两块纸板，求较小块纸板的面积． （注：纸板不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）    【答案】 变式1：    如图所示，另一条虚线为，； 变式2：    较小块纸板的面积为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．变式1，正确理解题意，根据正方形的性质即可解答；变式2，根据正方形的性质，证明，得出线段的比例关系，进而得，求出即可解答． 【详解】变式1： ，， 拼成的大正方形面积为， 拼成的大正方形边长为， 如图所示，另一条虚线为，； 变式2： ，， 拼成的大正方形面积为， 拼成的大正方形边长为， 如图所示，两条虚线为和， ，， ， ， ， 设交于点，由，得， 正方形纸板的边长为1，即， ，即， ， ， ，即较小块纸板的面积为． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 31．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 【答案】 证明：∵于点于点， ∴ ∵是的中线， ∴， 又∵ ∴在中， 即． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据是的中线，得出，进而根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】略 32．（25-26八年级下·河南郑州·期中）在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1) 解：，，之间的数量关系是：，理由如下： 当时，则， ，， 和均为等腰直角三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即； (2) 【分析】（1）依题意得和均为等腰直角三角形，则，证和全等得，，则，然后在中由勾股定理可得出，，之间的数量关系； （2）连接，，过断作交的延长线于，依题意得和均为等边三角形，则，同理可证和全等得，，则，进而得，，由此可求出，，设，则，，根据等边三角形性质得是线段的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理求出即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，过作交的延长线于，如下图所示： 当时，， ，， 和均为等边三角形， ， 同理可证：， ，， ， ， ， 在中，，， ，由勾股定理得：， 设，则， ，， ， ， 为等边三角形，， 是线段的垂直平分线， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 33．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 34．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）背景材料：在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，这种模型称为“手拉手”模型．现规定：将两个等腰三角形的底角顶点连接起来的两条线段叫做“兄弟”线段． 如图1，两个等边三角形和．此时线段和线段就是一对“兄弟”线段． (1)［材料理解］请判断图1中“兄弟”线段和的大小关系，并说明理由； (2)［深入探究］如图2，点D是外一点，且，请证明； (3)［延伸应用］如图3，若，，．试求的度数． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴； (3) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据，推出，勾股定理，得到，再进行等线段替换即可； （3）过点作，设，利用勾股定理求出，进而得到为等腰直角三角形，求出，利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵，， ∴， 过点作，如图，设，则：， 在中，， 在 中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．掌握手拉手模型，是解题的关键． 35．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）已知：在中，，点D在直线上，连接，在的右侧作． (1)如图1， ①点D在边上，线段和线段数量关系是___________，位置关系是___________； ②直接写出线段之间的数量关系___________； (2)如图2，点D在B右侧．之间的数量关系还成立吗？说明理由； (3)在（2）的条件下，若．求出的长． 【答案】(1)①BE＝AD，BE⊥AD；②AD2+BD2＝DE2 (2)AD2+BD2＝DE2，理由见解析 (3) 【分析】（1）①根据已知条件，证明即可求解；②在，根据勾股定理，结合即可求解； （2）连接BE，根据（1）的方法证明即可求解； （3）根据题意勾股定理求得，进而可得，在Rt△BDE中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∴∠DBE＝90°， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+BD2＝DE2， ∴AD2+BD2＝DE2， 故答案为：①BE＝AD，BE⊥AD；②AD2+BD2＝DE2； （2）（1）的结论仍成立，理由如下， 如图2，连接BE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∴∠DBE＝90°， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+BD2＝DE2， ∴AD2+BD2＝DE2， （3）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， ∴， ∴， ∴， 在Rt△BDE中，由勾股定理得： ∴DE＝＝＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 36．（25-26八年级下·广东韶关·期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)尺规作图：以已知线段为对角线作一个垂美四边形，使其对角线交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知四边形是垂美四边形，且，则它的面积为________； (3)如图，四边形是垂美四边形，，探究a、b、c、d的数量关系； (4)如图，已知D、E分别是中边的中点，，请运用上题的结论，求的长． 【答案】(1) 解：如图1： (2) (3) (4) 【分析】（1）分别以点E、点G为圆心画弧，交于EG上方于点F，交EG下方于点G，连接EF、EH、GF、GH，四边形EFGH即为所求； （2）将四边形ABCD分为上下两个三角形，分别求出两个三角形的面积再相加即可； （3）将四边形ABCD分为四个小的直角三角形，再根据勾股定理分别用OA、OB、OC、OD表示出、、、即可知道a、b、c、d之间的数量关系； （4）连接DE，根据题意可得四边形AEDB是垂美四边形，结合（3）的结论即可求出AB长度． 【详解】（1）略 （2）解：如图2， Rt△ACD中，， Rt△ABC中，，． （3）∵， ∴中，； 中，， 中，， 中，， ∴， ； ∴； （4）解：连接，如图3， ∵D、E分别是中边的中点， ∴； ∵， ∴四边形是垂美四边形； ∴； 即， 得． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练地掌握勾股定理，读懂题目的新定义，巧妙地运用等量代换得出结论是解题的关键． 【经典例题七 勾股定理中的旋转模型】 37．（24-25八年级上·重庆开州·阶段检测）如图1，是等腰直角三角形，其中，点D是边上一点，以为边向外作正方形，连接，将正方形绕点C顺时针旋转，如图2所示． (1)旋转过程中线段与之间存在怎样的关系，请说明理由． (2)当且时，求的面积． 【答案】(1) 解：，，理由如下； 由题意知，， ∵正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， 如图1，延长交于， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，则，，如图1，延长交于，可求，进而可得； （2）证明，则，如图2，作的延长线于，由勾股定理得，，可求，根据，计算求解，进而可得的面积． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，，即， 又∵，， ∴， ∴， 如图2，作的延长线于， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理是解题的关键． 38．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边AB的中点重合． （1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（）的面积： （2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将绕点D旋转，使交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求DH的长． 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）先求出∠B=∠DCB，再证明DG∥BC，然后证出DG⊥AC，G是AC的中点，即可求出重叠部分（△DCG）的面积； （2）先证明AG=GH，再求出AD，然后利用勾股定理建立方程求出AH，即可得出结论． 【详解】（1）∵，D是AB的中点， ∴． ∴∠B=∠DCB． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴G是AC的中点． ∴，． ∴． （2）如图2所示： ∵， ∴． ∵，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点G为AH的中点； 在中，， ∵D是AB中点， ∴，   连接BH． ∵DH垂直平分AB， ∴． 设，则，， 由勾股定理得：， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理和三角形面积的计算的综合应用；解决问题的关键是利用勾股定理建立方程求出AH． 39．（25-26八年级下·云南文山·期末）已知和都是等边三角形． (1)如图1，点D在边上，连接、．求证：； (2)如图2，将绕点B顺时针旋转，当点E落在的平分线上（在的内部），连接，求此时的度数； (3)如图3，F是的中点，若等边三角形的边长为6，等边三角形的边长为4，绕点B旋转过程中是否存在某一时刻，使得线段的长度最小？若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：等边三角形， ，． 是等边三角形， ， 在和中， (2) (3) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出，，，即可由得出结论． （2）先证明，得到．再由角平分线定义，求得，即可求解． （3）连接，当点D落在线段上时，线段的长度最小．根据等边三角形的性质与勾股定理求出，即可由求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵等边三角形， ，． ∵是等边三角形， ， 即 在和中， ∵ ． ． ∵，且是的平分线， （3）解：存在．连接，当点D落在线段上时，线段的长度最小．如图， ∵F是的中点，且是边长为6的等边三角形， ，，． 在中，根据勾股定理得 ∵是边长为4的等边三角形， 的最小值为 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，两点之间线段最短，勾股定理．根据两点之间线段最短得到当点D落在线段上时，线段的长度最小是银题的关键． 40．（25-26八年级上·重庆大渡口·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，，连接并延长与交与点，连接. (1)如图1，求证： (2)如图2，绕着顶点旋转，当、、三点共线时，取的中点，连接，求证：； (3)如图3，若，，连接，当运动到使得时，求的面积. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （2）延长至点H使，连接，，根据全等三角形的性质得出，利用平行四边形的判定和性质得出，，最后利用全等三角形的判定和性质及勾股定理即可证明； （3）作 平行于交于点J，连接，根据平行线的性质得出，，再由等腰三角形及等边三角形的判定得出是等腰三角形，即，是等边三角形，过J作的垂线交于点K，再利用含30度角的三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∴， ， 即， 延长至点H使，连接，， ∵， ∴四边形是平行四边形，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即 ； （3）作 平行于交于点J，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 过J作的垂线交于点K， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰三角形及等边三角形的判定和性质，理解题意，作出相应的辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 41．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）【操作发现】 （1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点．在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，． ①求的度数； ②与相等吗？请说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点．在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，，请直接写出探究结果： ①的度数； ②线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）① ；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等等： （1）①由等边三角形的性质得出，求出，证明得出，求出； ②证出，由证明，得出； （2）①由等腰直角三角形的性质得出、，证出，由证明得出、，求出； ②证出，由证明，得出，由勾股定理得到，则。 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： ， ， ， 在和中， ． （2）①∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ②， ， ， 在和中， ． ∵ ∴， 在中，由勾股定理得 ． ∴． 42．（25-26八年级上·江西赣州·期末）（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：    ①的度数为 ； ②线段、之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．    （3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    【答案】（1）①60°；②；（2）；（3）的度数是或 【分析】（1）①由条件易证，从而得到：．由点，，在同一直线上和等边三角形性质可求出，从而可以求出的度数． ②由①得，即可得出． （2）仿照（1）中的解法可求出的度数，证出；由为等腰直角三角形可求，从而由勾股定理得出结论． （3）分两种情况求解，由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知∠． 【详解】解：（1）①如图，    和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ∴． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为． ②≌， ． 故答案为． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，，， ∴． （3）如图，由（1）知，    ， ， ， 如图，同理求得    ∴， ， 的度数是或 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出是解本题的关键． ．（26-27八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由折叠的性质可得，，，则，因此的周长等同于，当、、三点共线时，取得最小值．设，则，由勾股定理的逆定理可得，从而得到，在中，使用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 3．（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵ ，， ∴； 如图②， ∵ ，， ∴； 如图③， ∵ ，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 5．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、于点E、F，给出以下结论：①；②和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到的；③是等腰直角三角形；④．  其中始终成立的有（   ）    A．②③④ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵中，，，点P是中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∵、不是定值， ∴不是定值， ∵为定值， ∴不一定与相等，故①错误； ②∵，，， ∴和可以分别看作由和绕点P顺时针方向旋转得到，故②正确； ③∵，， ∴是等腰直角三角形，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上分析可知，②③④正确，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形面积的计算，解题的关键是证明，． 6．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是________． 【答案】 【分析】首先将圆柱的侧面展开，得到矩形，根据已知条件即可得到矩形的长和宽，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，将圆柱的侧面展开，得到矩形， ∵圆柱的底面周长是，高是， ∴， 在中， ， ∴从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是． 7．（25-26八年级上·福建宁德·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 8．（25-26八年级上·广东梅州·期中）如图，等腰直角和等腰直角，且，点N，点M分别为，的中点，，，绕点A旋转过程中，的最小值为 __．    【答案】 【分析】当点M在线段上时，最小，求出、的长度即可． 【详解】解：连接、，   ，，， ∴，， ∵点N，点M分别为，的中点， ∴，， ， 当点M在线段上时，最小， 此时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理，解题关键是确定点M在线段上时，最小，并利用勾股定理求值． 9．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，在三角形纸片（）中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图）． （1）若，则________°； （2）若，，则的长为________． 【答案】 【分析】（1）先求解，再结合折叠的性质可得答案． （2）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ∴，， ∴． （2），，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ， ， 折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是， ，， ， ， ∴， ， ， ， ． 10．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为_____． 【答案】10 【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形，中，，，， 则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 11．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知和中，，，，连接．交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，，求证 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据证明即可． （2）设交于点．利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）连接，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】（1）解：证明：， ， ，， ． （2）设交于点． ， ， ，， ， ， ． （3）证明：连接． ， ，， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．    (1)判断与间的数量关系，并说明理由； (2)直接写出线段、、间满足的数量关系． 【答案】(1) 理由如下， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ， 如图所示，连接， 由（1）可得 ∵ ∴ ∴，， ∵ ∴ ∵ 在四边形中， ∴是直角三角形， ∴ 又是等腰直角三角形， ∴，即, 又∵， ∴ 【分析】（1）根据已知条件得出，即，即可得出； （2）证明，得出，，进而根据四边形内角和为，求得，进而勾股定理即可得证． 【详解】（1） 略 （2） 略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ (1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 【答案】(1)； (2) 证明：图②的面积， 又图②的面积， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用． （1）运用勾股定理可得的值； （2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解； （3）根据折叠，长方形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理得，， 故答案为：； （2）略 （3）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 14．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 15．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $