八年级下学期期末重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

**基本信息** 八年级下学期期末培优卷，融合代数、几何与统计，通过“倍根方程概念辨析”“旋转规律探究”“古代数学方法解二次方程”等创新题，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式、一元二次方程、统计量、旋转几何|第4题结合旋转规律与坐标计算，体现空间观念| |填空题|6/18|中垂线性质、方差、规律探究|第16题棋子图案规律，考查抽象能力与归纳推理| |解答题|9/72|动态几何、实际应用、统计分析|25题正方形动态问题综合几何直观与推理能力，22题果园产量问题体现模型意识与应用能力|

八年级下学期期末重难点检测卷（培优卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列说法，其中错误的是（　　） A．的立方根是 B．若有意义，则 C．近似数万精确到十分位 D．根据作图痕连，可成功找出到三角形三边距离相等的点 2．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 3．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 4．如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形和均为平行四边形，边，相交于点P，边，在同一直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则的面积与的面积差的变化情况是（　　）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．一直不变 7．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE．要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 9．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 10．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．在中，已知，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 12．若（其中，为有理数），______． 13．已知方程的两根分别为，，则的值为______． 14．矩形纸片的长为，宽为，在边上，沿折叠使点落在边上的点处，在线段上取一点（不与点，重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点．当射线经过的直角边的中点时，则的长为________． 15．若一组数据“1、2、3、4、x”的方差与另一组数据“11、12、13、14、15”的方差相等，则的值是______． 16．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第个图案需要331枚棋子．则________．    三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．计算： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 20．为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 (1)表中的值为_____，的值为_____； (2)丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； (3)根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 21．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 22．某果农去年在一片向阳的坡地上平均分出，两块地种植桃树，地共收获桃子；地比地多种棵、共收获桃子，此时，地每棵桃树的产量比地低． (1)果农去年共种了多少棵桃树？ (2)果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，咨询专业技术人员后得知：若今年在地每多种棵桃树，地每棵桃树的平均产量就会减少．如果要使地的总产量比去年增加，且尽量节约成本，那么地应多种多少棵桃树？ 23．如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． (1)草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； (2)现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． (3)尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 24．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 25．如图，正方形中，已知，对角线与交于点O，点E为射线上的一个动点不与点B重合，点M为线段的中点．现将线段绕点M顺时针旋转得到线段，连结，．    (1)若点M在线段OD上且，求线段OF及EF的长． (2)当点E在线段OB上运动时，请判断的形状，并说明理由． (3)在点E的运动过程中，当时，求线段BE的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期末重难点检测卷（培优卷） 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列说法，其中错误的是（　　） A．的立方根是 B．若有意义，则 C．近似数万精确到十分位 D．根据作图痕连，可成功找出到三角形三边距离相等的点 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，二次根式有意义的条件，近似数的定义以及角平分线的性质，熟记教材内容是解题的关键． 根据立方根的定义，二次根式有意义的条件，近似数的定义以及角平分线的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、的立方根是，故本选项正确，不符合题意；     B、若有意义，则，即，故本选项正确，不符合题意；     C、近似数万精确到千位，故本选项不正确，符合题意； D、根据作图痕迹，可成功找出到三角形三边距离相等的点，故本选项正确，不符合题意；     故选：C． 2．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键． ①是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出②中方程的两个根，根据倍根方程的定义，分两种情况求出m和n的关系，代入后面的式子即可判断，③根据，得出，解方程即可判断对错． 【详解】解：①方程的解为，，此方程不是倍根方程，此结论错误； ②∵是倍根方程，且， ∴或， ∴或， ∴，此结论正确． ③关于x的一元二次方程是“倍根方程”，理由如下： ∵， ∴方程可变为：方程， 解方程得：， ∴，此结论正确； 故选D． 3．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，， 男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为， 男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：， 男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； ，， ， 女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． 4．如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的变化−旋转，根据题意得出点坐标变化规律，再得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：如图，分别过点B，作x轴的垂线，交x轴于E，F， 则，， ∴，，， ∴， ∵，，每操作1次，三角形的边长增加1， 则第2024次操作得到的在第一象限，且边长为2025， ∴． 5．如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，作，证明，进而得到，得到点的轨迹，作点关于的对称点，连接，得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，是边的中点， ∴，，，， 过点作，作，则四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于且距离为1的直线上运动，， ∴， 作点关于的对称点，连接，则垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 6．如图，四边形和均为平行四边形，边，相交于点P，边，在同一直线上，当点P从点C出发向点D运动时（点P不与点C，D重合），则的面积与的面积差的变化情况是（　　）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．一直变小 D．一直不变 【答案】D 【分析】连接，由平行四边形对边平行且相等可得，，由同底等高的两个三角形面积相等得到，由等底同高的两个三角形面积相等得到，推出，求出面积差为0即可做出判断． 【详解】解：连接，    ∵四边形和均为平行四边形， ∴，， ∵边，相交于点P，边，在同一直线上， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴当点P从点出发向点运动时，的面积与的面积差一直不变． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形，平行线，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质、平行线间的距离相等、三角形的面积公式， 等底等高的三角形面积相等，是解决问题的关键． 7．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE．要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定，掌握从平行四边形到正方形的判定路径是解题的关键． 先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形；再根据正方形的判定判定即可． 【详解】解：∵分别是的中点，分别是的中点， ∴分别是，，，的中位线， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形． 当时，， ∴是菱形． 当时，，则， ∴菱形是正方形． 故选：A． 8．八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组， 则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170， ， 乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195， 乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 9．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】矩形的长为 ，面积为 ， 矩形的宽为 ， ，，， ， 正方形的最大边长为矩形的宽 ， 正方形的最大面积为 ， 故选：C． 10．我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的几何解法及完全平方公式的应用，熟练掌握几何法中“大正方形面积四个长方形面积小正方形面积”的关系是解题的关键． 类比题目中几何法解一元二次方程的方法，先确定长方形的长和宽，再根据大正方形面积的组成（四个长方形面积 + 小正方形面积），结合小正方形面积求出相关边长，进而计算的值． 【详解】解：∵ 方程为， ∴ 长方形的长为，宽为，小正方形的边长为． ∵ 小正方形的面积为64， ∴ ，即（边长为正）． ∵ 大正方形的边长为，大正方形的面积为， ∴ （大正方形边长为正）． ∵ ，， ∴ 两式相减得：， 即，解得． 将代入，得， 解得． 故选：B． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．在中，已知，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】作于点，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，连接、，由线段垂直平分线的性质可得，则，由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时最短为，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∴， 连接、， ∵垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当点与点重合时，此时最短为， ∴的最小值为． 12．若（其中，为有理数），______． 【答案】 【分析】先对等式左边的分式进行分母有理化，整理等式后分离有理数部分与无理数部分，根据对应系数相等得到关系，计算得出的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 13．已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对进行降次处理，再结合根与系数的关系（韦达定理）对式子进行变形，最后代入化简求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 14．矩形纸片的长为，宽为，在边上，沿折叠使点落在边上的点处，在线段上取一点（不与点，重合），沿折叠，点的对应点为，延长交直线于点．当射线经过的直角边的中点时，则的长为________． 【答案】或 【分析】由矩形的长为、宽为，沿折叠使落在上的处，可证四边形为正方形，从而得，． 由及折叠性质可推出，从而得到核心结论． 为等腰直角三角形，其两条直角边、的中点分别记为、． 分两种情况讨论：当射线经过的中点时，与重合，在中利用勾股定理求，再由得解；当射线经过的中点时，连接，利用证明，得，再在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，，， ，． 由沿折叠，点落在上的点处， ，，． ， 四边形是正方形， ，， ，． ， ， 由沿折叠知， ， ． 当射线经过的中点时， 与重合， ， ， ． 由折叠知，， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 当射线经过的中点时， 连接， ，， ， 由折叠知， ． ，在上， ， 又，且在射线上， ， 在和中： ， （）， ． 设， 由图形位置关系知点在线段上， ， 又，， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得． 综上所述，的长为或． 15．若一组数据“1、2、3、4、x”的方差与另一组数据“11、12、13、14、15”的方差相等，则的值是______． 【答案】0或5 【分析】本题主要考查了方差的性质，解决此题的关键是熟练方差的计算；根据方差公式进行计算得到答案． 【详解】解∶由平均数公式得： “1、2、3、4、x”的平均数为：， “11、12、13、14、15”的平均数为：， 由方差公式可得： “11、12、13、14、15”的方差为， ∴， 解得． 故答案为：0或5． 16．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，摆第个图案需要331枚棋子．则________．    【答案】10 【分析】本题考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，找出第n个图案中棋子的数量是解题的关键． 根据前3个图案需要的棋子枚数找出规律，得到第n个图案需要的棋子枚数，再根据摆第个图案需要331枚棋子列出方程，求解即可． 【详解】解：摆第1个图案需要7枚棋子，而； 摆第2个图案需要19枚棋子，而； 摆第3个图案需要37枚棋子，而； ……； 摆第n个图案需要棋子数量为（枚）． ∴当摆第个图案需要331枚棋子时，， 解得，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)无解 (3) (4) 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， ∴ 解得： 当时， ∴是原方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得， ∴ 解得：， 当时， ∴是原方程的增根，原方程无解； （3）解： ∴ ∴ ∴ 解得： （4）解： ∴ ∴ ∴或 解得： 19．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 20．为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 (1)表中的值为_____，的值为_____； (2)丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； (3)根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据平均数和方差的定义计算出结果即可； （2）先求出丙选手的中位数为，根据丙选手有两轮的成绩为，可知丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）根据排名的方法和丙选手获得第二名，分情况讨论确定性丙选手其余两轮成绩． 【详解】（1）解：由统计图可得甲选手五轮成绩为，，，，， 平均成绩（环）； 由统计图可得乙选手五轮成绩为，，，，，由统计表可知其平均成绩为环， 方差为； （2）解：将丙选手这五轮成绩按从小到大的顺序排列为，，，，， 排在第个的数据为， 丙选手五轮成绩的中位数为， ， 丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）解：根据排名规则，先比较甲、乙、丙选手成绩的平均数，可知甲、乙选手成绩的平均数均为环，且大于丙选手成绩的平均数环， 丙选手不可能是第一名和第二名； 再比较甲、乙选手成绩的方差， ， 甲排在乙前，故甲、乙、丙的排名为甲、乙、丙， 最终丁选手获得第二名， 丁选手排在甲和乙之间，根据排名规则可知丁选手的平均分为环，方差＜2.24， 丁选手五轮成绩的总环数为（环）， 丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环， 其余两轮的成绩总环数为16（环）， 乙选手也有三轮成绩分别为环、环、环， 丁其余两轮成绩不可能是环和环； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，不符合题意； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，符合题意， 丁选手其余两轮的成绩分别为环和环． 21．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ，； 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； (2)（ⅰ）证明：， ． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ，即为的中点； （ⅱ）． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得，结合题中给出的条件求出，根据全等三角形的性质得出，即可求证四边形是平行四边形； （2）（ⅰ）根据平行四边形的判定求出四边形是平行四边形，则有，根据平行四边形的性质可知，即可求证； （ⅱ）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可判定四边形是矩形，则有，根据求出是等腰直角三角形，根据设，即可求解． 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 设，则，， ． ， ， ， ， ． 22．某果农去年在一片向阳的坡地上平均分出，两块地种植桃树，地共收获桃子；地比地多种棵、共收获桃子，此时，地每棵桃树的产量比地低． (1)果农去年共种了多少棵桃树？ (2)果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，咨询专业技术人员后得知：若今年在地每多种棵桃树，地每棵桃树的平均产量就会减少．如果要使地的总产量比去年增加，且尽量节约成本，那么地应多种多少棵桃树？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找到等量关系式． （1）设果农去年地种了棵桃树，则地种了棵桃树，地每棵桃树产量为，则地每棵桃树产量为，根据地共收获桃子，列方程求解即可； （2）设地多种棵桃树，则今年桃树数为棵，根据地的产量列方程求解即可． 【详解】（1）解：设果农去年地种了棵桃树，则地种了棵桃树，地每棵桃树产量为，则地每棵桃树产量为， 根据题意得：， 即，解得， （棵）； （棵）； 答：果农去年共种了棵桃树； （2）解：去年地有棵桃树，总产量kg，每棵产量， 今年地总产量增加，即， 设地多种棵桃树，则今年桃树数为棵， 根据题意得：， 整理得， ， 或， 尽量节约成本， ． 答：地应多种棵桃树． 23．如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． (1)草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； (2)现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． (3)尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)12平方米 (3)见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理分别得出且，且，可得且，即可证明； （2）设分别与交于点，与交于点，首先根据题意证得平行四边形为矩形，然后，由中位线定理得且，接着，证得，，根据矩形的面积公式代入计算即可； （3）如图3，按照作图步骤作图即可． 【详解】（1）证明：形状：平行四边形．理由如下： 如图1，连接， 在中，、分别是、的中点， 且． 在中，、分别是、的中点， 且， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：如图2，设分别与交于点，与交于点， ， ． 由（1）同理可得，， 四边形是平行四边形． ． 由（1）得四边形是平行四边形， 平行四边形为矩形． 在中，、分别是、的中点， 且． ∵，，由（1）得， ，， 矩形面积． 答：四边形的面积为． （3）解：如图3，首先，作水平射线，接着，在射线上以为圆心线段的长度为半径画弧交射线于，然后，在线段下方任取一点，以为圆心，任意长为半径画弧，交线段于两点，再分别以这两点为圆心大于这两点间的距离画弧交线段上方于一点，连接与这一点并延长，在此射线上以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，顺次连接即可． 如图3所示，四边形即为所求． 24．小崔在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， (1)仿照小崔的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)化简：； (3)若（a，b，m，n均为正整数，为无理数），且m，n满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将7转化为，进行求解即可； （2）将其转化为完全平方的形式，再化简即可； （3）根据，得到，，结合a，b，m，n均为正整数，m，n满足，求出a，b的值即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； （3）解：由 可知：，    ，b，m，n均为正整数，为无理数， ，     由可得：， ，        ， ， 正整数a，b可取或， 又∵b，m，n均为正整数，为无理数， ， ． 25．如图，正方形中，已知，对角线与交于点O，点E为射线上的一个动点不与点B重合，点M为线段的中点．现将线段绕点M顺时针旋转得到线段，连结，．    (1)若点M在线段OD上且，求线段OF及EF的长． (2)当点E在线段OB上运动时，请判断的形状，并说明理由． (3)在点E的运动过程中，当时，求线段BE的长． 【答案】(1)； (2)的形状是等腰直角三角形，见解析 (3)线段BE的长为或 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，，，利用等腰直角三角形的性质得到，利用线段的中点的意义，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可得出结论； （2）连接，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到，利用线段的垂直平分线的性质得到，则；利用正方形的性质和三角形的内角和定理求得，则结论可得； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点E在线段上时，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可；②当点E在线段的延长线上时，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ，，，， ， ， 点M为线段的中点， ， ， ，， ， ； （2）解：的形状是等腰直角三角形，理由如下： 连接，如图，   为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点M为线段的中点，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ，， ， 的形状是等腰直角三角形； （3）解：①在点E的运动过程中，当时，如图，    设，则， ，M为线段的中点， ， ， ， ， ， （负数不合题意，舍去）， ， ； ②在点E的运动过程中，当时，如图，    设，则， ，M为线段的中点， ， ， ， ， ， （负数不合题意，舍去）， ， ； 综上，线段BE的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $