专题5.6 特殊平行四边形常考几何模型专训（10大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形），通过10大题型（性质判定、证明、折叠、动点、最值等）与15道拓展题，构建从基础到综合的系统性训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质判定|3题型/3典例|矩形、菱形、正方形的性质应用与判定证明|从定义出发，通过边、角、对角线关系推导特殊四边形判定定理| |综合应用|7题型/7典例|折叠、动点、最值等动态问题及综合证明|结合图形变换（折叠、平移、旋转），运用转化思想解决线段关系、面积计算等问题|

专题5.6 特殊平行四边形常考几何模型专训 （10大题型+15道拓展培优题） 题型一 根据矩形的性质和判定解决问题 题型二 证明四边形是矩形 题型三 证明四边形是菱形 题型四 证明四边形是正方形 题型五 折叠问题 题型六 根据菱形的性质和判定解决问题 题型七 根据正方形的性质和判定解决问题 题型八 平行四边形的动点问题 题型九 四边形中的线段最值问题 题型十 四边形其他综合问题 【经典例题一 根据矩形的性质和判定解决问题】 【例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，掌握矩形的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键； （1）由矩形的性质、平分可知的大小，由直角三角形的性质即可求出的度数； （2）由矩形的性质及可得是等边三角形，等量代换即可证得． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 平分， ， ， ； （2）证明：四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ． 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图1，为水平线，于点E，于点A，于点D．若，，． (1)求的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，，将沿着方向平移到，此时，判断平移后的点会与点G重合吗？请说明理由． 【答案】(1)13.6 (2)不会，见解析 【分析】（1）先证明四边形是矩形，则，然后对运用勾股定理求解即可； （2）先在求出，则，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴在中，， ∴； （2）解：不会，理由如下： 当时，在中， ∴ ∴ ∴平移后的点不会与点G重合． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在中，，，点D是射线CB上的动点（点D不与点B、C重合），连接AD，，且，连接DE，过点D作，且，连接CF． (1)如图1，当点D是BC中点时，DE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图2，当点D是线段BC上任意一点时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，时，请直接写出线段DE的长． 【答案】(1)； (2)成立，证明见解析 (3)5或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝CD，证出CF＝CD，DE＝AD，∠ADE＝45°，则可得出结论； （2）证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，由直角三角形的性质及平行线的判定可证出结论； （3）分类讨论，当D在线段BC上时，当D在CB的延长线上时，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）解：数量关系：； 位置关系：； ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∵DF⊥BD，DF＝BD， ∴∠FDC＝90°，DF＝CD， ∴CF＝ CD， ∵EA⊥AD，AE＝AD， ∴DE＝AD，∠ADE＝45°， ∴CF＝DE， ∵CD＝DF，∠CDF＝90°， ∴∠F＝45°， ∴∠ADE＝∠F， ∴DECF． 故答案为：DE＝CF，DECF； （2）成立 证明：如图2，连接CE． ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴，； （3）∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°， ∴BC＝AB＝＝7， 如图2，当D在线段BC上时， ∵BD＝DF＝3，DF⊥BC， ∴DC＝BC﹣BD＝7﹣3＝4， ∴CF＝＝＝5， 由（2）可知，DE＝CF＝5． 如图3，当D在CB的延长线上时，同理BC＝7，DB＝DF＝3， ∴DC＝BC+DB＝10， ∴CF＝＝＝， 连接CE，同理可证四边形DCEF为平行四边形， ∵∠FDC＝90°， ∴四边形DCEF为矩形， ∴DE＝CF＝． 综上所述，DE的长为或5． 【点睛】本题是三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，平行线的判定，分类讨论思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A，点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，取线段的中点C，连接．已知，，点D在y轴负半轴上，． (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，点Q在y轴负半轴上且在点D下方，以，为邻边作矩形，点E在线段上（点E不与点P，点Q重合），连接交于点M，若，设，，求d与t的关系式（用含t的式子表示d，不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，的延长线交x轴负半轴于点R，点K在的延长线上，连接，，过点D作交的延长线于点J．若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)20 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理即可求得，从而得到点A的坐标； （2）延长和相交于点F，根据（1）中所求可得，易证是等腰直角三角形，得到，然后根据矩形的性质，易证，得到，最后利用线段的和差即可求得结论； （3）设的延长线交y轴负半轴于点G，交于点H，先证明，再证明，从而得到，，然后根据矩形的性质和线段和差得到，从而证明、都是等腰直角三角形，结合，通过角度的和差以及三角形内角和定理推导出、，进而由等角对等边和线段的和差求得，最后在中利用勾股定理建立方程求得，从而求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：如图2，延长和相交于点F， 由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵设，，则， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：如图3，设的延长线交y轴负半轴于点G，交于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵矩形， ∴，，， ∴，， 由（2）可知，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 【经典例题二 证明四边形是矩形】 【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，为中点，求的长； (3)若，现有以下个结论：，，．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则四边形是平行四边形，，然后通过矩形的判定方法即可求证； （）由四边形是矩形，，即，通过勾股定理得，因为为中点，所以，再根据即可求出的长； （）连接，证明，则，再证明，得到，，，设，则有，然后通过三角形内角和定理得出，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：， 证明：如图，连接， 由（）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得，．由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由全等三角形的性质可得，从而得出，再结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，即可得证； （2）由折叠的性质结合平行线的性质可得，由同角的余角相等可得，从而证明出，证明得出，即可得证． 【详解】（1）证明：矩形， ∴，． ∴， ∵沿直线翻折 ． ． ， ∴． ∵， ∴， ∴． ． ． 在中，． 在中，． 又， ， ． ． （2）证明：如图： 沿直线翻折， ． ， ， ， ，， ， ∴． ． 又． ． ， ，． 又， ． ， ∴四边形是平行四边形． 平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，连接、交于点，点、是对角线上的两点，且，点在边上，连接并延长交于点．求证：． (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，且，．过作，垂足为，是的中点（），连接、．若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3)的长为． 【分析】（1）由与的位置关系和数量关系可证得四边形是平行四边形，结合与的位置关系，即可证得结论； （2）由平行线的性质，结合矩形的性质，证明，可得，，证明，可得，即可证得结论； （3）延长，交于点，取的中点记为点，连接，，，设，则，和为等腰直角三角形，根据勾股定理，解直角三角形，可得，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 延长，交于点，取的中点记为点，连接， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得，或（当时，，不符合题意，舍去）， ∴． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，点M在的延长线上，于N，交于点E，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)试确定的关系，并说明理由； (3)作于点F，若，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)且；见解析 (3) 【分析】（1）证明，可得出四边形是矩形； （2）先证明，可得到，再由，得出，从而得出，可得出结论； （3）过点N作，并交于点P，设，则，可得出，，得出由勾股定理可得，列出方程，求得，最后由面积法求得结果． 【详解】（1）证明：，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D， ， 四边形是矩形； （2）解：，，理由如下： 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点N作，并交于点P， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ， ， ， 中，， ， （负值舍去）， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【经典例题三 证明四边形是菱形】 【例3】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，．点E，点F分别在边上，连接，交于点G，且满足． (1)若，，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由菱形的性质得到，再由平行线的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）根据四边形内角和定理得到，则可证明，再由菱形的性质和平行线的性质证明，则可证明； （3）延长到H，使得，连接，证明，得到，则可证明，得到；过点C作于T，则，由勾股定理得，，则，再根据线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点C作于T， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴ ． 1．（2026·八年级下 云南昆明）已知四边形为矩形，点F为上一点，过点E作，连接，且平分， (1)求证：四边形为菱形； (2)已知矩形的周长为22，四边形的周长为20，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形即可； （2）根据菱形的性质得出，根据矩形的周长为22，得出，从而求出，根据勾股定理得出，根据完全平方公式变形求出，最后根据三角形面积公式得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形的周长为20， ∴， ∵矩形的周长为22， ∴， ∴， ∴， 即， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图1，在正方形网格中，四边形的顶点，，，均在格点上．请仅用无刻度的直尺在上画出点，使得； (2)如图2，在菱形中，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺，画出矩形，使得点、、分别在边、、上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取的垂直平分线与的交点，即可求解； （2）连接，交于点，连接，延长交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则是的中点，连接并延长交于点，连接，，，，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图所示， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∴； （2）解：如图，四边形即为所求 3．（25-26八年级下·山东日照·期中）综合与探究 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的几何变换”为主题开展探究活动，如图1，在矩形中，，． 操作发现： (1)如图2，连接，将沿射线方向平移得到，点A，C，D的对应点分别是，，．当点A移动到边的中点上时，连接，，，判断四边形的形状，并说明理由． 实践探究：在（1）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）． (2)如图3，与交于点M，当落在边所在直线上时，求的长． (3)在旋转过程中，的边与BC交于点M，与BC交于点N（点N不与B，C重合），当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) (3)或3 【分析】（1）由直角三角形斜边中线可得由平移可得，，则，故四边形是平行四边形，再由邻边相等即可证明； （2）取的中点，连接，则，由三角形中位线定理可得，，然后证明，设，则，然后在中，由勾股定理建立方程即可； （3）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴ ∵点是的中点， ∴ 由平移可得， ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：取的中点，连接，则 ∵点为的中点， ∴，， ∴ 由题意得，， ∵矩形中， ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，即； （3）解：当时，此时点与点重合，不符合题意，舍去； 当时，连接，如图： ∴ ∵ ∴， ∵，点为的中点， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（2）可得， ∴ ∴ ∴ ∴； 当时，此时点重合，如图，取的中点，连接， 同理， 设，则 在中，由勾股定理得， ∴ 解得， ∴ 综上：当为等腰三角形时，请直接写出的长为或3． 【经典例题四 证明四边形是正方形】 【例4】（24-25八年级下·安徽宣城·阶段测试）在平行四边形中，点、分别在边、上，点在边上，，，，，． (1)求证：四边形是正方形． (2)求的长． (3)为上一点，于点，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形是菱形，由勾股定理逆定理得，可证四边形是正方形； （2）证明得，然后根据勾股定理求解即可； （3）作于点M，证明得，然后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点M， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，直线的函数解析式为．四边形是正方形，直线交轴于点，点在轴上，过点作且交轴于点．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据正方形的性质与一次函数的性质确定的坐标，证明，由全等三角形的性质得到垂直平分，结合垂直平分线与平行线的性质推理解答； 【详解】证明：∵直线的函数解析式为， 令，则， 即， ∵四边形是正方形， ， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， 在和中 ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）综合探究 (1)如图①，将线段平移至，连接，，判断四边形的形状并说明理由； (2)如图②，将线段绕点O（不在直线上）进行一次旋转得到，连接，，得到四边形． ①若四边形为菱形，作出一个满足条件的点O及相应的四边形（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） ②四边形的形状可以是______（填写所有正确选项的序号）． （a）矩形            （b）正方形            （c）等腰梯形 【答案】(1)四边形是平行四边形．见解析 (2)①见解析；②（a）（b）（c） 【分析】（1）根据平移得到，，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形； （2）①分别以、为圆心，为半径交于点，再分别以、为圆心，为半径交于点，由作图可得，即四边形为菱形，连接菱形对角线交点即为； ②调整位置和旋转角度，分别画出图形即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由见解析 ∵线段平移至， ∴，， ∴由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形； （2）①满足条件的点O及相应的菱形如图所示： ②如图，四边形的形状可以是（a）矩形、（b）正方形、（c）等腰梯形， 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）“综合与实践”课上，老师将一张长为4，宽为3的矩形卡纸沿一条对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和（如图①），然后把这两张全等的三角形纸片完全重合叠放，其中点与点重合（标记为点），在点处订个钉子，将逆时针旋转．在旋转的过程中，发现了以下问题，请你帮忙解答： (1)如图②，若旋转的角度为时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图③，若旋转的角度为锐角，的延长线交于，交于，若为等腰三角形，求的长； (3)将旋转一周，点为的中点，点为的中点，请直接写出的最大值是多少． 【答案】(1)四边形为正方形，理由见详解 (2)或1． (3) 【分析】(1)由旋转的性质可得，，由正方形的判定可求解； (2)分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解， (3)由勾股定理可求的长，则点M在以B为圆心，为半径的圆上运动，即可求解． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下∶ ∵旋转角度为， ∴， ， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． （2）解：依题意得，， ∴， ①若，则， 由旋转的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②若，则 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴ ∴， ③若，则， 同理①可得旋转角 ，不为锐角不合题意． 综上所述，若为等腰三角形，的长为或1． （3）解：如图，连接，， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴，， ∴， ∴点M在以B为圆心，为半径的圆上运动，当点M在的延长线上时，有最大值为， ∴的最大值是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【经典例题五 折叠问题】 【例5】（25-26八年级下·广东清远·月考）（1）填空：如图①，若，则___________；若，则___________． （2）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．这是一种重要的数学方法．美国第20任总统詹姆斯结合如图②所示的图形用等面积法验证了勾股定理，其中两个相同的直角三角形边在同一条直线上． ①请用两种不同的方式表示四边形的面积： 方式一：___________； 方式二：___________； ②请利用几何图形的面积关系，说明． （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 【答案】（1），7；（2）①；；②见详解；（3）3 【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）运用勾股定理求解即可； （2），又，由此即可求解； （3）根据折叠，矩形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理得，， ， 故答案为：，7． （2）①方式一：； 方式二：； ②根据①可得， ， ． （3）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ， 在 中，，即， 解得：， ， ， 设，则， ， 在 中，， 即， 解得：， ． 1．（25-26八年级下·山西大同·期中）综合与实践： 数学课学习了特殊四边形之后，勤学小组的同学展开了对矩形纸片的裁剪与折叠实践活动，如图1． 实践操作： 第一步：如图2，折叠矩形纸片，使得点D的对应点B落在线段上，折痕为，然后把纸片展平，再沿将纸片剪开，得到四边形和四边形． 第二步：如图3，将四边形沿折叠得到，点E在线段上，点A的对应点为点F，连接． 问题解决： (1)图2中的四边形的形状是______； (2)当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出的度数． 【答案】(1)正方形 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用折叠的性质即可求得四边形是正方形； （2）连接，证明为等边三角形，得到点在线段的垂直平分线上，得到点也在线段的垂直平分线上，即可证明； （3）利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质得， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质得， ∴四边形是正方形； （2）解：；理由如下： 连接， 由折叠知，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵正方形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴； （3）解：∵正方形，等边， ∴，， ∴， 同理， ∴． 2．（25-26八年级下·广西贵港·期中）综合与实践：矩形中的折叠探究 【活动背景】 数学活动课上，同学们以矩形纸片为载体开展折纸探究，在动手操作中感悟图形性质，发展几何直观与推理能力． 【动手操作】 如图1，将矩形纸片对折，与重合，展平后得到折痕，再次折叠纸片使点B落在上．并使折痕经过点C，得到折痕，点B、F的对应点分别为、，展平纸片，连接、、． 【观察猜想】 (1)观察的边与角，猜想的形状为：_____； (2)观察图中，直接写出它们的数量关系：_____； (3)【推理论证】 证明（1）中形状的猜想，并以此证明（2）中的数量关系； (4)【拓展应用】 如图2，矩形纸片中，，点是边上的任意点，折叠纸片，使点落在边的点处，并且折痕经过点，交于点，把纸片展平，若，试求线段的取值范围． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）（2）根据题意猜想结论即可； （3）由折叠的性质得到，则可证明是等边三角形得到，据此可求出，再证明，得到，据此可证明； （4）求出和点T与点B重合时的长即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可猜想是等边三角形； （2）解： 根据题意可猜想； （3）证明：由折叠的性质可得， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图3所示，当时，则， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图4所示，当点T与点B重合时，此时， ∴当时，． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，是正方形内一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，与的平分线相交于． (1)当四边形为菱形时，填空：______； (2)试求的度数； (3)如图，连接，交于，连接，当三点共线时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）根据四边形为菱形，四边形是正方形，得，，，证明是等边三角形，则，通过等边对等角及角度和差即可求解； （）由折叠性质得，则有，，设，则，通过角度和差及角平分线的定义即可求解； （）由折叠性质得，则有，，由四边形是正方形，则，，由，，得，由平分，可得，证明，，，通过全等三角形的性质和菱形的判定方法求解． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）∵将沿翻折，得到， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 由()得:， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【经典例题六 根据菱形的性质和判定解决问题】 【例6】（23-24八年级下·福建泉州·期末）（1）探究：如图1，在中，，线段是边上的中线． ①请通过测量，试猜想与的数量关系是__________； ②证明你的猜想； （2）应用（1）的结论解决问题：如图2，在菱形中，对角线和相交于点，，过点作直线，点在线段上且不与点重合，以为边作矩形，使得点在直线上（点不与点重合），连接，试求的度数． 【答案】（1）①；②见解析；（2）的度数为或 【分析】（1）①根据题意测量的长，猜想； ②延长到点，使，连接，证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得证； （2）连接交于点，连结，可得四边形是菱形①当点在的同侧时，②当点在的异侧时，结合图形，即可求解． 【详解】解：（1）①测量后猜测， 故答案为：． ②证明：延长到点，使，连接 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． （2）证明：连接交于点，连结 四边形是矩形， ， 四边形是菱形 ，即， 直线， ， ， ， ， ， ， ， ， ①当点在的同侧时， ②当点在的异侧时， 综上所述，的度数为或 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先推出是的平分线，进而得出，推出，再根据即可证明结论； （）根据折叠的性质，结合推出四边形是菱形，结合得出，然后根据勾股定理求出与的数量关系即可； （）根据菱形的性质，结合求出及的数量关系，然后由折叠的性质求出和的数量关系，再通过勾股定理求出和的长度，最后由勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明: 由折叠性质可知， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据折叠的性质，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 连接交于点，如图， 根据菱形的性质，线段和互相垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理，，， ∴； （3）解：如图，连接交于点， 根据菱形的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得：， ∴为等腰直角三角形，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，，，， 在中，． 2．（23-24八年级下·上海·月考）如图，等边的边长是2，点P是边上的任意一点（不与点B点C重合），连接，将翻折，使顶点A与P重合，折痕分别交边于G、H，折痕交于． (1)当时，求证： (2)设，，求y关于x的函数关系式及定义域． (3)如图2在直线上找点D（点D在外），满足，连接，过点P作交直线于E，连接． ①求证：四边形是菱形， ②当四边形与重叠部分面积是时，求的值， 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，进而得到，根据等边对等角证明，即可证明结论； （2）如图所示，过点A作于K，根据等边三角形的性质和勾股定理得到，，则，则由勾股定理可得，即； （3）折叠的性质可得，，进而得到，证明，得到，由此即可证明四边形是菱形；②如图所示，设交于M，交于N，则四边形的面积即为四边形与重叠部分的面积，先证明是等边三角形，得到，进而证明是等边三角形，得到，再证明，得到，进而推出．根据等边三角形的性质和勾股定理得到，再由四边形与重叠部分面积是，得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： 如图所示，过点A作于K， ∵是边长为2厘米的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由折叠的性质可得，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②如图所示，设交于M，交于N，则四边形的面积即为四边形与重叠部分的面积， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 由（2）得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ． ∵四边形与重叠部分面积是， ∴， ∴， ∴， 解得或 ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，菱形的性质与判断，解一元二次方程等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当，即是中点时，、、在同一条直线上． 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，由旋转全等模型的构造证明全等是解题关键． （1）根据菱形性质，证明即可； （2）连接，证明即可； （3）当，即是中点时，、、在同一条直线上．将逆时针旋转到如图位置，先证明，再证明，从而可得，进而证明，，由即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵菱形与菱形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ∴， （2）连接，如解图（1） ∵菱形与菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）当，即是中点时，、、在同一条直线上． 证明：连接，将绕点C逆时针旋转到位置，连接、， ∵在菱形，，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∵由旋转可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∴， ∴、、在同一条直线上． 【经典例题七 根据正方形的性质和判定解决问题】 【例7】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形边长为，正方形边长为（），点在边上，在延长线上，连接，与交于点，连接，．    (1)若，，则_______； (2)求的面积（用，的代数式表示）； (3)如图，点为中点，连接、、，若，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的边长，确定的底和高，直接用三角形面积公式计算． （2）采用割补法，用的面积减去的面积，推导出的面积表达式． （3）先由已知的面积和长度，求出与的值，再利用中点性质和割补法，将的面积转化为正方形、三角形面积的和差形式，结合完全平方公式代入计算． 【详解】（1）解：∵正方形边长，正方形边长， ∴，，即，， ∴点到的距离为， ∴． （2）解：正方形边长为，正方形边长为， ，点到的距离为，点到的距离为， ，， ；    （3）解：，， ，，即，， 点为中点， ， ．    1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②128 【分析】（1）先推导出，然后根据角平分线的定义得到，结合三角形内角和定理，即可解答； （2）①过点A作于G，推导出，得到四边形为矩形，然后根据角平分线性质定理推导出，即可证得结论； ②由①得四边形为正方形，推导出，得到，同理可得，再根据勾股定理，得到，化简得，然后展开式子，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； （2）①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形为正方形 ②解：如图 由①得四边形为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在梯形，，，分别为，的中点，过点作垂线分别交及延长线于点，，设， (1)如图，连接， ①直接写出的长（用含的代数式表示）； ②若四边形为正方形，求的值； (2)如图，过点作垂线分别交，所在直线于点，，已知，若四边形为正方形，求的长； (3)如图，，嘉嘉发现可以借助（）中的方法画出正方形，使其可以由梯形剪拼得到，请你借助尺规帮助嘉嘉完成作图并直接写出满足条件的的长； (4)对于（）中的梯形，琪琪说：我可以将四边形裁成四块图形，无重叠、无缝隙地重新拼接成一个正方形．请你在图中画出琪琪的裁法． 【答案】(1)①② (2) (3)图见解析； (4)见解析 【分析】（）以坐标法解题，先建坐标系，利用等腰直角三角形和中点坐标公式表示梯形各点坐标，再根据正方形邻边相等列方程，求出的表达式和的值； （）通过构造垂线、利用中点性质与全等三角形，先推得，结合正方形的性质得到梯形高为；再由得，算出，最后用勾股定理求出； （）先作垂线构造正方形，由梯形中位线得边长为，再结合角的等腰直角三角形性质，用勾股定理算出； （）先通过计算验证梯形面积与正方形面积相等，再按步骤作两条垂线，沿、、裁剪，得到、、梯形、五边形，共四块，即可无重叠拼接为正方形；其中：，，为的中点. 【详解】（1）解：①建立平面直角坐标系，设，在轴，为轴， 由，， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∵是中点，由中点坐标公式得， 又，，故， ∵， ∴， ∵是中点， ∴的坐标为：，即， ∵和纵坐标相同， ∴； ②解：∵四边形四个角均为直角，为矩形，正方形需要邻边相等： 竖直边，水平边， 由，得， 解得：， ∴水平边， ∵需要，即， 得：， 故的值为； （2）解：过点作于点，过点作于点，则， ∵是中点，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵.， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作图：过点作垂线分别交，所在直线于点，，连接即得正方形， 则， 同理，∵，， ∴正方形边长， ∵，， ∴， ∴， （4）解：利用（）中，正方形的边长， 梯形面积为， 裁法：沿、、裁剪，得到、、梯形、五边形，共四块，即可无重叠拼接为正方形． 其中：，，为的中点. 3．（25-26八年级下·北京·期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； (2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）先根据等距点定义，得出线段的等距点在的垂直平分线上，筛选出横坐标为的；再根据完美等距点需满足 的要求，用勾股定理逆定理验证，做出判断； （）先根据点在直线上且在第三象限、的条件，代入直线方程和两点间距离公式求出点坐标；再根据在轴上且为线段的等距点，利用列方程，解出点的纵坐标，得到其坐标； （）根据“完美等距点”定义，先设出直线上点的坐标，再结合同时为线段 的“完美等距点”的条件，利用垂直平分线的几何关系利用数形结合可得． 【详解】（1）解：线段端点、，“等距点”满足 ， 因此等距点在的垂直平分线上， 四个点中横坐标为的是、 、 ， ∴这三个是等距点， “完美等距点”还需要满足 ， 由勾股定理逆定理：点： ，，，，符合； 同理可得： ： ，不符合； ： ，不符合； ∴完美等距点只有； （2）解：∵在上， ∴， ∵在第三象限， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ， 解得：， ∴ ，即 ， 设 ，是的等距点， ∴，即：， 整理，得 ， 解得：， ∴坐标为； （3）解：∵点是直线上， ∴ （，第一象限）， ∵点是线段的“完美等距点”， ∴满足，， 此时四边形为正方形， ∵是轴上一个动点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”． 如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，交于点， ∴点在过且与轴成的两条互相垂直的直线上， 当点与点重合时， ∵，点的坐标为， ∴，， ∴ ∴, ∴， ∴当正方形与过且与轴成的两条互相垂直的直线有交点时， ∴. 【经典例题八 平行四边形的动点问题】 【例8】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 1．（23-24八年级下·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． (1)如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)① ；②t的值为1或3 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，，，然后得到，然后证明出，即可得到； （2）①过点M作于点P，首先证明出四边形为正方形，得到，然后利用勾股定理求出； ②首先得到，然后分点M在DC上和点M在点C的右侧两种情况讨论，然后分别列方程求解即可． 【详解】（1）． 理由：四边形ABCD为矩形， ，，． 当秒时，，则， ． 在和中， ， ， ． （2）①如图，过点M作于点P， 则． 四边形为矩形， ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形， ， 秒，则， ． 在中，． ②由题意，得，． 四边形是矩形， ， 当时，则以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形． 当点M在上时，即时，， ，得，解得； 当点M在点C的右侧时，即时，， ，解得． 综上所述，t的值为1或3． 【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，几何动点问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性得到，，然后根据矩形的性质求解； （2）设，表示出，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求出，过点G作于点I，然后利用等面积法求出，得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）首先表示出，，得到，由折叠得，，，然后利用勾股定理得到，整理得到，然后分别当点D和点C重合和点E和点A重合两种情况讨论，分别求出的长度，然后求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴，； （2）解：设 ∴ 由折叠得，，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴，， ∴， 如图，过点G作于点I， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴； （3）解：∵，设， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∴ 由折叠得， ∴ ∵ ∴ ∴ 整理得，； 如图，当点D和点C重合时， 由折叠得， ∴ ∴的最大值为，即x的最大值为； 如图，当点E和点A重合时，点D，H，T重合， 由折叠得， ∴ ∴的最小值为4，即x的最小值为4， ∴ 综上所述，． 3．（25-26八年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在中，，，点、分别是边、上的点，且 ，，，动点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒2个单位长度的速度运动，过点作于点，以为边作正方形，使点、始终在同侧．设点的运动时间为， 正方形与重叠部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)在点的运动过程中，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3) 【分析】（1）先求得点从点到点需要的时间为1秒，点从点到点需要的时间为2秒，然后分成当点在线段上（不含点）时，即，和当点在线段上时，两种情况，分类讨论即可； （2）由题意可知，当点落在边上时，可知点在线段上，此时点刚好在点处，接着证明为等腰直角三角形，利用勾股定理求得，从而知道的长度，求得时间； （3）分当时，当点在线段上时，当时，此时点在线段上，点刚好在外侧，重叠部分为五边形，当时，重叠部分为正方形三种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：动点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒2个单位长度的速度运动，，， 点从点到点需要的时间为：（秒）， 点从点到点需要的时间为：（秒）， 当点在线段上（不含点）时，即，此时， 当点在线段上时，，此时， 综上所述，当时，；当时，； （2）解：过点作于点，以为边作正方形，使点、始终在同侧． 当点在线段上时，点始终在外侧， 当点落在边上时，可知点在线段上，此时点刚好在点处， 如图所示： ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， 正方形， ， 当点落在边上时，求的值为； （3）解：①当时，当点在线段上时，如图所示： ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 四边形是正方形， ， 重合， 正方形与重叠部分图形的面积为． ， ， ； ②当时，此时点在线段上，点刚好在外侧，设交于点，重叠部分为五边形，如图所示： 由题意可知，此时，， 四边形是正方形， ，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 五边形的面积为：； ③当时，重叠部分为正方形，如图所示： 此时正方形的面积为， 综上，． 【点睛】本题考查了动点问题，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质与面积，三角形的面积，平行的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【经典例题九 四边形中的线段最值问题】 【例9】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质以及最短路径问题的求解，关键是利用对称点将折线转化为直线段，依据“两点之间线段最短”确定最小值．首先利用正方形对角线是对称轴，找到点关于的对称点，将转化为，把的和转化为；然后根据两点之间线段最短，确定当为与交点时，和最小，最小值为的长度；最后由正方形面积求出边长，结合等边三角形边长相等得到的长度，即为所求最小值． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形，是其对角线， ∴点与点关于直线C对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当点为与的交点时，的和最小，最小值为线段的长； ∵正方形的面积为6， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 故的最小值为； 故答案为：． 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动．若，求的最小值． 【答案】 【分析】作关于的对称点，在上截取，连接交于，在上截取，此时的值最小，可得四边形是平行四边形，从而可得，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，在上截取，连接交于，在上截取，此时的值最小，且，． ∵四边形是矩形， ∴，． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵，，为的中点， ∴， ∴，， ∴由勾股定理可得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质． 2．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）【模型建立】 (1)如图1，已知是正方形的一边，点在的延长线上，以为一边向右构造正方形，连接，．判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型探究】 (2)如图2，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接，，判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型拓展】 (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当点在上运动时，写出的最小值，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，可得结论． （2）延长、交于，证明，得出，．在四边形中求出，由此得； （3）过点G作交延长线于点H，证明，得到，说明点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，．在中，可得．根据求解即可． 【详解】（1）解：，．理由如下， 如图1中，延长交于， 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ，， ， ，即， ． （2）解：，．理由如下， 如图，延长、交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∴在四边形中，， ∴， 即； （3）解：如图4中，过点G作交延长线于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，． 在中，，，， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 3．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点． （1）当时，则点坐标为______； （2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长； （3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）不变，8；（3） 【分析】（1）如图，过点作轴于．证明，推出，，可得结论． （2）结论：的周长不变．想办法证明即可． （3）由（1）可知，，推出，推出点的运动轨迹是射线，过点作于，当点与点重合时，的值最小． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于． 四边形是正方形，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． （2）结论：的周长不变． 理由：将绕点B逆时针旋转得到． ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 的周长． （3）由（1）可知，， ， 点的运动轨迹是射线， 过点作于，当点与点重合时，的值最小， 最小值， 的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【经典例题十 四边形其他综合问题】 【例10】（23-24八年级下·山东济宁·阶段检测）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)135 (2)成立，见解析 【分析】（1）根据新定义，得，结合，，计算即可． （2）连接，根据得到，结合，得到，继而得到得证． 本题考查了四边形综合题，新定义难题，等腰三角形的判定和性质，四边形的内角和定理，熟练掌握新定义，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据新定义，得， ∵，， ∴， 故答案为：135． （2）连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②12； (2)①当时，四边形是正方形；②不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查平行四边形性质，全等三角形的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识； （1）①由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再证，可得，即可得结论； ②由全等三角形的性质和矩形的性质可得，由勾股定理可求的长，可求，即可求解； （2）①由题意可证四边形是矩形．由正方形的性质可得，可得，可得，即可求解； ②由，可得结论． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②在矩形中，， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴四边形的周长； （2）①∵， ∴． ∵． ∴． ∴四边形是矩形． 要使四边形是正方形，必须． ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积不发生变化， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 即点E在边上的运动过程中，四边形的面积为定值20． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，以为边作平行四边形，点落在边上，点落在矩形内或其边上． (1)如图，当，，且时， 求证：四边形是正方形； 连接，直接写出的面积______ ； (2)如图，当且时，若，连接， ______ ；用含的代数式表示 求面积的取值范围； (3)如图，当与的长度之比为：，且时，在点从点运动到点的过程中，直接写出点运动的路线长______ ． 【答案】(1)①详见解析；② (2)①；② (3) 【分析】（1）①在中，，为矩形，，，，，，，矩形为正方形， ②过作于，则，，，，，； （2）①连接，过点向作垂线交于点，求出，，，； ②，，为菱形，连接，，，又，，，又， ，，，，当取最小值时，有最大值40，当点与点重合时，点在上，即，面积的取值范围即可求得； （3）当点与点重合时，点位置如图3，当点与点重合时，点在点处，点在点处，点的运动路线为线段，由题意知：，，． 【详解】（1）①证明：在中．， 为矩形， 若 则， 在矩形中， ， ， ， ， 又， ， ， 矩形为正方形； ②解：过作于，则，如图1， ，， ， 又 ， 又由， ， ， ， 故答案为：32； （2）解：①连接，过点向作垂线交于点，如图2， 若，则， ， ， ， 又：， ， 故答案为：； ②， 则， 当时，为菱形，连接， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， 当取最小值时，有最大值40， 当点与点重合时，点在上， 即， 面积的取值范围为：； （3）解：当点与点重合时，点位置如图3，根据瓜豆原理，主动点的轨迹是线段，则从动点轨迹也是线段，则点的运动路线为线段， 由题意知：， ， 所以点的运动路线长为． 【点睛】本题考查动点，矩形，菱形，正方形的综合问题，解题的关键是对以上知识的熟练掌握． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）问题解决： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，连接CE，CF，EF，且∠ECF＝45°． （1）求证：BE＋DF＝EF； （2）若AB＝6，EF＝5．AE>AF，求线段AE的长． 类比迁移： 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，对角线AC平分∠BAD，点E，F分别在AB，AD上，且AE>AF，连接CE，CF、EF，∠ECF＝60°，若，EF＝7，求线段AE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AE＝4；类比迁移：AE＝8． 【分析】问题解决：（1）延长AB到G，使得BG=DF，连接CG，证明△BCG≌△DCF（SAS），由全等三角形的性质得出CG=CF，∠BCG=∠DCF，证明△CEF≌△CEG（SAS），由全等三角形的性质得出EF=EG，则可得出结论； （2）令BE=n，则AE=6-n，由勾股定理得出，求出n则可得出答案； 类比迁移：过点C分别作CM⊥AD交AD的延长线于点M，CN⊥AB于点N，证明△ACM≌△ACN（AAS），由全等三角形的性质得出AM=AN，CM=CN，由勾股定理求出AM=10，证明△CDM≌△CBN（AAS），由全等三角形的性质得出CD=CB，DM=BN，AB+AD=20，延长AB到G，使得BG=DF，连接CG，证明△CDF≌△CBG（SAS），由全等三角形的性质得出CF=CG，∠DCF=∠BCG，证明△CEF≌△CEG（SAS），由全等三角形的性质得出EG=EF=7，过点F作FH⊥AE于点H，令AF=2m，则AE=13-2m，由勾股定理求出m，则可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，延长AB至点G，使得BG＝DF，连接CG． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝∠D＝∠ABC＝90°， ∴∠CBG＝180°－∠ABC＝90°＝∠D， ∴△BCG≌△DCF， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， ∴∠BCG＋∠BCF＝∠DCF＋∠BCF， ∴∠FCG＝∠BCD＝90°， ∴∠ECG＝∠FCG－∠ECF＝45°＝∠ECF， 又∵CE＝CE， ∴△CEF≌△CEG， ∴EF＝EG， ∴BE＋DF＝BE＋BG＝EG＝EF， （2）解：如图1，令BE＝n，则AE＝6－n， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝6，∠A＝90°， ∵BE＋DF＝EF ∴DF＝EF－BE＝5－n， ∴AF＝AD－DF＝6－（5－n）＝n＋1， 在Rt△AEF中，， ∴， 解得，， ∵AE>AF， ∴6－n>n＋1解得， ∴n＝2， ∴AE＝6－2＝4， 类比迁移：如图2，过点C分别作CM⊥AD交AD的延长线于点M，CN⊥AB于点N． ∵AC平分∠BAD，∠BAD＝60°， ∴∠CAM＝∠CAN＝30°， 又∵∠M＝∠ANC＝90°，AC＝AC， ∴△ACM≌△ACN， ∴AM＝AN，CM＝CN， 在Rt△ACM中，∵∠CAM＝30°， ∴， ∴， ∴， 在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＝（4－2）×180°＝360°， ∴60°＋∠ABC＋120°＋∠ADC＝360°， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°， 又∵∠CDM＋∠ADC＝180°， ∴∠CDM＝∠ABC， ∴△CDM≌△CBN， ∴CD＝CB，DM＝BN， ∴AB＋AD＝AM－DM＋AN＋BN＝20， 延长AB至点G，使得BG＝DF，连接CG． ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°， ∴∠ADC＝∠CBG， ∴△CDF≌△CBG， ∴CF＝CG，∠DCF＝∠BCG， ∴∠DCF+∠BCF＝∠BCG＋∠BCF=∠FCG＝∠BCD＝120°， ∴∠ECG＝120°－∠ECF＝60°＝∠ECF， 又∵CE＝CE， ∴△CEF≌△CEG， ∴EG＝EF＝7， ∴DF＋BE＝BG＋BE＝EG＝7， ∴AE＋AF＝AB－BE＋AD－DF＝（AB＋AD）－（BE＋DF）＝20－7＝13． 过点F作FH⊥AE于点H，令AF＝2m，则AE＝13－2m． 在Rt△AFH中，∵∠AFH＝90°－∠FAH＝30°， ∴AH＝m， ∴，EH＝AE－AH＝13－3m， 在Rt△EHF中，∵， ∴， 解得，， ∵AE>AF， ∴13－2m>2m解得， ∴， ∴AE＝13－5＝8． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．难点是辅助线的构造． 1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）大新同学在学习北师大版九上第一章《特殊平行四边形》，通过习题1.4的第4题，知道了“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．大新设计了一个新的游戏机：如图1，用点表示灯泡，外圈8个灯泡平均分布在大圆内，内圈8个灯泡也平均分布在同一个圆心的小圆上，亮着的4个灯泡形成平行四边形．规定每一次4个灯泡亮，若形成某个特殊平行四边形，可换取对应的五角星★数；示例：图1，可获得★．    (1)如果其中亮起的3个灯号为A、V、E三点，则第4个亮着的灯号为哪一点时，获得的★数？请在图2上画出对应的图形． (2)如果获得★，其中亮起的2个灯号为A、E两点，则另外2个亮着的灯号可能为哪两个？并请在图3上画出所有的可能的情况． 【答案】(1)第4个亮着的灯号为点，见解析 (2)可能为或，见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的判定．熟练掌握菱形、矩形的判定条件是解题的关键． （1）根据四边都相等的四边形是菱形求解即可； （2）根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形求解即可． 【详解】（1）解：由菱形四边都相等，可知第4个亮着的灯号为点，如图1，菱形即为所求；    （2）解：由题意知，只能为矩形的对角线， ∴矩形的另外一条对角线上的点为或， ∴可能为或，如图3，矩形、即为所求；    2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，连接，由三角形中位线定理得出，且，同理，，且，从而得出，，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】已知：如图，四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点． 求证：四边形是平行四边形． 证明：连接， ∵是边的中点，是边的中点， ∴，， ∴，且， 同理，，且， ∴，， 四边形是平行四边形． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是菱形，，是对角线所在直线上的两点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质，可得，，，结合已知可得四边形是平行四边形，即可证得结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 4．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，于点E，F是的中点，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得出是的中位线，进而得出四边形是平行四边形，再由垂直可得四边形是矩形； （2）由已知条件得出，再由菱形的性质得出、、、的面积相等，从而得出菱形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， 是的中点， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形，是的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， 菱形的面积为． 5．（2023八年级下·江苏无锡）已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查对角线互相垂直的四边形面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是．将四边形面积分为两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式进行计算； （3）把四边形的面积分割成两个三角形面积之差，按三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：对于图1， ， ，， ， ， ， ， ； 同理可得，图2和图3中的四边形的面积，， 故答案为：，，； （2）解：对于线段与线段垂直相交（垂足不与点，，，重合）的任意情形，四边形的面积为定值． 证明如下： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：顺次连接点，，，，所围成的封闭图形的面积仍为24． 证明：如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 如图，当线段与的延长线垂直相交时， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，当线段与（或）的延长线垂直相交时，顺次连接点所围成的封闭图形的面积是． 6．（25-26八年级下·广东珠海·期中）在中，，分别以，，为边向形外作正方形，正方形，正方形． (1)如图1过点作的垂线，垂足为，交于，若矩形的面积为20，求正方形的面积． (2)如图2，在中，，分别以，，为边向形外作矩形，矩形，矩形，过点作的垂线，垂足为，交于，交的延长线于点．若记矩形的面积为，矩形的面积为，当时，直接写出与间的数量关系． 【答案】(1)20，见详解 (2) 【分析】（1）根据正方形和矩形的面积公式，设，，，则，，然后在中，利用勾股定理推导和的数量关系即可求解； （2）首先延长交于，把矩形的面积转化为的面积，进而把比较,的关系转化为比较的数量关系，问题得解． 【详解】（1）解：如图1，设，，，则， ， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ，， ， ， ， ， ． ，， 正方形的面积为20； （2）解：． 提示：如图2，延长交于， 四边形是矩形， ． ， ， ． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ． ，且， ，即． 【点睛】本题综合考查了矩形、平行四边形以及勾股定理等知识．寻找让已知条件和结论之间建立连接的桥梁，把问题有效地进行转化是解决问题的关键． 7．（25-26八年级下·广东深圳·月考）如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线交x轴于点，请解答下列问题： (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图1，作射线轴，交直线于点D，请说明：平分； (3)点P为直线上的一个动点，连接，若，求点P的坐标； (4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 (4)存在；N或或或 【分析】（1）解方程可求得交点坐标； （2）证明即可； （3）利用等高三角形的面积比等于底的比进行计算即可； （4）分为边和为对角线进行讨论计算即可． 【详解】（1）解：当时， 当时，，解得， ∴， 故答案为：； （2）证明：设的解析式为，把代入得：， 解得 直线为 当时， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴， ∴ ∴轴， ∴， ∴即平分； （3）解：设，连接如下图： 由题意得：与同高 ∴即 解得： 或； （4）解：存在；若为矩形的一边， 直线的解析式为 设 当以为对角线时，如下图∶ ∵四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 当以为对角线时，同理可得， 若为对角线时，设，， ∵，， ∴的中点坐标为，，， ∴， 则 解得：， ∴或 ∴或， 综上所述；N或或或. 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像及性质，矩形的性质，熟练掌握一次函数的图像及性质以及矩形的性质是解题的关键． 8．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t s． (1)______ cm； (2)若四边形为平行四边形，求t的值； (3)若是以为底的等腰三角形，求此时t的值． 【答案】(1)13； (2) (3) 【分析】（1）过点D作于点E，证明四边形是矩形，可得，，，然后根据勾股定理可得，即可； （2）结合平行四边形的性质列方程并解方程即可； （3）根据等腰三角形的定义和勾股定理列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）根据题意得：；， 如图，当四边形是平行四边形时，，过点P作于点F，则，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，当时， 此时， 在中，， ∴， 解得：； 综上所述，当时，是等腰三角形． 9．（2026八年级下·吉林·专题练习）如图．在平行四边形中，连接，． (1)操作：利用尺规，作出过点垂直于的直线，垂足为；（保留作图痕迹） (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图：以A为圆心，以大于其到直线的距离为半径画弧，交的延长线于两点，然后分别以这两点为圆心，以大于两点距离的一半为半径画弧，两弧交于另一侧的一点，然后于点A连线交延长线于E，过点A、E作直线即可解答； （2）根据平行四边形的性质结合已知条件可得，再结合（1）作图可得，最后根据有3个角是直角的四边形是矩形即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求． （2）解：如图：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 10．（2026·八年级下 陕西咸阳）【思路梳理】 (1)如图1，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作，交边于点F，，求证：； 【问题解决】 (2)如图2，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田，其中，，米，点E、F分别在边上移动（不与端点重合），且．为了优化灌溉系统，以为腰在下方作等腰，使得，，点D是的中点，在点D、G处设置监测点，并规划从D到B、G的路径，使得“”的总路径（即的周长）尽可能短，以减少巡查和管理成本．请你求出周长的最小值．（监测点的大小忽略不计） 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）由矩形的性质得到，可证明，，则可证明，得到； （2）在上取一点T，连接使得，可证明，得到，则可证明，得到，进而证明，则可推出，故点G在以点C为端点，且与的夹角（锐角）为的射线（在上方）上；作点D关于射线的对称点K，连接，可证明当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为；由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，在上取一点T，连接使得， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴点G在以点C为端点，且与的夹角（锐角）为的射线（在上方）上； 如图所示，作点D关于射线的对称点K，连接， ∵点D为的中点， ∴米； 由轴对称的性质可得米，， ∴； ∵的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为； 在中，由勾股定理得米， ∴的周长的最小值为米． 11．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知在四边形中，，，． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)连接，过点作，垂足为，延长交边或边于点． ①如图2，如果点在边上，且，求的度数； ②如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据平行线的性质求出，证明，得出，然后证明四边形是矩形，最后根据正方形的判定即可得证； （2）过D作，根据平行四边形的判定与性质可得出，进而得出，根据等边对等角得出，，设，根据平行线的性质得出，，，则，结合得出，则，求出，即可求解； ②分两种情况讨论：当E在边上，过A作交于M，根据平行四边形的判定与性质得出，证明，根据勾股定理求出，然后根据等面积法即可求出的长度；当在上，此时，由①知，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据完全平方公式可求出，，则，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形； （2）解：①过D作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当E在边上，过A作交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在上，此时， ∵， ∴，， 由①知， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 综上，的长为或． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④任意一个即可（答案不唯一） 【分析】（1）连接、，根据平行四边形的性质得出点O为、的交点，，根据平行线的性质得出，根据角平分线的判定可得出，根据等角对等边得出，然后根据菱形的判定即可得证； （2）添加①，根据四边形内角和求出，然后根据正方形的判定即可得证；添加②M是的中点，根据线段的垂直平分线的性质得出，结合平行四边形的性质可得出，然后根据正方形的判定即可得证；添加③，证明，得出，则可判断垂直平分，设与的交点为H，则，根据等积法可得出，根据勾股定理得出，则，结合完全平方公式可得出，则，则可判断四边形是菱形，结合，得出菱形是正方形，则，然后根据正方形的判定即可得证；添加④，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，则，然后根据正方形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：连接、， ∵在中，点是它的对称中心， ∴点O为、的交点，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：添加①， ∵，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加②M是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加③， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， 设与的交点为H， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴菱形是正方形， ∴， 又是菱形， ∴是正方形； 添加④， ∵， ∴， ∵， ∴， 又是菱形， ∴是正方形， 故添加①，②，③，④中的任意一个条件，即可使是正方形 13．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）在中，，，点为中点，作射线，是射线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，当点落在射线上时，求的度数； (2)如图2，当时，设与射线交于点，四边形是什么特殊的四边形？说明理由，并求出的长度； (3)当点在射线上方，点在点左侧时，与射线交于点，画出图形，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)的度数为 (2)为正方形， (3)图形见解析；四边形的面积为 【分析】（1）根据题意得出是等腰直角三角形，即可求解； （2）证明，进而证明得出，进而设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，同（2）可得四边形是正方形，证明得出四边形的面积正方形的面积，由（2）可得，进而根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴ ∴ ∴； （2）：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴即 又∵ ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴四边形是正方形； ∵点为中点， ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵四边形是正方形， ∴， ∴ 设，则 在中， ∴ 解得： 即 （3）解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ， 同（2）可得四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴ ， ∴ ∴ ∴四边形的面积正方形的面积． 由（2）可得 ∴四边形的面积, 【点睛】本题考查了等腰直角三角形基本性质，全等三角形证明及及性质，三角形内角和定理，平行线的证明及性质，正方形的性质与判定，勾股定理等，能够进行分类讨论是解题关键． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图1， 点E，F是正方形边上的点，连接，将和分别沿对折，点A、点C交于对角线上一点 P． (1)的度数为 °； (2)如图2，过点P作边的垂线， 分别交于点M、N、H， 求证：四边形是菱形． (3)如图3， 连接，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质与折叠的性质即可解答； （2）由翻折知，，， ，结合四边形为正方形，易证，再证明，结合是等腰直角三角形，进而证明四边形是平行四边形，由翻折易证，进而证明结论； （3）设，则，，即；再根据等腰直角三角形的判定与性质以及直角三角形的性质可得、，即，再证明四边形是矩形可得，然后根据勾股定理求得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵将和分别沿对折，点A、点C交于对角线上一点 P． ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：由翻折知，， ， ∴， ∵四边形为正方形， ，， ， ， 又， ， 又， ， 又是等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵分别沿折叠得到， ∴， 四边形是菱形． （3）解：设，则，， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 15．（2023·八年级下 广东深圳）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连． (1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解； （2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决； （3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决． 【详解】（1）解：∵，如图1， ∴， E为的中点，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）证明：如图2，设射线与射线交于点M， 由题可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于N， ∴， 过E作于P， 则， 在与中，   ， ∴， ∴， 过E作于Q， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在与中， ，   ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 当B，F，M，N四点共线时，最小， 即为线段BN的长度，如图4， 过N作交其延长线于T， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为 ． 【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.6 特殊平行四边形常考几何模型专训 （10大题型+15道拓展培优题） 题型一 根据矩形的性质和判定解决问题 题型二 证明四边形是矩形 题型三 证明四边形是菱形 题型四 证明四边形是正方形 题型五 折叠问题 题型六 根据菱形的性质和判定解决问题 题型七 根据正方形的性质和判定解决问题 题型八 平行四边形的动点问题 题型九 四边形中的线段最值问题 题型十 四边形其他综合问题 【经典例题一 根据矩形的性质和判定解决问题】 【例1】（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图1，为水平线，于点E，于点A，于点D．若，，． (1)求的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，，将沿着方向平移到，此时，判断平移后的点会与点G重合吗？请说明理由． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在中，，，点D是射线CB上的动点（点D不与点B、C重合），连接AD，，且，连接DE，过点D作，且，连接CF． (1)如图1，当点D是BC中点时，DE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图2，当点D是线段BC上任意一点时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，时，请直接写出线段DE的长． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A，点B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，取线段的中点C，连接．已知，，点D在y轴负半轴上，． (1)如图1，求点A的坐标； (2)如图2，点Q在y轴负半轴上且在点D下方，以，为邻边作矩形，点E在线段上（点E不与点P，点Q重合），连接交于点M，若，设，，求d与t的关系式（用含t的式子表示d，不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，的延长线交x轴负半轴于点R，点K在的延长线上，连接，，过点D作交的延长线于点J．若，且，求的面积． 【经典例题二 证明四边形是矩形】 【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，为中点，求的长； (3)若，现有以下个结论：，，．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，连接、交于点，点、是对角线上的两点，且，点在边上，连接并延长交于点．求证：． (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，且，．过作，垂足为，是的中点（），连接、．若，，求的长． 3．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，点M在的延长线上，于N，交于点E，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)试确定的关系，并说明理由； (3)作于点F，若，，直接写出线段的长． 【经典例题三 证明四边形是菱形】 【例3】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，．点E，点F分别在边上，连接，交于点G，且满足． (1)若，，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 1．（2026·八年级下 云南昆明）已知四边形为矩形，点F为上一点，过点E作，连接，且平分， (1)求证：四边形为菱形； (2)已知矩形的周长为22，四边形的周长为20，求的面积． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)如图1，在正方形网格中，四边形的顶点，，，均在格点上．请仅用无刻度的直尺在上画出点，使得； (2)如图2，在菱形中，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺，画出矩形，使得点、、分别在边、、上． 3．（25-26八年级下·山东日照·期中）综合与探究 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的几何变换”为主题开展探究活动，如图1，在矩形中，，． 操作发现： (1)如图2，连接，将沿射线方向平移得到，点A，C，D的对应点分别是，，．当点A移动到边的中点上时，连接，，，判断四边形的形状，并说明理由． 实践探究：在（1）的条件下，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）． (2)如图3，与交于点M，当落在边所在直线上时，求的长． (3)在旋转过程中，的边与BC交于点M，与BC交于点N（点N不与B，C重合），当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【经典例题四 证明四边形是正方形】 【例4】（24-25八年级下·安徽宣城·阶段测试）在平行四边形中，点、分别在边、上，点在边上，，，，，． (1)求证：四边形是正方形． (2)求的长． (3)为上一点，于点，，求的面积． 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，直线的函数解析式为．四边形是正方形，直线交轴于点，点在轴上，过点作且交轴于点．求证：． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）综合探究 (1)如图①，将线段平移至，连接，，判断四边形的形状并说明理由； (2)如图②，将线段绕点O（不在直线上）进行一次旋转得到，连接，，得到四边形． ①若四边形为菱形，作出一个满足条件的点O及相应的四边形（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） ②四边形的形状可以是______（填写所有正确选项的序号）． （a）矩形            （b）正方形            （c）等腰梯形 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）“综合与实践”课上，老师将一张长为4，宽为3的矩形卡纸沿一条对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和（如图①），然后把这两张全等的三角形纸片完全重合叠放，其中点与点重合（标记为点），在点处订个钉子，将逆时针旋转．在旋转的过程中，发现了以下问题，请你帮忙解答： (1)如图②，若旋转的角度为时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图③，若旋转的角度为锐角，的延长线交于，交于，若为等腰三角形，求的长； (3)将旋转一周，点为的中点，点为的中点，请直接写出的最大值是多少． 【经典例题五 折叠问题】 【例5】（25-26八年级下·广东清远·月考）（1）填空：如图①，若，则___________；若，则___________． （2）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．这是一种重要的数学方法．美国第20任总统詹姆斯结合如图②所示的图形用等面积法验证了勾股定理，其中两个相同的直角三角形边在同一条直线上． ①请用两种不同的方式表示四边形的面积： 方式一：___________； 方式二：___________； ②请利用几何图形的面积关系，说明． （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 1．（25-26八年级下·山西大同·期中）综合与实践： 数学课学习了特殊四边形之后，勤学小组的同学展开了对矩形纸片的裁剪与折叠实践活动，如图1． 实践操作： 第一步：如图2，折叠矩形纸片，使得点D的对应点B落在线段上，折痕为，然后把纸片展平，再沿将纸片剪开，得到四边形和四边形． 第二步：如图3，将四边形沿折叠得到，点E在线段上，点A的对应点为点F，连接． 问题解决： (1)图2中的四边形的形状是______； (2)当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出的度数． 2．（25-26八年级下·广西贵港·期中）综合与实践：矩形中的折叠探究 【活动背景】 数学活动课上，同学们以矩形纸片为载体开展折纸探究，在动手操作中感悟图形性质，发展几何直观与推理能力． 【动手操作】 如图1，将矩形纸片对折，与重合，展平后得到折痕，再次折叠纸片使点B落在上．并使折痕经过点C，得到折痕，点B、F的对应点分别为、，展平纸片，连接、、． 【观察猜想】 (1)观察的边与角，猜想的形状为：_____； (2)观察图中，直接写出它们的数量关系：_____； (3)【推理论证】 证明（1）中形状的猜想，并以此证明（2）中的数量关系； (4)【拓展应用】 如图2，矩形纸片中，，点是边上的任意点，折叠纸片，使点落在边的点处，并且折痕经过点，交于点，把纸片展平，若，试求线段的取值范围． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，是正方形内一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，与的平分线相交于． (1)当四边形为菱形时，填空：______； (2)试求的度数； (3)如图，连接，交于，连接，当三点共线时，求证：四边形是菱形． 【经典例题六 根据菱形的性质和判定解决问题】 【例6】（23-24八年级下·福建泉州·期末）（1）探究：如图1，在中，，线段是边上的中线． ①请通过测量，试猜想与的数量关系是__________； ②证明你的猜想； （2）应用（1）的结论解决问题：如图2，在菱形中，对角线和相交于点，，过点作直线，点在线段上且不与点重合，以为边作矩形，使得点在直线上（点不与点重合），连接，试求的度数． 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 2．（23-24八年级下·上海·月考）如图，等边的边长是2，点P是边上的任意一点（不与点B点C重合），连接，将翻折，使顶点A与P重合，折痕分别交边于G、H，折痕交于． (1)当时，求证： (2)设，，求y关于x的函数关系式及定义域． (3)如图2在直线上找点D（点D在外），满足，连接，过点P作交直线于E，连接． ①求证：四边形是菱形， ②当四边形与重叠部分面积是时，求的值， 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知两个菱形与菱形，其中 连接，CG，BE，其中EF与BC相交于点H． (1)求证∶ (2)连接，，求证： (3)在线段上找一点，使得，，三点共线，请直接写出点的位置，并利用点的位置说明共线的理由． 【经典例题七 根据正方形的性质和判定解决问题】 【例7】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形边长为，正方形边长为（），点在边上，在延长线上，连接，与交于点，连接，．    (1)若，，则_______； (2)求的面积（用，的代数式表示）； (3)如图，点为中点，连接、、，若，，求的面积． 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 2．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在梯形，，，分别为，的中点，过点作垂线分别交及延长线于点，，设， (1)如图，连接， ①直接写出的长（用含的代数式表示）； ②若四边形为正方形，求的值； (2)如图，过点作垂线分别交，所在直线于点，，已知，若四边形为正方形，求的长； (3)如图，，嘉嘉发现可以借助（）中的方法画出正方形，使其可以由梯形剪拼得到，请你借助尺规帮助嘉嘉完成作图并直接写出满足条件的的长； (4)对于（）中的梯形，琪琪说：我可以将四边形裁成四块图形，无重叠、无缝隙地重新拼接成一个正方形．请你在图中画出琪琪的裁法． 3．（25-26八年级下·北京·期中）阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； (2)若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 【经典例题八 平行四边形的动点问题】 【例8】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 1．（23-24八年级下·山西朔州·期中）综合与探究 如图，在矩形中，，，点M从点D出发沿射线方向运动，运动速度为每秒2个单位长度．设点M的运动时间为t秒． (1)如图1，当秒时，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，E为的延长线上的一点，，动点N从点E出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N与点M同时出发，当点N到达点B时，两点同时停止运动． ①当时，求的长． ②当以M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图，矩形的边、分别在x轴与y轴的正半轴上，点，其中a、b满足．D为上一点，E为上一点，将沿折叠得． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图1，当D点与C点重合时，交于点G，连接，若，求的度数； (3)如图2，当点F在上时，过点F作于点T，交于点H，设，探求y与x满足的等量关系式，并直接写出x的取值范围． 3．（25-26八年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在中，，，点、分别是边、上的点，且 ，，，动点从点出发，沿折线向终点运动，在上以每秒个单位长度的速度运动，在上以每秒2个单位长度的速度运动，过点作于点，以为边作正方形，使点、始终在同侧．设点的运动时间为， 正方形与重叠部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)在点的运动过程中，求与之间的函数关系式． 【经典例题九 四边形中的线段最值问题】 【例9】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，求这个最小值． 1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动．若，求的最小值． 2．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）【模型建立】 (1)如图1，已知是正方形的一边，点在的延长线上，以为一边向右构造正方形，连接，．判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型探究】 (2)如图2，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接，，判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型拓展】 (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当点在上运动时，写出的最小值，并说明理由． 3．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点． （1）当时，则点坐标为______； （2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长； （3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值． 【经典例题十 四边形其他综合问题】 【例10】（23-24八年级下·山东济宁·阶段检测）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为_________． (2)如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． 1．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点（点E不与B、C重合），，垂足为点F，过点D作，交的延长线于点G．    (1)若， ①求证：四边形是菱形；②求四边形的周长； (2)如图2，于点M，于点N，探究： ①当为何值时，四边形是正方形； ②点E在边上的运动过程中，四边形的面积是否发生变化，若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，以为边作平行四边形，点落在边上，点落在矩形内或其边上． (1)如图，当，，且时， 求证：四边形是正方形； 连接，直接写出的面积______ ； (2)如图，当且时，若，连接， ______ ；用含的代数式表示 求面积的取值范围； (3)如图，当与的长度之比为：，且时，在点从点运动到点的过程中，直接写出点运动的路线长______ ． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）问题解决： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，连接CE，CF，EF，且∠ECF＝45°． （1）求证：BE＋DF＝EF； （2）若AB＝6，EF＝5．AE>AF，求线段AE的长． 类比迁移： 如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，对角线AC平分∠BAD，点E，F分别在AB，AD上，且AE>AF，连接CE，CF、EF，∠ECF＝60°，若，EF＝7，求线段AE的长． 1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）大新同学在学习北师大版九上第一章《特殊平行四边形》，通过习题1.4的第4题，知道了“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．大新设计了一个新的游戏机：如图1，用点表示灯泡，外圈8个灯泡平均分布在大圆内，内圈8个灯泡也平均分布在同一个圆心的小圆上，亮着的4个灯泡形成平行四边形．规定每一次4个灯泡亮，若形成某个特殊平行四边形，可换取对应的五角星★数；示例：图1，可获得★．    (1)如果其中亮起的3个灯号为A、V、E三点，则第4个亮着的灯号为哪一点时，获得的★数？请在图2上画出对应的图形． (2)如果获得★，其中亮起的2个灯号为A、E两点，则另外2个亮着的灯号可能为哪两个？并请在图3上画出所有的可能的情况． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形． （答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明） 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是菱形，，是对角线所在直线上的两点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 4．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，于点E，F是的中点，于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 5．（2023八年级下·江苏无锡）已知线段． (1)已知线段垂直于线段．设图1，图2和图3中的四边形的面积分别为和，则__________，__________，__________； (2)如图4，对于线段与线段垂直相交（垂足不与点重合）的任意情形，请你就四边形面积的大小提出猜想，并证明你的猜想； (3)当线段与（或）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点所围成的封闭图形的面积是多少？ 6．（25-26八年级下·广东珠海·期中）在中，，分别以，，为边向形外作正方形，正方形，正方形． (1)如图1过点作的垂线，垂足为，交于，若矩形的面积为20，求正方形的面积． (2)如图2，在中，，分别以，，为边向形外作矩形，矩形，矩形，过点作的垂线，垂足为，交于，交的延长线于点．若记矩形的面积为，矩形的面积为，当时，直接写出与间的数量关系． 7．（25-26八年级下·广东深圳·月考）如图，已知直线：交y轴于点A，交x轴于点B，直线交x轴于点，请解答下列问题： (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图1，作射线轴，交直线于点D，请说明：平分； (3)点P为直线上的一个动点，连接，若，求点P的坐标； (4)过C作直线l垂直于x轴，若M是直线l上的一个动点，在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t s． (1)______ cm； (2)若四边形为平行四边形，求t的值； (3)若是以为底的等腰三角形，求此时t的值． 9．（2026八年级下·吉林·专题练习）如图．在平行四边形中，连接，． (1)操作：利用尺规，作出过点垂直于的直线，垂足为；（保留作图痕迹） (2)求证：四边形是矩形． 10．（2026·八年级下 陕西咸阳）【思路梳理】 (1)如图1，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作，交边于点F，，求证：； 【问题解决】 (2)如图2，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田，其中，，米，点E、F分别在边上移动（不与端点重合），且．为了优化灌溉系统，以为腰在下方作等腰，使得，，点D是的中点，在点D、G处设置监测点，并规划从D到B、G的路径，使得“”的总路径（即的周长）尽可能短，以减少巡查和管理成本．请你求出周长的最小值．（监测点的大小忽略不计） 11．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知在四边形中，，，． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)连接，过点作，垂足为，延长交边或边于点． ①如图2，如果点在边上，且，求的度数； ②如果，，求的长． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，． (1)求证：是菱形； (2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号） ①；②M是的中点；③；④． 13．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）在中，，，点为中点，作射线，是射线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，当点落在射线上时，求的度数； (2)如图2，当时，设与射线交于点，四边形是什么特殊的四边形？说明理由，并求出的长度； (3)当点在射线上方，点在点左侧时，与射线交于点，画出图形，直接写出四边形的面积． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图1， 点E，F是正方形边上的点，连接，将和分别沿对折，点A、点C交于对角线上一点 P． (1)的度数为 °； (2)如图2，过点P作边的垂线， 分别交于点M、N、H， 求证：四边形是菱形． (3)如图3， 连接，求的值． 15．（2023·八年级下 广东深圳）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连． (1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度； (2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：； (3)如图3，已知，若，直接写出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $