专题07 二次函数常考几何问题重难点题型专训（10大题型+自我检测）-2026-2027学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以10大题型构建从基础到复杂的训练体系，通过典例与变式强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积问题|1例+2变式|动点面积计算、面积最值|二次函数图象性质与几何图形面积公式结合| |平移/旋转/翻折问题|各1例+2变式|图象变换后解析式及交点|几何变换性质与函数表达式的动态关联| |倍角/45°角问题|各1例+2变式|角度条件转化为坐标关系|三角函数与方程思想解决几何条件| |线段交点/最值/存在性/新定义问题|各1例+2变式|交点个数判断、动态最值、创新概念|从代数计算到逻辑推理，形成完整知识链|

专题07 二次函数常考几何模型重难点题型专训 （10大题型+自我检测） 目录 几何模型・开拓思维 题型一、二次函数的面积问题 1 题型二、二次函数的平移问题 2 题型三、二次函数的倍角问题 3 题型四、二次函数的45°角问题 5 题型五、二次函数的旋转问题 6 题型六、二次函数的翻折问题 8 题型七、二次函数与线段交点问题 9 题型八、二次函数的最值问题 10 题型九、二次函数的存在性问题 11 题型十、二次函数的新定义问题 12 【基础题型一 二次函数的面积问题】 【例1】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） ． (1)直接写出抛物线解析式； (2)如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． (3)如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 【答案】(1) (2)①；②m值为0和3 (3) 【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标设出顶点式方程，化为一般式比较求出系数、，最后验证条件即可； （2）①先令 求出点 的坐标，再设出点 的坐标，利用待定系数法列出关于 、 的方程组，消元求解即可得到直线 的解析式； ②引入直线 并求出其与直线 的交点，将 的面积转化为 与 的面积之和或之差，结合三角形面积公式列出关于 的绝对值方程，最后分类讨论解方程即可． （3）通过设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而联立抛物线方程，借助韦达定理求出交点的坐标．再表示出和的长度，作比即可求出定值． 【详解】（1）解：抛物线 的顶点为， 抛物线的顶点式为， 化简得， 则,，符合题意， 抛物线解析式为 （2）解：令，可得， 解得或， 抛物线与x轴交于A，B两点，且A在B左边， ， ①点E的横坐标为m，点E是抛物线上的动点， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与A重合，， ． 直线的解析式为． ②如图，直线与直线交点，与直线交于点， 将代入直线：， 可得， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与D重合，， ． 直线的解析式为． 点坐标为， 如图，当在右侧时， , 如图，当在左侧时， ， ， 化简可得，即， 当时，，解得或， 当时，，此时方程无实数解， 综上，若的面积等于2时，m值为0和3． （3）设点，由P、Q关于原点对称得，， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， ． 直线的解析式为． 联立抛物线解析式，， 可得， 由韦达定理得， M点的横坐标为， 将代入，． M点的坐标为， 同理可得，直线的解析式为， 点的坐标为． ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 【变式2】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线 经过，两点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式及值． (2)与关于直线对称，求的坐标． (3)抛物线上是否存在点与点不重合，使得 的面积恰好等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 ，的值是 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将，代入 ，由待定系数法可得抛物线的表达式为 ；把代入 即得； （2）由，，，可得，从而可证明，即知关于的对称点在 轴上，根据即得 ； （3）分两种情况：当点在右侧的抛物线上时，分别求出直线、的解析式，联立方程组求得点的坐标；当点在左侧的抛物线上时，可得． 【详解】（1）解：将，代入 得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为 ； 把代入 得： ， 故该抛物线的解析式为 ，的值是． （2）解：如图，，，， ，，轴， ，， ， ， ∴与关于直线对称， 关于的对称点在 轴上，， ∴ ； （3）存在． 当点在右侧的抛物线上时，如图 由（2）知： ，、， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 的面积等于的面积， ∴ 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由 ， 解得：或， ； 当点在左侧的抛物线上时， ∵ 点与点重合，即， 综上，点的坐标为或． 【基础题型二 二次函数的平移问题】 【例2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值及最大时点的坐标； (3)如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为 ； (4)当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，求得直线的解析式为，则可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得平移后的新抛物线的解析式，分两种情况讨论点位置：当在轴上方时，由得，联立直线与抛物线求交点得；当在轴下方时，由角度关系得，列方程解得； （4）由（2）知，，，直线的解析式为，设，则，求得直线的解析式为，设，易得与x轴所形成的锐角为，进而得到，则，设，，问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值，求出点G关于直线的对称点，则的最小值为的长度，利用两点间距离公式求得即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线的解析式，得 ，解得． 抛物线的解析式为； （2）解：设点， 当时，． ． 设直线的解析式为， ， ∴，则， ∴直线的解析式为， 轴，． ， ， ∴当时，的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为； （3）解：对于，当时，，则， ∵，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 分两种情况： 当点Q在x轴上方时，如图， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得或（舍去）， ∴； 当点Q在x轴下方时，如图，过作轴， 设，则， ∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得或（舍去） ∴， ∴， 综上，满足条件的Q的坐标为或； （4）解：如图，作轴，轴 由（2）知，，，直线的解析式为， , ，且， 在和中，， ， ， 设，则， 是的中点， ∴ ∵，， 为等腰直角三角形， ， 设直线的解析式为， 代入，得， 直线的解析式为， ∵于F， ∴设，且与x轴所形成的锐角为， 如图，分别过点N、点F作x轴、y轴的平行线，设交点为K， 则， 是等腰直角三角形， ∴，即，可得， ∴，则， ∴， 如图，设， ∴， ∴， 问题转化为求直线上的点F到点和点的距离和的最小值， 设点G关于直线的对称点为，则， 则的最小值为的长度， ∵， ∴的最小值为． 【变式1】（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1)； (2)的值最大为，； (3)解：或或，过程如下： 由（2）可知：， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线先向右移动4个单位长度，再向下移动4个单位长度， 故平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，联立，解得， ∴， ∵点N为新抛物线对称轴上一点， ∴设， 由（2）知：， ∴ 当以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况： ①，此时为菱形的对角线， 则，解得或， 设，则， ∴， ∴或，即或； ②当，此时为菱形的对角线， 则，解得； 设，则， ∴， ∴，即； 综上：或或. 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到，延长交轴于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，得到，转化为二次函数求最值即可； （3）先求出平移后的抛物线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，设，分，两种情况，结合菱形的对角线互相平分，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于，， ∴，解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 延长交轴于点，设， ∵轴， ∴，，轴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴当时，的值最大为，此时； （3）略 【变式2】（2026·吉林·模拟预测）已知抛物线：（）与轴相交，两点（其中为坐标原点），过点作直线轴于点，交抛物线于点，如图所示． (1)________． (2)若点在抛物线的对称轴上，则的长为________． (3)把抛物线在直线右侧的部分（含点）记为图象．用含的式子表示图像的最高点的坐标； (4)已知点到轴的距离为，把抛物线在直线左侧的部分（不含点）记为图象．图象沿轴向下平移个单位长度得到图象．当图象上恰好只有两个点到轴的距离等于该点到直线的距离的倍时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)0 (2)12 (3)或 (4)或或 【分析】（1）原点的横纵坐标代入解析式，即可求解； （2）根据对称轴公式和题意，可得，则，对称轴为直线，再求出点的坐标，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴和顶点坐标，再根据图象和点与对称轴的位置，分类讨论即可； （4）根据题意，先求出，再根据解析式求出点，顶点以及平移后对应点，，结合题意可得满足条件的两个点是图象与直线和的交点，画出图象分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：抛物线：（）过原点， ，则； （2）， 对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， ，解得， 对称轴为直线， 抛物线与轴相交，两点， ，两点关于对称轴对称， ， ； （3）解：， ， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 轴，交抛物线于点，点， ，， ， 当时，即时，图像的最高点的坐标为； 当时，即时，图像的最高点的坐标为； 综上所述：图像的最高点的坐标为或； （4）解：设抛物线的顶点为， 点到轴的距离为， ，解得或， ， ， 抛物线：，点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线，顶点，即点在对称轴右侧， 图象沿轴向下平移个单位长度得到图象， 平移后点，的对应点坐标分别为，， 图象上恰好只有两个点到轴的距离等于该点到直线的距离的倍， 这两个点的纵坐标满足条件，，即或， 满足条件的两个点是图象与直线和的交点， 如图1， 当直线过点时，，解得，此时图象(不包含)与直线和各有一个交点； 如图2， 当直线过点时，，解得，此时图象与直线和各有一个交点； 如图3， 当直线过点时，，解得，此时图象(不包含)只与直线有一个交点； 如图4， 当直线过点时，，解得，此时图象只与直线有一个交点； 综上所述，结合图象可得，当图象上恰好只有两个点到轴的距离等于该点到直线的距离的倍时，的取值范围为或或． 【基础题型三 二次函数的倍角问题】 【例3】（2026·山东临沂·一模）抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 【变式1】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法将点A，B代入可得a，b的值，即可求得抛物线的解析式； （2）过点P作交直线于点M，交x轴于点N，先根据抛物线在x，y轴的交点情况求出各交点的坐标，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，，，利用待定系数法求得直线解析式，再设，，，得出，的表达式，将进行转化得到开口向下的二次函数解析式，进而求得最大值时a的值，过点A作轴，过点P作，的最小值即为线段的长度，即可得解； （3）先求出平移后的新抛物线解析式，利用轴对称的性质作出相应的点，并画出相关的辅助线，结合已知条件并通过相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用得出相关线段的值并求得相关点坐标，利用待定系数法得出对应直线的一次函数解析式，并联立新抛物线解析式即可得出点R的横坐标． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， 将点A，B代入可得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点P作交直线于点M，交x轴于点N， 由抛物线解析式可得点C坐标为， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，，， 设直线解析式为， 将点B，C代入得，， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，，则， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值， ∴， 过点A作轴，过点P作， ∵， ∴ ∴， ∴，即， ∴ ∴的最小值即为线段的长度， ∵ ∴的最小值为． （3）解：∵沿射线方向平移个单位， ∴新抛物线解析式为， 如图，过点C作x轴对称点，连接，将绕点A逆时针旋转得，交y轴于点D，交于点R， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， 设直线解析式为， 代入点A，D得，，解得， ∴直线解析式为， 联立与得，， 解得：，（舍去）， ∴， 过点D作的对称点E，连接并延长交于点，再过点O作的对称点F，连接，连接交于点N，连接交于点M， ∴，， ∴， 过点D作x轴对称点，连接， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 过点F作， ， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 将②代入①得，，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点D代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线得：， 解得：， ∴点M的坐标为， ∵M为中点， ∴点E坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立与得，， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述，点R的横坐标为或． 【变式2】（2026·四川南充·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P为第四象限内抛物线上一动点，与y轴分别交于M，N两点．当点P运动时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值，定值为4 【分析】（1）先根据已知条件确定B、C的坐标，再利用正切的定义确定点A的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）设D，再说明，如图：过D作轴于E，利用正切的定义可得，整理后求解可得或，最后确定D点坐标即可； （3）如图：过P作轴于Q，设，且，则．易得，证明可得，进而求得．同理证明可得，最后代入化简即可解答． 【详解】（1）解：， ，． ， ． ． 设抛物线解析式为，代入， 得：，解得：． 该抛物线解析式为． （2）解：设D， ，， ． 如图：过D作轴于E， ．整理得：． ， ，解得：，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，或． （3）解：是定值，定值为4，理由如下： 如图：过P作轴于Q，设，且，则． ． ， ． ，即． ． ， ． ，即． ． ． 的值为常数4，故是定值． 【基础题型四 二次函数的45°角问题】 【例4】（2026九年级下·天津红桥·学业考试）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．M为x轴下方抛物线上横坐标为m的点，连接． (1)求该抛物线的解析式和点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)过点作轴的平行线与抛物线相交于点，过点作轴的平行线与直线相交于点，若，求m的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，点B的坐标为 (2) (3)的值为或 【分析】（1）用待定系数法，代入已知点A、C的坐标求出抛物线系数，再令求出与x轴交点B的坐标． （2） 构造等腰直角三角形，利用全等三角形得到直线上一点的坐标，求出直线解析式后联立抛物线方程，结合在轴下方的条件得到的值． （3）利用抛物线对称性得到的长度表达式，求出直线BC解析式后得到的长度表达式，根据列方程，结合的位置分类讨论得到的值． 【详解】（1）解∶由过点和可得： ． 解得． ∴抛物线解析式为． 令，得． 解得． ∴点B的坐标为． （2）解：如图1，过点C作交直线于点D，过D作轴于点H． ∵， ∴为等腰直角三角形，． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∵坐标为， ∴D点坐标为． 设直线的解析式为，代入和得 解得 即直线解析式为． 联立直线与抛物线方程得： ． 解得， ． ∴． （3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线． ∵平行x轴，M，P都在抛物线上， ∴M，P关于对称轴对称． ∵M横坐标为，∴P横坐标为． ∴． 设直线解析式为，代入，得 解得 ∴直线BC解析式为． ∵平行轴，在上，横坐标为， ∴纵坐标为，纵坐标为． ∴． ∵在轴下方， ∴或，此时， 所以． ∵， ∴． 分两种情况讨论： ①当时，，方程化为，  解得，∵，∴． ②当时，，方程化为， 解得，∵，∴． 综上，的值为或． 【变式1】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． (3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)Q点坐标为或 (3)存在，点P坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，解方程组即可； （2）由可得点到的距离与点到的距离相等，利用平行线间的距离处处相等可得，利用一次函数图象平行时相等可求出的解析式，结合抛物线解析式即可求解； （3）由题意可得，分射线在的右侧和射线在的左侧两种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由抛物线的解析式为，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，，即， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， ∴点的坐标为或． （3）解：存在． ∵抛物线交y轴于点，经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当射线在的右侧时， ∵， ∴轴， ∴点与点重合， ∵， ∴， ∴； ②当射线在的左侧时， ∵， ∴， 设，则， ∵抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】解题时重点运用平行线间距离处处相等，方程的思想，分类讨论的思想． 【变式2】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据，，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，先求出的长，根据列式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出，再过点作，且，过点作轴于点，过点作轴于点，证出，，则可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立即可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，， ， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 直线与抛物线交于两点， ，解得，， 当时，， 当时，， ，， ， 设点，的面积为，则点， ， 则， 即， ， 当时，S取得最大值为， 则， 当点时，的面积最大为； （3）解：当时，，解得，， ，则， 如图，过点作的垂线并取点（在直线的上方），使得，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点， ， ，，则， ，轴，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 则， ， 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， ， 点是满足条件的点， ，解得（舍去），， 当时，， ． 【基础题型五 二次函数的旋转问题】 【例5】（2026·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交直线于点．点，为轴上的动点（点在点的上方），且，连接，．当周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值． (3)如图2，在（2）中周长取得最大值的情况下，将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点（位于新抛物线对称轴左侧），当时，请求出所有符合条件的点横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)点G的坐标为：或者，求解方法如下： ∵， ∴顶点坐标为， ∵将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线， ∴抛物线上的点与抛物线的点关于对称， ∵抛物线的顶点，， ∴抛物线的顶点为，关于对称的对称点的坐标为：， ∴抛物线解析式为， 将代入，有：，解得：， ∴抛物线解析式为，即新函数的对称轴为：， ∵点为新抛物线上的一动点（位于新抛物线对称轴左侧）， ∴； ∵， ∴， 取点，点，连接，，过点K作于点Z，过点K作于点W,过点S作于点J，直线交y轴于点Y，交y轴于点V， ∵点，点，，， ∴，，即，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴同上方法可得：，， ∴， ∴在中，， ∴； 由（2）可知， 设直线的解析式为：，将，代入解析式, 得:，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴，即， ∴； 当点G在直线下方时，如图，过点V作于点R， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 解得：，或， ∵点G在直线下方， ∴点Y在直线下方， ∴， ∴此时， ∴， 同理利用待定系数法可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：，（舍去）， ∴， 此时点G的坐标为：； 当点G在直线上方时，如图，过点Y作于点R， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理利用待定系数法可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：，（舍去）， ∴， 此时点G的坐标为：； 综上：点G的坐标为：或者． 【分析】（1）先求出C点坐标，即根据，结合正切值求出，进而得出点B的坐标，再根据对称轴得出a、b的数量关系，再代入B的坐标，即可求解； （2）先证明是等腰直角三角形，延长，交于点X，过点F作于点H，再证明是等腰直角三角形；用表示出的周长，利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为：，且，表示出点的坐标，根据，即可用m、n表示出，则周长L可以表示出来，结合在抛物线上，利用二次函数求极值的方法，可确定出m的值，则可求出点P的坐标；取点I使得点I、点B关于y轴对称，过点I作轴，且使得，连接、、，点T在x轴上方，先证明是平行四边形，结合对称，可得，当T、M、P三点共线时，最小，最小为的长，问题即可作答； （3）先确定原二次函数的顶点坐标，根据将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线，可知抛物线上的点与抛物线的点关于对称，则根据抛物线上点A、顶点的坐标可以求出新抛物线上与之对应的坐标，即可求出新抛物线的解析式；取点，点，连接，，过点K作于点Z，过点K作于点W,过点S作于点J，直线交y轴于点Y，交y轴于点V，利用正切值相等，先证明，即有；求出V点坐标；分类讨论，当点G在直线下方时，过点V作于点R，先证明，设，利用面积，再结合勾股定理可求出的值，此时可Y的坐标，则求出直线的解析式，将之于抛物线的解析式联立可求解；当点G在直线上方时，过点Y作于点R，，再证明，即可求出，进而得出Y的坐标，问题得解． 【详解】（1）解：当时，， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即， ∴， 代入，有：， 解得：，即， ∴； （2）令， 解得：，， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图，延长，交于点X，过点F作于点H， ∵，轴, ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵在中，， ∴，即， ∴周长为：， ∵，， ∴设直线的解析式为，即， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为：，且， 即， ∵轴, ∴， 令，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴周长L为：， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，此时， ∴， 如图，取点I使得点I、点B关于y轴对称，过点I作轴，且使得，连接、、，点T在x轴上方， ∵，， ∴是平行四边形， ∴， ∵点I，点B关于y轴对称，， ∴，， ∴， ∴， 当T、M、P三点共线时，最小，最小为的长， ∵，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为； （3）略． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数的旋转，解直角三角形的计算，解一元二次方程，全等三角形的判定与性质等知识，难题的难点在第三小问，如何将转化为是解答本题的关键． 【变式1】（2026·广东中山·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)存在，点D的坐标为或或 (3)线段的最小值为 【分析】（1）过P作轴交于点G，设，则，求得，根据，用的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （2）用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：如图，过P作轴交于点G， 设，则， ∴， 对于一次函数，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，为最小值； （2）解：对于抛物线表达式，当，， ∴， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点D的横坐标为t， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ①当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ∴， ∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【变式2】（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，已知抛物线过点、，抛物线与x轴的另一交点B在x轴的正半轴上，过点A作直线交抛物线于点D，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一点，连接交于点E，连接，，设的面积为S，点P的横坐标为t，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）问的结论下，过点P作于点H，取的中点Q，连接交抛物线于点M，将绕点P逆时针方向旋转至，求N的坐标． 【答案】(1) (2)S关于t的函数关系式为，S的最大值为，此时点P的坐标为 (3) 【分析】（1）由题意可得，由平行线的性质可得，从而得出，结合正切的定义的，即，设抛物线的解析式为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出直线的解析式为，从而可得直线的解析式为，联立，求得，由题意可得，连接，作轴，交于点，则，表示出，再由，且点在上，得出保持不变，且，最后再由计算即可得出结果； （3）由（2）可得，则，求出点的坐标为，从而可得直线的解析式为，联立，求出，作交于点，由旋转的性质可得：，则为等腰直角三角形，从而可得，过点作直线轴，作直线于点，作直线于点，则，证明，得出，，设，则，由，求出，从而可得，进而求出直线的解析式为，设点，由旋转的性质可得，由勾股定理可得，，则，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设抛物线的解析式为， 将、、代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∵设点P的横坐标为t， ∴， 如图，连接，作轴，交于点，则， ∴， ∵，且点在上， ∴保持不变，且， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时， ∴S关于t的函数关系式为，S的最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可得， ∵于点H， ∴， ∵为的中点，， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图，作交于点， 由旋转的性质可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作直线轴，作直线于点，作直线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即， 设直线的解析式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 由旋转的性质可得， ∵，， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴． 【基础题型六 二次函数的翻折问题】 【例6】（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于轴上的点和点． (1)求和的值； (2)A为直线下方抛物线上一点，连接，求的面积的最大值； (3)当点为抛物线的顶点时（如图2），将沿着直线翻折得到，求与抛物线的另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，过点作轴交直线于点，如图1，可得，运用二次函数性质即可求得答案； （3）根据轴对称性质可求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，联立方程组即可求得交点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ， 抛物线过点， ， 解得：； （2）解：由（1）可得：抛物线解析式为， 当时，， ， 设，过点作轴交直线于点，如图1，则， ， ， 当时，取得最大值； （3）解：， 抛物线的顶点坐标为， 如图2，连接， 对于直线，令，则，解得， ∴， ， ， ∴ ， ， ， 点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， 三点共线，， ， ， ， 设直线的解析式为，把代入得： 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去）或， 当时，， ． 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为：． 【变式2】（2026·安徽马鞍山·二模）抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为，D是线段上的一点，连接． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，延长交抛物线于点E，当最大时，求点E的坐标，并求出这个最大值； (3)如图2，将沿着翻折得到，连接，当时，求的长． 【答案】(1) (2)，最大值 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）过点A、E作y轴的平行线分别交直线于点M、F，构造相似三角形，利用相似三角形以及二次函数的性质求出最值； （3）过点A作，垂足为H，根据点的坐标、勾股定理以及翻折的性质求出相关线段的长度，设，则，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； 将和代入得 ， 解得， ∴； （2）解：如图所示，过点A、E作y轴的平行线分别交直线于点M、F． ∴， ∴， ∴， ∴， 由题可设，故， ∴， 令， 解得或， ∴， ∴， 即 ∴，当且仅当时取等号，最大值为， 此时； （3）解：由、和可得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， 故由折叠可知，，， ∵， ∴， 过点A作，垂足为H， ∴为等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即． 【基础题型七 二次函数与线段交点问题】 【例7】（2026·河南商丘·二模）二次函数的图象经过点． (1)若该函数图象经过点，求此时二次函数的解析式； (2)当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围； (3)线段的两个端点为，．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可； （2）根据题意得出函数的对称轴为，然后分两种情况分析：当时，，当时，，求解不等式即可； （3）根据题意得出抛物线经过点和两点，分三种情况分析：时，时，③当抛物线的顶点在线段上时，画出相应函数图象，然后结合图象及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， ， 将点代入，得， ， 二次函数的解析式为． （2）由（1）得，函数的解析式为， 函数的对称轴为， 当时，若二次函数满足随的增大而减小， 当时，， 当时，， 解得：或， 的取值范围为或； （3）解：当时，，当时，， 即抛物线过， ①如图1，当时，，若抛物线与线段只有一个交点，则必有， ， ； ②当时，， 若抛物线顶点在线段下方，则抛物线与线段无交点，不合题意； 若抛物线顶点在线段上方，则抛物线与线段有两个交点，不合题意； 若抛物线的顶点恰在线段上时，则顶点的纵坐标， 由（2）得函数的对称轴为， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍去）或； 综上，抛物线与线段只有一个公共点时，的取值范围是或． 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）与y轴交于点A，与x轴交于点B和点，直线与抛物线交于点P． (1)求此抛物线对应的函数表达式，并直接写出点A、点B的坐标； (2)当点P在点A右侧，且点P到x轴的距离等于点A到x轴的距离时，求点P的坐标； (3)过点P作轴于点Q，以为边向下作矩形，其中．当抛物线在矩形内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)设点E的坐标为，点F的坐标为，连接，当抛物线在点P及点P右侧部分和线段有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 (3)当时，抛物线在矩形内部的图象对应的函数值y随x的增大而减小； 当时，抛物线在矩形内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大 (4)或 【分析】（1）代入点C求出函数解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可； （2）由题意，求出点P的纵坐标，分两种情况讨论，求出对应的横坐标即可； （3）画出对应图象，根据图象判断满足条件时点Q或点M的位置，再列不等式求解即可； （4）根据点E和点F的坐标，判断点E和点F分别在直线和上，画出函数图象，根据图象判断与抛物线有交点时的位置情况，再结合交点在点P及点P的右侧这一条件，求出对应临界情况下的点坐标，结合图象列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：代入点，得， 解得， ∴， ∴， 令，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴或， ∵点P在抛物线上， ∴或， 解得，，，， ∵点P在点A右侧， ∴， ∴或3， ∴或； （3）解：由题意，，， ∵，以为边向下作矩形， ∴，， 如图，当点P在抛物线对称轴的左侧，点Q在抛物线上方时，抛物线在矩形内部的图象对应的函数值y随x的增大而减小， ∴由图可知，，即当时，抛物线在矩形内部的图象对应的函数值y随x的增大而减小， 如图，当点P在抛物线对称轴的右侧，点M在抛物线上方时，抛物线在矩形内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大， ∴，且， 解得， ∴当时，抛物线在矩形内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大； （4）解：由题意，可知，， ∴点E在直线上，点F在直线上，轴， 如图，当抛物线和线段有公共点时，所在位置在图中阴影四边形上，其中，为直线与抛物线的交点，，为直线与抛物线的交点， 令，解得或， ∴，； 令，解得或， ∴，， 若抛物线与的交点在点P及点P右侧部分的抛物线上，取临界情况，点P在线段上，如图所示， 则令， 解得或， 由图可知，满足条件时，点在点或的右侧，点P在其临界位置的左侧， ∴m的范围为和，即或． 【变式2】（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．点在抛物线上，点的横坐标为，过点作直线的垂线，垂足为．将线段关于点中心对称得到线段（点的对称点为点），依次连接、、、得到平行四边形． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当和两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)当时，抛物线在平行四边形内部及边界的图象记为．若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为1，求的值； (4)当线段与该抛物线有两个公共点时，设两个公共点是和，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）首先得到，，根据对称的性质得到，求出，，然后根据对称的性质求解； （3）同（2）得到，然后根据题意得到，然后求解即可； （4）首先将直线和联立得，根据题意得到，求出，然后表示出，根据得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵点在抛物线上，点的横坐标为，过点作直线的垂线，垂足为． ∴，， 当和两点关于该抛物线的对称轴对称时，， ∴， ∴， ∵点P关于点的对称点为点M， ∴点是的中点， ∴点M的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：∵， 由（2）得，点M的横坐标为，纵坐标为， ∴ ∵图象的最高点与最低点的纵坐标之差为1， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴或； （4）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴将直线和联立得，， 整理得，， ∵线段与该抛物线有两个公共点， ∴， 整理得，， ∴， 解得， ∵，两个公共点是和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， 综上所述，的取值范围为或． 【基础题型八 二次函数的最值问题】 【例8】（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4 (3)存在， 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 【详解】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 【变式1】（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）连接交对称轴于点，由关于对称轴对称得，进而得到，可知当三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）过点作轴 ，交于点，设点，则， 可得，进而根据三角形面积公式求出与的函数解析式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 【变式2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线经过、、三点，直线经过点与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点是在直线上方二次函数图象（含、两点）上的一个动点，试探究点的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积； (3)如图2，若是线段上的一个动点，连接，交直线于点，延长，交抛物线于点，试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，最大值9 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出点坐标，可知轴，当点在上方，即时，；当点在下方，即时，；分别求出比较即可； （3）过点作轴交于点，可得，当的值最大值时，的值也最大，设，则，则，当时，有最大值9，即得的最大值． 【详解】（1）解：将、、代入得， ， 解得， ∴． （2）解：联立方程组， 解得或， ∴， ∵， ∴轴，， 设， ∵点是在直线上方二次函数图象（含、两点）上， ∴， 过点作于点， 当点在上方，即时，， ∴， ∴当时，的面积最大值为； 当点在下方，即时，， ∴， ∴当时，的面积最大值为； ∵， ∴当时，的面积取最大值， ∴当时，， ∴点的坐标是时，的面积最大值为． （3）解：存在最大值． 如图，过点作轴交于点， ∵轴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当的值最大时，的值也最大， 设， ∵点在直线上， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值9， ∴的最大值为9． 【基础题型九 二次函数的存在性问题】 【例9】（2026·河南平顶山·三模）定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物中心对称点”．点在抛物线 上，点A的“抛物中心对称点”为点B． (1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标． (2)①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线 ． ②将直线 向下平移3个单位长度得到直线，则直线上___________互为“抛物中心对称点”的两个点．（填“存在”或“不存在”） ③将抛物线 向上平移个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称点”的两个点，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) ； (2)①；②不存在；③ 【分析】（1）求出点A的“抛物中心对称点”为点B的坐标，再运用待定系数法求出抛物线的解析式，运用配方求出顶点坐标即可； （2）①画出的抛物线和直线 即可； ②求出直线 的解析式为，平移后的解析式为，假设存在两点，判断是否在抛物线上即可； ③平移后的抛物线的表达式为 ，设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为，根据 可得 ，结合可得结论． 【详解】（1）解：由题意，可知点，点，且点 均在抛物线上． 把代入 ，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 ． ∴抛物线的顶点坐标是． （2）解：①略 ②设直线 的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线 的解析式为， 将直线向下平移3个单位长度得到直线 ， 假设存在两点关于原点对称， 把点的横坐标代入得： 故不存在两点互为“抛物中心对称点”； ③由题意，得平移后的抛物线的表达式为 ． 设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为， ∴ ． ∴ ． 整理，得 ． ∴ ． ∴ ， ∵， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 【答案】(1)函数表达式为，“友好点”坐标为 (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，然后根据“友好点”的定义求解即可； （2）由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于，分别求解即可． （3）由题意得，“友好点”所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 根据“友好点”的定义可设， 把代入，得， 整理得：， 解得， ∴“友好点”坐标为； （2）解：由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 综上，的值为或． （3）解：由题意得，“友好点”所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 由方程可变形为，则问题等价于二次函数与直线在范围内至少有一个交点， ∴由可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，则有，当时，则有， 即在上，的取值范围为，即， 综上所述：的取值范围为：． 【变式2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 如图1，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积； (4)如图1，点是轴上的动点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)该抛物线的解析式是； (2)存在，点的坐标为或； (3)面积是； (4)的最小值是． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，设，设直线交轴于点，再分两种情况讨论，即可求解； （3）设，过Q作轴交于G，表示出的长度，根据二次函数的性质求出的最大值，再利用三角形面积公式计算的最大面积． （4）先确定抛物线对称轴上的点M，通过将转化为，结合垂线段最短确定最小值为． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式是， 将点代入得， 解得， 因此，抛物线解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，设直线交轴于点，当点F在x轴下方时，作线段的垂直平分线交轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， 则， ∴点的坐标为； F在x轴上方时，作线段的垂直平分线交轴于点， 同理，点的坐标为，直线的解析式为， 联立得， 解得或， 则， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：设直线为， 代入、，得， 解得，， ∴直线的解析式为， 设， 过Q作轴交于，则，如图， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当的值最大时，的值最大， ∵， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴； （4）解：抛物线的对称轴为， 代入直线得， ∴点M的坐标为． 过点C作直线交轴于点，使， 过M作直线的垂线，垂足为D，垂线交y轴于E，如图， ∴， ∴， 根据垂线段最短，的最小值为的长， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的最小值为． 【基础题型十 二次函数的新定义问题】 【例10】（2026·辽宁朝阳·二模）给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“关联函数”．例如：二次函数的“关联函数”为：． (1)二次函数，求该二次函数的“关联函数”的表达式； (2)如图1，设二次函数的图像交轴于点，交轴于点，它的“关联函数”的图像为，图像与相交于、两点（点在点的右侧）． ①求点的坐标； ②直线与，分别交于点，，连接交于点M，当时，若的值最大，求的值； ③若二次函数与它的“关联函数”组成新函数，当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）根据题意即可直接得出结果； （2）①利用待定系数法确定，得出该二次函数的“关联函数”为，然后联立求解即可； ②过点A作轴交于点H，得出，设则，表示出和，利用相似三角形的判定和性质得出，，结合图形得出，利用二次函数的性质，即可求解； ③根据题意画出相应函数图象，然后结合二次函数的性质及图象得出函数w的最大值和最小值的差是4，为定值，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， ， 该二次函数的“关联函数”为． （2）解：①交x轴于点，交y轴于点， ， ， ， ∴该二次函数的“关联函数”为； 根据题意，令，整理得， 解得， ， ∵点在点的右侧， ∴； ②如图，过点A作轴交于点H， 当时，， ∴， ， 设，则， ， ， ， ， ， ∴当时，有最大值为； ③根据题意，由二次函数与它的“关联函数”组成的新函数w如图所示： ， ， ， ∴开口向下， ， ∴当时，取得最小值，最小值为0；当时，取得最大值，最大值为4， ∵当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化， ∴当的最大值为4时，符合题意， 则当时，即，解得， ， ， ， ∴当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，的取值范围是． 【变式1】（2026·辽宁辽阳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B．与x轴正半轴交于点C，二次函数的图象经过点A和点C． (1)求点A，B的坐标及的解析式． (2)直线与交于点D，与交于点E．与x轴交于点F，若，求此时t的值． (3)定义新函数：，若直线与新函数图象有三个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)t的值为或； (3)或． 【分析】（1）根据题意分别求出，，，然后再由待定系数法确定函数解析式即可； （2）由题意，，，，确定， ，再由题意建立方程，分情况分析求解即可； （3）根据题意得出当时，，确定，然后根据题意取临界点即可求解． 【详解】（1）解：令，解， 得，， ∴，． 令，得， ∴． 把，代入中， 得， 解得，． ∴． （2）解：由题意，，，． ∴， ∵由， ∴． ∴当时，化简得， 解得（舍去），． 当时，化简得， 解得（舍去），． 综上所述，t的值为或． （3）解：， 当时，， 解得：， ∵， ∴开口向上， ∴当时，， ∴由题意，得 直线与有三个交点，需分两种临界情况： 联立，即， 整理得：， 判别式：， 解得． 联立，即， 整理得：， 判别式：， 解得． ∴ 将代入中，得． 将代入中，得． ∴． ∴或． 【变式2】（2026·湖北襄阳·模拟预测）定义：若，点 B为，那么我们称点B是点A的“I”点． 如图，抛物线经过点． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点坐标； (2)D为抛物线上对称轴左侧的一个动点，点D的“I”点为点H．设点D的横坐标为m． ①若直线经过点 H，求H点坐标； ②若点H在直线的下方时，且点H的纵坐标随着m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围； (3)点E为抛物线上的一个动点，过点E作轴交直线 于点F，点E的“I”点为点G，设E的横坐标为t． ①令，直接写出l与t的函数关系式； ②若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)①；② (3)①；②或 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再将其配成顶点式，即可求解顶点坐标； （2）①由题意知：，根据H在上，得到，解方程即可； ②H在的下方，得到，求出，再由H点的纵坐标随着m的增大而减小，得到，即可得； （3）①由题意知：，则，那么当E、G重合时，，则；当E、F重合时，，则，；当F、G重合时，，则，再分段画图求解即可；②根据图象即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴ ∴顶点坐标为. （2）解：①由题意知：， ∵H在上， ∴， ∴， ∵点D在对称轴左侧， ∴， ∴. ②∵H在的下方， ∴， ∴， 令， 根据二次函数与不等式的关系可得， 而，此函数对称轴为直线，开口向上， ∵H点的纵坐标随着m的增大而减小， ∴， ∴， ∵点D在对称轴左侧， ∴， ∴； （3）解：①由题意知：， ∴ ∴ 当E、G重合时，， ∴， 当E、F重合时，， ∴，， 当F、G重合时，， ∴， 当时，如图： ∴， 当时，如图： ∴， 当时，如图： ∴， 当时，如图： ∴， 当时，如图： ∴， 当时，如图： ∴， 综上：. ②由①图示可得，若时，或 1．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）先求出直线的解析式，证明为等腰直角三角形，则，设，则，可得，即可求解； （3）分两种情况：当点Q在上方时， 当点Q在下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，取得最大值，此时点，的面积最大，最大值为； （3）解：存在． 当点Q在上方时，作点关于y轴的对称点，过点B作交抛物线于点Q，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，此时点Q符合题意， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，作点，直线与抛物线交于点， 同理直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 3．（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 【答案】(1) (2)的取值范围为或． (3)的值为． 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数表达式即可求得的值． （2）先令求得，再令和分别求得的值，最后结合函数图像即可求得的取值范围． （3）先用待定系数法求得直线的函数表达式，从而得到点，，，的坐标，再结合得到，的长，进而得到关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质即可求得当最大时的值． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ， 解得． （2）解：由（1）知，二次函数表达式为． 令，得． 令，得， 解得或． 令，得， 解得或． 如图，结合函数图像可知，当时，函数值介于与5之间，对应的自变量分为两段，当点，在抛物线上，且时，的取值范围为或． （3）解：如图 令，得， 解得或． ． 令，得， ． 设直线的函数表达式为． 将点，的坐标分别代入． 得 解得 直线的函数表达式为． ， ． 由题意可知，，，，，且点在点上方，点在点上方， ，， ， ，抛物线开口向下，二次函数在处取得最大值． 又，满足题设条件， 当时，取得最大值，即当最大时，的值为． 4．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②最大值，此时 【分析】（1）A，D两点既在直线上又在抛物线上，先通过直线方程求出A，D两点坐标，再代入抛物线方程即可． （2）①根据为直角三角形进行分类讨论，依据不同情况时具有的几何特征找出等量关系列方程求解． ②利用隐含的角度关系，得出，将所求的目标进行转化，将双变量化为单变量再通过函数求出最值． 【详解】（1）解：∵A点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， ∵D点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， 又∵点A，点D在抛物线上， 则有，解得， 故抛物线的解析式为． （2）由题设， ①∵点A，点C为直线与坐标轴的两交点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴当为直角三角形时有两种情况，或， 1）当时，， ∵轴，即， ∴为等腰直角三角形， 则有， ∴，解得或（舍）， ∴， 2）当时，点P与点B重合，即此时点P在x轴上 ， ∴令，解得或（舍）， ∴， 综上为直角三角形时，点P坐标为或． ②∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即，此时符合有． 5．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由如下： 连接， 由（2）得，，，． 抛物线的对称轴为直线． 轴， ∴点B，D关于直线对称． 为中点， ． 设抛物线的对称轴与交于点Q，则． ． ． 又∵M，N关于直线对称， ． ． ，， ，． ． ． ． 【分析】（1）把分别代入和，即可求得答案； （2）由题意可得，，，，求得，再根据不等式的性质即可求得的取值范围； （3）连接，设抛物线的对称轴与交于点Q，则，根据中点得到，则，，即可证明，得到，则． 【详解】（1）解：把分别代入和， 得，， ，； （2）解：由（1）得，直线解析式为，抛物线解析式为． 当时，． ． 当时，． ． ， ∴点B在点A的上方． ． 当时，． 解得，． ，点M在点N的左侧， ，． ． ． ， ， ， ． （3）略 6．（2025·新疆伊犁·三模）如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）延长交直线l于点，当时，证明为等腰直角三角形，利用，即可求出点的坐标，再利用点的坐标，求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立即可求出m的值． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得： ，解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点D作轴于点E， 而直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点，则，， ∴，解得（舍去）或， 当时，， 故点D的坐标为； （3）设直线l的表达式为 将，代入得： ，解得： ∴直线l的表达式为， 延长交直线l于点M，设点， ∵，直线， ∴为等腰直角三角形，则， ∴，解得或， ∴点M的坐标为或， 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 综上，或． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标； (2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标； (3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，点坐标为，． 【分析】（1）由抛物线对称轴为，并过点，可求出、，从而求出抛物线解析式和顶点坐标． （2）由A，B，C坐标可得出，再由，推出是正三角形，翻折后，推出，从而得到，把代入即可求解． （3）分情况讨论点在轴的存在性． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． 二次函数的解析式为． 配方得， 顶点坐标为． （2）解：如图， 由题意知， 令，得 ， 解得， 点坐标为， 令，得， ∴点坐标为， 在中，，， 则, ， 又， 是正三角形． ∵动点，从出发，速度为每秒2个单位长度， ， 点在上，坐标为， 点在上，由几何关系可知的坐标为，即． 将沿翻折后，点是关于的对称点， ∴，， ∴， ∴, 的纵坐标与相同，为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ． 点在抛物线上， ， 化简，得， ， ． 时，，， ． （3）解：由（2）的结论可知，在中，， 当时，为的中点，为的中点， ∵，， ∴ 在中，， 是直角三角形，， ，． 当在轴上时，过作交轴于点． ， ． ． 解得， ∴，则； 过作轴于， ，， ． ，解得， ∴，则； 在轴的其它位置时，不可能为直角三角形，不可能与相似； 综上所述：轴上存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，点坐标为，． 8．（25-26九年级下·湖南株洲·期中）已知二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． (1)，， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； (2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足，求的值． 【答案】(1)①对称轴为直线，顶点坐标为； ②证明：设， 令，则，整理得， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根， 故存在两个点P，且点P的横纵坐标互为相反数， 故此二次函数有两个不同的“零和点”； (2) 【分析】（1）先由已知得到，①根据二次函数的性质求解即可；②设，令，得到，证明该方程有两个不相等的实数根即可解答； （2）先由题意得到且，顶点D的坐标为，，，再求得直线的表达式为得到，证明得到，则，则整理得，进而求解即可． 【详解】（1）解：当，，时，， ①该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． ∴且，顶点D的坐标为， 令，由得，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 则， 即 整理，得， ∵， ∴． 9．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 10．（2025九年级·贵州黔西南·专题练习）平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，消去即可得到与的数量关系； （2）由抛物线对称性得、横坐标之和为6，结合两三角形面积差列方程求解E点横坐标，纵坐标与、一致； （3）联立直线与抛物线解析式，结合点横坐标求出顶点纵坐标，再根据二次函数性质求区间内的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得， 化简得． （2）解：抛物线对称轴为，点，在抛物线上， 关于直线对称，即， ， 设， 在线段上， 或， 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 综上所述，的坐标为或． （3）解：抛物线的顶点式为，顶点， 设直线的解析式为， 当的坐标为时， 将、代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ∴，解得， ∴， 故，此时顶点在第一象限，不合题意； 当的坐标为时， 将，代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ， ， ， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为，开口向上，对称轴为； ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ，且， ， 综上所述，当时，的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数常考几何模型重难点题型专训 （10大题型+自我检测） 目录 几何模型・开拓思维 题型一、二次函数的面积问题 1 题型二、二次函数的平移问题 2 题型三、二次函数的倍角问题 3 题型四、二次函数的45°角问题 5 题型五、二次函数的旋转问题 6 题型六、二次函数的翻折问题 8 题型七、二次函数与线段交点问题 9 题型八、二次函数的最值问题 10 题型九、二次函数的存在性问题 11 题型十、二次函数的新定义问题 12 【基础题型一 二次函数的面积问题】 【例1】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） ． (1)直接写出抛物线解析式； (2)如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． (3)如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【变式2】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线 经过，两点，直线与抛物线交于点． (1)求抛物线的解析式及值． (2)与关于直线对称，求的坐标． (3)抛物线上是否存在点与点不重合，使得 的面积恰好等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【基础题型二 二次函数的平移问题】 【例2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线，，点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值及最大时点的坐标； (3)如图2，若将抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且，则点的坐标为 ； (4)当最大时，作直线，若点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，过点作，垂足为，连接，，则的最小值为 ． 【变式1】（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【变式2】（2026·吉林·模拟预测）已知抛物线：（）与轴相交，两点（其中为坐标原点），过点作直线轴于点，交抛物线于点，如图所示． (1)________． (2)若点在抛物线的对称轴上，则的长为________． (3)把抛物线在直线右侧的部分（含点）记为图象．用含的式子表示图像的最高点的坐标； (4)已知点到轴的距离为，把抛物线在直线左侧的部分（不含点）记为图象．图象沿轴向下平移个单位长度得到图象．当图象上恰好只有两个点到轴的距离等于该点到直线的距离的倍时，请直接写出的取值范围． 【基础题型三 二次函数的倍角问题】 【例3】（2026·山东临沂·一模）抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【变式1】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点Q，点K为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点R为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点R的横坐标，并写出求解点R横坐标的其中一种情况的过程． 【变式2】（2026·四川南充·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点D在抛物线上，连接，若，求点D的坐标； (3)如图2，点P为第四象限内抛物线上一动点，与y轴分别交于M，N两点．当点P运动时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【基础题型四 二次函数的45°角问题】 【例4】（2026九年级下·天津红桥·学业考试）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．M为x轴下方抛物线上横坐标为m的点，连接． (1)求该抛物线的解析式和点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)过点作轴的平行线与抛物线相交于点，过点作轴的平行线与直线相交于点，若，求m的值． 【变式1】（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． (3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 【变式2】（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 【基础题型五 二次函数的旋转问题】 【例5】（2026·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，交直线于点．点，为轴上的动点（点在点的上方），且，连接，．当周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值． (3)如图2，在（2）中周长取得最大值的情况下，将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点（位于新抛物线对称轴左侧），当时，请求出所有符合条件的点横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【变式1】（2026·广东中山·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 【变式2】（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，已知抛物线过点、，抛物线与x轴的另一交点B在x轴的正半轴上，过点A作直线交抛物线于点D，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一点，连接交于点E，连接，，设的面积为S，点P的横坐标为t，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）问的结论下，过点P作于点H，取的中点Q，连接交抛物线于点M，将绕点P逆时针方向旋转至，求N的坐标． 【基础题型六 二次函数的翻折问题】 【例6】（25-26九年级下·江苏苏州·开学考试）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于轴上的点和点． (1)求和的值； (2)A为直线下方抛物线上一点，连接，求的面积的最大值； (3)当点为抛物线的顶点时（如图2），将沿着直线翻折得到，求与抛物线的另一个交点的坐标． 【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期末）将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 【变式2】（2026·安徽马鞍山·二模）抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为，D是线段上的一点，连接． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，延长交抛物线于点E，当最大时，求点E的坐标，并求出这个最大值； (3)如图2，将沿着翻折得到，连接，当时，求的长． 【基础题型七 二次函数与线段交点问题】 【例7】（2026·河南商丘·二模）二次函数的图象经过点． (1)若该函数图象经过点，求此时二次函数的解析式； (2)当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围； (3)线段的两个端点为，．若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【变式1】（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）与y轴交于点A，与x轴交于点B和点，直线与抛物线交于点P． (1)求此抛物线对应的函数表达式，并直接写出点A、点B的坐标； (2)当点P在点A右侧，且点P到x轴的距离等于点A到x轴的距离时，求点P的坐标； (3)过点P作轴于点Q，以为边向下作矩形，其中．当抛物线在矩形内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)设点E的坐标为，点F的坐标为，连接，当抛物线在点P及点P右侧部分和线段有公共点时，直接写出m的取值范围． 【变式2】（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．点在抛物线上，点的横坐标为，过点作直线的垂线，垂足为．将线段关于点中心对称得到线段（点的对称点为点），依次连接、、、得到平行四边形． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当和两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)当时，抛物线在平行四边形内部及边界的图象记为．若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为1，求的值； (4)当线段与该抛物线有两个公共点时，设两个公共点是和，当时，直接写出的取值范围． 【基础题型八 二次函数的最值问题】 【例8】（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)求的面积． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级下·山东东营·期中）如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【变式2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线经过、、三点，直线经过点与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点是在直线上方二次函数图象（含、两点）上的一个动点，试探究点的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积； (3)如图2，若是线段上的一个动点，连接，交直线于点，延长，交抛物线于点，试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【基础题型九 二次函数的存在性问题】 【例9】（2026·河南平顶山·三模）定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物中心对称点”．点在抛物线 上，点A的“抛物中心对称点”为点B． (1)求这个抛物线的表达式及顶点坐标． (2)①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线 ． ②将直线 向下平移3个单位长度得到直线，则直线上___________互为“抛物中心对称点”的两个点．（填“存在”或“不存在”） ③将抛物线 向上平移个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称点”的两个点，请直接写出k的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 【变式2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 如图1，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积； (4)如图1，点是轴上的动点，连接，请直接写出的最小值． 【基础题型十 二次函数的新定义问题】 【例10】（2026·辽宁朝阳·二模）给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“关联函数”．例如：二次函数的“关联函数”为：． (1)二次函数，求该二次函数的“关联函数”的表达式； (2)如图1，设二次函数的图像交轴于点，交轴于点，它的“关联函数”的图像为，图像与相交于、两点（点在点的右侧）． ①求点的坐标； ②直线与，分别交于点，，连接交于点M，当时，若的值最大，求的值； ③若二次函数与它的“关联函数”组成新函数，当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，求的取值范围． 【变式1】（2026·辽宁辽阳·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B．与x轴正半轴交于点C，二次函数的图象经过点A和点C． (1)求点A，B的坐标及的解析式． (2)直线与交于点D，与交于点E．与x轴交于点F，若，求此时t的值． (3)定义新函数：，若直线与新函数图象有三个交点，求m的取值范围． 【变式2】（2026·湖北襄阳·模拟预测）定义：若，点 B为，那么我们称点B是点A的“I”点． 如图，抛物线经过点． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点坐标； (2)D为抛物线上对称轴左侧的一个动点，点D的“I”点为点H．设点D的横坐标为m． ①若直线经过点 H，求H点坐标； ②若点H在直线的下方时，且点H的纵坐标随着m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围； (3)点E为抛物线上的一个动点，过点E作轴交直线 于点F，点E的“I”点为点G，设E的横坐标为t． ①令，直接写出l与t的函数关系式； ②若，直接写出t的取值范围． 1．（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1．点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 3．（2026·江苏常州·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)__________． (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． (3)连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 4．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 5．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 6．（2025·新疆伊犁·三模）如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数图像的对称轴为直线，其图象过点与x轴交于另一点B，与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标； (2)动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个单位长度的速度分别沿的，边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接，将沿翻折，若点B恰好落在抛物线上的处，试求t的值及点的坐标； (3)在（2）的条件下，Q为的中点，试探究x轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由． 8．（25-26九年级下·湖南株洲·期中）已知二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． (1)，， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； (2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足，求的值． 9．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 10．（2025九年级·贵州黔西南·专题练习）平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 学科网（北京）股份有限公司 $