专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（6个知识点+21大题型+自我检测）-2026-2027学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

**基本信息** 以“知识点-题型-检测”三级体系构建二次函数图象与性质专项训练，通过6大核心知识点（含图象绘制、性质对比）和21类分层题型（基础13类+提高8类），系统培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题型|13类（含例1-13及变式）|待定系数法、平移规律（上加下减）、对称性应用（求对称轴/函数值）|从y=ax²到y=a(x-h)²+k再到y=ax²+bx+c，逐步构建解析式与图象性质的对应关系| |提高题型|8类（含综合/含参/几何应用）|含参分类讨论、几何模型转化（面积/角度/特殊图形）|衔接基础性质，拓展至代数几何综合，培养模型观念与应用意识| |自我检测|知识点回顾+综合题|知识整合与易错点强化|覆盖全部知识点，检验知识迁移与问题解决能力|

专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训 （6个知识点+21大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、y=ax2的图象与性质 1 题型二、y=a（x-h）2+k的图象与性质 2 题型三、y=ax2+bx+c的图象与性质 3 题型四、利用二次函数的性质比较函数值的大小 5 题型五、二次函数图象与各系数符号 6 题型六、一次函数、二次函数图象综合判断 8 题型七、利用二次函数的增减性求参数范围 9 题型八、已知抛物线上对称的两点求对称轴 10 题型九、根据二次函数的对称性求函数值 11 题型十、待定系数法求二次函数解析式 12 题型十一、二次函数图象的平移 13 题型十二、y=ax2+bx+c的最值 14 题型十三、利用二次函数对称性求最短路径 15 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数的图象与性质综合 16 题型二、二次函数中的含参问题 17 题型三、二次函数的线段周长问题 18 题型四、二次函数的面积问题 19 题型五、二次函数的角度问题 20 题型六、二次函数的特殊三角形问题 21 题型七、二次函数的特殊四边形问题 22 题型八、二次函数的新定义问题 23 第三部分・自我检测 知识点01 函数y＝ax2（a≠0）的图像 1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 y＝ax2 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知下列二次函数：①；②；③；④；⑤． （1）其图象开口向上的是_______（填序号）； （2）其图象开口向下且开口最大的是_______（填序号）； （3）其图象有最高点的是________（填序号）． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 3．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 知识点02 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 函数 y=ax2+c(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图像 c＞0 c＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，c） （0，c） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c 对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的. 【即时训练】 4．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”连接）． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 知识点03 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【即时训练】 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 9．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 知识点04 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【即时训练】 10．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 11．（2025九年级上·湖南长沙·竞赛）已知二次函数（），其中，，满足，，则该二次函数图象的对称轴是直线________． 12．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 知识点05 二次函数图像的平移规律 平移规律：上加下减，左加右减. 1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m. 2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k. 【即时训练】 13．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·河北邢台·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 15．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 知识点06 二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）； 3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 【即时训练】 16．（2026·西藏林芝·二模）一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 17．（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 18．（25-26九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【基础题型一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（25-26九年级下·全国·暑假作业）与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【变式1】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【变式3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【基础题型二 y=a（x-h）2+k的图象与性质】 【例2】（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1】（2025九年级上·广西南宁·专题练习）二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【基础题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2026·山东德州·二模）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测），、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江温州·一模）已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·假期作业）已知点在抛物线上，其中，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【基础题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（2026·河南周口·二模）开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知与之间的函数关系式为，则当时，______． 【变式2】（26-27九年级上·山东·阶段检测）二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 … 解答下列问题： (1)表格中m的值等于 ； (2)在直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【变式3】（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【基础题型五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③； ④， 则其中正确的结论个数是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江西上饶·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【基础题型六 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级上·湖南湘西·竞赛）在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·安徽淮南·一模）若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【基础题型七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河南商丘·模拟预测）已知抛物线关于直线对称． (1)求a的值． (2)若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差． (3)若点，都在此抛物线上，且，请直接写出m的取值范围． 【基础题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 【变式2】（2026·河北张家口·三模）抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·陕西西安·一模）二次函数（a，b，c为常数，a0）的图象经过三点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【基础题型九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【变式2】（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知抛物线对应的二次函数为． (1)该抛物线的顶点坐标是_____，该函数的最大值是_____． (2)若点、均在抛物线上，且轴，点，则点的坐标为_____． (3)若该抛物线经过点和，，比较、与的大小：_____（用“”连接）． (4)若，则的取值范围是_____． 【变式3】（25-26九年级上·天津和平·期末）已知二次函数．若二次函数图象经过点． (1)写出该二次函数图象上与对称的点的坐标_____． (2)求二次函数的解析式，并写出顶点坐标． (3)当时，求函数的最大值与最小值的差_____． 【基础题型十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线与x轴的交点坐标是，且经过点，则此抛物线的解析式为______． 【变式1】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【变式2】（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 【变式3】（2026·山东菏泽·二模）在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【基础题型十一 二次函数图象的平移】 【例11】（25-26八年级下·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【变式1】（2026·江苏苏州·二模）已知抛物线向左平移个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物线关于轴对称，则的值是（    ） A．－ B． C．－ D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·期末）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【变式3】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）将抛物线沿着x轴向右平移2个单位长度得到抛物线，则m的值为（   ） A． B．2 C． D． 【基础题型十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（26-27九年级上·全国·课后作业）求下列二次函数的最大值或最小值． (1)； (2)． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【变式3】（2026·山东临沂·二模）已知二次函数，其函数图象顶点为． (1)顶点的坐标为______；记与轴交点为，点的坐标为_______．（含的代数式表示）； (2)若点也在该函数图象上． ①求这个二次函数的解析式； ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【基础题型十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2026九年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)点在该函数图象上（其中），求的值； (3)在（2）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【变式3】（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上第二象限内的一点，连接，，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，则的最小值为________． 【提高题型一 二次函数的图象与性质综合】 【例1】（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【变式1】（26-27九年级上·北京·开学考试）已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【变式2】（2025九年级·贵州黔西南·专题练习）平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 【提高题型二 二次函数中的含参问题】 【例2】（25-26九年级上·浙江舟山·开学考试）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）抛物线的对称轴是直线，则_________ ，将抛物线在直线上侧的部分沿直线翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图象，若新的函数图象恰好与直线有个交点，则满足条件的的值为 _______ ． 【提高题型三 二次函数的线段周长问题】 【例3】（2025·四川自贡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【变式1】（2025·福建漳州·模拟预测）已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 【变式2】（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【提高题型四 二次函数的面积问题】 【例4】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【变式1】（2026·广东广州·中考真题）已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【提高题型五 二次函数的角度问题】 【例5】（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【变式1】（2026·广东江门·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图像与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，． (1)求二次函数关系式： (2)连接、，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)如图2，在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连结，求的最小值． 【变式2】（2026·黑龙江·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【提高题型六 二次函数的特殊三角形问题】 【例6】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】（2025·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·内蒙古赤峰·三模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【提高题型七 二次函数的特殊四边形问题】 【例7】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·贵州黔东南·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·辽宁丹东·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【例8】（2026·河南·中考真题）定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大3，则称点是点的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． (1)点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为12．求，的值． (2)点，在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”． ①若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标． ②抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，请直接写出的值． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2026·黑龙江大庆·二模）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”． 例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法正确的序号为________． ①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为； ②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是； ③函数关于直线的“和睦点”纵坐标满足：，的取值范围是或； ④已知，，函数：关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有个公共点，则的取值范围是或． 1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 2．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（2025·山东日照·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）函数的最小值为________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线（，是常数，）向下平移个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，则______，______． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 9．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 10．（25-26九年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则a的取值范围是_______． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法把二次函数化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 13．（2026·山东枣庄·三模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 14．（2025·安徽·模拟预测）如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 15．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训 （6个知识点+21大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、y=ax2的图象与性质 1 题型二、y=a（x-h）2+k的图象与性质 2 题型三、y=ax2+bx+c的图象与性质 3 题型四、利用二次函数的性质比较函数值的大小 5 题型五、二次函数图象与各系数符号 6 题型六、一次函数、二次函数图象综合判断 8 题型七、利用二次函数的增减性求参数范围 9 题型八、已知抛物线上对称的两点求对称轴 10 题型九、根据二次函数的对称性求函数值 11 题型十、待定系数法求二次函数解析式 12 题型十一、二次函数图象的平移 13 题型十二、y=ax2+bx+c的最值 14 题型十三、利用二次函数对称性求最短路径 15 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数的图象与性质综合 16 题型二、二次函数中的含参问题 17 题型三、二次函数的线段周长问题 18 题型四、二次函数的面积问题 19 题型五、二次函数的角度问题 20 题型六、二次函数的特殊三角形问题 21 题型七、二次函数的特殊四边形问题 22 题型八、二次函数的新定义问题 23 第三部分・自我检测 知识点01 函数y＝ax2（a≠0）的图像 1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 y＝ax2 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知下列二次函数：①；②；③；④；⑤． （1）其图象开口向上的是_______（填序号）； （2）其图象开口向下且开口最大的是_______（填序号）； （3）其图象有最高点的是________（填序号）． 【答案】 ②③⑤ ① ①④ 【详解】解：（1）①，图象开口向下；②，图象开口向上；③，图象开口向上；④，图象开口向下；⑤，图象开口向上； （2），图象开口向下且开口最大的是①； （3）①，图象开口向下，故图象有最高点；④，图象开口向下，故图象有最高点． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 【答案】B 【分析】利用型二次函数的基本性质判断各选项. 【详解】解：函数的顶点坐标为，故A错误； 对称轴为轴，图象关于轴对称，故B正确； 当时，随增大而减小，故C错误； ，，图象在第一、二象限及原点，故D错误. 3．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 知识点02 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 函数 y=ax2+c(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图像 c＞0 c＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，c） （0，c） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c 对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的. 【即时训练】 4．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ， ， ． ， ． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为直线，开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算三点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解： 二次函数中，二次项系数， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 且开口向下时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 计算各点横坐标到对称轴的距离： 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， ， ． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）把抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线． (1)求平移前的抛物线的解析式； (2)求函数的最大值或最小值，并指出相应的x的值； (3)对于，指出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)平移前的抛物线的解析式为． (2)当时，函数取得最大值，最大值为2． (3)当时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）根据平移的性质“上加下减”可求出a、c的值，由此即可得出平移前的抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质即可解决最值问题； （3）根据原抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可找出函数值y随x的增大而减小时的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线向下平移3个单位长度后得到抛物线， ，． ． 平移前的抛物线的解析式为． （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， 当时，函数取最大值，最大值为2． （3）解：由（1）可知抛物线的解析式为，对称轴为直线，且， 当时，函数的值y随x的增大而减小． 知识点03 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【即时训练】 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 8．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 9．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 知识点04 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【即时训练】 10．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 11．（2025九年级上·湖南长沙·竞赛）已知二次函数（），其中，，满足，，则该二次函数图象的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】根据，中的系数判定出的值，再根据抛物线上两点的纵坐标相等则两点关于对称轴对称，对称轴的横坐标等于两对称点的横坐标之和的一半求解． 【详解】解：令，则， ∴是二次函数图像上的点； 令，则， ∴是二次函数图像上的点， 且点与点的纵坐标相等， ∴两点关于对称轴对称， ∴对称轴为． 12．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 知识点05 二次函数图像的平移规律 平移规律：上加下减，左加右减. 1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m. 2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k. 【即时训练】 13．（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 14．（25-26九年级上·河北邢台·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 15．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【答案】D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据“左加右减”、“上加下减”的规律即可求解． 【详解】原抛物线，顶点坐标为； 变换后抛物线，顶点坐标为， 故原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 知识点06 二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）； 3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 【即时训练】 16．（2026·西藏林芝·二模）一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】利用对称轴和最值确定抛物线顶点，用顶点式设出解析式，再根据两抛物线形状相同确定二次项系数的值，代入即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，的最大值为， 抛物线的顶点坐标为， 设这条抛物线的解析式为， 该抛物线与的形状相同，且抛物线有最大值，开口向下， ， 这条抛物线的解析式为． 17．（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 18．（25-26九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得， ，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【基础题型一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（25-26九年级下·全国·暑假作业）与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 【变式1】（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 【变式3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是关键． 通过计算点P和点Q的纵坐标，结合二次函数性质，判断各选项正误． 【详解】解：根据题意，， A、若，则， ∴，正确； B、若，则，， ， 解得，正确； C、若，则， ∴ ，即， ∴ ，正确； D、若，则，，， 解得，， 但不一定，如时，但， ∴ 错误； 故选：D． 【基础题型二 y=a（x-h）2+k的图象与性质】 【例2】（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）抛物线的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 【变式1】（2025九年级上·广西南宁·专题练习）二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【答案】B 【详解】二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于二次函数， ∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵，， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 【变式3】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，根据抛物线的性质分别求出y的最大值与最小值，进而列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：若， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最小值为， ∵，，， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 若， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最大值为， ∵，，， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 综上，a的值为或． 【基础题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2026·山东德州·二模）已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据抛物线的增减性判断的符号，再对不等式因式分解，分情况讨论求出不等式解集． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴ ∴或 解得或． 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测），、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线，点离对称轴越远对应函数值越小，通过计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小. 【详解】解：抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下时，点离对称轴越远，对应函数值越小，且， ∴. 【变式2】（2025·浙江温州·一模）已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， 当时，， 解得或， 抛物线与轴的两个交点坐标为：，， 当，，时，， ． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·假期作业）已知点在抛物线上，其中，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线解析式判断开口方向、对称轴和顶点坐标，再根据开口向下的二次函数性质：点离对称轴越远，函数值越小，计算、两点到对称轴的距离，比较函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线解析式为，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， ∵， ∴， ∵开口向下的抛物线，点到对称轴距离越大，函数值越小， ∴，且，， ∴． 【基础题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（2026·河南周口·二模）开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式，能够熟练运用待定系数法和配方法是解题的关键． 根据待定系数法求出解析式即可求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 则， 故顶点坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知与之间的函数关系式为，则当时，______． 【答案】 【详解】解：把代入，得． 【变式2】（26-27九年级上·山东·阶段检测）二次函数 的自变量x与对应的函数y的值（部分）如表所示： x … 0 1 2 … y … m 7 1 1 7 … 解答下列问题： (1)表格中m的值等于 ； (2)在直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【答案】(1)17 (2) 【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式，再把代入即可求解； （2）根据描点法，描点连线即可. 【详解】（1）解：由表格可得， ，解得， ， 当时，. （2）略 【变式3】（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 【基础题型五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将点代入二次函数解析式，得到与的关系，再结合二次函数的开口方向和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】点在二次函数上 ， 将代入解析式得： ， 化简得， 即， 对选项A： 将代入解析式得， 把代入得： ， 移项得，故A错误； 对选项B： ， ， ，即，故B错误； 对选项C： 二次函数对称轴为， ，开口向上， 时取最小值，即是函数最小值， ，即，故C错误； 对选项D： ， ，二次函数在时，随增大而减小， ，当时，， 时的大于时的， 即， 得，故D正确． 【变式1】（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 【变式2】（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③； ④， 则其中正确的结论个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的开口方向、与y轴的交点及对称轴可确定a、c、b的符号，进而可判断①与②；由抛物线的对称轴可确定函数的最小值与时函数值的关系，可判断③；由a与b的关系，可判断④． 【详解】解：由图象知，抛物线的开口向上，所以， 抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，则，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，即，即，故②错误； 抛物线的对称轴为直线，且开口向上，即当时，二次函数取得最小值，而当时函数值为， 所以，故③正确； 由，故④错误； 所以正确的只有1个． 【变式3】（2026·江西上饶·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与系数的关系．根据函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置得出，，，即可判断A；根据对称轴推出，等量代换即可判断B，再结合，即可判断D；当时，根据图象可得，即可判断C． 【详解】解：由图可知，，， ∵根据对称轴公式， ∴， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴， 把代入中得， ∵， ∴，故B选项不符合题意； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， ∴当时，； 把代入得， 即，故D选项符合题意； 根据函数图像可知，当时，，即，故C选项不符合题意． 【基础题型六 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 【变式1】（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 【变式2】（2025九年级上·湖南湘西·竞赛）在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答． 【详解】解：A、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向上，故A选项错误； B、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误； C、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向下，故C选项错误； D、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确． 【变式3】（2026·安徽淮南·一模）若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定的符号进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，故， 由一次函数图像可知，，， ， ；故A错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看，，即；故B错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看， 故， ， 的值不能确定正负，故C错误； 当时，由函数图象可知， ， ， 即，解得， ，， ，即， ，故D正确． 【基础题型七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，则抛物线开口向上． ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点C到对称轴的距离，即，两边平方，可得， 解得； ∵， ∴点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即， 两边平方，可得， 解得． 综上所述，m的取值范围是． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式 ，再根据当时 随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 【变式3】（2026·河南商丘·模拟预测）已知抛物线关于直线对称． (1)求a的值． (2)若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差． (3)若点，都在此抛物线上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)1 (2)16 (3) 【分析】（1）根据对称轴的公式直接列式作答即可； （2）先得出抛物线的解析式，根据抛物线开口确定的值随x的大小而变化的情况，问题即可求解； （3）抛物线的开口向上，且距离抛物线对称轴越近的点，其函数值越小，根据可知点距离对称轴的距离更远，据此列出带绝对值的不等式，再分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意有：，解得：； （2）∵， ∴抛物线解析式为：； ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的最大值为，,最小值为， ∴的最大值与最小值的差：； （3）点，都在此抛物线上，且， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，且距离抛物线对称轴越近的点，其函数值越小， ∵， ∴， 即：， 当时，去绝对值为：， ∴恒成立，即此时满足要求； 当时，去绝对值为：， 解得：， ∴当时，满足要求； 当时，去绝对值为：， 即此时不等式无解，故此种情况舍去； 综上：的取值范围为：． 【基础题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 【变式1】（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 【答案】2 【分析】由、两点纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，进而求得的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的图像上有两点，，两点纵坐标相等， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， 解得． 【变式2】（2026·河北张家口·三模）抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线对称性计算对称轴，分析即可． 【详解】解：∵抛物线：经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，到对称轴的距离相等， ∴， ∴， 其他选项的值都不确定． 故选B． 【变式3】（2026·陕西西安·一模）二次函数（a，b，c为常数，a0）的图象经过三点，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，则可求出对称轴，得到a与b的关系，再由B点坐标得到c的值，最后代入式子计算即可． 【详解】解：∵二次函数经过，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴ ∵二次函数的图象经过， ∴将代入解析式得， ∴． 【基础题型九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数的值是__________． 【答案】 【分析】利用二次函数的对称性，先根据表格中值相等的点求出对称轴，再得到对应对称点的函数值即可得到结果． 【详解】解：由表格可得，当时，，当时，， ∵二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵关于直线的对称点为， 由表格可知时，， ∴当时，． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【答案】c 【分析】二次函数的对称轴为，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，据此求出的值，再代入计算函数值． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， 当，（）时对应的函数值相等， ∴点与点关于对称轴对称， ∴，即， 将代入得． 【变式2】（25-26九年级上·山东滨州·期末）已知抛物线对应的二次函数为． (1)该抛物线的顶点坐标是_____，该函数的最大值是_____． (2)若点、均在抛物线上，且轴，点，则点的坐标为_____． (3)若该抛物线经过点和，，比较、与的大小：_____（用“”连接）． (4)若，则的取值范围是_____． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）将一般式化为顶点式，再根据二次函数的图象与性质求解，即可解题． （2）根据二次函数的对称性，即可求解； （3）根据二次函数的增减性，即可求解． （4）根据二次函数的性质，求得最大值，进而即可求解． 【详解】（1）解： ∴抛物线的顶点坐标是，抛物线开口向下，最大值为 故答案为：，． （2）解： ∵轴，抛物线的对称轴直线 ∴关于对称轴直线对称， ∵点 ， ∴点的坐标为 （3）解：抛物线开口向下，对称轴直线 又∵该抛物线经过点和， 到对称轴的距离分别为：， ∴ （4）解： 由（1）知抛物线开口向下，顶点坐标为， 当时，取得最大值3， ∵ 将代入 得 ∴当，则的取值范围是 【变式3】（25-26九年级上·天津和平·期末）已知二次函数．若二次函数图象经过点． (1)写出该二次函数图象上与对称的点的坐标_____． (2)求二次函数的解析式，并写出顶点坐标． (3)当时，求函数的最大值与最小值的差_____． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为 (3)8 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的最值．熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出对称轴，再由对称性求解即可； （2）把代入，求出，即可求出函数解析式，再配方成顶点式，求出顶点坐标； （3）根据解析式得抛物线开口向下，对称轴为直线，则当时 ，函数有最大值为5，当时，，当时，，则当时，函数的最大值为5，最小值为，即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ∵二次函数图象经过点， ∴二次函数图象上与对称的点的坐标是，即； （2）解：把代入， 得 解得：， ∴二次函数的解析式为 ∵ ∴顶点坐标为； （3）解： ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时 ，函数有最大值为5， 当时， 当时，， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为， ∴函数的最大值与最小值的差为． 【基础题型十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线与x轴的交点坐标是，且经过点，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】已知抛物线与轴的两个交点，可设交点式求解析式，再代入已知点求出系数，展开整理即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点坐标是， ∴设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴，展开整理得． 【变式1】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 【详解】解:点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. 【变式2】（2026·江苏南京·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点，求m的值． 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) 【分析】（1）把点代入函数，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标； （2）根据二次函数图象平移“右减左加”的规律得到平移后的解析式，将已知点代入即可求出的值． 【详解】（1）解：将点代入，得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 对解析式配方得 ， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：将函数图象向右平移3个单位长度， ∴平移后解析式为 ， 将点代入上式，得． 【变式3】（2026·山东菏泽·二模）在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值； （）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即， 解得； 综上所述，或． 【基础题型十一 二次函数图象的平移】 【例11】（25-26八年级下·重庆·期末）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 【变式1】（2026·江苏苏州·二模）已知抛物线向左平移个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物线关于轴对称，则的值是（    ） A．－ B． C．－ D． 【答案】D 【分析】先求出原抛物线顶点横坐标，再得到平移后的顶点横坐标，根据对称性质列方程计算即可． 【详解】解：首先将原抛物线配方，得 ∴原抛物线顶点的横坐标为． ∵抛物线向左平移个单位长度，平移后顶点横坐标为原横坐标减， ∴平移后顶点横坐标为． ∵平移后的抛物线与原抛物线关于轴对称， ∴两个顶点关于轴对称，横坐标互为相反数， 可得方程 解得． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·期末）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【变式3】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）将抛物线沿着x轴向右平移2个单位长度得到抛物线，则m的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线平移的规则：向右平移h个单位，则将x替换为． 抛物线沿x轴向右平移2个单位，需将原函数中的x替换为，得到新抛物线方程，再与给定方程比较即可求出m． 【详解】解：∵原抛物线为，向右平移2个单位， ∴新抛物线为． 给定新抛物线为， 比较得， ∴， ∴． 故选：A． 【基础题型十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（26-27九年级上·全国·课后作业）求下列二次函数的最大值或最小值． (1)； (2)． 【答案】(1)最小值为 (2)最大值为6 【详解】（1）解： ， ∵， ∴没有最大值，只有最小值为； （2）解： ， ∵， ∴没有最小值，只有最大值为6． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数（h是常数），且自变量的取值范围是． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)当时，函数有最大值0 (2)6或1 【分析】（1）由题意得，由二次函数的性质，结合自变量的取值范围即可求解； （2）分、及三种情况，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的解析式为． ∴当时，函数有最大值0． （2）解：二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数值y的最大值为， 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得（舍去）； 若，则函数的最大值为0，与题意不符． 综上所述，h的值是6或1． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 【变式3】（2026·山东临沂·二模）已知二次函数，其函数图象顶点为． (1)顶点的坐标为______；记与轴交点为，点的坐标为_______．（含的代数式表示）； (2)若点也在该函数图象上． ①求这个二次函数的解析式； ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式为求解即可；令，求得对应的函数值即可． （2）①把点代入抛物线解析式，确定a值即可求得二次函数的解析式； ②根据，对称轴分类求解即可． 【详解】（1）解：由，根据抛物线的顶点坐标公式为，得即； 令，得， 故． （2）①解：把点代入抛物线解析式， 得， 解得， 故二次函数的解析式为； ②解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线的开口向上，抛物线上的点与对称轴的距离越大，其函数值越大，且对称轴的左侧，y随x的增大而减小，对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 当时，在对称轴的左侧， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 故， 解得，不符合的要求，舍去； 当时， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 解得， 不符合的要求，舍去； 故； 当时， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 解得， ，，不符合的要求，都舍去； 当时，在对称轴的右侧， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 解得，符合的要求， 故； 综上所述，或． 【基础题型十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2026九年级上·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 【变式1】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)点在该函数图象上（其中），求的值； (3)在（2）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入二次函数的解析式，即可求解； （3）作点关于对称轴的对称点,连接与对称轴的交点为所求点, 本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点和点代入二次函数表达式， 得 解得：，， 该二次函数的表达式为：． （2）解：∵点在函数图像上， ， 则或， ， 的值为：6． （3）解：如图，由（2）可知点，对称轴为 作点关于对称轴的对称点,连接与对称轴的交点为， 设直线的解析式为， 把点，,代入得， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 则， 所以当点时，最小． 【变式2】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 【变式3】（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上第二象限内的一点，连接，，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，则的最小值为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用抛物线经过点，代入抛物线方程，求出m的值，从而确定抛物线的解析式； （2）过点作轴的垂线，交轴于点，设点的坐标为，根据抛物线与轴的交点，求出，的坐标，通过，利用正切值相等建立方程，结合点在第二象限的条件，求出点的坐标； （3）过点作，交于点，当点，，三点共线时，有最小值，根据等腰直角三角形的判定和性质，则是等腰直角三角形，得到，，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过点作轴的垂线，交轴于点， 设点的坐标为， ∵抛物线与轴交于、两点， 令， 解得：，； ∴，， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴点． （3）解：过点作，交于点， 由（2）可知，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点，，三点共线时，有最小值， 此时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【提高题型一 二次函数的图象与性质综合】 【例1】（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 【变式1】（26-27九年级上·北京·开学考试）已知抛物线：与抛物线关于轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为________． 【答案】 【分析】先根据关于轴对称的坐标变换规律求出的解析式，再结合两点都在抛物线上得到对任意m成立的恒等式，利用对应系数相等求解k，验证后得到结果． 【详解】解：∵抛物线与关于轴对称，关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴将中的替换为，得的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴． ∵点也在抛物线上， ∴将点坐标代入解析式得． 把代入等式左边，得左边， 展开整理等式右边，得右边． ∵等式对任意实数m都成立， ∴对应项系数相等，可得一次项系数关系，解得． 将代入常数项验证，得，与左边常数项相等，符合要求，因此． 【变式2】（2025九年级·贵州黔西南·专题练习）平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，消去即可得到与的数量关系； （2）由抛物线对称性得、横坐标之和为6，结合两三角形面积差列方程求解E点横坐标，纵坐标与、一致； （3）联立直线与抛物线解析式，结合点横坐标求出顶点纵坐标，再根据二次函数性质求区间内的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得， 化简得． （2）解：抛物线对称轴为，点，在抛物线上， 关于直线对称，即， ， 设， 在线段上， 或， 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 综上所述，的坐标为或． （3）解：抛物线的顶点式为，顶点， 设直线的解析式为， 当的坐标为时， 将、代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ∴，解得， ∴， 故，此时顶点在第一象限，不合题意； 当的坐标为时， 将，代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ， ， ， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为，开口向上，对称轴为； ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ，且， ， 综上所述，当时，的取值范围是． 【提高题型二 二次函数中的含参问题】 【例2】（25-26九年级上·浙江舟山·开学考试）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围． 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）抛物线的对称轴是直线，则_________ ，将抛物线在直线上侧的部分沿直线翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图象，若新的函数图象恰好与直线有个交点，则满足条件的的值为 _______ ． 【答案】 或 【分析】由抛物线的对称轴公式可计算出，利用顶点式可得抛物线的顶点坐标为，根据翻折的性质可得，翻折后的抛物线为．容易求得直线与抛物线交于和两点，将抛物线与直线联立可得方程，根据计算得．分三类讨论，当和时，结合作图即可得出结论；当时，根据可计算出的值． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴交点坐标为和， 设翻折后的抛物线为， 抛物线中，顶点坐标为， ∵点关于直线的对称点为， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与直线，得， ， 消去，得， 化简，得， 由题意可知，抛物线与直线必定有交点， ∴判别式， 解得； ①当时，如图， 此时新函数的图象与直线的交点个数少于3个，不符合题意； ②当时，如图， 此时新函数的图象与直线恰好有3个交点，符合题意； ③当时，如图， ∴此时抛物线与直线恰有一个交点， ∴方程的判别式， ∴，解得； 综上所述，的值为或． 【点睛】解决此题运用数形结合思想是关键． 【提高题型三 二次函数的线段周长问题】 【例3】（2025·四川自贡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点M作轴，交于点D，设，则，可得，则可得到，据此可得答案； （3）作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接，则，可证明当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T，求出的长，根据，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时， ∴当的面积最大时，点M的坐标为； （3）解：如图3-1所示，作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接， 在中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图3-2所示，当有最小值时，过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T， 由（2）得点M的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【变式1】（2025·福建漳州·模拟预测）已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）将m的值代入到抛物线解析式，再将解析式配成顶点式即可求得顶点的坐标； （2）令求出C点坐标，联立直线与抛物线的解析式求出A、B的坐标，①根据点的坐标表示出，即可求出此时m的值；②作且与抛物线相切于P点，直线交x轴于G点，过P点作于Q点，可知此时线段为最大值，过G点作于D点，则有，根据直线的图像可知，根据矩形的性质可知，则可得到直线的解析式，根据与抛物线只有一个交点，即可求得m的值． 【详解】（1）解：将代入到中，得， 配成顶点式得：， 则顶点D的坐标为； （2）解：令，可得，则C点坐标为， 根据题意联立： ，解得：或者， ∵点B在y轴的右侧， ∴B点坐标为，A点坐标为， ①∵B点坐标为，A点坐标为，C点坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）； ②作，直线交x轴于G点，过P点作于Q点， 当直线与抛物线只有一个交点时，此时线段的值最大为5， 过G点作于D点，如图， ∵直线的解析式为， ∴直线与x轴所夹锐角为，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴则直线相当于是将直线向右平移了个单位得到的， ∴直线的解析式为：， ∴联立， 可得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相同的解， ∴方程的， 解得， 即m的值为：． 【变式2】（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． 【提高题型四 二次函数的面积问题】 【例4】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 【变式1】（2026·广东广州·中考真题）已知抛物线G：． (1)当，时，求抛物线G的对称轴； (2)若对于任意实数，抛物线G总经过定点． ①求和的值； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点．记的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①，；② 【分析】（1）把， 代入解析式，再把解析式化为顶点式，即可； （2）①先把原解析式化为，再根据对于任意实数，抛物线G总经过定点，即可求解； ②点，在抛物线G上，且线段与轴有交点，求出m的取值范围，再求出直线的解析式，过点P作轴交得延长线于点Q，则点，根据，可得S关于m的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当，时， ， 所以抛物线G的对称轴为直线； （2）解：①， 当时，， ∵对于任意实数，抛物线G总经过定点， ∴， ∴； ②由①得：，，， ∴抛物线的解析式为， ∵点，在抛物线G上，且线段与轴有交点， ∴， 把点，代入得： ， ， ∴，点，， 解得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交的延长线于点Q，则点， ∴， ∴ ∴当时，随m的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，此时S取得最大值，最大值为27， 当时，取得最小值，此时S取得最小值，最小值为， ∴S的取值范围为． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 【答案】(1)9； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A，点B的坐标，连接，根据列式求解即可； （2）连接，设，根据可得，据此可得答案； （3）分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，即； 在中，当时，，解得或， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，连接， ∴ ； （2）解：如图所示，连接，设， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴点D的坐标为； （3）解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线交y轴于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点C为直角顶点时， ∵直线与直线垂直，直线与直线垂直， ∴直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【提高题型五 二次函数的角度问题】 【例5】（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解； （2）设对称轴与直线的交点为M，连接，推导出，求出，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 【变式1】（2026·广东江门·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图像与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，． (1)求二次函数关系式： (2)连接、，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由． (3)如图2，在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连结，求的最小值． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，的坐标是或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由对称轴为和得，，再由得，，，将代入得，，故二次函数关系式为； （2）设，根据点的坐标可得，，分两种情况讨论，①当P在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设C关于的对称点为E，则，验证可得点P与点E重合，得出，②当P在的上方时，作点P关于的对称点，即，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，过点B作轴，垂足为点B，交于点G，则，作B关于的对称点，连接交于点T，根据轴对称性质得当M在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，， ，即， 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴为直线，， ， 将代入得， 解得：， 二次函数关系式为； （2）解：在中， 当时，，则， ， 由可知， 又， ， 设，则， ①当P在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ，， 设C关于的对称点为E，则， ，， ，， 又， 点P与点E重合，． ②当P在的上方时，作点P关于的对称点， ，都是等腰直角三角形，， 在y轴上，， ， 设直线解析式为，，，则 ，解得，， 直线解析式为， 联立， 解得：或， ， 综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标是或； （3）解：如图，在上取一点，使得， ， 设，则， 在中，，，， ，即， 解得：， ， ， 过点B作轴，垂足为点B，交于点G， ， ， ， 即， 如图，作B关于的对称点，过点作轴， 垂足为点N，连接交于点T， ， 当M在上时取得最小值，最小值为的长，在中，，， ， ，， ， 又，， ，， 的最小值为． 【变式2】（2026·黑龙江·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，此时点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）作，与x轴交于点E，则，证明，可得，点，过点B作，交抛物线于点D， 此时满足，则此时点D即为所求，求出直线的解析式为，可得直线的解析式为，然后联立得：，可求出点D的坐标；作，交y轴于点F，则此时满足，证明，，求出直线的解析式为，联立得：，求出点D的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线上存在点，使， 根据题意得：，， 对于， 当时，， ∴点，即， 如图，作，与x轴交于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∴点， 过点B作，交抛物线于点D， ∴， ∴， 此时满足，则此时点D即为所求； 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 如图，作，交y轴于点F，则此时满足， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴同理直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述：抛物线上存在点，使，此时点的坐标为或． 【提高题型六 二次函数的特殊三角形问题】 【例6】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标是或 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 【变式1】（2025·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 存在，点的坐标为或或或 (4) 存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解； （3）设，运用两点之间距离公式得到，结合勾股定理列式求解即可； （4）设，运用两点之间距离公式得到，根据等腰三角形的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴； （3）解：如图所示，设，已知， 当是以为直角的直角三角形时，， ∵，，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴，； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或或； （4）解：设，已知， ∴，，， 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 整理得，， 解得：， ∴或； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 【变式2】（2025·内蒙古赤峰·三模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，则， 根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 【提高题型七 二次函数的特殊四边形问题】 【例7】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 【变式1】（2025·贵州黔东南·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行于轴，交轴于点，交抛物线于点，求的最大值，并求此时四边形的面积； (3)若点是抛物线上一动点，是轴上一点，是否存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线表达式为，点的坐标为 (2)的最大值为，四边形的面积 (3)点的坐标为、、 【分析】（1）根据直线与轴交于点，与轴交于点，求出坐标再利用待定系数法求抛物线表达式． （2）根据点，点的坐标求出直线表达式，设点和点坐标，表示出进行求最大值即可，根据观察图像发现四边形是直角梯形，表示出四边形各边的长度，利用梯形的面积公式求解即可． （3）分类讨论点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，直线与轴交于点，与轴交于点 令即解得 ∴点的坐标为 令即 ∴点的坐标为 抛物线经过，两点，将坐标代入得 解得 ∴抛物线表达式为． 抛物线与轴交于，两点，令得 解得， ∵点的坐标为 ∴点的坐标为． （2）解：由（1）知点的坐标为，点的坐标为 设直线的函数表达式为，代入坐标得 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵点在线段上，设点坐标为，其中 过点的直线平行于轴，交抛物线于点 ∴点坐标为 当时，线段在抛物线上方 ∴ 整理得 ∴当时，取得最大值，的最大值为． ∴点坐标为，点坐标为 ∴四边形的顶点坐标为，，， ∵在轴上，在轴上， ∴四边形是直角梯形 根据直角梯形的顶点坐标可知，， ∴ ∴． （3）解：存在点使以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形 根据题意可知点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴设点的坐标为，点在抛物线上，设点的坐标为， 当平行四边形以为边时，且， ∴点和点的纵坐标相等，即， ∴ 解得， ∴点的坐标为或 ∵点的坐标为 ∴点的坐标为（不符合题意舍去） ∴点的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，，点的坐标为（不符合题意舍去） 当时，，点的坐标为满足点在抛物线上 ∴点的坐标为 当平行四边形以为边，为对边时 且 ∵点和点的纵坐标差为 ∴点和点的纵坐标差为 即 当 解得，与相同舍去 当 解得， ∴点的坐标为或 以为平行四边形对角线时，的中点坐标为，则的中点坐标也为即 解得，与相同舍去 综上所述，点的坐标为、、． 【变式2】（2025·辽宁丹东·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或，或或 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出E的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 【例8】（2026·河南·中考真题）定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大3，则称点是点的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． (1)点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为12．求，的值． (2)点，在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”． ①若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标． ②抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①点的横坐标为，点的横坐标为；②或 【分析】（1）根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为，根据题意建立方程求解即可； ②根据题意得出对称轴为：，顶点坐标为，抛物线与x轴的交点为，点的横坐标为：，，然后分情况分析：当，时，当，时，当时，，结合图象建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点是点的“黄金搭档点”， ，点的纵坐标为12， ∴， ∵点和点在抛物线上， ∴， 解得：； （2）解：①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为， 由（1）得， ∵点，的纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴， ∴点的横坐标为，点的横坐标为； ②由（1）得， 对称轴为：， 当时，， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴ 解得：， ∴抛物线与x轴的交点为， ∵点是点的“黄金搭档点”，点的横坐标为，当时， ∴点的横坐标为：，， 当时，， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴当，时，如图所示： 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点， ∵即， 即， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当，时，如图所示： 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴， ∴即， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上可得：或． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①； (2)①；②存在，t的值为或． 【分析】（1）根据“二倍点”的定义逐项判断即可； （2）①根据题意得出方程有两个相等的实数根，即，进而得出，根据“二倍点”的定义得出“二倍点”的坐标为．代入得出，进而求得的值，代入解析式，即可求解； ②先化为顶点式，，分类讨论，①当，②当，③当时，根据二次函数的性质求得最小值，根据题意列出方程，即可求得的值． 【详解】（1）解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“二倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立，无解 ③不符合题意； 综上所述，只有一个“二倍点”的是① （2）①抛物线与直线只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，即． ． ． 联立与，得，． “二倍点”的坐标为． 将代入，得． ． ， 解得． ． 二次函数的表达式为． ②存在，t的值为或． ． ①当，即时，在处y有最小值， ， 即， 解得（舍去），． ②当，即时，y的最小值为， 令，得（舍去）． ③当时，在处y有最小值， ， 解得，（舍去）． 综上所述，t的值为或． 【变式2】（2026·黑龙江大庆·二模）定义：若函数和函数的图象关于直线对称，则称函数和关于直线互为“和睦函数”，函数和的图象交点叫做“和睦点”． 例如：函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”为．下列说法正确的序号为________． ①函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为； ②函数关于直线的“和睦点”的纵坐标为，当时，则的取值范围是； ③函数关于直线的“和睦点”纵坐标满足：，的取值范围是或； ④已知，，函数：关于直线的“和睦函数”为，将函数与的图象组成的图形记为，若与线段只有个公共点，则的取值范围是或． 【答案】①③ 【分析】①根据和睦函数与和睦点的定义计算并判断；②结合和睦函数与和睦点的定义，通过作出函数及其和睦函数的图象，可发现和睦点为抛物线顶点时，有最小值，当时，有最大值，进而计算；③通过作出函数及其和睦函数的图象，计算时对应的四个点、、、的坐标，可发现当时，和睦点在点和点之间（包含端点）或者点和点之间（包含端点），即可得到的取值范围；④推出的解析式为，结合图象分析与线段的位置关系，讨论得解． 【详解】解：函数，对称轴为，顶点为， 设其关于直线对称的二次函数顶点坐标为，则有，解得， ∴该二次函数的解析式为，顶点坐标为， 如图， 由图可知两个函数的交点在直线上，此时， 即交点坐标为， 即函数关于直线的“和睦函数”为，“和睦点”坐标为，故①正确； 函数，对称轴为，顶点为， 如图，和睦点为图中的点， 由图可知，当，即点为抛物线顶点时，有最小值；当时，有最大值； ∴，故②错误； 函数，对称轴为，顶点为， 如图，当时，解得或，即，， 当时，解得或，即，， 由图可知，当“和睦点”纵坐标，即时，和睦点在抛物线上的点和点之间（包含端点）或者点和点之间（包含端点）， ∴或，故③正确； 由题意知，函数：，关于直线的“和睦函数”为的解析式为， 如图，当时，与线段没有交点； 当的顶点为时，与线段只有个公共点，此时，解得； 当经过点时，，解得； 当时，与线段有个公共点； 当时，和睦点的纵坐标为，即，此时与线段只有个公共点； 当时，与线段也只有个公共点； ∴或，故④错误； 综上所述，正确的序号为①③． 1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 2．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 3．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 4．（2025·山东日照·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 5．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意确定运动总时间及分段点，分点在上和上两种情况，分别表示线段的长度及的面积，进而判断各结论． 【详解】解：由题意可知，，， 点到达点所需时间为，到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， ∵当点运动到点时，，两点停止运动， ∴． ①当时，，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点，则，， ∵， ∴，即点与点重合， ∴，故①正确； ②当时，分两种情况讨论： 当时，点在上，的底为，高为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值； 当时，点在上，，，， ， ∵对称轴为直线，且，在此范围内随的增大而减小， ∴， 综上，的最大面积为，故②错误； ③令， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得（舍去），，符合题意． ∴有两个不同的值和满足条件，故③正确． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 6．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）函数的最小值为________． 【答案】 【分析】二次函数开口向上，最小值在顶点处，利用交点式求对称轴后代入计算即可． 【详解】解：∵中二次项系数， ∴函数开口向上，顶点处取得最小值， ∵函数图象与轴交点横坐标为和， ∴对称轴为， 将代入函数得：， 因此函数的最小值为． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）将抛物线（，是常数，）向下平移个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，则______，______． 【答案】 / 【分析】先根据平移规律得到原抛物线平移后的表达式，再求出已知抛物线关于轴对称的抛物线表达式，对比系数即可得到和的值． 【详解】解：∵原抛物线向下平移2个单位长度， ∴平移后得到的抛物线为， ∵关于轴对称的抛物线，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴只需将原抛物线中的替换为， ∴抛物线关于轴对称的抛物线为， ∵平移后的抛物线与轴对称后的抛物线是同一个抛物线， ∴对比对应项的系数可得，． 8．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 9．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 10．（25-26九年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），已知，和是抛物线上的两点，对于都有，则a的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当有， 可得或， ∴或 ， 解得； 综上，或． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法把二次函数化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 【详解】略 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后设，则，然后再分情况或，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去） 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 13．（2026·山东枣庄·三模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上不重合的两点． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，过抛物线上一点作直线垂直于轴．若直线与图形有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)，理由如下： 当时，抛物线为， ∵，是抛物线上的点， ∴，， ∴； (2)或或 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）分和两种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：抛物线对称轴为， ∵过抛物线上的点作直线轴，， ∴直线与抛物线的另一个交点为点P关于的对称点， 若，则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， ②若，则， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； ③若，则， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大， 设点关于的对称点为， 则， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意； 若，则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 设点关于的对称点为， ∵， ∴， ∵直线与图形G有且只有一个公共点， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上，a的取值范围是或或． 14．（2025·安徽·模拟预测）如图，抛物线：交轴于点和点B，交y轴于点，顶点记为． (1)求抛物线的函数表达式及顶点的坐标． (2)连接，若线段上有一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长的最大值． (3)在（2）中，当的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与x轴交于点．怎样平移才能使得以、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)； (2) (3)向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度 【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组求得、，即可得到抛物线函数表达式；将表达式配方为顶点式，直接写出顶点的坐标即可； （2）先用待定系数法求直线的解析式，设点横坐标为，用表示、的坐标，通过两点纵坐标差写出关于的二次函数，利用二次函数性质求出的最大值即可； （3）先确定最大时点、的坐标，设平移后顶点，则，根据的位置，分在轴上方、下方两种情况，依据菱形邻边相等列方程求、，舍去无解情况，根据顶点坐标的变化量即可确定抛物线的平移方式． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 化为顶点式，得， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的表达式为，代入、得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设点的横坐标为，则，， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，在取值内， ∴当时，； （3）解：由（2）当的长最大时，，点，点， 设平移后抛物线顶点，抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， 根据的位置，可分两种情况讨论： ①如图，当点在轴上方时，四边形是菱形，则， ∴， 解得或， ，即， 解得或（不合题意，舍去）； ∴的坐标为或， ∵抛物线的顶点为， ∴当的坐标为时，，，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度； 当的坐标为时，，，抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ②当点在轴下方时，四边形是菱形，则， ∴， 两边平方，得， 移项并整理，得， ∴此方程无实数根， 故此情况不成立； 综上，抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度或向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，能使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 15．（26-27九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)符合条件的点M的横坐标为或； 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， ∵， ∴， ∵点的对应点为G， ∴， 又，， ∴，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 情形一：如图，当时， 由，可得直线的解析式为， 由，可得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 代入得，，解得：， ∴直线的解析式为． 联立 ∴ 解得：或（舍去） 情形二：由情形一可得， 解得：，则 作关于的对称点， ∵，则点在直线上， ∴设， ∵ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，符合条件的点M的横坐标为或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴于点，得出，设，当的长度取得最大值时，取得最大值，进而求得关于的解析式，根据二次函数的性质求得最值；作，则，， ，得出，作点关于的对称点，连接，则，，进而根据轴对称的性质求得最小值； （3）根据已知得出，进而得出求得其中一个解，再根据对称性即可求得另一个解，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得：， ∴． 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度取得最大值时，取得最大值． 设， ∴， ∴， ∵, ∴当时，取得最大值为，则的最大值为， 此时，， ∴． 如图，作，则，， ， ∴， 过点分别作轴的平行线交于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 ∴， ∵， ∴，即最小值为． 作点关于的对称点，连接，，则，， 当与的交点即为点时取得最小值，最小值为的长， ∵的最大值为，且，又点关于的对称点， ∴， ∵， ∴ 在中， 即的最小值为； （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $