专题05 利用勾股定理求最短路径问题的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理在空间与平面最短路径中的应用，通过圆柱、长方体、阶梯、将军饮马四大模型构建从平面展开到对称变换的完整解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆柱模型|6题|含单圈/多圈缠绕、表面不同位置点|侧面展开为矩形，利用勾股定理求对角线| |长方体模型|6题|涉及不同面展开、顶点/中点距离|分类展开相邻面，比较不同路径直角边和| |阶梯模型|6题|含多阶台阶、结合圆柱管道|台阶展开为平面，转化为直角三角形问题| |将军饮马模型|6题|含河宽、对称点、距离和最小|利用轴对称转化为两点间直线距离，体现推理能力|

专题05 利用勾股定理求最短路径问题的四种模型 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 阶梯中的最短路径模型 题型四 将军饮马与最短路径模型 题型一：圆柱中的最短路径模型 1．B 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 2． 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间线段最短”，把蚂蚁爬行的最短路程转化为矩形中直角三角形的斜边长度，需先计算矩形的长（底面半圆的弧长）和宽（圆柱的高），再用勾股定理求解． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开如图所示，过点B作于点C，则， ∴， 即它要爬行的最短路程是． 3．20米 【分析】根据圆柱展开图，两点之间线段最短，勾股定理求解即可； 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵圆柱底面半径为米，取3， ∴底面圆的周长的一半米． ∵圆柱的高为12米， 米． 在中，由勾股定理得，米． 故答案为：20米． 4．雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 5．(1) (2)   【分析】（1）以树底面的周长为长方形的长，绕树干一圈上升的高度为长方形的宽，将树的侧面展开，则长方形的对角线为最短路径；按照上面的方法画出长方形，使长方形两边长分别为，，再利用勾股定理求出长方形对角线长即为最短路程； （2）先根据勾股定理求出绕树圈的高度，再求出绕树圈的高度，即为树干高． 【详解】（1）解：如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形， 则长方形的对角线的长为最短路径． 由题意，得，． 由勾股定理，得． 故葛藤绕树盘旋的最短路程是． （2）解：如图②，同（1）得到长方形，则由题意得，． 由勾股定理，得， 葛藤绕树1圈升高． 若绕树圈到达树顶，则树干的高为． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图的运用以及勾股定理的应用，利用圆柱的侧面展开图为长方形，最短路径为长方形的对角线长得出是解题关键． 6．任务一：； 任务二：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴ 依题意， 在中，， 在中， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 又∵ ∴， ∴ 即平分， 任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质； 任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； 任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； 任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：任务一，如图 依题意， ∴； 任务二：略 任务三： 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴ 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴ ∴ 设，则， 在中，，在中， ∴ ∴ 解得：，即 ∴ ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 题型二：长方体中的最短路径模型 7．A 【分析】分三种情况，展开长方体的侧面，分别利用勾股定理求出的长，比较大小即可． 【详解】解：展开长方体的侧面（如图），连接， 由勾股定理得， 图（1）中， 图（2）中， 图（3）中， ， 它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10． 8．100 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的距离，注意分类讨论不同展开方式下的直角边长度． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，线段即为最短路线． 分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为40+20=60厘米，80厘米， 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况二：将长方体的前面和上面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况三：将长方体的左面和上面展开在同一平面内. 此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 综上所述，最短路线的长是100厘米． 9．这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和G点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：（1）如图： 由勾股定理得； （2）如图： 由勾股定理得； （3）如图： 由勾股定理得． ∵， ∴这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 10．(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 11．(1)解：如图： (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 12．(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 题型三：阶梯中的最短路径模型 13．B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：B． 14．1 【分析】本题主要考查了勾股定理，由题意得，，设，则，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 15．分米 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，管道底面展开得到的长方形的长等于管道底面周长，求出长方形的长和宽，根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是管道底面周长， 则长为（分米）；宽为8分米， 因此最短路径为（分米）， 答：需要走的最短路程为分米． 16．【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：． 17．【答案】分米 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，管道底面展开得到的长方形的长等于管道底面周长，求出长方形的长和宽，根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是管道底面周长， 则长为（分米）；宽为8分米， 因此最短路径为（分米）， 答：需要走的最短路程为分米． 18．【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 题型四：将军饮马与最短路径模型 19．85 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 20． 【分析】将沿着竖直方向平移2米至，连接，则的最小值转化为的长．需先根据两点的直线距离和垂直距离求出水平距离，再在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移2米，即平移到，连接，．过点作交延长线于点，连接 ∵将沿着竖直方向平移2米，即平移到， ∴，米，， ∴，即． ∵河的两岸互相平行，垂直于河岸，， ∴与河的两岸平行，垂直于河岸， ∵，两点到河岸的距离分别是3米，3米，河宽2米， ∴，两点在竖直方向上的距离为（米），即（米）， ∴（米）， 在中，米，米，（米）， 在中，（米）， ∴， 即的最小值是米． 21．(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 22．(1)①图见解析；两点之间线段最短；②图见解析 (2)1100米 【分析】（1）①根据两点之间线段最短，直接连接，与直线的交点即为储物点的位置； ②将点向右平移的长度至点，连接，与直线的交点即为储物点的位置； （2）将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，得到，进而得到当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短，进行求解即可. 【详解】（1）解：①如图，点即为所求，理论依据为：两点之间线段最短； ②如图，点即为所求； （2）解：将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，如图， 则：， ∴当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短， 由题意，， ∴， ∴的最小值为； 答：工作人员所走的最短路程是1100米. 23．(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 24．(1)1， (2)4，5 (3)11，3 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可； （2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留，充电桩的中心距最小为，再由，即可求解； （4）作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则，可得该电箱到的距离的和最短为的长，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得：，； （2）解：根据题意得：， 在中，，， ， ∴； （3）解：根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留， 充电桩的中心距最小为， 因为， 所以最多可以修建11个充电桩， 此时此时相邻两个充电桩的中心距为； （4）解：如图，作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则， ∴，即该电箱到的距离的和最短为的长， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴该电箱到的距离的和最短为． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 利用勾股定理求最短路径问题的四种模型 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 阶梯中的最短路径模型 题型四 将军饮马与最短路径模型 题型一：圆柱中的最短路径模型 1．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 2．如图，一个圆柱的高是，底面直径是．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A处爬到与点A相对的点B处吃食物，则它要爬行的最短路程是________． 3．某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 4．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 5．葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 6．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 题型二：长方体中的最短路径模型 7．如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 8．勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 9．如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 10．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 11．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 12．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 题型三：阶梯中的最短路径模型 13．一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 14．如图是一滑梯示意图，左边是楼梯（每阶梯高度相等），右边是滑道，已知滑道与长度相等，一阶楼梯的高度为，．则滑道的长度为__________． 15．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 16．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 17．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 18．（25-26八年级上·北京·课后作业）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 题型四：将军饮马与最短路径模型 19．如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 20．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是3米，3米，河宽2米，且A，B两点之间的直线距离为10米，则的最小值是_________米． 21．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 22．综合与实践 如图1，点代表某工厂大门，水平直线代表一条笔直的道路，工厂计划在道路上建一个储物点． (1)如图，若车间在道路的另一侧点处． ①工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路上增加一个储物点，要求储物点在储物点的右侧，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后沿着道路走到储物点取物品，最后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短． (2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点、点到水平直线的距离分别为500米、300米，点、点之间的水平距离为700米，的长度为100米，工作人员所走的最短路程是多少？ 23．综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 24．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 利用勾股定理求最短路径问题的四种模型 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 阶梯中的最短路径模型 题型四 将军饮马与最短路径模型 题型一：圆柱中的最短路径模型 1．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 2．如图，一个圆柱的高是，底面直径是．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A处爬到与点A相对的点B处吃食物，则它要爬行的最短路程是________． 【答案】 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间线段最短”，把蚂蚁爬行的最短路程转化为矩形中直角三角形的斜边长度，需先计算矩形的长（底面半圆的弧长）和宽（圆柱的高），再用勾股定理求解． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开如图所示，过点B作于点C，则， ∴， 即它要爬行的最短路程是． 3．某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 【答案】20米 【分析】根据圆柱展开图，两点之间线段最短，勾股定理求解即可； 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵圆柱底面半径为米，取3， ∴底面圆的周长的一半米． ∵圆柱的高为12米， 米． 在中，由勾股定理得，米． 故答案为：20米． 4．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙为多少米？ 【答案】雕刻在石柱上的巨龙至少为20米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题．根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 5．葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 【答案】(1) (2)   【分析】（1）以树底面的周长为长方形的长，绕树干一圈上升的高度为长方形的宽，将树的侧面展开，则长方形的对角线为最短路径；按照上面的方法画出长方形，使长方形两边长分别为，，再利用勾股定理求出长方形对角线长即为最短路程； （2）先根据勾股定理求出绕树圈的高度，再求出绕树圈的高度，即为树干高． 【详解】（1）解：如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形， 则长方形的对角线的长为最短路径． 由题意，得，． 由勾股定理，得． 故葛藤绕树盘旋的最短路程是． （2）解：如图②，同（1）得到长方形，则由题意得，． 由勾股定理，得， 葛藤绕树1圈升高． 若绕树圈到达树顶，则树干的高为． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图的运用以及勾股定理的应用，利用圆柱的侧面展开图为长方形，最短路径为长方形的对角线长得出是解题关键． 6．小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 【答案】任务一：； 任务二：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴ 依题意， 在中，， 在中， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 又∵ ∴， ∴ 即平分， 任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质； 任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； 任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； 任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：任务一，如图 依题意， ∴； 任务二：略 任务三： 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴ 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴ ∴ 设，则， 在中，，在中， ∴ ∴ 解得：，即 ∴ ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 题型二：长方体中的最短路径模型 7．如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况，展开长方体的侧面，分别利用勾股定理求出的长，比较大小即可． 【详解】解：展开长方体的侧面（如图），连接， 由勾股定理得， 图（1）中， 图（2）中， 图（3）中， ， 它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10． 8．勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 【答案】100 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的距离，注意分类讨论不同展开方式下的直角边长度． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，线段即为最短路线． 分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为40+20=60厘米，80厘米， 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况二：将长方体的前面和上面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况三：将长方体的左面和上面展开在同一平面内. 此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 综上所述，最短路线的长是100厘米． 9．如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【答案】这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和G点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：（1）如图： 由勾股定理得； （2）如图： 由勾股定理得； （3）如图： 由勾股定理得． ∵， ∴这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 10．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 11．如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． (1)图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； (2)若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ (3)如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】(1)解：如图： (2)沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5 (3)蚂蚁需爬行的最短路程是 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①； ②； ③； 可知沿第①种方式爬行路程最短，最短路程是5； （3）解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 12．【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点A的正下方． (1)【操作发现】现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．（填字母） (2)【变式探究】如图②，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度． (3)【拓展应用】如图③，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱．现在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜．请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出此最短路程．木板的厚度忽略不计 【答案】(1)A (2)所需金属丝的最短长度为 (3) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径，理解转化思想是解题的关键． （1）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）将玻璃杯侧面展开，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵两点之间线段最短， 故选：A； （2）解：若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，则所需金属丝的最短长度与底面周长的4倍及高构成直角三角形．由勾股定理，得． 答：所需金属丝的最短长度为； （3）解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则． 所以； 根据两点之间线段最短可知，当A，M，N三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段AN的长即为最短路程． 在中，，根据勾股定理，得： ． 所以最短路程为． 题型三：阶梯中的最短路径模型 13．一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：B． 14．如图是一滑梯示意图，左边是楼梯（每阶梯高度相等），右边是滑道，已知滑道与长度相等，一阶楼梯的高度为，．则滑道的长度为__________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理，由题意得，，设，则，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 15．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 【答案】分米 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，管道底面展开得到的长方形的长等于管道底面周长，求出长方形的长和宽，根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是管道底面周长， 则长为（分米）；宽为8分米， 因此最短路径为（分米）， 答：需要走的最短路程为分米． 16．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，和是一个三级台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为，和，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，求一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程． 【答案】分米 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，管道底面展开得到的长方形的长等于管道底面周长，求出长方形的长和宽，根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是管道底面周长， 则长为（分米）；宽为8分米， 因此最短路径为（分米）， 答：需要走的最短路程为分米． 18．（25-26八年级上·北京·课后作业）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 题型四：将军饮马与最短路径模型 19．如图，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现准备合作修建一座过街人行天桥．恰当地架桥可使由A单位到B单位的路程最短，请根据图中的数据求出最短路程_______． 【答案】85 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 20．如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是3米，3米，河宽2米，且A，B两点之间的直线距离为10米，则的最小值是_________米． 【答案】 【分析】将沿着竖直方向平移2米至，连接，则的最小值转化为的长．需先根据两点的直线距离和垂直距离求出水平距离，再在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移2米，即平移到，连接，．过点作交延长线于点，连接 ∵将沿着竖直方向平移2米，即平移到， ∴，米，， ∴，即． ∵河的两岸互相平行，垂直于河岸，， ∴与河的两岸平行，垂直于河岸， ∵，两点到河岸的距离分别是3米，3米，河宽2米， ∴，两点在竖直方向上的距离为（米），即（米）， ∴（米）， 在中，米，米，（米）， 在中，（米）， ∴， 即的最小值是米． 21．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 22．综合与实践 如图1，点代表某工厂大门，水平直线代表一条笔直的道路，工厂计划在道路上建一个储物点． (1)如图，若车间在道路的另一侧点处． ①工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路上增加一个储物点，要求储物点在储物点的右侧，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后沿着道路走到储物点取物品，最后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短． (2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点、点到水平直线的距离分别为500米、300米，点、点之间的水平距离为700米，的长度为100米，工作人员所走的最短路程是多少？ 【答案】(1)①图见解析；两点之间线段最短；②图见解析 (2)1100米 【分析】（1）①根据两点之间线段最短，直接连接，与直线的交点即为储物点的位置； ②将点向右平移的长度至点，连接，与直线的交点即为储物点的位置； （2）将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，得到，进而得到当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短，进行求解即可. 【详解】（1）解：①如图，点即为所求，理论依据为：两点之间线段最短； ②如图，点即为所求； （2）解：将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，如图， 则：， ∴当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短， 由题意，， ∴， ∴的最小值为； 答：工作人员所走的最短路程是1100米. 23．综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 24．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 【答案】(1)1， (2)4，5 (3)11，3 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可； （2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留，充电桩的中心距最小为，再由，即可求解； （4）作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则，可得该电箱到的距离的和最短为的长，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得：，； （2）解：根据题意得：， 在中，，， ， ∴； （3）解：根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留， 充电桩的中心距最小为， 因为， 所以最多可以修建11个充电桩， 此时此时相邻两个充电桩的中心距为； （4）解：如图，作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则， ∴，即该电箱到的距离的和最短为的长， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴该电箱到的距离的和最短为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $