专题06 二次函数的存在性问题重难点题型专训（10大题型+自我检测）-2026-2027学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

**基本信息** 聚焦二次函数与几何图形存在性问题，通过10大题型系统构建“代数表达-几何性质-方程求解”的解题框架，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角三角形存在性|1例+2变式|考查勾股定理与坐标计算|二次函数图像性质→坐标表示→方程思想| |等腰三角形存在性|1例+2变式|涉及分类讨论与距离公式|顶点坐标→边长关系→代数推理| |特殊四边形存在性|6题型各1例+2变式|结合图形判定与性质|图形性质转化→坐标关系建立→参数求解| |面积最值存在性|1例+2变式|运用函数建模与极值思想|面积表达式→二次函数最值→参数范围|

专题06 二次函数的存在性问题重难点题型专训 （10大题型+自我检测） 目录 存在性问题・开拓思维 题型一、二次函数中的直角三角形存在性问题 1 题型二、二次函数中的等腰三角形存在性问题 2 题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 3 题型四、二次函数中特殊角度的存在性问题 5 题型五、二次函数中平行四边形的存在性问题 6 题型六、二次函数中矩形的存在性问题 8 题型七、二次函数中菱形的存在性问题 9 题型八、二次函数中正方形的存在性问题 10 题型九、二次函数中梯形的存在性问题 11 题型十、二次函数中面积最值的存在性问题 12 【基础题型一 二次函数中的直角三角形存在性问题】 【例1】（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）抛物线：（其中）与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)①填空：当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②随值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； (2)若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线：，，的对应点分别为点，，求的值； (3)若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)①；   ②解：随值的变化，抛物线恒经过定点，理由如下： 由可变形得， 当，即时，无论取何值，， ∴抛物线恒经过定点； (2)或 (3)或 【分析】（1）①代入，求抛物线顶点式得，即可求出顶点坐标；令，求出抛物线与轴两交点横坐标，即可得点坐标； ②整理抛物线表达式，令含参数的系数为 0，求出定点； （2）平移不改变线段长度，，列式，解得； （3）是等腰三角形，直角只能在点；等腰直角三角形斜边上高等于斜边一半，列方程求解即可 ． 【详解】（1）解：①抛物线：， 当时，， ∴顶点； 令，则， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴， 所以，，； ②略； （2）解：抛物线：平移得到抛物线：， 且，的对应点分别为点，， ∴， ∵，， ∴，即； 令，得， 设，的横坐标为，，得，， ∴， ∴，即， 解得或， ∴的值为或； （3）解:抛物线的对称轴为直线，点,关于对称轴对称，点为顶点， ∴，为等腰三角形； 若为直角三角形，则， 设中点为，则，且， 由(2)知， ∴， 又∵点P的纵坐标， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴的值为或． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)面积的最大值是； (3)或 【分析】（1） 已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于一点，用待定系数法将三点坐标代入，解三元一次方程组即可求出系数． （2）点在第二象限抛物线上运动，连接、、，求面积最大值．过点作x轴垂线交于点，利用铅垂高与水平宽表示面积，将面积化为关于点横坐标的二次函数，配方求最值． （3）直角三角形需分三种情况讨论直角顶点：、、．前两种情况分别通过构造相似三角形和等腰直角三角形列方程求解；第三种情况利用点在直线上方，说明，从而排除． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ， 解得：． （2）解：设点的横坐标为（）， 抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点作x轴于点，交于点， ， ， ， ， 当时，最大． （3）解：存在． ① 当时，过点作轴于点，轴于点， ， 又，， ， ， ， ， ，且，， ，，，， ， 整理得：， 又，， ， 解得：，不符合题意，舍去． ② 当时，过点作轴于点， ，， ， 点在y轴上， ， 又， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． ③ 当时， 点的坐标为，直线的解析式为， ， 又， ， 点在直线上方，且射线在x轴上方， ， ， ． 综上所述，存在点，使为直角三角形，的值为或． 【变式2】（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、、 【分析】（1）将点代入直线方程求，得到点坐标，再代入抛物线交点式求系数，展开得抛物线表达式； （2）、为定长，将周长最小转化为求的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利用两点之间线段最短确定点位置，联立直线与对称轴求解； （3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线经过点，且点在轴上， ∴令，得， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， 解得， ∴， 综上所述，，抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为：， ∴求四边形周长的最小值，只需求的最小值， ∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵、在直线上，且，在上方， ∴设，， 如图：把点向上平移2个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、， 在四边形中， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与关于直线对称，在直线上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点在与直线的交点处时，最小， 设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴； （3）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，得， 解得：或， ∵在左侧， ∴，， ∵由（1）知，， ∴，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，， ∴点沿射线方向平移个单位长度后与点重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，如图： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴平移后对称轴为直线， ∵点为平移后的抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，， ， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴， 若，如图： 则， ∴， 解得或， ∴或， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴． 【基础题型二 二次函数中的等腰三角形存在性问题】 【例2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，已知四边形是矩形，，，点，分别从点，同时出发沿，向终点，运动，点和点的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，若，此时 ； (2)设的长为，小明对关于的函数关系式进行了探究． ①请求出关于的函数关系式； ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了关于的函数图像，其中点为函数图像的最低点，则点的坐标为 ； (3)当时，的值为 ； (4)连接，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) (4)或 【分析】（1）过作于，由矩形性质得．当时，，，可算得．在中，由勾股定理即可计算； （2）①由、得水平距离，结合竖直边，由勾股定理得．由到终点时间得，故；②根号内二次函数开口向上，对称轴时取最小值4，故，最低点； （3）由题意得，结合的表达式列方程，两边平方消去二次项，即可求解； （4）等腰分三类讨论：①，解得；②，解得（构不成三角形舍去）；③，方程无实根． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图： 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ∴，， 由题意得，，， ，， ， 在中，； （2）解：①由题意得，，，则，， ， 在中， ， ∵点F运动到终点的时间为（秒）， ∴自变量范围为 ∴关于的函数关系式为：； ②由题意得，求出的最小值，即为求出根号内的二次函数的最小值， ∴设， ∵其开口向上， ∴对称轴为直线， ∴ ， ， ∴最低点的坐标为； （3）解：∵，， ， ∵， ∴ 解得； （4）解：连接，如图： 在中，；；， 当时， ∴ ， ∴， ，（舍去）， ； 当时， ， 解得，， 当时，点与点重合，不能构成三角形，舍去， 故； 当时， ， ∴，方程无实数根，舍去； 综上所述，符合条件的的值为或． 【变式1】（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过A，C两点．动点P从点A出发，沿线段向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段向终点D运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作交于点E． (1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式； (2)过点E作于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ (3)连接，是否存在t的值使为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，有最大值是1 (3)存在t的值使为等腰三角形，t的值为或或 【分析】（1）由于四边形为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同，可得，将、两点坐标代入抛物线的解析式可得结论； （2）根据相似三角形的性质求出的长，可得E和G的横坐标表达式，代入二次函数解析式和直线的解析式，求出纵坐标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答； （3）若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分三种情况讨论，根据两点的距离公式列方程即可解答． 【详解】（1）解：矩形的三个顶点，，， 轴，轴， ， 将、两点坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图： 由题意得：， ， 设直线的解析式为：， 、 则， 解得：， 直线的解析式为：， ， ，即， ， 当时，， ，， ， ， 当时，有最大值是1； （3）解：存在t的值使为等腰三角形，理由如下： 有三种情况：①当时，如图： ，，， ， 根据两点间距离公式得：． 整理得， ， 解得或（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）； ； ②当时， ，，， 根据两点间距离公式得：， 整理得， 解得：或（此时Q不在矩形的边上，舍去）； ； ③当时， ，，， 根据两点间距离公式得：， 解得（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或， ． 综上所述，t的值是或或． 【点睛】两点间距离公式，平面内两点间的距离公式为解题关键． 【变式2】（25-26九年级下·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式和顶点的坐标； (2)点为抛物线上第二象限内一点，连接，与直线交于点，求的最大值： (3)平移抛物线，使得新抛物线的顶点还在原抛物线 上，直线与新抛物线交于点，连接，，且． 求证：为等腰三角形； 求点的坐标． 【答案】(1)，顶点 (2)的最大值为 (3) 证明过程见解析； 【分析】1（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式，化为顶点式，即可得顶点坐标； （2）过点作轴的垂线，与交于点，证明，可得，由待定系数法可得的解析式，设，则，可得，即可得的最大值： （3）设平移后抛物线的解析式为，可得点在线段的垂直平分线上，可得，即可证得结论；过点作的垂线，垂足为点，由等边对等角可得，由已知可得，由三角形的内角和定理可得，在中，，可得，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∴， ∴顶点． （2）解：过点作轴的垂线，与交于点，则， ∴，， ∴， ∴， 抛物线解析式为， 令，得， 令，可得，， ∴，，， 设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，的最大值为． （3）解：证明：设平移后抛物线的解析式为， ∵点在上， ∴， 将代入中， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【基础题型三 二次函数中等腰直角三角形存在性问题】 【例3】（2026·山东潍坊·模拟预测）抛物线与x轴交于两点（A点在B点左侧），与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线于x轴两交点A、B之间的距离； (2)在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若是等腰直角三角形，求的面积； (3)若是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求的最小值（用含t的代数式表示）． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式和抛物线与y轴交点坐标求出抛物线表达式，再利用韦达定理求解即可； （2）利用抛物线对称性结合等腰直角三角形几何性质求解即可； （3）利用换元法将含参距离问题转化为二次函数最值问题求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得， 抛物线的表达式为， 设抛物线与x轴交点的坐标分别为，， ，， ， 、两点之间的距离为； （2）解：是等腰直角三角形， ，， 设和x轴之间的距离为m，则， 点， ， 将点F的坐标代入抛物线表达式得， 解得（舍去）或， ； （3）解：设点Q的坐标为，则， 设，则，，其对称轴为， 二次项系数为， 有最小值， ①当时，最小值在对称轴处取得， 即时，的最小值， 的最小值为； ②当时，最小值在处取得， 即时，的最小值， 的最小值为； 当时，， 当时，， 综上所述，． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图①，已知抛物线的图象经过点，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式； (2)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出平移后的抛物线的顶点坐标，设直线交于点M，交于点N，求出的坐标，根据点F在内（包括的边界），列出不等式进行求解即可； （3）分四种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点， ∴ ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 顶点为，抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为． 设直线交于点M，交于点N，则，如图2， ∵的平分线交线段于点E， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵点F在内（包括的边界）， ∴，解得； （3）解：设，分四种情况： ①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作轴，交y轴于M，交l于N， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 解得：或， ∵，不合题意，舍去， ∴，此时， ∴P的坐标为； ②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：， 解得：或， ∵，不合题意，舍去， ∴，此时， ∴P的坐标为； ③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作轴于N，过F作于M， 同理得， ∴，则，解得：，； ∵，不合题意，舍去， ∴，此时， P的坐标为； ④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5， 同理得，解得：或（舍）， P的坐标为：； 综上所述，点P的坐标是：或或或． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【基础题型四 二次函数中特殊角度的存在性问题】 【例4】（2026·四川宜宾·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P在直线下方的抛物线上，且点P在对称轴左侧．过点P作交于点G，作交抛物线于点H．求的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图3，点P在x轴下方的抛物线上，点D为抛物线的顶点，过点D作轴于点E，连接，交于点F，连接，，探究抛物线上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3)存在点M的坐标，使，点M的坐标为或 【分析】（1）将点与点代入函数解析式求解即可； （2）求出直线的函数解析式，设出点，表示出点G，与点H的坐标，再表示出，由二次函数的最值即可求解的最大值，再将代入即可得到点P的坐标； （3）分类讨论当在上方时，当在下方时，两种情况，结合角的关系得到，当在上方时，添加辅助线，过点A作轴交的延长线于点G，过点C作于点K，过点K作轴于点H，过点B作的延长线于点T，求解出直线的函数解析式，联立直线与抛物线求解交点坐标，即为点M的坐标，同理可得当在下方时，点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，对称轴， 令，即，解得或， ∴点， 设直线的函数解析式为， 将点与点代入函数解析式， ，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点P在直线下方的抛物线上，且点P在对称轴左侧． ∴点，且， ∵交于点G， ∴点， ∴， ∵交抛物线于点H． ∴点P与点H关于直线对称， ∴， ∴， ∵，函数图象开口向下，且， ∴当时，有最大值，为， ∵当时，点， ∴点， ∴的最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：存在点M，使，理由如下： ①当在上方时， 过点A作轴交的延长线于点G，过点C作于点K， 过点K作轴于点H，过点B作的延长线于点T，如图， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点，点， ∵点，点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴，即， ∵， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∵的延长线于点T，即， ∴， ∴， ∵轴，即， 在与中， ， ∴， ∴，， 设点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴点， 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴设直线的函数解析式为， 联立，解得（舍去）或， ∴点； ②当在下方时，同理可得， 则， 在上取点，满足，过点作的延长线于点， 同理可得， ∴同理可得直线的函数解析式为， 联立，解得（舍去）或， ∴点， 综上，点M的坐标为或． 【变式1】（2026·天津河北·二模）已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线顶点． (1)若，，，求抛物线顶点的坐标； (2)已知点，，连接，． 当时，，求点的坐标与抛物线的解析式； 若点在第三象限，且轴，，对于抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)；； 【分析】（1）把，，代入解析式，化为顶点式后可得抛物线顶点的坐标； （2）先说明点在抛物线的对称轴上，求出，根据求出，设抛物线解析式为，把代入求解即可；设对称轴交轴于点，取点关于轴的对称点，则，证明，求出，抛物线解析式为，把代入求出抛物线解析式，然后根据的最大值与最小值的差为，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 可得：， 抛物线顶点的坐标为； （2）解：如图所示， ， ， 点在的垂直平分线上， 抛物线与轴交于点，两点， 、两点关于对称轴对称， 点在抛物线的对称轴上． ，， ， ， ， ， ，即， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， ； 轴，点为抛物线顶点， 点在抛物线的对称轴上， 如图所示，设对称轴交轴于点，取点关于轴的对称点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线解析式为， 当时，， 当时，则在取得最大值，取得最小值， 的最大值与最小值的差为， ， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，则在取得最大值，取得最小值，， 符合题意； ，， 和时，对应的值相等， 当时，则在取得最大值，取得最小值，， 符合题意； 当时，则在取得最大值，取得最小值， 的最大值与最小值的差为， ， 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）， 综上可知，的取值范围是． 【变式2】（2026·山东烟台·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将抛物线与x轴、y轴交点坐标，代入抛物线表达式，即可求出； （2）先求出两直线的表达式，联立求出点Q的坐标，分的两部分以为底，则高相等，两部分面积比等于底边之比；过点P、点Q向x轴做垂线，将面积之比转换成，横坐标差值比；再将面积比分两种情况，分别求出点P坐标； （3）在y轴上取点，，所以，当N在y轴正半轴时，点N在上，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴负半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图，     ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 【基础题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题】 【例5】（25-26九年级下·重庆大渡口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或或；过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可； （2）证明，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，为，此时； （3）解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线顶点的横坐标为， ∴抛物线沿水平方向向左平移5个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为，， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，，即， 抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 【变式1】（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)的和的最大值为，点的坐标为 (3)当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）通过论证为等腰直角三角形，得到， 即当取得最大值时，有最大值，设点，求解的最大值即可； （3）分情况讨论四边形为平行四边形和四边形为平行四边形时的点坐标即可. 【详解】（1）解：如图，，，， ， 将、代入， 得， 解得， ， 二次函数的解析式为 ； （2）解：令，得， ， 设直线的解析式为， 代入，解得， 直线的解析式为 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当取得最大值时，有最大值， 设点，则， ， ∵，， 当时，有最大值， 的和的最大值为，点的坐标为 ； （3）解：①当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， ， ∴二次函数顶点为， ∵， ，， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， ，， ， ， 设，则， ， ， ； ②当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， 二次函数顶点为，， ，， ， ， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， ， 过点作轴于点， ，， ， ，， ∴， ； 综上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或. 【变式2】（2026·青海西宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． (1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； (3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）分别将、代入抛物线，求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）连接，则，易证得、、是等腰直角三角形，进而得到点的纵坐标为，从而求出点的坐标，根据进行求解即可； （3）设点，点，分情况讨论：当为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， 点在点的左侧， 、， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，连接， 、， ， ， 是等腰直角三角形， ， 、， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 点的纵坐标为， 令，， 解得或（舍去）， 、； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 由（1）知、， 设点，点， 分情况讨论： ①当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； ②当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或（舍去）， ； ③当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质、分类讨论和数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 【基础题型六 二次函数中矩形的存在性问题】 【例6】（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）先求出点，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可； （2）分两种情况：当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，，结合点，可知点D的纵坐标是，再代入函数关系式得出答案； （3）①根据点可得答案； ②当点H，M重合时，求出． 再分两种情况：当点M在点H下方时，当时，矩形内没有函数y的图象；当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，可得取值范围； 当点M在点H上方时，有两种可能：当时，此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大；当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，综合以上情况可得答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式； （2）解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； （3）解：①当时，， ∴点，则点． ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的4倍，我们称这个点为“四倍值点”． 【概念理解】 （1）求反比例函数上的“四倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A、B两点（B在A的左边），交y轴于点，该抛物线的顶点P恰好是一次函数的四倍值点，以原点为中心，把点B顺时针旋转，得到点H．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． ①求点P的坐标和二次函数的解析式； ②当线段的长度最大时，求D点的坐标； ③若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点H，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）①点P的坐标为；；②；③或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）①根据新定义，求出抛物线的顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； ②求出直线的解析式，设，则，利用两点间的距离公式，列出二次函数关系式，求最值即可； ③分为边和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数上的“四倍值点”的坐标为； 解得：， 经检验，是所列方程的解， 当时，； 当时，． 反比例函数上的“四倍值点”的坐标为或 （2）①解：设一次函数的四倍值点的坐标， ，解得：， 一次函数的四倍值点的坐标为， 该抛物线的顶点P恰好是一次函数的四倍值点， 该抛物线的顶点P的坐标为 设二次函数的解析式为 该二次函数的图象交y轴于点 把代入中得：，解得： ∴，即： ②对于，令则， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， 把和分别代入得：，解得：， 直线的解析式为， ，且D点的横坐标为， ，则， ， 抛物线开口向下，二次函数有最大值 当时，有最大值，的最大值是， 当时，， ； ③或，理由如下： ∵， ∴， ∵以原点为中心，把点B顺时针旋转，得到点H， ∴， ∴， 如图1当以为边作矩形，连接交于点T， 设，，， ，解得：， 过P作轴，垂足为，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：， 如图2当以为对角线作矩形， 轴，轴， 【变式2】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【基础题型七 二次函数中菱形的存在性问题 】 【例7】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为：或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到答案； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示，数形结合，利用待定系数法确定直线解析式，联立求解即可得到答案； （3）由题意表示出点，点，再由菱形的性质分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、求函数图象的交点方法、勾股定理、菱形性质、二次函数与特殊平行四边形综合等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)，； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先判断出四边形是菱形时，点P是线段的垂直平分线，利用该特殊性建立方程求解． （3）设点，首先推导出，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 解得，， 二次函数解析式为， 令，得， ； （2）解：如图，   点P在抛物线上， 设， 当四边形是菱形时，点P在线段的垂直平分线上， ，， 线段的垂直平分线的解析式为， ， ， 或； （3）解：过点M作y轴的平行线交于点H，如图，    令，解得或， ， ． ． ， 所以当的面积有最大值时，则四边形的面积最大， 设直线的解析式为 将点B、C的坐标代入得：， 解得 直线的解析式为， 设点，则点， ， 故当时，有最大值，此时四边形的面积最大值为， 故点 【基础题型八 二次函数中正方形的存在性问题】 【例8】（2026·安徽阜阳·三模）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入，列方程组求解即可． （2）根据点P的位置（即t的取值范围）进行分类讨论，分别计算结果． （3）设点N的横坐标为n，用含m，n的式子分别表示出的长，再根据列方程求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得 解得 故抛物线的函数表达式为． （2）解：∵P为第一象限内抛物线上一动点， ∴，其中． ∵抛物线的函数表达式为， ∴． 令，解得，， ∵轴， ∴当时，点E与点C重合． ∴，． ①当时，如图1，点E在点C上方， 此时， ∴． 当时，，解得． ②当时，如图2，点E在点C下方， 此时， ∴． 当时，，解得，（舍去）． 综上可知，t的值为或． （3）解：∵轴，轴， ∴． 又轴， ∴四边形是矩形， ∴． 设点N的横坐标为n，则， ∴． ∵，， ∴设直线的函数表达式为，把，代入，得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴，， ∴①． 要使四边形为正方形，则要满足． 点N的位置有以下两种情况． ①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时． 若，则，整理，得②， 把②代入①，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． ②当点N在点C右侧的抛物线上时，． 若，则，解得，此时点与点重合，不符合题意． 综上可知，点M的坐标为． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知，抛物线与轴交于点，顶点为，抛物线与轴交于点，顶点为，其中A、B、C、D中任意三点不在同一条直线上．我们把过A、B的直线称为的特征直线． (1)若抛物线的表达式为：，则的特征直线为__________； (2)四边形必定是__________图形（填序号：①轴对称②中心对称）； (3)若的特征直线为，且四边形的面积为8，求的表达式； (4)当时，若四边形为正方形，为上一点，请直接写出面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先由抛物线的表达式求得点A、B的坐标，再根据待定系数法即可求解； （2）先由抛物线、的表达式求得点A、B、C、D的坐标，可得四边形是平行四边形，则可得四边形必定是中心对称图形； （3）由的特征直线为，可得，，，则，再由四边形的面积为8，可得，则可求得的值，即可求解； （4）根据，由四边形为正方形，可得，，则可得，，可得直线的解析式，再由面积最小时，点到的距离最小，可得将直线平移与抛物线只有一个交点，据此即可求解． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式为：，得顶点坐标为， 令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：由抛物线，得顶点坐标为， 令，则， ∴， 由抛物线，得顶点坐标为， 令，则， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形必定是中心对称图形． （3）解：由（2）可知，抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标为， ∵的特征直线为， ∴把代入，得， ∴， 由（2）可知，抛物线与轴交点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得， 把代入，得，整理并分解因式，得， ∵A、B、C、D中任意三点不在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴， ∴抛物线的解析式为． （4）解：当时，由（2）可知，抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标为，抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标为， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵点、在轴上， ∴点、在轴上，即， ∴，，，， ∴，， ∴，即或， 解得或（不符合题意，舍去） 当时，则抛物线的解析式为，抛物线的解析式为， ∴，， 设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 如图，将直线向下平移个单位，则平移后的解析式为， 当平移后的直线与抛物线只有一个交点时，的面积最小， 联立， ∴，整理得， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得， 代入得，即， 解得， 把代入得， ∴， ∵，， ∴； 当时，则抛物线的解析式为，抛物线的解析式为， ∴，， 同理可得直线解析式为， 如图，将直线向下平移个单位，则平移后的解析式为， 当平移后的直线与抛物线只有一个交点时，的面积最小， 同理可得，点的坐标为， ∴， 综上所述，面积的最小值为． 【变式2】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】(1)， (2)且 (3)或或或 (4)或 【分析】（1）将原点O，点B代入解析式中求解，即可得到抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，结合点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以及垂直于y轴，画出草图，推出满足题干条件的临界点，利用数形结合进行分析，即可解题； （3）根据二次函数解析式得到，再分两种情况，当点在点的上方时，当点在点的下方时，结合矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2，建立方程求解，即可解题； （4）由（3）可知，根据矩形为正方形，得到，据此建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过原点O，点B在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m， 又以为对角线作矩形，垂直于y轴，且抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，如图： 则当M在C上方时满足条件， 当点重合时，为满足题干条件的临界点， 当时，有， 解得， 此时，， 当且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； （3）解：点M横坐标为m， ， 当点在点的上方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 当点在点的下方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 综上，当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为或或或； （4）解：由（3）可知， 矩形为正方形， ， ，即 或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 综上，当矩形为正方形时， m的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，矩形的性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，数形结合是解答本题的关键． 【基础题型九 二次函数中梯形的存在性问题】 【例9】（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，顶点的坐标是，过点作轴，交抛物线于点D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点为抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）先求出，设抛物线的解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）先求出，，作于点，则，求出，，最后由正切的定义计算即可得出结果； （3）先求出直线的解析式为，再结合梯形的性质，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， ∵抛物线顶点的坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵过点作轴， ∴当时，， 解得：，， ∴， 联立， 解得：或， ∴， 如图，作于点， 则， ∴，， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵以、、、为顶点的四边形是梯形， ∴当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，此时点的纵坐标为， 在中，令，则， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，正切的定义，二次函数综合—特殊四边形问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)点是直线上的点，若的面积与的面积相等，求点的坐标； (3)点在第四象限，且为抛物线上的点，若四边形是梯形，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为，点的坐标为 (2)的坐标为或 (3)当四边形是梯形时，点的坐标为 【分析】（1）把两点的坐标代入关系式求解即可； （2）点的坐标为，根据的面积与的面积相等，关键关于m的方程求解即可； （3）分，两种情况讨论即可. 【详解】（1）解：抛物线过点和点， 把两点的坐标代入关系式，得： 解得： 抛物线的表达式为． 把代入得． 点的坐标为； （2）解：抛物线的对称轴为． 设点的坐标为，则长为， 的高为点到直线的距离， 的高为， 在中，， 的面积与的面积相等， ， ， ，即或， 的坐标为或； （3）解：如图，连接，过点作平行于的直线，与抛物线交于点，连接， 此时有，四边形是梯形， 函数取时，可得，于是点的坐标为， 且由（1）已知点的坐标为， 设的直线方程为，代入点，点 有：解得： 的直线方程为， ， 的直线方程可设为， 把点代入，有， ， 的直线方程为， 联立直线与抛物线的方程： ，整理得：， 解得（舍），， 把代入抛物线方程得， 点的坐标为， 若过作平行于的直线时，点不在第四象限，此种情况不符合题意，排除， 综上所述，当四边形是梯形时，点的坐标为． 【变式2】（2026年浙江省温州市中学自主招生模拟数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线经过点O和点P． (1)求c，b（用t的代数式表示）； (2)抛物线与直线x＝1和x＝5分别交于M、N两点，当t＞1时， ①在点P的运动过程中，你认为sin∠MPO的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出sin∠MPO的值； ②求△MPN的面积S与t的函数关系式； ③是否存在这样的t值，使得以O、M、N、P为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出t值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)c=0，b=t． (2)①，②当时，，当时，，③或． 【分析】（1）根据抛物线经过点和点，将，，代入求出，的值即可； （2）①根据（1）中解析式得出，得出，即可得出的大小不会变化； ②根据当时以及当时，分别得出，，求出即可； ③根据当时以及当时，分别得出的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 代入， 得， ， 即． 即． 故c=0，b=t． （2）解：①当时，，， 即，， 即，，是定值． ②当时，，， 如图1， 过点作的垂线，垂足为， ， ， ， 当时，如图2， ， ， ， ③存在这样的值，使得以、、、为顶点的四边形为梯形． 当时，如图3， ，， 即，代入得． 解得； 当时，如图4， 则，关于对称轴对称， 即， 解得：． 综上，当或时，以、、、为顶点的四边形为梯形 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及梯形的判定和图形面积求法，正确利用数形结合进行分类讨论得出是解题关键． 【基础题型十 二次函数中面积最值的存在性问题】 【例10】（2026·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 【分析】（1）先由直线与轴交于点求出点坐标，再将，，代入抛物线解析式，求出、、的值即可； （2）先求出直线解析式，过点作轴交于点，设点（），则点，由得，结合二次函数的图象与性质即可得到四边形面积的取值范围； （3）由得出，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 则点， 将，，代入抛物线解析式， 得， 解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：将代入直线， 得， ， 则直线的表达式为， 如图，过点作轴交于点， 设点（），则点， ， ， ， ， ， ，对称轴为， 又， 当或时，， ， 四边形面积的取值范围是； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 【变式1】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 【变式2】（2026·广东肇庆·一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为点A (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当最大值时，求点D的坐标； (3)如图1，点P在x轴上，点D在抛物线上，当P、D、B、C四点能构成平行四边形时，P点坐标是多少，不写过程，直接写出P点坐标 【答案】(1) (2)点坐标为 (3)符合条件的点坐标为：、、、． 【分析】（1）先求B、C两点坐标：令直线中得B点坐标，令得C点坐标，再将B、C坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组得b、c，确定抛物线解析式． （2）令抛物线求得A点坐标，过作轴交直线于，过A作轴交直线于N，因为和同高，所以面积比等于底的比，可转化为之比，由，​，设D点坐标为参数，求出线段长的解析式，用参数表示出的表达式，再利用二次函数性质求最大值时的参数值，得到D点坐标． （3）平行四边形存在性：分为对角线三种情况，根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合P在x轴上纵坐标为0、D在抛物线上满足抛物线解析式的条件，分类计算P点坐标． 【详解】（1）解：对，令，得，故； 令，得，故． 将、代入抛物线， 得，解得​， ∴抛物线解析式为． （2）令抛物线， 解得或， ∴， ∴． 设， 过作轴交直线于，过A作轴交直线于N， 则， ∴． 对，令，得， 故， ∴， ∵和同高， 故​， 又， ∴， ∴​， ∴， ， ∴当时，​​取最大值， 此时的纵坐标为， ∴​​最大时，点坐标为 （3）设， ∵P、D、B、C四点构成平行四边形， ∴分三种对角线情况： 情况1：与为对角线， ∵对角线中点相同： 中点：，中点为，即 中点：，即， ∴， 即， ∴， 解得或， 当，，，与C重合，舍去； 当，， 情况2：与为对角线， 中点：，即 中点：，即 ∴， 即， ∴， ∴，， 解得， 当，，； 当，， 情况3：与为对角线， 中点：，即， 中点：，即， ∴，即， ∴， 解得或， 当，，与C重合，舍去； 当，，． 故符合条件的点坐标为：、、、． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，点的坐标为或 【分析】首先根据抛物线的表达式得到对称轴为直线，，设点的坐标为，再根据两点间距离公式得到，利用勾股定理列方程并解方程即可得到答案． 【详解】解：存在，∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， 当时，，解得：，， 当时，， ∴， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴由勾股定理可得， ∵， ∴，解得，， ∴点的坐标为或． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴相交于两点．在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】或 【分析】根据题意可得，设，则，可求出，，则可得到 方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：轴于点Q， ， 是等腰直角三角形， ； 点P在抛物线上， ∴设，则， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴， 或， ∴或 当时，解得或（舍去）， ∴此时，即点P的坐标为； 当时，解得或（舍去）， ∴此时，即点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  4．（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． （3）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或 【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式． （2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值． （3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 分别将点的坐标代入直线， 得，， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， ∵点在直线下方，如图所示， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或． 7．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或，或或 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出E的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 8．（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 9．（2025·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 10．（2025·江苏镇江·一模）如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）表示，再表示三角形的面积求解即可； （3）设，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线对称轴， 设， ∴当时，， ∴， 当时，得，整理，得， 解得（舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 设， 当为对角线时，如图，点C的横坐标为，此时纵坐标为， 故为，根据菱形的对称性质，得到点为 当为边时，也为边时，根据题意，得， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ， 解得， 故或， 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 当为边时，为对角线时， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ，解得（舍去），， 故 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 综上可知点D的坐标为或或或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数的存在性问题重难点题型专训 （10大题型+自我检测） 目录 存在性问题・开拓思维 题型一、二次函数中的直角三角形存在性问题 1 题型二、二次函数中的等腰三角形存在性问题 2 题型三、二次函数中等腰直角三角形存在性问题 3 题型四、二次函数中特殊角度的存在性问题 5 题型五、二次函数中平行四边形的存在性问题 6 题型六、二次函数中矩形的存在性问题 8 题型七、二次函数中菱形的存在性问题 9 题型八、二次函数中正方形的存在性问题 10 题型九、二次函数中梯形的存在性问题 11 题型十、二次函数中面积最值的存在性问题 12 【基础题型一 二次函数中的直角三角形存在性问题】 【例1】（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）抛物线：（其中）与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)①填空：当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②随值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由； (2)若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线：，，的对应点分别为点，，求的值； (3)若为直角三角形，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 【基础题型二 二次函数中的等腰三角形存在性问题】 【例2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，已知四边形是矩形，，，点，分别从点，同时出发沿，向终点，运动，点和点的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度，记点的运动时间为秒，连接． (1)如图1，若，此时 ； (2)设的长为，小明对关于的函数关系式进行了探究． ①请求出关于的函数关系式； ②如图2，小明利用几何画板软件在平面直角坐标系中画出了关于的函数图像，其中点为函数图像的最低点，则点的坐标为 ； (3)当时，的值为 ； (4)连接，当为等腰三角形时，请求出所有符合条件的的值． 【变式1】（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过A，C两点．动点P从点A出发，沿线段向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段向终点D运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作交于点E． (1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式； (2)过点E作于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ (3)连接，是否存在t的值使为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级下·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式和顶点的坐标； (2)点为抛物线上第二象限内一点，连接，与直线交于点，求的最大值： (3)平移抛物线，使得新抛物线的顶点还在原抛物线 上，直线与新抛物线交于点，连接，，且． 求证：为等腰三角形； 求点的坐标． 【基础题型三 二次函数中等腰直角三角形存在性问题】 【例3】（2026·山东潍坊·模拟预测）抛物线与x轴交于两点（A点在B点左侧），与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线于x轴两交点A、B之间的距离； (2)在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若是等腰直角三角形，求的面积； (3)若是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求的最小值（用含t的代数式表示）． 【变式1】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图①，已知抛物线的图象经过点，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式； (2)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【基础题型四 二次函数中特殊角度的存在性问题】 【例4】（2026·四川宜宾·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P在直线下方的抛物线上，且点P在对称轴左侧．过点P作交于点G，作交抛物线于点H．求的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图3，点P在x轴下方的抛物线上，点D为抛物线的顶点，过点D作轴于点E，连接，交于点F，连接，，探究抛物线上是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2026·天津河北·二模）已知抛物线（，，为常数，），与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线顶点． (1)若，，，求抛物线顶点的坐标； (2)已知点，，连接，． 当时，，求点的坐标与抛物线的解析式； 若点在第三象限，且轴，，对于抛物线，当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【变式2】（2026·山东烟台·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【基础题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题】 【例5】（25-26九年级下·重庆大渡口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【变式1】（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【变式2】（2026·青海西宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． (1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； (3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【基础题型六 二次函数中矩形的存在性问题】 【例6】（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）【概念感知】 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的4倍，我们称这个点为“四倍值点”． 【概念理解】 （1）求反比例函数上的“四倍值点”的坐标； 【概念应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A、B两点（B在A的左边），交y轴于点，该抛物线的顶点P恰好是一次函数的四倍值点，以原点为中心，把点B顺时针旋转，得到点H．D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． ①求点P的坐标和二次函数的解析式； ②当线段的长度最大时，求D点的坐标； ③若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点H，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【基础题型七 二次函数中菱形的存在性问题 】 【例7】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 【基础题型八 二次函数中正方形的存在性问题】 【例8】（2026·安徽阜阳·三模）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知，抛物线与轴交于点，顶点为，抛物线与轴交于点，顶点为，其中A、B、C、D中任意三点不在同一条直线上．我们把过A、B的直线称为的特征直线． (1)若抛物线的表达式为：，则的特征直线为__________； (2)四边形必定是__________图形（填序号：①轴对称②中心对称）； (3)若的特征直线为，且四边形的面积为8，求的表达式； (4)当时，若四边形为正方形，为上一点，请直接写出面积的最小值． 【变式2】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 【基础题型九 二次函数中梯形的存在性问题】 【例9】（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，顶点的坐标是，过点作轴，交抛物线于点D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点为抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)点是直线上的点，若的面积与的面积相等，求点的坐标； (3)点在第四象限，且为抛物线上的点，若四边形是梯形，求点的坐标． 【变式2】（2026年浙江省温州市中学自主招生模拟数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线经过点O和点P． (1)求c，b（用t的代数式表示）； (2)抛物线与直线x＝1和x＝5分别交于M、N两点，当t＞1时， ①在点P的运动过程中，你认为sin∠MPO的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出sin∠MPO的值； ②求△MPN的面积S与t的函数关系式； ③是否存在这样的t值，使得以O、M、N、P为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出t值；如果不存在，请说明理由． 【基础题型十 二次函数中面积最值的存在性问题】 【例10】（2026·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，，点，过，的直线解析式为，为第二象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形面积的取值范围； (3)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【变式1】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【变式2】（2026·广东肇庆·一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为点A (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，当最大值时，求点D的坐标； (3)如图1，点P在x轴上，点D在抛物线上，当P、D、B、C四点能构成平行四边形时，P点坐标是多少，不写过程，直接写出P点坐标 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴相交于两点．在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 4．（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 7．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 8．（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（2025·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025·江苏镇江·一模）如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $