专题01 图形的轴对称重 重难点专题提升精讲精练 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，通过13类基础题型+3类提高题型+15道检测题，系统构建轴对称知识体系，强化直观想象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题型|13类（含镜面对称、最短路径等）|定义判断法、对称性质迁移法、折叠问题化归策略|从图形识别（知识点1-2）到性质应用（知识点3），再到作图与实际情境（知识点4）| |提高题型|3类（含压轴综合题）|动态对称分类讨论、角度计算模型、规律探究思想|深化性质应用，衔接中考综合题，培养空间观念与创新意识| |自我检测|15题（含跨学科题）|错题归因诊断法|覆盖4个知识点，验证知识迁移能力，强化数学表达与应用意识|

专题01 图形的轴对称重难点题型专训（4个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、轴对称图形的识别 1 题型二、根据成轴对称图形的特征进行判断 2 题型三、根据成轴对称图形的特征进行求解 3 题型四、画对称轴 4 题型五、求对称轴条数 5 题型六、画轴对称图形 6 题型七、设计轴对称图案 7 题型八、台球桌面上的轴对称问题 8 题型九、轴对称中的光线反射问题 9 题型十、折叠问题 10 题型十一、镜面对称问题 11 题型十二、最短路径问题 12 题型十三、轴对称综合问题 13 第二部分·练提高题型 题型一、根据成轴对称性质求角度 1 题型二、轴对称性质的规律问题 2 题型三、轴对称综合应用压轴问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河南洛阳·阶段检测）如图，与关于直线l对称，下列结论中：①；②；③直线l垂直平分；④．其中正确的有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 知识点02 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 知识点03 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南安阳·期中）关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点一定在（    ） A．对称轴上 B．对称轴的异侧 C．对称轴的同侧 D．对称轴上或对称轴的异侧 2．（25-26八年级上·陕西安康·期末）请你将下面的数学概念正确，规范、工整地书写在横线上． 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． _____________________________________________________________________________ 知识点04 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图，在的正方形网格中，选择一个空白小正方形涂黑，所得黑色图案是轴对称图形的情况有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，从正方形网格图中标有序号“1，2，3”的格子中选一个涂阴影，使得整个阴影图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则应涂阴影的格子序号应该是______． 【基础题型一 轴对称图形的识别】 【例1】（26-27八年级上·重庆·期中）近年来，人工智能发展迅速，开始走进千家万户，为我们的日常生活增添更多便利．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B．C． D． 【例2】（25-26七年级上·山东淄博·期中）请你写出四个具有轴对称性的汉字：______ 1．（26-27八年级上·浙江金华·期中）在线段、角、等腰三角形、长方形、圆五个图形中，是轴对称图形的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（25-26八年级上·江西赣州·期中）我们知道圆、线段都是轴对称图形，请再写出一个是轴对称图形的几何图形名称___________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？请你再找出几个类似的汉字． 【基础题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）民族服饰被史学家称之为“穿在身上的史书”．在下列展示的民族服饰图片中，轴对称图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 1．（2025·河北邯郸·一模）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 2．（25-26七年级上·山东淄博·期中）小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所示的电子钟的实际时刻是__________． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 【基础题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例1】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上一点，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点之间的距离的最小值是______________，点之间的距离的最大值是______________． 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图所示，与关于直线对称，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 【基础题型四 画对称轴】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（    ） A．a B．b C．c D．d 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的______就是该图形的对称轴． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①② 2．（25-26七年级下·四川眉山·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 3．（25-26七年级下·全国·单元复习）找出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【基础题型五 求对称轴条数】 【例1】（2026·山东枣庄·模拟预测）下面图标中，不只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·陕西西安·二模）如图，正五边形的对称轴条数为______条． 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰三角形 2．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图，该图形有__________条对称轴．    3．（25-26七年级下·全国·随堂练习）如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？ 【基础题型六 画轴对称图形】 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 1．（25-26七年级下·广西桂林·期末）已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（26-27八年级上·全国·随堂练习）如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【基础题型七 设计轴对称图案】 【例1】（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【例2】（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，在的正方形网格中，有3个涂色小正方形，再任意给一个白色小正方形涂色，则所得涂色图案是轴对称图形的情况有________种． 1．（2026·江西抚州·模拟预测）如图，已知锐角三角形，，请添加一个点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是一个轴对称图形，则这样的点D有（） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图是一个的网格，网格中每个格子均为边长相等的小正方形．若在网格中再涂一格阴影，使阴影部分变为轴对称图形，则共有______种不同的涂法． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期末）轴对称性是一种经典的几何性质．按要求完成画图． (1)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形关于虚线成轴对称； (2)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形成轴对称，画出两种添加方法． (3)用7个大小完全相同的小正方格，设计一个轴对称图形（要求7个方格均要用上）． 【基础题型八 台球桌面上的轴对称问题】 【例1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 1．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为__________． 3．（25-26八年级上·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【基础题型九 轴对称中的光线反射问题】 【例1】（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山西吕梁·二模）如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 1．（25-26七年级下·河南安阳·期末）射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．即下图中； (1)窗外一束光从C处斜射到平面镜上的点E处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点D处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段表示，铅笔加黑加粗，保留作图痕迹）； (2)在图②中，有，．设镜子与的夹角．若，入射光线与反射光线的夹角．求的度数； (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面反射到镜面，再反射到镜面，最后经镜面反射后，当反射光线与入射光线平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由； (4)如图④，若，已知入射光线与镜面平行，经过次反射后，反射光线按原路返回，请直接写出α满足的条件． 【基础题型十 折叠问题】 【例1】（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）把沿长方形对角线折叠得到，与交于点，延长、交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）把正方形一角折起如图，已知，那么___________． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，线段和点在四边形纸片上，你能通过折纸的方法，折出经过点且与线段垂直的直线的折痕吗?能折出线段的垂直平分线吗?说说你的想法． 【基础题型十一 镜面对称问题】 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（    ） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为______． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 【基础题型十二 最短路径问题】 【例1】（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 1．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 3．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【基础题型十三 轴对称综合问题】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，某地由于居民增多，要在公路上增加一个公共汽车站，是路边两个新建的小区，根据下列条件，用尺规作图确定点的位置，保留痕迹，不写作法． (1)若，在图1中作出点； (2)若最小，在图2中作出点． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）新定义：若两个角的差的绝对值等于，我们把这两个角叫做“奋进角”． (1)如图1，在长方形纸条中，点分别为上一个动点，以为对称轴将四边形折叠得到四边形，点的对应点分别为点，，若与为“奋进角”，求的度数； (2)如图，点为线段上一个动点，点分别为射线上一个动点，分别以为对称轴将和折叠，得到和，点的对应点分别为点． ①当点在一条直线上时，若与为“奋进角”，求的度数； ②当点不在一条直线上时，若与为“奋进角”，，当时，直接写出的度数． 【提高题型一 根据成轴对称性质求角度】 【例1】（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，已知，点M、N分别是边、上的定点，点P、Q分别是边、上的动点，记，，当最小时，（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，与关于直线成轴对称．已知，，求的度数． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，已知关于直线l的轴对称图形为，点A的对应点为点． (1)尺规作图：作出对称轴l（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据轴对称图形的性质画出； (3)若，，直接写出的度数． 【提高题型二 轴对称性质的规律问题】 【例1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带，将纸条沿折叠一下，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）王敏在数学活动中利用纸带折叠进行探究活动，如图，他将一条两边沿互相平行的纸带多次折叠，发现图示中形成的和之间存在一定的数量关系，若设，则______．（用关于x的代数式表示） 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【问题情境】数学课上老师带领同学们学习课本页探究与发现． 【实践探究】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在边上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则有，请说明为什么？ 【类比探究】如图2，在中，如果，请仿照上面的方法或者用其它方法说明：； 【拓展应用】如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，为折痕，过点E作，交于点M，若，试求的度数． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分，平分． (1)【结论形成】如图①，若，求的度数； (2)【结论应用】如图②，点分别是边、上一点，连接，将沿折叠，使得点与点重合．若，求的度数； (3)【拓展延伸】如图③，点在的延长线上，作的平分线交延长线于点．若，则________度． 3．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【提高题型三 轴对称综合应用压轴问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，均为格点（网格线的交点）． (1)作线段，使与关于直线对称； (2)在直线找一点，使的周长最小． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知内两定点．试在上各找一点，使最短． 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出与关于直线l成轴对称的； (2)如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形； (3)在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 1．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·青海海东·期中）如图，与相交于点，与关于直线对称，点、的对称点分别是，，若，，则的度数和的长度分别是（   ） A．，3 B．，3 C．，6 D．，3 4．（2026·河北·模拟预测）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 5．（2026·广东佛山·二模）如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有________．（只填序号） 7．（25-26八年级上·内蒙古乌海·期末）河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 8．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则________． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）图中三角形4与图中哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？ 12．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 13．（25-26七年级下·四川乐山·期末）画图探究： （1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图1中找出点； （2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图2中找出点； 实践应用： （3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，小正方形网格的边长为1，请在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留画图痕迹） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使值最小；（要求在直线上标出点P的位置） (3)的面积为______． 15．（25-26七年级下·河南三门峡·期末）综合与实践 活动1你有多少种画平行线的方法 学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新方法． 王芳是通过折纸画的，方法如图所示． 【观察发现】 (1)图（2）中操作得到的折痕与直线a的位置关系是 ；以下三个结论，能作为判定图（4）中直线的依据的是 （填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行 ②两直线平行，同位角相等 ③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【联系拓展】 (2)将正方形纸片按图方式折叠，标记字母如图，若，求∠EBA的度数．小亮经过思考，想到过点E作．请你根据小亮的想法作出辅助线，并解答； 【迁移探究】 (3)将长方形纸带按如图方式折叠、和分别为折痕，若，，当时，直接写出α与β之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 图形的轴对称重难点题型专训（4个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、轴对称图形的识别 1 题型二、根据成轴对称图形的特征进行判断 2 题型三、根据成轴对称图形的特征进行求解 3 题型四、画对称轴 4 题型五、求对称轴条数 5 题型六、画轴对称图形 6 题型七、设计轴对称图案 7 题型八、台球桌面上的轴对称问题 8 题型九、轴对称中的光线反射问题 9 题型十、折叠问题 10 题型十一、镜面对称问题 11 题型十二、最短路径问题 12 题型十三、轴对称综合问题 13 第二部分·练提高题型 题型一、根据成轴对称性质求角度 1 题型二、轴对称性质的规律问题 2 题型三、轴对称综合应用压轴问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河南洛阳·阶段检测）如图，与关于直线l对称，下列结论中：①；②；③直线l垂直平分；④．其中正确的有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据轴对称的定义和性质解答：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等． 【详解】解：根据轴对称的定义可得，与关于直线l对称，则，所以，故①正确； 因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）；轴对称图形的对应线段、对应角相等．故、直线l垂直平分，故②③正确； 因为与关于直线l对称，不能得到，故④错误． 则有3个是正确的， 故选：B． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，注意成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线对称，连与直线相交于点，则线段______（填＞、、）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称图形中对应点所连线段被对称轴垂直平分这一性质． 根据线段与关于直线对称这一条件，利用轴对称性质判断与的关系． 【详解】因为线段与关于直线对称，点与点是关于这条直线的对应点， 根据轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线， 所以直线是线段的垂直平分线，点O在对称轴上，即． 故答案为：． 知识点02 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的性质，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 知识点03 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南安阳·期中）关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点一定在（    ） A．对称轴上 B．对称轴的异侧 C．对称轴的同侧 D．对称轴上或对称轴的异侧 【答案】D 【分析】本题考查成轴对称图形的性质，根据成轴对称的两个图形，它们的对称点在对称轴上或对称轴的异侧，判断即可． 【详解】解：关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点一定在对称轴上或对称轴的异侧； 故选D． 2．（25-26八年级上·陕西安康·期末）请你将下面的数学概念正确，规范、工整地书写在横线上． 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． _____________________________________________________________________________ 【答案】如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【分析】本题主要加深对轴对称性质的理解． 【详解】解：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点04 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图，在的正方形网格中，选择一个空白小正方形涂黑，所得黑色图案是轴对称图形的情况有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的设计，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此设计图形即可． 【详解】解：如图所示，将①②③④这四个位置的小正方形选择涂黑一个，所得黑色图案是轴对称图形， 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，从正方形网格图中标有序号“1，2，3”的格子中选一个涂阴影，使得整个阴影图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则应涂阴影的格子序号应该是______． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）即可得． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，这个格子内标有的数字是2， 故答案为：2． 【基础题型一 轴对称图形的识别】 【例1】（26-27八年级上·重庆·期中）近年来，人工智能发展迅速，开始走进千家万户，为我们的日常生活增添更多便利．下列人工智能应用图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B．C． D． 【答案】B 【详解】解：A、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、它是轴对称图形，故本选项符合题意； C、它不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、它不是轴对称图形，故本选项不合题意． 【例2】（25-26七年级上·山东淄博·期中）请你写出四个具有轴对称性的汉字：______ 【答案】由、木、日、中（合理即可） 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念解答即可． 【详解】解：具有轴对称性的汉字：由、木、日、中（合理即可）． 故答案是：由、木、日、中（合理即可）． 1．（26-27八年级上·浙江金华·期中）在线段、角、等腰三角形、长方形、圆五个图形中，是轴对称图形的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：线段、角、等腰三角形、长方形、圆均为轴对称图形，共有5个． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期中）我们知道圆、线段都是轴对称图形，请再写出一个是轴对称图形的几何图形名称___________． 【答案】正方形（答案不唯一） 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：写出一个是轴对称图形的几何图形，如正方形（答案不唯一）． 故答案为：正方形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查轴对称图形的意义．在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴．理解轴对称图形的意义是解题的关键． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？请你再找出几个类似的汉字． 【答案】草、木、中；举例：日、山、田、王、平. 【详解】解：根据轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，给出的汉字中，可以看成轴对称图形的是草、木、中； 类似的汉字举例：日、山、田、王、平都是轴对称图形． 【基础题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）民族服饰被史学家称之为“穿在身上的史书”．在下列展示的民族服饰图片中，轴对称图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，熟练掌握轴对称的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：①沿中间竖线对折两部分能完全重合，是轴对称图形； ②无论沿哪条直线对折，两部分都不能完全重合，不是轴对称图形； ③沿中间竖线对折两部分能完全重合，是轴对称图形； ④沿中间竖线对折两部分能完全重合，是轴对称图形． 所以轴对称图形有3个， 故选C． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 【答案】林、共、品、吉 【分析】本题侧重考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：根据轴对称的性质知：图中的汉字依次为：林、共、品、吉. 故答案为：林、共、品、吉. 1．（2025·河北邯郸·一模）如图，与关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②；③；④中，错误的有（   ） A．4个 B．1个 C．0个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据轴对称图形的性质可得，，垂直平分和，则结论①和④正确；再根据线段垂直平分线的性质、平行线的判定可得结论②和③正确． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴根据轴对称图形的性质可得，，，垂直平分和，所以结论①和④正确； ∴，，所以结论②和③正确； 综上所述，错误的结论有0个，所以选项C正确，符合题意， 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东淄博·期中）小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，则如图所示的电子钟的实际时刻是__________． 【答案】21：05 【分析】由轴对称图形的性质进行分析即可得到正确答案． 【详解】解：由轴对称图形的性质可知，电子钟的实际时刻的数字图与镜子中的数字图成轴对称图形，所以实际时刻是： 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称图形的性质，牢记相关的知识点是解题的关键． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2) (3)，（答案不唯一） 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则 （3）解：∵与关于直线对称， ∴，．（答案不唯一）． 【基础题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例1】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出，即可得出结果． 【详解】解：∵点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上， ， ， ， ， ， 故选：． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，是边上一点，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点之间的距离的最小值是______________，点之间的距离的最大值是______________． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，由对称性得出三点共线，得出，由此得到当时，最小，进而由等面积法求出即可得到答案；当点与点重合时，最大，为． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点和点关于对称， ， ∵点和点关于对称， ， ， ， ， 三点共线， ， ∴当最小时，最小， 是上一点， 时，最小，此时， ，解得， 的最小值为； 是上一点， ∴当点与点重合时，最大， 的最大值为； ∴点之间的距离最小值是，点之间的距离最大值是． 1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图所示，与关于直线对称，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键．由轴对称的性质可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与关于直线对称，，， ，， ． 故选：B． 2．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【分析】先由轴对称性质得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 【答案】 【详解】解：∵，分别是点关于、的对称点，， ∴，， ∴， 即的周长为． 【基础题型四 画对称轴】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）下图是一个轴对称图形，对称轴是直线（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；分别将图形按折叠，能使图形完全重合的就是该图形的对称轴． 【详解】解：该图形的对称轴是直线c． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的______就是该图形的对称轴． 【答案】垂直平分线（或中垂线） 【分析】根据轴对称图形的对称轴的定义，即可求解． 【详解】解：∵轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分， ∴连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴． 故答案为：垂直平分线（或中垂线）． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的对称轴的定义，理解并掌握对称轴的定义——连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴是解题的关键． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】A 【分析】①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴，方法如图所示． 【详解】解：①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴．    故选：A． 【点睛】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质． 2．（25-26七年级下·四川眉山·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 3．（25-26七年级下·全国·单元复习）找出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴． 【答案】轴对称图形为(1)、(3)、(5)；对称轴绘制如下： 【详解】略 【基础题型五 求对称轴条数】 【例1】（2026·山东枣庄·模拟预测）下面图标中，不只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，没有对称轴，不符合题意； B、有3条对称轴，符合题意； C、有1条对称轴，不符合题意； D、有1条对称轴，不符合题意． 【例2】（2026·陕西西安·二模）如图，正五边形的对称轴条数为______条． 【答案】 5 【分析】正五边形的对称轴为其顶点与该顶点对边中点的连线所在的直线． 【详解】解：如图所示，正五边形有5条对称轴． 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义，结合图形找出对称轴是关键． 根据轴对称图形的定义“指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴”，结合图形分析即可． 【详解】解：A、正方形有4条对称轴，不符合题意； B、平行四边形没有对称轴，不符合题意； C、矩形有2条对称轴，不符合题意； D、等腰三角形只有1条对称轴，符合题意； 故选：D ． 2．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图，该图形有__________条对称轴．    【答案】3 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可得到答案． 【详解】解：由如图所示，它有3条对称轴．    故答案为：3． 3．（25-26七年级下·全国·随堂练习）如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？ 【答案】b、d、f 【分析】图形沿一条直线翻折，翻折后能够实现完全重合，这样的直线称为图形的对称轴，由此判断即可． 【详解】解：∵该图形沿着虚线b，d，f翻折，均能够实现完全重合， ∴虚线b，d，f为该图形的对称轴． 【点睛】本题考查图形的对称轴判断，理解对称轴和轴对称图形的定义是解题关键． 【基础题型六 画轴对称图形】 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】分别以线段为对称轴，线段为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，画线段可得轴对称图形． 【详解】解；如图，符合题意的线段有，共4条． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形画出满足题意的三角形，再统计即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可以画出与成轴对称的三角形如下： 即可以画5个． 故答案为：5． 1．（25-26七年级下·广西桂林·期末）已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙． 2．（26-27八年级上·全国·随堂练习）如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】 解：如下图即为所求， 【分析】分别作出特殊点关于直线的对称点，顺次连接对应点得到的图形即为所求． 【详解】略 【基础题型七 设计轴对称图案】 【例1】（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质． 由等边三角形有三条对称轴可得答案． 【详解】解：如图所示，涂黑3个小正三角形，可组成等边三角形，而等边三角形有3条对称轴，故n的最小值为3， 故选：B 【例2】（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，在的正方形网格中，有3个涂色小正方形，再任意给一个白色小正方形涂色，则所得涂色图案是轴对称图形的情况有________种． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图案，依据轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是轴对称图形的情况有4种． 故答案为：4 1．（2026·江西抚州·模拟预测）如图，已知锐角三角形，，请添加一个点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是一个轴对称图形，则这样的点D有（） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】要使点A，B，C，D构成的四边形是轴对称图形，需考虑对称轴的位置，分对称轴经过三角形顶点和对称轴经过三角形边中点两种情况讨论． 【详解】解：要使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形， 对称轴主要有以下两种情形： ①对称轴经过三角形的两个顶点（即三角形的一边所在直线）： 若以所在直线为对称轴，点关于的对称点即为点，这样的点有1个； 同理，以所在直线为对称轴，可得1个点；以所在直线为对称轴，可得1个点； 此种情况共有3个点． ②对称轴经过三角形一边的中点且垂直于该边（即三角形一边的垂直平分线）： 若以的垂直平分线为对称轴，点关于该直线的对称点即为点，这样的点有1个； 同理，以的垂直平分线为对称轴，可得1个点；以的垂直平分线为对称轴，可得1个点； 此种情况共有3个点． ∵， ∴上述6个点互不重合 综上所述，这样的点共有个． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图是一个的网格，网格中每个格子均为边长相等的小正方形．若在网格中再涂一格阴影，使阴影部分变为轴对称图形，则共有______种不同的涂法． 【答案】3 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称定义进行解答即可． 【详解】解：如图，在网格中再涂一格阴影，使阴影部分变为轴对称图形，共有3种不同的涂法． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期末）轴对称性是一种经典的几何性质．按要求完成画图． (1)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形关于虚线成轴对称； (2)在图中的适当位置添加最少的小方格，使图形成轴对称，画出两种添加方法． (3)用7个大小完全相同的小正方格，设计一个轴对称图形（要求7个方格均要用上）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对称轴先找到有对称的部分，再补齐剩下没有对称的部分的对称图形即可； （2）参考（1）的思路，先确定对称轴，再补齐剩下的图形； （3）参考前面两问的图形，补齐到7个大小完全相同的小正方格即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【基础题型八 台球桌面上的轴对称问题】 【例1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 1．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 2．（25-26八年级上·广西南宁·期中）四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】作A关于BC和CD的对称点A′、A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即ΔAMN为的周长最小值，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决． 【详解】如图，作A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，则即为的周长最小值， ， ， ∴∠A′+∠A″=70°， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=140°. 故答案为140° 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 3．（25-26八年级上·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【答案】 解：如图所示，白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求． 【详解】解：画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 理由：由轴对称性质得． 又∵， ∴． ∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 【基础题型九 轴对称中的光线反射问题】 【例1】（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）如图，设和是镜面平行相对且间距为的两面镜子，把一个小球A放在和之间，小球在镜中的像为，在镜是中的像为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是镜面反射的性质即轴对称的性质；解决本题的关键，是理解实物与像关于镜面对称．那么到镜面的距离就相等．如图所示，经过反射后，，，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， 经过反射后，，， ∴． 故选：D． 【例2】（2026·山西吕梁·二模）如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据题意以及三角形的外角的性质求得，结合平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，， ∴． 1．（25-26七年级下·河南安阳·期末）射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，由题可知，进而可得；对于B，由题可得，进而得到，再根据同旁内角互补，两直线平行即可判断；对于C，根据平行的性质即可判断；对于D，由可得，无法判定． 【详解】解：对于A，由题可知，又， ，即，则，故A正确，不符合题意； 对于B，， ，，即， ， （同旁内角互补，两直线平行），故B正确，不符合题意； 对于C，， ，即，故C正确，不符合题意； 对于D，，又， ，同旁内角相等，不一定互补，则不一定平行，故D错误，符合题意． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）科学实验证实光的反射规律：光线入射至平面镜发生反射时，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角．即下图中； (1)窗外一束光从C处斜射到平面镜上的点E处，小明转动手中的平面镜，使反射光线恰好照到黑板上的点D处．请在图①中使用无刻度的直尺和圆规画出平面镜所在位置（平面镜用线段表示，铅笔加黑加粗，保留作图痕迹）； (2)在图②中，有，．设镜子与的夹角．若，入射光线与反射光线的夹角．求的度数； (3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面反射到镜面，再反射到镜面，最后经镜面反射后，当反射光线与入射光线平行时，探索m与γ的数量关系，并说明理由； (4)如图④，若，已知入射光线与镜面平行，经过次反射后，反射光线按原路返回，请直接写出α满足的条件． 【答案】(1)如图所示，线段即为所求； (2) (3)，理由如下： 延长和，交点为，如图所示： 由（2）的思路可得，， ， ∵， ∴，即， 整理得，， ， 即． (4)（为正整数，） 【分析】（1）延长，作出邻补角的平分线即可，根据角平分线以及对顶角相等即可得到； （2）根据三角形内角和，利用对顶角相等得，，再利用三角形内角和结合等量代换即可求解； （3）延长和，交点为，由（2）得，根据平行线的性质即可求解； （4）分别求出时的度数，然后总结出一般规律即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）略 （4）解：当时，如图，时，反射光线按原路返回， ∵ ∴，即； 当时，如图，时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，解得，即 当时，如图，当时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴在中，，解得，即； 当时，如图，当时，反射光线按原路返回， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，，解得，即， 依次类推，经过次反射后，反射光线按原路返回，α满足的条件为（为正整数，）． 【基础题型十 折叠问题】 【例1】（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在长方形中，，，点、分别在、上，将长方形沿折叠，使点，分别落在长方形外部的点，处，则阴影部分图形的周长为（     ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】利用折叠的性质得到对应线段相等，将阴影部分周长中的线段等量代换，转化为长方形的周长，代入数值计算得到结果． 【详解】解：根据折叠的性质，得，，， ∴阴影部分图形的周长 ． 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 【答案】43 【分析】由折叠的性质得出，再由三角形内角和定理得出． 【详解】解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴． 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）把沿长方形对角线折叠得到，与交于点，延长、交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质以及长方形的性质．根据平行线的性质求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，最后利用余角的定义求解即可． 【详解】解：四边形是长方形， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵点在上， ∴． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）把正方形一角折起如图，已知，那么___________． 【答案】30 【分析】根据折叠的性质，折叠前后的对应角相等，正方形的一个角为 ，观察图形可知， 与两个 组成了正方形的直角，根据 求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等，即， ∵四边形为正方形， ∴ ， ， ， ， ． 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，线段和点在四边形纸片上，你能通过折纸的方法，折出经过点且与线段垂直的直线的折痕吗?能折出线段的垂直平分线吗?说说你的想法． 【答案】都可以通过折纸的方法做到，理由如下： 如图，将纸片折起使得点的对应点落在线段上，同时移动点使得折痕经过点， 则折痕即为所求过点且与线段垂直的直线的折痕； 如图，将纸片折起使得点与点重合，则所得折痕所在的直线即为线段的垂直平分线． 【详解】解：由折叠过程可得，点与点关于对称， ∴； 由折叠过程可得，点与点关于对称， ∴垂直平分线段． 【基础题型十一 镜面对称问题】 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字代码，则镜子中的数字代码对应的实际数字代码是____________． 【答案】630085 【分析】本题主要考查了镜面对称，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形；注意的关于竖直的一条直线的轴对称图形是． 所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作轴对称图形得： 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（    ） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15 【答案】C 【分析】根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可． 【详解】解：镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称． 注意镜子的5实际应为2，电子表的实际时刻是10：21． 故选C． 【点睛】本题主要考查了镜面对称的特点：上下前后方向一致，左右方向相反． 2．（25-26七年级上·吉林长春·期末）新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为______． 【答案】20231425 【分析】本题考查了镜面对称的性质； 根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可得答案． 【详解】解：他的学号为20231425， 故答案为：20231425． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 【答案】小兰利用镜面对称（轴对称），将镜子放在如图位置，镜子中就会得到正确的等式，如图所示， 【详解】略 【基础题型十二 最短路径问题】 【例1】（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，天然气主管道l的一侧有A，B两个居民区，计划从主管道l引支管道连接这两个居民区，下面的方案中，所引天然气支管道长度最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短得到C方案小于A方案，再根据垂线段的长短进行判断即可解题． 【详解】解：根据垂线段最短和图中所给垂线段长度，可得所引天然气支管道长度最短的是C选项． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 1．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点B、P、共线时取等号， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的值最小，最小值为． 2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 3．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据三角形的内角和定理求得，，然后根据角平分线的定义求得，进而可求解； （2）作，交于点，分别证明，得到，，进而由可证得结论； （3）由（2）知，，作，，连接，，证明得到，再证明得到，利用两点之间线段最短得到，当D、M、共线时取等号，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． 【基础题型十三 轴对称综合问题】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质，结合两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 根据两点之间，线段最短，可知选项中的汽车充电站到、两个小区之间的距离之和最短． 【例2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【分析】连接，过点O作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，，从而得出，然后根据三角形的面积公式得．可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H， ，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，某地由于居民增多，要在公路上增加一个公共汽车站，是路边两个新建的小区，根据下列条件，用尺规作图确定点的位置，保留痕迹，不写作法． (1)若，在图1中作出点； (2)若最小，在图2中作出点． 【答案】(1) 如图，点P即为所求； (2) 如图，点P即为所求． 【分析】本题主要考查了尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作线段的垂直平分线． （1）连接，作线段的垂直平分线，交直线于点P； （2）作点A关于直线的对称点，连接，交直线l于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据对称的性质可得，再根据三角形的内角和即可求解； （2）根据对称的性质可得，，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：与关于直线成轴对称， ， ， ; （2）与关于直线成轴对称， ，，即， ， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期末）新定义：若两个角的差的绝对值等于，我们把这两个角叫做“奋进角”． (1)如图1，在长方形纸条中，点分别为上一个动点，以为对称轴将四边形折叠得到四边形，点的对应点分别为点，，若与为“奋进角”，求的度数； (2)如图，点为线段上一个动点，点分别为射线上一个动点，分别以为对称轴将和折叠，得到和，点的对应点分别为点． ①当点在一条直线上时，若与为“奋进角”，求的度数； ②当点不在一条直线上时，若与为“奋进角”，，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)或 (2)①或；②或 【分析】（1）分两种情况：点M在下方和点M在上方，分别画出示意图，求出的关系式，再根据“奋进角”的定义建立方程求解即可； （2）①由轴对称的性质可得，根据平角的定义可推出，再根据“奋进角”的定义建立方程求解即可；②由轴对称的性质可得，由“奋进角”的定义可推出；设，则，，，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，当点M在下方时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴，或， ∴或； 如图所示，当点M在上方时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴，或， ∴或（舍去）； 综上所述，的度数为或； （2）解：①由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ②由轴对称的性质可得， ∵与为“奋进角”，， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， 综上所述，的度数为或． 【提高题型一 根据成轴对称性质求角度】 【例1】（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，已知，点M、N分别是边、上的定点，点P、Q分别是边、上的动点，记，，当最小时，（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， ． 【例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 【答案】 45 【详解】解：∵，， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴. 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，与关于直线成轴对称．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先，根据轴对称的性质得到，，再由，，三角形的内角和为即可得出的度数． 【详解】解：∵与关于直线成轴对称，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接，点恰好落在的延长线上，与的交点为，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，三角形内角和，求解即可； 【详解】解：∵关于的对称线段是， ∴． ∵， ∴， ∵关于的对称线段是， ∴， ∴， ∴， 又∵点落在所在的直线上，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，已知关于直线l的轴对称图形为，点A的对应点为点． (1)尺规作图：作出对称轴l（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据轴对称图形的性质画出； (3)若，，直接写出的度数． 【答案】(1)如图，直线即为所求对称轴， (2)如图，即为所求， (3) 【分析】（1）先连接，再用尺规作图，作的垂直平分线即可； （2）由轴对称图形的性质，分别过点、作对称轴的垂线，延长垂线至、，使、到直线的距离分别等于、到直线的距离；顺次连接、、，得到，即为关于直线l的轴对称图形； （3）由轴对称性质得．在中由内角和定理得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形对应角相等， ， ， ． 【提高题型二 轴对称性质的规律问题】 【例1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带，将纸条沿折叠一下，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行内错角相等，折叠的性质，两直线平行，同旁内角互补，计算选择． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， 根据折叠性质，得， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·山西晋中·期末）王敏在数学活动中利用纸带折叠进行探究活动，如图，他将一条两边沿互相平行的纸带多次折叠，发现图示中形成的和之间存在一定的数量关系，若设，则______．（用关于x的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换等知识，解题关键是熟练掌握基本知识． 利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵， ，， ∵将一条上下两边互相平行的纸带折叠， ， ， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【问题情境】数学课上老师带领同学们学习课本页探究与发现． 【实践探究】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在边上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则有，请说明为什么？ 【类比探究】如图2，在中，如果，请仿照上面的方法或者用其它方法说明：； 【拓展应用】如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，为折痕，过点E作，交于点M，若，试求的度数． 【答案】 [实践探究]理由如下： ∵折叠， ∴， ∵， ∴； [类比探究]∵； 如图所示， 折叠，使得，交于F，则， 在中，， ∴，即； [拓展应用] 【分析】[实践探究]由三角形外角的性质可得； [类比探究]证明，如图所示，折叠，使得，交于F，则，由三角形三边关系得到，据此可证明； [拓展应用]由折叠的性质可得，则，由三角形外角的性质推出；由平行线的性质和前面的结论证明，由三角形内角和定理得到，则，即可得到． 【详解】解：[实践探究]略 [类比探究]略 [拓展应用]由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分，平分． (1)【结论形成】如图①，若，求的度数； (2)【结论应用】如图②，点分别是边、上一点，连接，将沿折叠，使得点与点重合．若，求的度数； (3)【拓展延伸】如图③，点在的延长线上，作的平分线交延长线于点．若，则________度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由三角形内角和定理得，进而由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理解答即可； 由折叠的性质得，，又由平角定义得，即得，得到，再根据即可求解； 利用角平分线及平角定义可得，即得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由折叠可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由可得，； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 【提高题型三 轴对称综合应用压轴问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，均为格点（网格线的交点）． (1)作线段，使与关于直线对称； (2)在直线找一点，使的周长最小． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 解：如图所示，点即为所求 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题； （1）根据轴对称的性质找到的对称点，连接，即可求解； （2）连接交于点，则点即为所求； 【详解】（1）略 （2）略 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知内两定点．试在上各找一点，使最短． 【答案】 如图所示，点即为所求． 【分析】此题考查了轴对称最短路线问题，如图，分别作出点关于的对称点，连接，与的交点为，则，，故得，由两点之间，线段最短，可得此时最短，故点即为所求，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：略． 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图1，已知长方形中，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____ ；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，进行线段的和差运算，即可作答． （2）先算出长方形的面积为，则或的面积为，结合平分或的面积，列式进行计算可作答． （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则 ∵ ∴ ∴当时，则 ∴ 故答案为：2 （2）解：∵长方形中， ∴等于的面积， 即， ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∵平分的面积，    ∴， 即， 解得． ∴或 （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ∴最短时，即最短 此时（垂线段最短），即点与点重合 ∴ ②∵边形的面积是长方形的面积 ∴ ∵ ∴ 当点P在上时    ∴ 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，根据平角的定义，即可求解； （2）由（1）可知：，根据折叠的性质设，，根据平角的定义可得，，解方程求出，，结合四边形的内角和是，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，由图形折叠的特征可得：，， ， ， ． （2）解：如图2： 由（1）可知：， 设，， 则，， ∵，， 故，， 解得，， 在四边形中，， 在四边形中，． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出与关于直线l成轴对称的； (2)如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形； (3)在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 如图所示，可以作3个． (3) 如图，点P即为所求． 【分析】（1）先画出点C和点B关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）先画出点C关于直线的对称点，再连接，与l相交于点P． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 1．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，则此项符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【详解】 A选项图形有2条对称轴； B选项图形有2条对称轴； C选项图形有3条对称轴； D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 3．（25-26八年级上·青海海东·期中）如图，与相交于点，与关于直线对称，点、的对称点分别是，，若，，则的度数和的长度分别是（   ） A．，3 B．，3 C．，6 D．，3 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，根据和关于直线对称得出，即可解答问题． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2026·河北·模拟预测）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 5．（2026·广东佛山·二模）如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列几何图形：等边三角形；线段；角；正方形；任意三角形；长方形；梯形；圆．其中，一定是轴对称图形的有________．（只填序号） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐个判断即可求解． 【详解】解：一定是轴对称图形的有：等边三角形，线段，角，正方形，长方形，圆， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·内蒙古乌海·期末）河对岸的大楼上镶嵌的钟面在河水中的倒影如图所示，则实际时间是_________． 【答案】3时35分 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键. 大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称，图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反，据此作答即可. 【详解】解：∵大楼上镶嵌的钟与它在河水中的倒影成轴对称， 如图， 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好上下相反， ∴实际时间是，即3时35分. 故答案为：3时35分. 8．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）如图，，点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，则________． 【答案】 【详解】如图， ∵点P是内的一点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为， ∴． 9．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 由轴对称图形的性质可知：点到直线的距离为，则，，由此求得即可． 【详解】解：解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴， ， 点到直线的距离为， ， ； 故答案为： 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是：_____________． 【答案】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【分析】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【详解】解：如图，点C，点D即为所求． 故答案为：作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）图中三角形4与图中哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？ 【答案】三角形4与图中三角形1、三角形3成轴对称，整个图形共有两条对称轴； 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义即可得到结果． 【详解】解：三角形4与图中三角形1、三角形3成轴对称，整个图形共有两条对称轴； 12．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长； （2）根据轴对称的性质可得，，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点， ，， △的周长， ； 的周长等于8； （2）解：如图，连接， ∵点M，N分别是点P关于的对称点， ，， ． ． 13．（25-26七年级下·四川乐山·期末）画图探究： （1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图1中找出点； （2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图2中找出点； 实践应用： （3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数． 【答案】 （1）根据两点之间线段最短，连接与直线相交点， 此时最小； （2）作点关于直线的对称点，则 ， 连接与直线相交点即是点，此时最小，即最小； （3）如图3，分别作出点关于，的对称点，， 连接分别交、于点、，此时周长最小； ∵，， ∴，∴， ∴． ∴． 【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接，与直线相交点即是点； （2）作点关于直线的对称点，则，连接与直线相交点即是点； （3）分别作出点关于，的对称点，，连接分别交、于点、，根据垂直平分线的定义即可求解． 【详解】解：略． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，轴对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，小正方形网格的边长为1，请在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留画图痕迹） (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在直线上找一点P，使值最小；（要求在直线上标出点P的位置） (3)的面积为______． 【答案】(1)如下图， (2)如图： (3) 【分析】（1）利用关于直线对称的性质，分别得出对应点，连接即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法，连接交直线于点P，即可得答案； （3）利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：作对应点，连接，即为所求； （2）如（1）图，连接交直线于点P，点P即为所求； （3）， ． 【点睛】本题考查作图一轴对称变换，三角形的面积，最短路线问题，解题的关键是正确得出对应点位置． 15．（25-26七年级下·河南三门峡·期末）综合与实践 活动1你有多少种画平行线的方法 学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新方法． 王芳是通过折纸画的，方法如图所示． 【观察发现】 (1)图（2）中操作得到的折痕与直线a的位置关系是 ；以下三个结论，能作为判定图（4）中直线的依据的是 （填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行 ②两直线平行，同位角相等 ③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【联系拓展】 (2)将正方形纸片按图方式折叠，标记字母如图，若，求∠EBA的度数．小亮经过思考，想到过点E作．请你根据小亮的想法作出辅助线，并解答； 【迁移探究】 (3)将长方形纸带按如图方式折叠、和分别为折痕，若，，当时，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)垂直；①； (2)，； (3) 【分析】（1）先根据折叠操作的特征判断折痕与直线的位置关系，再区分平行线的判定定理和性质定理，选择符合“由角的关系推平行”的依据即可； （2）根据折叠性质得到对应角相等，结合正方形内角为直角的特征，过作后，利用平行线的传递性得到与也平行，再通过平行线的性质推导角的数量关系即可； （3）先根据折叠性质得到折叠前后对应角相等，再结合平行的性质，利用的条件，通过平行线的性质和邻补角的性质建立和的关系． 【详解】（1）解：第一次折叠使直线沿折痕重合，根据折叠性质，折痕与直线垂直，图2的折痕与直线a的位置关系是垂直； 图4，两次折叠后，直线、都垂直于同一条折痕，得到同位角均为相等， ∴判定图（4）中直线的依据是①同位角相等，两直线平行； （2）解：如图4，过点E作， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵将长方形纸带按如图折叠，和分别为折痕， ， ， ， ， ， ， ，即． 学科网（北京）股份有限公司 $